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Fred Tavares NÚMEROS COMPLEXOS

X2 + 4 = 0

números

COMPLEXOSx2 + 5 = 0

x2 + 5x +8 = 0

NÚMEROS COMPLEXOS

Fred Tavares

Os números Complexos constituem o maior conjunto numérico existente.

N: conjunto dos números Naturais Z: conjunto dos números Inteiros Q: conjunto dos números Racionais I: conjunto dos números Irracionais R: conjunto dos números Reais C: conjunto dos números Complexos

NÚMEROS COMPLEXOS

Fred Tavares

Os números Complexos constituem o maior conjunto numérico existente.

Os números complexos são escritos na sua forma algébrica da seguinte forma:

a + bi, sabemos que a e b são números reais e que o valor de

a é a parte real do número complexo e que o valor de

bi é a parte imaginária do número complexo.

Podemos então dizer que um número complexo z será igual a a + bi (z = a + bi).

Com esses números podemos efetuar as operações de adição, subtração e

multiplicação, obedecendo à ordem e características da parte real e parte

imaginária.

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OBSERVAÇÕES

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i2 = -1i = imaginárioRe = realIm = imaginário

IDENTIFICANDO

Veja alguns exemplos de como identificar a parte real e a parte imaginária de um número complexo:

z = - 3 + 5i z = -5 + 10i

z = 1/2 + (1/3)i

Re(z) = -3 Re(z) = -5 Re(z) = 1/2

Im(z) = 5 Im(z) = 10 Im(z) = 1/3

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As coordenadas a e b podem assumir qualquervalor real, dependendo do valor que eles assumirem o número

complexo

irá receber um nome diferente:

Quando a e b forem diferentes de zero dizemos que o número

complexo é imaginário:

Quando o valor de a é igual a zero e o de b é diferente de zero dizemos que o número complexo

é imaginário puro:

Quando a diferente de zero e b igual a zero dizemos que o número complexo

será real.

z = 3 + 8i z = 0 + 9i z = 9i

z = 7 – 0i z = 7

É comum vir em provas de vestibular.

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Exemplos:

Determine o valor de m para que z =(m-2) + 5i, seja:

Número Real Para que o complexo seja um número real devemos fazer b = 0 e a ≠ 0. m – 2 ≠ 0 então: m ≠ 2

Imaginário puroPara que um número complexo seja imaginário puro

a = 0 e b ≠ 0, então podemos dizer que: m – 2 = 0 então: m = 2

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Adição

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao adicionarmos

teremos:

z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Portanto, z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i.

RESUMINDO:

REAL COM REAL – IMAGINÁRIO COM IMAGINÁRIO

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Adição

Exemplo: Dado dois números complexos

z1 = 6 + 5i e z2 = 2 – i, calcule a sua soma:

z1 + z2 = (6 + 5i) + (2 – i) = 6 + 2 + 5i – i = 8 + (5 – 1)i =

8 + 4i

Portanto, z1 + z2 = 8 + 4i.

NÚMEROS COMPLEXOS

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Subtração

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao adicionarmos

teremos:

z1 - z2 = (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

Portanto, z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i.

RESUMINDO:

REAL COM REAL – IMAGINÁRIO COM IMAGINÁRIO

NÚMEROS COMPLEXOS

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Subtração

Exemplo: Dado dois números complexos

z1 = 6 + 5i e z2 = 2 – i, calcule a sua soma:

z1 - z2 = (6 + 5i) - (2 – i) = 6 - 2 + 5i + i =

4 + (5 + 1)i =4 + 6i

Portanto, z1 - z2 = 4 + 6i .

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Multiplicação

Dado dois números complexos quaisquer z1 = a + bi e z2 = c + di, ao multiplicarmos

teremos:

z1 . z2 = (a + bi) . (c + di) (regra do chuveirinho)

ac + adi + bci + bdi2 = ac + adi + bci + bd (-1)

ac + adi + bci – bd = ac - bd + adi + bci

(ac - bd) + (ad + bc)i (agrupar termos semelhantes)

Portanto, z1 . z2 = (ac + bd) + (ad + bc)i.

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Exemplo: SEMPRE PRESTAR ATENÇÃO NO i2

Dado dois números complexos z1 = 5 + i e z2 = 2 - i, calcule a sua

multiplicação:

(5 + i) . (2 - i) 5 . 2 – 5i + 2i – i2

10 – 5i + 2i – (-1) 10 + 1 – 5i + 2i

11 – 3i

Portanto, z1 . z2 = 11 – 3i.

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A letra i acompanha a parte imaginária e dependo do valor de sua potência ela irá assumir um valor que irá facilitar vários cálculos.

Potência i

i 0 = 1, pois todo número ou letra elevando à zero é

um.

i 4 = i2 . i2 = -1 . (-1) = 1

i 1 = i, pois todo número elevado a 1 é

ele mesmo.

i 5 = i4 . i = 1 . i = i

i 2 = -1 i 6 = i4 . i2 = 1 . (-1) = -1.

i 3 = i2 . i = -1 . i = - i i 7 = i4 . i3 = 1 . (-i) = - i.

E assim por diante.

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RESUMINDO:

AS POTÊNCIAS SEMPRE SE

REPETEM DE 4 EM 4.

Qualquer potência maior que 4,basta dividir por 4 e pegar o resto.

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Para descobrir, por exemplo, qual era o valor

da potência i243, basta dividirmos 243 por 4,

o resto será 3 então i243 será o mesmo que i3,

portanto i243 = i3 = - i.

Potência i

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Forma algébrica

Os números complexos são formados por um par ordenado (a, b) onde os valores de a estão situados no eixo x (abscissa) e os valores de b no eixo y (ordenadas). Sobre o eixo x marcamos os pontos relacionados à parte real do número complexo e sobre o eixo y os pontos relacionados à parte imaginária.

y

x

P

Z = a + bi

a

b

Oposto, conjugado

Oposto ( Basta multiplicar por -1)O oposto de qualquer número real é o seu simétrico, o oposto de 10 é -10, o oposto de -5 é +5. O oposto de um número complexo respeita essa mesma condição, pois o oposto do número complexo z será – z.

Por exemplo: Dado o número complexo

z = 8 – 6i, o seu oposto será: - z = - 8 + 6i.

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Oposto, conjugado

Conjugado

( Basta mudar o sinal da parte imaginária)

Para determinarmos o conjugado de um número complexo, basta representar o número complexo através do oposto da parte imaginária.

O conjugado de z = a + bi será z = a - bi

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Eu Sei Que Vou ESTUDAR

by Fred e Tavares

Eu sei que vou ESTUDARPor toda a minha vida eu vou ESTUDAREm cada NOTA BAIXA eu vou APANHARDesesperadamente, eu sei que vou CHORARE cada ERRO meu seráPrá ME LEMBRAR que eu sei que DEVO ESTUDARPor toda minha vidaEu sei que vou MELHORARA cada NOTA BOA eu vou GRITARMas cada NOTA BAIXA há de LEMBRARO que esta CHINELADA me causouEu sei que vou sofrer a eterna desventura de viverA espera de ESTUDAR ao lado teuPROFESSOR da minha vida