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Função do 2º grau
RANILDO LOPES
Definição
Pra que uma função seja considerada do 2º grau, ela terá que assumir certas características, como:
Toda função do 2º grau deve ser dos reais para os reais, definida pela fórmula: f(x) = ax2 + bx + c, sendo:
a deve pertencer ao conjunto dos reais menos o zero.
b e c deve pertencer ao conjunto dos reais.
Então, podemos dizer que a definição de função do 2º grau é:
• f: R→ R definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a pertencendo aos R*, e b e cpertencendo aos R.
Exemplo
Veja alguns exemplos de função do 2º grau:
122 xxxf
1
2
1
c
b
a
xxxf 22 2
0
2
2
c
b
a
2xxf
0
0
1
c
b
a
2
53 2
xxxf
2
5
2
1
2
3
c
b
a
cbxaxxf 2
Domínio e contradomínio
A função do 2º grau f(x) = x2 + 2x - 1 pode ser representada por y = x2 + 2x - 1.
Para acharmos o seu domínio e contradomínio, devemos em primeiro estipular valores para x.
Vamos dizer que x = -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2.
122 xxxf
132332
f
1693 f
23 f
122 xxxf
122222
f
1442 f
12 f
122 xxxf
112112
f
1211 f
21 f
122 xxxf
102002
f
1000 f
10 f
122 xxxf
112112
f
1211 f
21 f
122 xxxf
122222
f
1442 f
72 f
Raízes de uma equação do 2º grau
Formula de Bhaskara
a
bx
2
cbxaxxf 2 2 raízes !
acb 42
a
bx
a
bx
x
2
2
"
'
Exemplo
2x² + 7x + 5 = 0
5
7
2
c
b
aacb 42
52472
4049
9
a
bx
2
a
bx
2
'
2.2
97
4
37
4
4 1' x
a
bx
2
''
2.2
97
4
37
4
10
2
5" x
Exemplo
3x² + x - 2 = 0
2
1
3
c
b
aacb 42
23412
241a
bx
2
a
bx
2
'
3.2
251
6
51
6
4 3
2' x
a
bx
2
''
3.2
251
6
51
6
6 1" x
Equações do 2º grau incompletas
4x² = 0
Tem duas raízes nulas.
4x² - 8 = 0
Tem duas raízes:
4x² + 5 = 0
Não tem raízes reais.
4x² - 12x = 0
Tem duas raízes reais: x’ = 3, x” = 0
22 "' xex
Gráfico de uma função do 2º grau
O gráfico da função definida de em por:
f(x) = ax2 + bx +c (a ≠ 0)
É uma curva chamada parábola.
Dependendo do sinal do coeficiente a
a > 0 concavidade voltada para cima.
a < 0 concavidade voltada para baixo
A parábola possui um eixo de simetria, que a intercepta num ponto chamado vértice.
Observações
Você já sabe que o gráfico de uma função qualquer corta o eixo Ox nas raízes da função.
Desse modo, dependendo do discriminante Δ, há três situações possíveis:
Δ > 0 A parábola corta o eixo Ox em dois pontos.
Δ = 0 A parábola tangencia o eixo Ox.
Δ < 0 A parábola não corta o eixo Ox.
Observações
Levando em conta o sinal do coeficiente a e o discriminante Δ, são estas as possibilidades para o gráfico da função de 2º grau:
Pontos notáveis
Para construir o gráfico da função de 2º grau, é importante você determinar alguns pontos da parábola.
Calcule as raízes, se existirem.
Determine as coordenadas do vértice, as quais são calculadas por:
Lembre-se de que o gráfico corta o eixo Oy na imagem de 0, isto é, f(0). A ordem desse ponto é o coeficiente c.
f(x) = ax2 + bx + c → f(0) = c
aYe
a
bX vv
42
aYe
a
bX vv
42
a
bx
2
acb 42
Máximos e mínimos
Toda função de 2º grau assume ou um valor máximo, ou um valor mínimo, dependendo do sinal do coeficiente a.
Graficamente, o ponto que representa o máximo ou o mínimo da função de 2º grau é o vértice da parábola.
Sendo f(x) = ax2 +bx + c, a ≠ 0 Vamos denotar o valor máximo de f(x) por f(x)máx
Valor mínimo por f(x)min.
Exercícios
1) Resolver as equações e esboçar os gráficos:
x² + 6x + 9 = 0
3x² - x + 3 = 0
2x² - 2x - 12 = 0
3x² - 10x + 3 = 0
2) Análise do máximo ou mínimo de funções de 2º grau:
f(x) = 2x2 – 8x + 3
f(x) = - x2 – 6x + 11
3) Resolva a equação abaixo e esboçe seu gráfico:
x2 – 2x +1 =(3x - 5)(4 - x)
4) Dada a função y = 2x2 + 3x - 2. Determine as coordenadas do vértice e diga se o vértice é máximo ou mínimo da função.
5) Com relação à função f(x) = 3x2 – 5x + m2 – 9, sabe-se que f(0) = 0. Calcule o valor de m.
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