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FUNCIONES
FUNCIONES – FUNCION LINEAL Actividad 35. Página 110 y 111.Para cada una de las funciones que sigue se pide:a. Graficar. Indica Im f.b. Determinar y clasificar intervalos de monotonía (gráficamente)c. Estudiar la existencia de simetrías (gráficamente). Si existe, clasificar la función. d. Estudiar la existencia de inversa. Si existe dar dominio, codominio y ley de la misma. Graficar y analizar si
conserva las propiedades de la función de partida.
i. 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙ii. 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 ; 𝑫𝒇 = [−𝟐; 𝟐]iii. 𝒇 𝒙 = −𝟐𝒙iv. 𝒇 𝒙 = −𝟐𝒙 + 𝟒v. 𝒇 𝒙 = −𝟐𝒙 + 𝟒 ; 𝑫𝒇 = 𝕽+
vi. 𝒇 𝒙 =|𝒙|
𝒙
vii. 𝒇 𝒙 = ቊ𝒙 + 𝟐, 𝒙 ∈ 𝟎, 𝟒
−𝒙 + 𝟐, 𝒙 ∈ [−𝟒, 𝟎)
viii.𝒇 𝒙 = ቐ𝒙 + 𝟐, 𝒙 ∈ 𝟎, 𝟒
𝟏, 𝒙 = 𝟎𝒙, 𝒙 ∈ [−𝟒, 𝟎)
ix.𝒇 𝒙 = ቐ𝒙 + 𝟐, 𝒙 ∈ (𝟎, 𝟒]
𝟎, 𝒙 = 𝟎𝒙 − 𝟐, 𝒙 ∈ [−𝟒, 𝟎)
x. 𝒇 𝒙 = ቐ𝒙 + 𝟐, 𝒙 ∈ (𝟎, 𝟒]
𝟎, 𝒙 = 𝟎𝟐, 𝒙 ∈ [−𝟒, 𝟎)
𝒉𝒎 > 𝟎
𝒎: PENDIENTE DE LA RECTA
𝒉: ORDENADA AL ORIGEN
𝒇(𝒙) = 𝒎𝒙 + 𝒉
FUNCIONESREPASO MONOTONÍA
FUNCIÓN LINEAL CRECIENTE ESTRICTA
PENDIENTE DE LA RECTA POSITIVA
FUNCIÓN LINEAL DECRECIENTEESTRICTA𝒎 < 𝟎
𝒉
PENDIENTE DE LA RECTA NEGATIVA
𝒇
FUNCIÓN LINEAL
FUNCIÓN LINEAL CONSTANTE𝒎 = 𝟎
PENDIENTE DE LA RECTA CONSTANTE𝒇
𝒉
𝒇
∀𝒙𝟏, 𝒙𝟐 ∈ 𝑫𝒇 / 𝒙𝟏< 𝒙𝟐 ⇒ 𝒇 𝒙𝟏 < 𝒇(𝒙𝟐)
∀𝒙𝟏, 𝒙𝟐 ∈ 𝑫𝒇 / 𝒙𝟏< 𝒙𝟐 ⇒ 𝒇 𝒙𝟏 > 𝒇(𝒙𝟐)
𝒙𝟐𝒙𝟏
𝒇(𝒙𝟐)
𝒇 𝒙𝟏
𝒙𝟐𝒙𝟏
𝒇(𝒙𝟐)
𝒇 𝒙𝟏
∀ 𝒙𝟏≠ 𝒙𝟐 ∈ 𝑫𝒇 ⇒ 𝒇 𝒙𝟏 = 𝒇 𝒙𝟐 = 𝒉
FUNCIONES
i) a) b) Intervalos de monotonías de 𝒇:
c) Simetrías:
d) Existencia de inversa de 𝒇 :𝒇
𝒈
𝑫𝒇 =
𝑰𝒎𝒇 =𝑪𝒇 =
Gráfica
Sea 𝒈 𝒙 =𝒙
𝟐la Inversa de 𝒇 entonces:
• 𝒇 es inyectiva∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐷𝑓; 𝑥1𝑥2 ⇒ 𝑓 𝑥1 𝑓(𝑥2)
Es decir, si trazamos líneas horizontales en la grafica de f, estas líneas cortan a f solamente en un punto.
• 𝒇 es suryectiva 𝑰𝒎𝒇 = C 𝒇
Entonces 𝒇 es Biyectiva ⇒ 𝒇 admite inversa
𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙
∴ 𝒈 conserva las propiedades de 𝒇
𝑓 es Creciente estricta en su dominio, la pendiente es 2 y es positiva.
𝑓 es simétrica con respecto al origen de coordenadas 𝒇 es IMPAR −𝒙 = −𝒇 𝒙 ; 𝔁 𝑫𝒇
- 𝒈 es estrictamente creciente- 𝒈 es impar
𝑫𝒈= 𝑪𝒇 =𝑪𝒈 =𝑫𝒇 =
Ejercicio 35
𝒎 = 𝟐 ; 𝒉 = 𝟎La recta pasa por el origen
x
x
x
x
𝒇 es simétrica a 𝒈 con respecto a la recta 𝒚 = 𝒙
Ley de 𝒈: 𝒈 (y)=x (𝒙)=y𝒈 (y)= x 𝟐𝒙 =y𝒈 (y)= x 𝒙= y/2
𝒈(y)= y/2intercambiamos x por y para graficar
𝒈(𝒙)=𝒙/𝟐
FUNCIONES
ii) a)
𝒇
𝑫𝒇 =[−2 ; 2]𝑰𝒎𝒇 =[−4 ; 4]𝑪𝒇 =
𝒇 es inyectiva 𝒇 no es suryectiva 𝑰𝒎𝒇 C𝒇
Entonces 𝒇 no es Biyectiva ⇒ 𝒇 no admite inversa
𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙
No existe la Inversa de 𝒇
Ejercicio 35
b) Intervalos de monotonías de 𝒇:
c) Simetrías:
d) Existencia de inversa de 𝒇 :
𝑓 es Creciente estricta en su dominio, la pendiente es 2 y es positiva.
𝑓 es simétrica con respecto al origen de coordenadas 𝒇 es IMPAR −𝒙 = −𝒇 𝒙 ; 𝔁 𝑫𝒇
𝒎 = 𝟐 ; 𝒉 = 𝟎La recta pasa por el origen
Gráfica
Si 𝑰𝒎𝒇 = C𝒇 ⇒ 𝒇 es Biyectiva ⇒ 𝒇 admite inversa
Sea 𝒈 𝒙 =𝒙
𝟐la Inversa de 𝒇 Ídem i)
𝒈
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
𝑫𝒈= 𝑪𝒇 =[−4 ; 4]𝑪𝒈 =𝑫𝒇 =[−2 ; 2]
- 𝒈 es estrictamente creciente- 𝒈 es impar ∴ 𝒈 conserva las propiedades de 𝒇
FUNCIONES
iii) a)
𝒇
𝒈
Sea 𝒈 𝒙 = −𝒙
𝟐la Inversa de 𝒇 ⇒
𝒇 es inyectiva 𝒇 es suryectiva ⇒ 𝒇 es Biyectiva ⇒ 𝒇 admite inversa
𝒇 𝒙 = −𝟐𝒙
𝑫𝒈= 𝑪𝒇 =𝑪𝒈 =𝑫𝒇 =
𝑔 conserva las propiedades de 𝑓- 𝒈 es estrictamente creciente- 𝒈 es impar
Ejercicio 35
b) Intervalos de monotonías de 𝒇:
c) Simetrías:
d) Existencia de inversa de 𝒇 :
𝑓 es Decreciente estricta en su dominio, la pendiente es -2 y es negativa.
𝑓 es simétrica con respecto al origen de coordenadas 𝒇 es IMPAR −𝒙 = −𝒇 𝒙 ; 𝔁 𝑫𝒇
𝑫𝒇 =𝑰𝒎𝒇 =𝑪𝒇 =
𝒎 = −𝟐 ; 𝒉 = 𝟎La recta pasa por el origen
Gráfica
𝒇 es simétrica a 𝒈 con respecto a la recta 𝒚 = 𝒙
Ley de 𝒈: 𝒈 (y)=x (𝐱)=y𝒈 (y)=x −𝟐𝐱 =y𝒈 (y)=x x= -y/2
𝒈(y)= -y/2
𝒈(𝒙)=-𝒙/𝟐
intercambiamos x por y para graficar
FUNCIONES
iv) a)
𝒇
𝒈
Sea 𝒈 𝒙 = 𝟐 −𝒙
𝟐la Inversa de 𝒇 ⇒
𝒇 es inyectiva 𝒇 es suryectiva ⇒ 𝒇 es Biyectiva ⇒ 𝒇 admite inversa
𝒇 𝒙 = −𝟐𝒙 + 𝟒
𝑔 conserva las propiedades de 𝑓
𝑓 no tiene simetrías, no tiene paridad
𝑫𝒈= 𝑪𝒇 =𝑪𝒈 =𝑫𝒇 =
- g es Decreciente estricta- g no tiene simetrías
Ejercicio 35
𝑫𝒇 =𝑰𝒎𝒇 =𝑪𝒇 =
𝒎 = −𝟐 ; 𝒉 =4Los puntos (𝟎, 𝟒) 𝒚 (𝟐, 𝟎) ∈ 𝑮𝒇
Gráfica
b) Intervalos de monotonías de 𝒇:
c) Simetrías:
d) Existencia de inversa de 𝒇 :
𝑓 es Decreciente estricta en su dominio, la pendiente es -2 y es negativa.
𝒇 es simétrica a 𝒈 con respecto a la recta 𝒚 = 𝒙
Ley de 𝒈: 𝒈 (y)=x (𝒙)=y𝒈 (y)= x −𝟐𝒙 + 𝟒 =y𝒈 (y)= x 𝒙= (-y+4)/2𝒈 (y)=x 𝒙= 2-(y/2)
𝒈(y)= 2-(y/2)
𝒈(𝒙)=2 –(𝒙/𝟐)
intercambiamos x por y para graficar
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
FUNCIONES
𝒇
𝒇 𝒙 = −𝟐𝒙 + 𝟒
𝑫𝒇= +
𝑰𝒎𝒇 = ( −∞;𝟒)𝑪𝒇 =
Ejercicio 35
Gráfica
𝒎 = −𝟐 ; 𝒉 =4Los puntos (𝟎, 𝟒) 𝒚 (𝟐, 𝟎) ∈ 𝑮𝒇
v) a) b) Intervalos de monotonías de 𝒇:
c) Simetrías:
d) Existencia de inversa de 𝒇 :
𝑓 es Decreciente estricta en su dominio, la pendiente es -2 y es negativa.
𝑓 no tiene simetrías, no tiene paridad
Si 𝑰𝒎𝒇 = C𝒇 ⇒ 𝒇 es Biyectiva ⇒ 𝒇 admite inversa
Sea 𝒈 𝒙 = 𝟐 −𝒙
𝟐la Inversa de 𝒇 Ley de 𝒈: 𝒈 (y)=x (𝒙)=y
𝒈 (y)=x −𝟐𝒙 + 𝟒 =y𝒈 (y)=x 𝒙= (-y+4)/2𝒈 (y)=x 𝒙= 2-(y/2)
𝒈(y)= 2-(y/2)
𝒈(𝒙)=2 –(𝒙/𝟐)
∴ 𝒈 conserva las propiedades de 𝒇
𝑫𝒈= 𝑪𝒇 =( − ∞; 𝟒)𝑪𝒈 = 𝑫𝒇 = +
𝒈
𝒇 es inyectiva 𝒇 no es suryectiva 𝑰𝒎𝒇 C𝒇
Entonces 𝒇 no es Biyectiva ⇒ 𝒇 no admite inversa
No existe la Inversa de 𝒇
intercambiamos x por y para graficar
FUNCIONES
vi) a)
𝒇 𝒙 =𝒙
𝒙= ቐ
𝟏 𝒔𝒊 𝒙 > 𝟎
−𝟏 𝒔𝒊 𝒙 < 𝟎
𝑓 es constante por secciones
𝑓 es simétrica con respecto al eje 𝑦𝒇 es IMPAR −𝒙 = −𝒇 𝒙 ; 𝔁 𝑫𝒇
𝑫𝒇 =− 𝟎𝑰𝒎𝒇= −1; 1𝑪𝒇 =
𝑓(𝑥) = 1 cuando 𝑥 ∈ (0 ; +∞)𝑓 𝑥 = −1 cuando 𝑥 ∈ (−∞ ;0)
𝒙𝟐𝒙𝟏
𝒇 𝒙𝟏 = 𝒇(𝒙𝟐)
Ejercicio 35
b) Intervalos de monotonías de 𝒇:
c) Simetrías:
d) Existencia de inversa de 𝒇 :
Gráfica
𝒇 no es inyectivaSean 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐷𝑓: 𝒙𝟏 ≠ 𝒙𝟐 resulta 𝒇 𝒙𝟏 = 𝒇 𝒙𝟐Es decir, si trazamos líneas horizontales en la grafica de f, estas líneas cortan a f en más de un punto𝒇 no es suryectiva 𝑰𝒎𝒇 C𝒇
x x
Entonces 𝒇 NO es Biyectiva ⇒ 𝒇 NO admite inversa
No existe la Inversa de 𝒇
FUNCIONES
vii) a)
𝒇
𝒇 𝒙 = ቐ𝒙 + 𝟐 𝒙 ∈ [𝟎 ; 𝟒]
−𝒙 + 𝟐 𝒙 ∈ [−𝟒 ; 𝟎)
𝑫𝒇 =[−𝟒 ;𝟒]𝑰𝒎𝒇=[𝟐; 𝟔]𝑪𝒇 =
𝑓 es Estrictamente Decreciente en −𝟒 ; 𝟎𝑓 es Estrictamente Creciente en [𝟎 ; 𝟒]
Entonces 𝒇 NO es Biyectiva ⇒ 𝒇 NO admite inversa
𝒇 no es inyectivaSean 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐷𝑓: 𝒙𝟏 ≠ 𝒙𝟐 resulta 𝒇 𝒙𝟏 = 𝒇 𝒙𝟐Es decir, si trazamos líneas horizontales en la grafica de f, estas líneas cortan a f en más de un punto𝒇 no es suryectiva𝑰𝒎𝒇 C𝒇
Ejercicio 35
𝒙𝟐𝒙𝟏
b) Intervalos de monotonías de 𝒇:
c) Simetrías:
d) Existencia de inversa de 𝒇 :𝒇 𝒙𝟏 = 𝒇(𝒙𝟐)
𝒎 = 𝟏 si 𝒙 ∈ [𝟎 ; 𝟒] ; 𝒎 = −𝟏 si 𝒙 ∈ [−𝟒 ; 𝟎)
𝒉 = 𝟐 𝑓 es simétrica con respecto al eje 𝑦𝒇 es PAR −𝒙 = 𝒙 ; 𝔁 𝑫𝒇Gráfica
𝒇 es monótona por secciones
xx
No existe la Inversa de 𝒇
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
FUNCIONES
viii) a)
𝒇
𝒇 𝒙 = ቐ𝒙 + 𝟐 𝒙 ∈ (𝟎 ; 𝟒]𝟏 𝒙 = 𝟎𝒙 𝒙 ∈ [−𝟒 ; 𝟎)
𝑫𝒇 =[−𝟒 ;𝟒]𝑰𝒎𝒇= −𝟒;𝟎 ∪ 𝟏 ∪ 𝟐 ; 𝟔𝑪𝒇 =
𝒇 no es monótonaCreciente estricta en [−𝟒; 𝟎) ∪ (𝟎; 𝟒]
𝑓 no tiene simetrías, no tiene paridad
Ejercicio 35
Gráfica
𝒎 = 𝟏 si 𝒙 ∈ [𝟎 ; 𝟒] ; 𝒉 = 𝟐
𝒎 = 𝟏 si 𝒙 ∈ [−𝟒; 𝟎) ; 𝒉 = 𝟎
b) Intervalos de monotonías de 𝒇:
c) Simetrías:
Sea 𝒈 𝒙 = la Inversa de 𝒇 ⇒
Si 𝑰𝒎𝒇 = C𝒇 ⇒ 𝒇 es Biyectiva ⇒ 𝒇 admite inversa
൞
𝒙 + 𝟐 = y 𝑥 = 𝑦 − 2 𝒙 ∈ (𝟎 ; 𝟒]𝟏 = 𝒚 𝒙 = 𝟎𝒙 = 𝒚 𝒙 ∈ [−𝟒 ; 𝟎)
Ley de 𝒈 :
𝒈 𝒙 = ቐ𝒙 − 𝟐 𝒙 ∈ (𝟐 ; 𝟔]𝟏 𝒙 = 𝟎𝒙 𝒙 ∈ [−𝟒 ; 𝟎)
𝒈
𝑫𝒈= 𝑪𝒇 =[−𝟒;𝟎)∪ 1 ∪(𝟐 ;𝟔]
𝑔 conserva las propiedades de 𝑓 𝑪𝒈 =𝑫𝒇 = [−𝟒 ;𝟒]
𝒇 es inyectiva 𝒇 no es suryectiva 𝑰𝒎𝒇 C𝒇
Entonces 𝒇 no es Biyectiva ⇒ 𝒇 no admite inversa
No existe la Inversa de 𝒇
d) Existencia de inversa de 𝒇 :
𝒇 es simétrica a 𝒈 con respecto a la recta 𝒚 = 𝒙
intercambiamos x por y para graficar
𝒈 (y)=x (𝒙)=y
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
FUNCIONES
ix) a)
𝒇
𝒇 𝒙 = ቐ𝒙 + 𝟐 𝒙 ∈ (𝟎 ; 𝟒]𝟎 𝒙 = 𝟎
𝒙 − 𝟐 𝒙 ∈ [−𝟒 ; 𝟎)
𝑫𝒇 =[−𝟒 ;𝟒]𝑰𝒎𝒇=[−𝟔;−𝟐) ∪ 𝟎 ∪ (𝟐 ; 𝟔]𝑪𝒇 =
𝒇 no es monótonaCreciente estricta para el intervalo [-4; 0) (0;4]
Ejercicio 35
𝒇 es simétrica a 𝒈 con respecto a la recta 𝒚 = 𝒙
𝒎 = 𝟏 si 𝒙 ∈ (𝟎 ; 𝟒] ; 𝒉 =2
𝒎 = 𝟏 si 𝒙 ∈ [−𝟒; 𝟎) ; 𝒉 =-2
b) Intervalos de monotonías de 𝒇:
c) Simetrías:
𝑓 es simétrica con respecto al origen de coordenadas 𝒇 es IMPAR −𝒙 = −𝒇 𝒙 ; 𝔁 𝑫𝒇Gráfica
Sea 𝒈 𝒙 = la Inversa de 𝒇 ⇒
Si 𝑰𝒎𝒇 = C𝒇 ⇒ 𝒇 es Biyectiva ⇒ 𝒇 admite inversa
൞
𝒙 + 𝟐 = y 𝑥 = 𝑦 − 2 𝒙 ∈ (𝟎 ; 𝟒]𝟎 = 𝒚 𝒙 = 𝟎
𝒙 − 𝟐 = 𝒚𝒙 = 𝒚 + 𝟐 𝒙 ∈ [−𝟒 ; 𝟎)
Ley de 𝒈:
𝒈 𝒙 = ቐ𝒙 − 𝟐 𝒙 ∈ (𝟐 ; 𝟔]𝟎 𝒙 = 𝟎𝒙 + 𝟐 𝒙 ∈ [−𝟔 ;−𝟐)
𝑫𝒈= 𝑪𝒇 =[−𝟔;−𝟐) ∪ 𝟎 ∪ (𝟐 ; 𝟔]𝑪𝒈 =𝑫𝒇 = [−𝟒 ;𝟒]
𝑔 conserva las propiedades de 𝑓
𝒈
𝒇 es inyectiva 𝒇 no es suryectiva 𝑰𝒎𝒇 C𝒇
Entonces 𝒇 no es Biyectiva ⇒ 𝒇 no admite inversa
No existe la Inversa de 𝒇
d) Existencia de inversa de 𝒇 :
intercambiamos x por y para graficar
𝒈 (y)=x (𝒙)=y
FUNCIONES
x) a)
𝒇
𝒇 𝒙 = ቐ𝒙 + 𝟐 𝒙 ∈ (𝟎 ; 𝟒]𝟎 𝒙 = 𝟎𝟐 𝒙 ∈ [−𝟒 ; 𝟎)
𝑫𝒇 =[−𝟒 ;𝟒]𝑰𝒎𝒇= 𝟎 ∪ 𝟐 ;𝟔𝑪𝒇 =
𝒙𝟐𝒙𝟏
𝒇 𝒙𝟏 = 𝒇(𝒙𝟐)Por lo tanto 𝒇 NO es Biyectiva ⇒ 𝒇 NO admite inversa
𝒇 es no es monótona𝒇 Creciente estricta para el intervalo (𝟎; 𝟒]
𝑓 no tiene simetrías, no tiene paridad
𝒇 no es inyectivaSean 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐷𝑓: 𝒙𝟏 ≠ 𝒙𝟐 resulta 𝒇 𝒙𝟏 = 𝒇 𝒙𝟐Es decir, si trazamos líneas horizontales en la grafica de f, estas líneas cortan a f en más de un punto𝒇 no es suryectiva 𝑰𝒎𝒇 C𝒇
Ejercicio 35
b) Intervalos de monotonías de 𝒇:
c) Simetrías:
d) Existencia de inversa de 𝒇 :
𝒎 = 𝟏 si 𝒙 ∈ (𝟎 ; 𝟒] ; 𝒉 =2
𝒎 = 𝟎 si 𝒙 ∈ [−𝟒; 𝟎) ; 𝒉 =2
Gráfica
xx
x
No existe la Inversa de 𝒇
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