fourierova transformaceamber.feld.cvut.cz/vyu/eo2/files/lectures/p2.pdffourierova transformace eo2...
Post on 24-Oct-2020
3 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
Fourierova transformace
EO2 – Přednáška 2
Pavel MášaX31E
O2 - P
avel
Máša
X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 2
-
• Známe Fourierovy řady v komplexním tvaru
Spektrum této řady je diskrétní
Obvody tedy musíme řešit v HUS člen po členu (pracné)
Touto řadou můžeme popsat pouze periodické průběhy
? Co když obvod vybudíme osamoceným impulsem?
? Jak vypočítat výstupní napětí jedním výpočtem, ne pracně krok za krokem, po jednotlivých harmonických?
ÚVODEM
f (t) =
1Xk=¡1
Akejk!0tf (t) =
1Xk=¡1
Akejk!0t
Ak =1
T
Z T0
f (t)e¡jk!0t dtAk =1
T
Z T0
f (t)e¡jk!0t dt
X31E
O2 - P
avel
Máša
X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 2
-
Co se stane, pokud budeme prodlužovat periodu obdélníkového průběhu?
Nebo zužovat obdélníkový impuls?
FOURIEROVY ŘADY – ROZŠIŘOVÁNÍ PERIODY
Ak =1
T
Z t02
¡t02
U0e¡jk!0t dt =
U0T
·e¡jk!0t
¡jk!0
¸ t02
¡t02
=
=U0T
cos(¡k!0 t02 ) + j sin(¡k!0t02 )¡ cos(k!0
t02 )¡ j sin(k!0
t02 )
¡jk!0=
=U02
2 sin(k!0t02 )
k!0=
U0t0T
sin(k!0t02 )
k!0t02
=S
TSa
μk!0
t02
¶Ak =
1
T
Z t02
¡t02
U0e¡jk!0t dt =
U0T
·e¡jk!0t
¡jk!0
¸ t02
¡t02
=
=U0T
cos(¡k!0 t02 ) + j sin(¡k!0t02 )¡ cos(k!0
t02 )¡ j sin(k!0
t02 )
¡jk!0=
=U02
2 sin(k!0t02 )
k!0=
U0t0T
sin(k!0t02 )
k!0t02
=S
TSa
μk!0
t02
¶
X31E
O2 - P
avel
Máša
X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 2
-
• Jak v případě zužování impulsu, tak prodlužování periody je obalovou křivkou funkce
• Čím větší je poměr periody T k šířce impulsu t0, tím více spektrálních čar padne do jedné periody funkce.
sin xx
sin xx
sin xx
sin xx
Zužování – konstantní T, zmenšování t0, k reprezentuje stále stejnou frekvenci(frekvenční) vzdálenost sousedních čar se nemění – funkce se rozšiřuje směrem k ∞sin x
xsin x
x
Rozšiřování – konstantní t0, T roste směrem k ∞, k reprezentuje stále nižší frekvence(frekvenční) vzdálenost sousedních čar klesá k 0 – funkce zůstává na místě, klesá aleamplituda!!!
sin xx
sin xx
X31E
O2 - P
avel
Máša
X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 2
-
Prodloužení periody k ∞
Původně diskrétní frekvence se stává spojitou
Amplituda frekvenčního spektra (původně jednotlivých harmonických) se blíží 0
Koeficienty (harmonické) musíme vynásobit periodou T (jinak → 0 !)
Přímá Fourierova transformace
T !1 ) !0 =2¼
T! 0; ¢!0 = !0 ! 0T !1 ) !0 =
2¼
T! 0; ¢!0 = !0 ! 0
PŘECHOD OD FOURIEROVY ŘADY K FOURIEROVĚ TRANSFORMACI
TAk =
Z T2
¡T2
f (t)e¡jk!0t dtT
2!1TAk =
Z T2
¡T2
f (t)e¡jk!0t dtT
2!1
F(j!) = limT!1
TAk = limT!1
Z T2
¡T2
f (t)e¡jk!0t dt =
Z 1¡1
f (t)e¡j!t dtF(j!) = limT!1
TAk = limT!1
Z T2
¡T2
f (t)e¡jk!0t dt =
Z 1¡1
f (t)e¡j!t dt
ff (t)g = F(j!) =Z +1¡1
f (t)e¡j!t dtff (t)g = F(j!) =Z +1¡1
f (t)e¡j!t dtX3
1EO2
- Pav
el Má
ša
X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 2
-
• Časový průběh je vyjádřen řadou
• Pokud T→ ∞, pak v této rovnici Zpětná Fourierova transformace
pokud je to možné, nepoužíváme přímo definiční integrál, ale snažíme se využít vlastností a známých obrazů ze slovníku
ZPĚTNÁ TRANSFORMACE
f (t) =
1Xk=¡1
(TAk)ejk!0t ¢ 1
T=
1Xk=¡1
(TAk)ejk!0t ¢ 12¼
!0
=
=1
2¼
1Xk=¡1
(TAk)ejk!0t ¢ !0 = j¢! = !0j =
1
2¼
1Xk=¡1
(TAk)ejk!0t¢!
f (t) =
1Xk=¡1
(TAk)ejk!0t ¢ 1
T=
1Xk=¡1
(TAk)ejk!0t ¢ 12¼
!0
=
=1
2¼
1Xk=¡1
(TAk)ejk!0t ¢ !0 = j¢! = !0j =
1
2¼
1Xk=¡1
(TAk)ejk!0t¢!
¢! ! d!;P!
R¢! ! d!;
P!
R
¡1 fF(j!)g = f (t) = 12¼
Z +1¡1
F(j!)ej!t d!¡1 fF(j!)g = f (t) = 12¼
Z +1¡1
F(j!)ej!t d!
X31E
O2 - P
avel
Máša
X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 2
-
Funkce musí splňovat Dirichletovy podmínky (Fourierovy řady !)
Funkce musí být absolutně integrovatelná
značně omezující podmínka, kdy transformace není použitelná ani na tak běžnou funkci, jakou je jednotkový skok (stejnosměrné napětí / proud)
Splňuje podmínku
PODMÍNKY EXISTENCE
Z 1¡1
jf(t)j dt < 1Z 1¡1
jf(t)j dt < 1
limt!§1
f (t) = 0limt!§1
f (t) = 0
Transformace je základním prostředkem pro popis frekvenčních vlastnostídiskrétních systémů (číslicové zpracování zvuku a obrazu – CD, SACD a DVDpřehrávače, domácí kina, …)
X31E
O2 - P
avel
Máša
X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 2
-
Transformace je prostředkem pro frekvenční analýzu frekvenčního spektračasových průběhů – tam, kde má funkce F(jω) maxima, jsou přítomnyv časovém průběhu frekvenční složky
u(t) = (sin(2¼t) + 2 sin(6¼t)) e¡¼t2
u(t) = (sin(2¼t) + 2 sin(6¼t)) e¡¼t2 Fourierův obraz
U(j!) =¡j2
e¡14
!2+12! ¼+36¼2
¼
¡2 e6 ! + e4 !+8 ¼ ¡ e2 !+8 ¼ ¡ 2
¢U(j!) =
¡j2
e¡14
!2+12! ¼+36¼2
¼
¡2 e6 ! + e4 !+8 ¼ ¡ e2 !+8 ¼ ¡ 2
¢Musí splňovat podmínky existence
jU(j!)jjU(j!)j
Funkce je „roztažená“má omezené frekvenční rozlišení
X31E
O2 - P
avel
Máša
X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 2
-
ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI
vlastnost vzor obraz
Linearita
Posunutí v originále
Posunutí v obraze (modulace)
Derivace
Integrál
Změna měřítka
Obraz exp. pulsu
f(t) = af1(t) + bf2(t) F(j!) = aF1(j!) + bF2(j!)
f(t) = f1(t¡ t0) F(j!) = F1(j!)e¡j!t0
f (t) = f1(t)ej!0t F(j!) = F1
¡j(! ¡ !0)
¢f (t) =
dnf1(t)
dtnF(j!) = (j!)n F1(j!)
F(j!) =dnF1(j!)
d(j!)nf (t) = (¡t)nf1(t)
f (t) =
Z t¡1
f1(t) dt F(j!) =F1(j!)
j!
f (t) = f1(at) F(j!) =1
jaj F1μ
j!
a
¶f (t) = e¡at F(j!) =
1
j! + a
X31E
O2 - P
avel
Máša
X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 2
-
00
PŘÍKLAD
Vypočítejte Fourierovu řadu obdélníkového průběhu na obrázku. Um = 2 V, T = 0.1 s, t0 = 0.025 s
Uk =1
T
Z t02
¡t02
Ume¡jk!0t dt =
UmT
·e¡jk!0t
¡jk!0
¸ t02
¡t02
=Umt0
T
sin(k!0t02 )
k!0t02
=2
k¼sin
k¼
4Uk =
1
T
Z t02
¡t02
Ume¡jk!0t dt =
UmT
·e¡jk!0t
¡jk!0
¸ t02
¡t02
=Umt0
T
sin(k!0t02 )
k!0t02
=2
k¼sin
k¼
4
-15 -10 -5 0 5 10 15-0.2
0
0.2
0.4
!0 =2¼
T=
2¼
0:1= 20¼ ) k = 16 ´ ! = 16¢20¼ := 1005:31 s¡1!0 =
2¼
T=
2¼
0:1= 20¼ ) k = 16 ´ ! = 16¢20¼ := 1005:31 s¡1
X31E
O2 - P
avel
Máša
X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 2
-
00
Vypočítejte Fourierovu transformaci obdélníkového průběhu na obrázku. Porovnejte s Fourierovou řadou vypočítanou výše.Um = 2 V, t0 = 0.025 s
-1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000-0.02
0
0.02
0.04
F(j!) =
Z t02
¡ t02Ume
¡j!t dt = Um
·e¡j!t
¡j!
¸ t02
¡ t02= Um
2 sin ! t02
!= Umt0
sin ! t02
! t02= 0:05
sin 0:0125!
0:0125!F(j!) =
Z t02
¡ t02Ume
¡j!t dt = Um
·e¡j!t
¡j!
¸ t02
¡ t02= Um
2 sin ! t02
!= Umt0
sin ! t02
! t02= 0:05
sin 0:0125!
0:0125!
-15 -10 -5 0 5 10 15-0.2
0
0.2
0.4
Amplituda u Fourierovy řady se mění s periodou!
řada
transformace
X31E
O2 - P
avel
Máša
X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 2
-
00
PŘÍKLAD 2
Najděte Fourierův obraz časového průběhu na obrázku.U1 = 1 V, U2 = 2V, t0 = 0.05 s
U1U1
U2U2
t0t0
• Časový průběh můžeme považovat za superpozici dvou průběhů– Obdelníka, Um = 1 V– Pily, Um = 1 V
Řešení pro obdélníkový průběh známe z minulého příkladu, ale musíme ho upravit – změnila se amplituda, doba t0 a průběh je posunut v čase
použitou vlastností je změna měřítka, a = 0.5 a posunutí v originále o -0.025 s
F1(j!) =1
2¢ 2 ¢ 0:05 sin 2 ¢ 0:0125!
2 ¢ 0:0125! ¢ e¡j!0:025 = 0:05
sin 0:025!
0:025!e¡j!0:025F1(j!) =
1
2¢ 2 ¢ 0:05 sin 2 ¢ 0:0125!
2 ¢ 0:0125! ¢ e¡j!0:025 = 0:05
sin 0:025!
0:025!e¡j!0:025
Změna amplitudy Změna časového měřítka posunutí
F2(j!) =
Z t00
Umt0
te¡j!t dt =
¯̄̄̄¯̄̄ u = t v
0= e¡j!t
u0= 1 v =
e¡j!t
¡j!
¯̄̄̄¯̄̄ = Um
t0
·te¡j!t
¡j! ¡e¡j!t
(¡j!)2
¸t00
=Umt0!2
¡e¡j!t0(1 + j!t0)¡ 1
¢F2(j!) =
Z t00
Umt0
te¡j!t dt =
¯̄̄̄¯̄̄ u = t v
0= e¡j!t
u0= 1 v =
e¡j!t
¡j!
¯̄̄̄¯̄̄ = Um
t0
·te¡j!t
¡j! ¡e¡j!t
(¡j!)2
¸t00
=Umt0!2
¡e¡j!t0(1 + j!t0)¡ 1
¢X3
1EO2
- Pav
el Má
ša
X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 2
-
Na rozdíl od pracných Fourierových řad (kde je nutno počítat s každou frekvenční složkou samostatně) můžeme hledat průběh výstupního napětí při neharmonickém buzení obdobně, jako v HUS1. Najdeme Fourierův obraz budícího impulsu
2. S využitím přenosu (stejný, jako v HUS), najdeme obraz výstupního napětí
3. Zpětnou Fourierovou transformací najdeme časový průběh
Z časových průběhů výstupního a vstupního napětí můžeme určit frekvenční vlastnosti obvodu1. Najdeme Fourierův obraz budícího impulsu
2. Najdeme Fourierův obraz výstupního napětí
3. Určíme přenos obvodu
POUŽITÍ V ELEKTRICKÝCH OBVODECH
x1(t) ! X1(j!)x1(t) ! X1(j!)
X2(j!) = P(j!)X1(j!)X2(j!) = P(j!)X1(j!)
X2(j!) ! x2(t)X2(j!) ! x2(t)
x1(t) ! X1(j!)x1(t) ! X1(j!)
x2(t) ! X2(j!)x2(t) ! X2(j!)
P(j!) =X2(j!)
X1(j!)P(j!) =
X2(j!)
X1(j!)
X31E
O2 - P
avel
Máša
X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 2
-
Integrační článek na obrázku je vybuzen obdélníkovým impulsem dle obrázku. Vypočítejte časový průběh výstupního napětí.
1.
2.
3.
Nyní již zbývá „pouze“ zpětná transformace…
1. Víme, že je obrazem integrálu
nejdříve najdeme funkci a tu následně zintegrujeme
2. Obraz je superpozicí obrazů dvou funkcí, představuje časové zpoždění t0
3.
4.
t0
0
Um
t
PŘÍKLAD
U1(j!) =
Z t00
Ume¡j!t dt = Um
·e¡j!t
¡j!
¸t00
=Um¡j!
£e¡j!t0 ¡ 1
¤U1(j!) =
Z t00
Ume¡j!t dt = Um
·e¡j!t
¡j!
¸t00
=Um¡j!
£e¡j!t0 ¡ 1
¤P(j!) =
1
1 + j!RCP(j!) =
1
1 + j!RC
U2(j!) =1
1 + j!RC¢ Um¡j!
£e¡j!t0 ¡ 1
¤U2(j!) =
1
1 + j!RC¢ Um¡j!
£e¡j!t0 ¡ 1
¤
1
j!
1
j!
½Z t0
u0
2(¿)d¿
¾=
1
j!¢ Um
1¡ e¡j!t01 + j!RC
½Z t0
u0
2(¿)d¿
¾=
1
j!¢ Um
1¡ e¡j!t01 + j!RC
u0
2(t)u0
2(t)
Um1¡ e¡j!t01 + j!RC
Um1¡ e¡j!t01 + j!RC
e¡j!t0e¡j!t0
¡1½
1
1 + j!RC
¾=
1
RCe¡
1RC t ) u02(t) =
UmRC
³e¡
1RC t ¢ 1(t) ¡ e¡ 1RC (t¡t0) ¢ 1(t¡ t0)
´¡1
½1
1 + j!RC
¾=
1
RCe¡
1RC t ) u02(t) =
UmRC
³e¡
1RC t ¢ 1(t) ¡ e¡ 1RC (t¡t0) ¢ 1(t¡ t0)
´Z t
0
u0
2(¿)d¿ =UmRC
μZ t0
e¡1
RC ¿d¿ ¡Z t
t0
e¡1
RC (¿¡t0)d¿
¶= Um
h(1¡ e tRC )1(t)¡ (1¡ e¡
t¡t0RC )1(t¡ t0)
iZ t0
u0
2(¿)d¿ =UmRC
μZ t0
e¡1
RC ¿d¿ ¡Z t
t0
e¡1
RC (¿¡t0)d¿
¶= Um
h(1¡ e tRC )1(t)¡ (1¡ e¡
t¡t0RC )1(t¡ t0)
iPozn. – jde to i lépe – Laplaceova transformace...
X31E
O2 - P
avel
Máša
X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 2
-
Na vstup obvodu jsme připojili zdroj s časovým průběhem
Na výstupu obvodu jsme naměřili časový průběh napětí
Najděte přenos obvodu. Navrhněte vhodné zapojení.
PŘÍKLAD
u1(t) = 10e¡500t Vu1(t) = 10e¡500t V
u2(t) = 6:¹6(e¡500t ¡ e¡2000t) Vu2(t) = 6:¹6(e¡500t ¡ e¡2000t) V
U1(j!) =10
j! + 500U1(j!) =
10
j! + 500
U2(j!) =6:¹6
j! + 500¡ 6:
¹6
j! + 2000=
6:¹6 ¢ 2000¡ 6:¹6 ¢ 500(j! + 500)(j! + 2000)
=10000
(j! + 500)(j! + 2000)U2(j!) =
6:¹6
j! + 500¡ 6:
¹6
j! + 2000=
6:¹6 ¢ 2000¡ 6:¹6 ¢ 500(j! + 500)(j! + 2000)
=10000
(j! + 500)(j! + 2000)
P(j!) =U2(j!)
U1(j!)=
10000(j!+500)(j!+2000)
10j!+500
=1000
j! + 2000P(j!) =
U2(j!)
U1(j!)=
10000(j!+500)(j!+2000)
10j!+500
=1000
j! + 2000
X31E
O2 - P
avel
Máša
X31EO2 - Pavel Máša - Přednáška 2
Fourierova transformaceSnímek číslo 2Fourierovy řady – Rozšiřování periodySnímek číslo 4Přechod od fourierovy řady k fourierově transformaciZpětná transformacePodmínky existenceSnímek číslo 8Základní vlastnostipříkladSnímek číslo 11Příklad 2Použití v elektrických obvodechpříkladpříklad
top related