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1. Resolvamos los Sigts. Ejercicios sobre fracciones.

FRACCIONES

Escribir las fracciones:

A

C

B

Escribir las fracciones:

36

816

612

A

C

B

12

28

13

68

88

Colorear las fracciones:

12

28

13

68

88

Une cada fracción con su dibujo:

46

26

612

1218

Une cada fracción con su dibujo:

46

26

612

1218

Une cada fracción con su dibujo:

810

45

410

48

Une cada fracción con su dibujo:

810

45

410

48

2. Aplicaciones de áreas y volúmenes.

1. Calcula el área lateral, el área total y el volumen de un prisma cuya base es un rombo de diagonales 12 y 18 cm.

2. Calcula el área lateral, total y el volumen de una pirámide cuadrangular de 10 cm de arista básica y 12 cm de altura.

5. Calcular el área y el volumen de una esfera inscrita en un cilindro de 2 m de altura.

6. Calcular el área lateral, el área total y el volumen de un tronco de cono de radios 6 y 2 cm, y de altura 10 cm.

Ángulos de elevación y de depresiónLos ángulos de elevación y de depresión, son los que se forman por la línea visual y la línea horizontal.

Se llama línea visual (o de visión) a la recta imaginaria que une el ojo de un observador con el lugar observado.

A

B

línea visual

En la imagen, A observa a B

3.Resolución de Triángulos Rectángulos.

Llamamos ángulo de elevación al que forman la horizontal del observador y el lugar observado, cuando éste está situado arriba del observador.

• Ángulo de elevación

a: ángulo de elevación

H : horizontal del observador

En la imagen, A observa a B.

A

B

línea visual

Ha

Cuando el observador está más alto lo llamaremos ángulo de depresión.

• Ángulo de depresión

En la imagen, el observador ahora está en la torre, hablaremos entonces de un ángulo de depresión.

b: ángulo de depresión H : horizontal del observador

En la imagen B observa a A.

A

B

línea visual

Hb

Ejemplo:

1. Una piedra que está en el suelo se encuentra a 20 metros de un árbol con un ángulo de elevación de

60°. ¿Cuál es la altura del árbol?

Solución:

El árbol es perpendicular al suelo, entonces su dibujo es:

20 m

h

60°

Los datos corresponden a los catetos del triángulo rectángulo y la función trigonométrica que los relaciona es la tangente, entonces:

tg a cateto opuesto

cateto adyacente=

tg 60° h

20=

Pero la tg 60°= 3

Por lo tanto, la altura del árbol es 20 m3

h

20=3

3 = h2020 m

h

60°

2. Una persona se encuentra en la parte superior de un faro de 30 metros de altura y observa un gato que se encuentra en el techo de una casa de 5 metros de altura, con un ángulo de depresión de 30º.

¿Cuál es la distancia entre el gato y la persona?

Los datos que se tienen corresponden al cateto opuesto y a la hipotenusa, del triángulo rectángulo formado. La función trigonométrica que los relaciona es el seno, entonces:

sen a = cateto opuestohipotenusa

Como sen 30° = 12

= 25x

12

x = 50

sen 30° = 25x

30°

30°30

5

25

x

Calcular la medida del ángulo “x”

B

A

X P130º

Resolución

4. La circunferencia Problema de aplicación

RESOLUCIÓN

B

A

X P130º C

Medida del ángulo inscrito:

En la circunferencia:

260º

Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes:

X = 80º

2

mABº130 mAB = 260º

mACB = 100º

mACB + x = 100º

260º + mACB = 360º

Pendiente de la recta secante = ( ) ( )f x h f x

h

5. Explicación a la derivada de las funciones

PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE

Es posible calcular la pendiente de la recta tangente,así:

Aproximamos la recta secante hacia la recta tangentey se observa en este proceso que h tiende a cero, veamos las siguientes gráficas:

De tal manera que usando el concepto de límitecuando h tiende a cero obtenemos:

Pendiente de la recta tangente

0

( ) ( )limh

f x h f x

h

= Derivada de f(x)