fraktali - n. jovanović, a. vidić, a. aleksić, m.Đurić

FRAKTALIFRAKTALI

AutoriAutori:: JovanoviJovanoviĆĆ Nemanja Nemanja Vidic AleksandarVidic Aleksandar

Aleksic AleksandarAleksic Aleksandar DjuriDjuricc Matej Matej

Fraktal je geometrijski Fraktal je geometrijski oblik slioblik sliččan samom an samom sebi.To su slike nastale sebi.To su slike nastale ponovljenim ponovljenim matematimatematiččkim rakim raččunom ili unom ili geometrijskom geometrijskom konstrukcijom.konstrukcijom.

UveUveććavajuavajućći bilo koji i bilo koji njegov deo,dobijamo njegov deo,dobijamo celinu koja je po obliku I celinu koja je po obliku I strukturi slistrukturi sliččna polaznoj na polaznoj tj.osnovnoj celini.tj.osnovnoj celini.

ObliOblicci u prirodi su nepravilni , neravni,i nude iste te i u prirodi su nepravilni , neravni,i nude iste te nepravilnosti u razlinepravilnosti u različčitim razmerama.itim razmerama.

Fraktali su svuda oko nas ,u obliku stvari koje nas Fraktali su svuda oko nas ,u obliku stvari koje nas okruokružžuju,funkcijama koje opisuju jednostavnije I uju,funkcijama koje opisuju jednostavnije I kompleksnije sisteme i procese.kompleksnije sisteme i procese.

Oni nude mnogo bolje metode za opisivanje prirodnih Oni nude mnogo bolje metode za opisivanje prirodnih objekata.objekata.

ReRečč Fraktal uveo je prvi Fraktal uveo je prvi put Benoit Mandelbrot put Benoit Mandelbrot 1975 godine1975 godine..

Mandelbrotov skup je Mandelbrotov skup je ččuveni primer fraktala.On uveni primer fraktala.On ččini skup taini skup taččaka u aka u kompleksnoj ravni kompleksnoj ravni ččija ija granica formira fraktal.granica formira fraktal.

KLAsIFIKAcIjA FRAKTALAKLAsIFIKAcIjA FRAKTALA

Prema osnovnoj podeli razlikuju se:Prema osnovnoj podeli razlikuju se:

GeometrijskiGeometrijski

Algebarski iAlgebarski i

StohastiStohastiččni fraktalini fraktali

SVOJSTVA FRAKTALASVOJSTVA FRAKTALA

Fraktal Fraktal ččesto ima finu strukturu na proizvoljno malom esto ima finu strukturu na proizvoljno malom uveuveććanju.anju.

Sam je sebi sliSam je sebi sliččanan Neravan i nepravilanNeravan i nepravilan Njegovi delovi izgledaju kao on ceoNjegovi delovi izgledaju kao on ceo Zavistan je od poZavistan je od poččetnog stanjaetnog stanja Kompleksan jeKompleksan je

BOJA I OBLIKBOJA I OBLIK

Jedan od osnovnih Jedan od osnovnih elemenata fraktala je elemenata fraktala je dejstvo boje kao dejstvo boje kao frekvencija na prostor i na frekvencija na prostor i na ččovekaoveka. .

Crkve i katedrale su Crkve i katedrale su ukraukraššene vitraene vitražžima kako ima kako bi svetlost dobijala bi svetlost dobijala zeljene bojezeljene boje. .

FRAKTALI u ARhITeKTuRIFRAKTALI u ARhITeKTuRI

Isti obliIsti oblicci u razlii u različčitim razmerama sreitim razmerama srećću se i u u se i u arhitekturi.Pokazali su se kao konstrukcijski odrarhitekturi.Pokazali su se kao konstrukcijski održživi pa su ivi pa su tako nasli primenu u Baroknoj i Gotskoj arhitekturi.tako nasli primenu u Baroknoj i Gotskoj arhitekturi.

Fraktalna umetnostFraktalna umetnost

Fraktalna umetnost je vrsta digitalne umetnosti Fraktalna umetnost je vrsta digitalne umetnosti koja se smatra njenim medijem.koja se smatra njenim medijem.

Fraktalni objekti nisu nacrtani ili oFraktalni objekti nisu nacrtani ili osslikani rukom likani rukom ,ve,većć stvoreni pomo stvoreni pomoćću softvera koji se oslanja na u softvera koji se oslanja na matematimatematiččke prorake proraččune kako bi vizuelno une kako bi vizuelno prikazao objekteprikazao objekte..

U odnosu na stepen samosliU odnosu na stepen samosliččnostinosti fraktali mogu fraktali mogu biti:biti:

Potpuno samosliPotpuno samosliččni (fraktal koji je identini (fraktal koji je identiččan an samom sebi)samom sebi)

Skoro samosliSkoro samosliččni (fraktal deluje priblini (fraktal deluje približžno no identiidentiččan samom sebi) an samom sebi)

StatistiStatističčki samosliki samosliččni (najnizi nivo samoslini (najnizi nivo samosliččnosti)nosti)

Organi u ljudskom telu Organi u ljudskom telu imaju fraktalnu strukturu imaju fraktalnu strukturu (alveokapilarna (alveokapilarna membrana u membrana u plupluććima,mreima,mrežža neurona a neurona ,,žžuuččni kanalini kanalićći …)i …)

Poznati FraktaliPoznati Fraktali

Pitagorino stabloPitagorino stablo Sierpinskijev trougaoSierpinskijev trougao KKantorov skupantorov skup Julijin skupJulijin skup Kohova pahuljaKohova pahulja

Kad je reKad je rečč o Pitagorinom o Pitagorinom stablu,svakako se u igri stablu,svakako se u igri nalazi pravougaoni nalazi pravougaoni trougao.trougao.

Konstrukcija ovog fraktala Konstrukcija ovog fraktala polazi od kvadrata ,zatim polazi od kvadrata ,zatim se nad jednom stranicom se nad jednom stranicom kvadrata konstruikvadrata konstruišše e krukružžni luk i tani luk i taččka na ka na njemu.njemu.

Kohova pahulja je jedna od prvih opisanih fraktalnih Kohova pahulja je jedna od prvih opisanih fraktalnih krivi.krivi.

Razlika izmeRazlika izmedjdju krive i pahulje je u tome u krive i pahulje je u tome ššto se kod krive to se kod krive popoččinje sa duinje sa dužžinom,a kod pahulje sa jednakostraniinom,a kod pahulje sa jednakostraniččnim nim trouglom.trouglom.

a fraktalna

                                    .

PoPoššto je duto je dužžina Kohove krive beskonaina Kohove krive beskonaččna,i duna,i dužžina ina Kohove pahulje je beskonaKohove pahulje je beskonaččna,ali je njena povrna,ali je njena površšina ina konakonaččnana..

Jednostavnom podelom trougla vidimo da ce manji Jednostavnom podelom trougla vidimo da ce manji trougao u sledetrougao u sledeććoj interaciji imati devet puta manju oj interaciji imati devet puta manju povrpovrššinu(1/3),u sledeinu(1/3),u sledeććoj imamo 12 trouglova ukupne oj imamo 12 trouglova ukupne povrpovrššine 4/27,sledeine 4/27,sledećća je 16/243 ….a je 16/243 ….

Prva interacijaPrva interacija Druga interacijaDruga interacija TreTrećća interacijaa interacija ČČetvrta interacijaetvrta interacija

Waclaw Sierpinski je bio Waclaw Sierpinski je bio poljski matematipoljski matematiččar,a u ar,a u svetu fraktala poznat je po svetu fraktala poznat je po svom trouglu.svom trouglu.

Konstrukcija je Konstrukcija je jednostavna,radi se o jednostavna,radi se o “izbacivanju”trougla “izbacivanju”trougla ččije ije vrhove vrhove ččine polovine ine polovine popoččetnog trougla.Postupak etnog trougla.Postupak se zatim ponavlja na se zatim ponavlja na novodobijenim trouglima.novodobijenim trouglima.

KKantrov skup je skup antrov skup je skup odvojenih taodvojenih taččaka aka dudužžine koje se dobije ine koje se dobije konstantnim konstantnim izbacivanjem srednje izbacivanjem srednje tretreććine svih preostalih ine svih preostalih segmenata.segmenata.

PrePreddstavio ga je stavio ga je nemanemaččki matematiki matematiččar ar Georg Georg KKantor 1883 antor 1883 godine.godine.

… … oblaci nisu sferaoblaci nisu sfera planine nisu konusi,planine nisu konusi, razudjene obale nisu krugovirazudjene obale nisu krugovi kora drveta nije glatka… kora drveta nije glatka…

MandelbrotMandelbrot

HVALA NA PAZNJIHVALA NA PAZNJI