fungsi kompleks -
Post on 01-Jun-2018
250 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
1/50
FUNGSI KOMPLEKS
Oleh:• Eka Anjarwati• Desy Qoraima Putri• Zulva Nurhayati
KELOMPOK 1
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
2/50
PENGERTIAN !NG"I #O$P%E#"
$eru&akan 'un(si )ari varia*el kom&leks yan(men((am*un(kan antara 'un(si+*ilan(an real )an imajiner,$isalkan a)alah se*uah 'un(si kom&leks )en(an - maka
Den(an )an meru&akan 'un(si.'un(s riil )alam *i)an(kom&leks,
•
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
3/50
0ontoh:
• 1uktikan *ahwa setia& 'un(si kom&leks )a&at )ituliskan )alam*entuk se&erti &a)a &ers,2 )en(an
• 3awa*:
•
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
4/50
!NG"I #O$P%E#" ANA%ITI#
• Di4erensiasi se*uah 'un(si kom&leks )inytakan )en(an :
• Pa)a )aerah yan( men(an)un( titik , 1erkaitan )en(an'un(si w yan( ter)iri )ari 'un(si real )an imajiner- s&erti :
•
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
5/50
3ika memiliki turunan + limit tun((al )i titik - karena )an maka
turunan terha)a& 'un(si f )i &eroleh :
3ika kita am*il - )en(an memilih sehin((a - maka &anjan( sum*ux sejajar akan )i&eroleh :
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
6/50
3ika kita men(am*il sehin((a - maka se&anjan( sum*u ysejajar akan )i&eroleh :
$aka untuk ke)ua kea)aan 5 )an 55 - akan )i )a&atkan :
1entuk :
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
7/50
0ontoh• 1uktikan *ahwa 'un(si kom&leks )i *awah ini meru&akan 'un(si
analitik )en(an• 3awa*:• U(x,y)
•
1ukti 'un(si analitik
6
•
AN
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
8/50
%ATI7AN "OA%
2, Tentukan *ilan(an riil )ari 'un(si kom&leks )antentukan &ula a&akah 'un(si terse*ut termasuk 'un(sianalitik8
9, Tentukan *ilan(an riil )ari 'un(si kom&leks )antentukan &ula a&akah 'un(si terse*ut termasuk 'un(sianalitik8
, Tentukan *ilan(an riil )ari 'un(si kom&leks )antentukan &ula a&akah 'un(si terse*ut termasuk 'un(sianalitik8
•
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
9/50
3A;A1AN %ATI7AN "OA%
•
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
10/50
1ukti 'un(si analitik
6Terbukti fungsi analitik
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
11/50
+10 U(x,y)
1ukti 'un(si analitik
6Terbukti fungsi analitik
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
12/50
1ukti 'un(si analitik
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
13/50
!NG"I 7AR$ONI#
• $isalkan a)alah nalitik )an semua turunan u )an v)i4erensia*el- maka jika )i4erensiasikan sekali la(i&ersamaan Chaucy-Rienmann terha)a&a x akan)i&eroleh :
• "e)an(kan jika kita )i4erensiasikan terha)a& y -)i&eroleh :
•
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
14/50
!ntuk menjamin kekontinuan )an - maka )en(an menjumlahkan
ke)ua &ersamaan )i&eroleh :
)an
Den(an )emikian 'un(si u )an v memenuhi &ersamaan La
3a)i : jika analitik )an memenuhi &ersamaan Laplace ma
&ersamaan terse*ut a)alah Harmonic ,
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
15/50
0ontoh
2, Tunjukkan *ahwa 'un(si termasuk 'un(si harmonik 3awa*:$isal maka
1ahwa turunan ke)ua v terha)a& x )an y ada )an kontinue TERBUKTI U HARMONIK
•
2
2
2
2
=∂∂+
∂∂
yv
xv
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
16/50
%ATI7AN "OA%
2, Tunjukan *ahwa 'un(si meru&akan 'un(si harmonik=9, Diketahui se*uah 'un(si
Tentukan nilai - a(ar 'un(si terse*ut meru&akan 'un(siharmonik,
•
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
17/50
3A;A1AN %ATI7AN "OA%
2, $isal
1ahwa turunan ke)ua v terha)a& x )an y ada )an kont TERBUKTI U HARMONIK
•
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
18/50
9, $isal
a(ar menja)i 'un(si analitik
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
19/50
Integral kontur
Berbeda dengan defnisi integraluntuk ungsi riil yang batasbatasnya !eru"akan bilanganriil# di!ana keduanya beradadala! satu garis bilangan# !akauntuk integrasi ungsi ko!"leks
batas batas tersebut beradadala! bidang ko!"leks yang$ara !eng%ubungkannya adatak ber%ingga bua%
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
20/50
"e>ara nai' )a&at )i)u(a *ahwa konturlintasan inte(rasi yan( *er*e)a se>ara
umum mem*uat inte(ral 'un(si f ? z @
yan( analitik &a)a lintasan terse*ut*er*e)a &ula, !ntuk mem*uktikannyatinjau *entuk inte(ral tertutu& *erikut
Pers, 2
66
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
21/50
Dimana 0 meru&akan kontur se*aran(lintasan tertutu& )en(an , "elanjutnya
)en(an men((unakan Teorema Green &a)a*i)an( yan( telah )i*ahas- tinjau *a(ian riil
ruas kanan *aris ke)ua &ersamaan :
Pers, 9
) )y
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
22/50
1er)asarkan kon)isi0au>hy.Riemann )a&at
)en(an mu)ah )i*uktikan
*ahwa ruas kanan inte(ral?9@ *erhar(a nol, $elalui>ara yan( &ersis sama)a&at )i*uktikan &ula
*ahwa *a(ian imajiner ruaskanan ?2@ *aris ke)ua
&ersamaan ju(a memenuhikon)isi:
Karena C adalahlintasan dengan
kontur tertutup dan
isalkan f(z) analiada didala n!a" aka#
Teorema 0au>hy .Goursat
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
23/50
CONTOH SOAL
Terdapat fungsi u=3x+y danv=3y-x dengan batas seperti
pada gambar di bawah.Buktikan apakah sesuai
dengan teorema Cauchy
9
2
y
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
24/50
!A"AB
6 B
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
25/50
Integral
&au$%y
NO"
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
26/50
Tin$aufungsi dan
ga bar#
)en(an
"ehin((a
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
27/50
CONTOH SOAL
7itun(lah )alam *i)an(kom&leks se&anjan( lintasan
yan( )i tunjukkan &a)a(am*ar )i *awah ini 8
2
y dz z C ∫ )( 2
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
28/50
!A"AB
2)( z z f =
xyi y x
yixy x
iy x
2
2
)(
22
22
2
+−=
−+=
+=
∫ =C
dz z f 0)(
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
29/50
real i a$iner
∫ =C
dz z f 0)(
))(2( 22
idydx xyi y xC
++−∫ ∫ −−++−C
xydydyiydyixixydxdx ydx x 22 2222
∫ ∫ −−++−1
0
222
0
22 )2()2( dy xyiyixdxixy y x
1
0
2322
0
222
31
31 −−++− xy y y x yix xy x
−−++− xiix yi y 31
4238
22
−++−−31
4238 22 i yiix x y
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
30/50
LAT#HAN SOAL
'( )erda"at ungsi dandengan batas se"erti "ada ga!bar di
ba*a%( )entukan a"aka% sesuai denganteore!a &au$%y+
9
2
y
$. Hitung % &ika ,
22 y xu −= 22 xyv =
∫ −C z dz
)3( 2|2:| =− z C
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
31/50
'. Hitung(ah da(am bidangkomp(eks sepan&ang (intasan yang di
tun&ukkan pada gambar)
.2 2B
.2 2
dz z C ∫ − )1( 2
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
32/50
!A"ABAN
2 dxdydydv
dxdu
udyvdxC A
)()( −=+∫ ∫∫
( ) ( ) dxdydy xyd
dx y xd
dy y xdx xyC
))2()(
(221
0
2
0
22222 −+=−+∫ ∫ ∫
( )∫ ∫ −=1
0
2
0
42 dxdy xy x
[ ] dy y x x2
0
1
0
22 2∫ −=[ ]dy y∫ −=
1
0
84
[ ]10244 y y −= 044 =−=
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
33/50
9 ti)ak analitik )i yan( *era)a )i )alaminterior 0, Di*uat lintasan tertutu& )i )alam 0
*er&usat )i Caitu , Di&eroleh - )an
$enurut Teorema 0au>hy Goursat yan()i&erluas-
31
)( −=
z z f 3= z
1C 3= z
21
3:1 =− z C π 20 ≤≤ t t ie z
21
3 += dz 21=
∫ ∫ −=−C C z dz
z dz
1 )3()3(
∫ = π 2
021
21
t i
t i
edt ei
∫ = π 2
0dt i
iπ 2=
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
34/50
1)( 2 −= z z f
xyi y x
yixy x
iy x
21
12
1)(
22
22
2
+−−=−−+=
−+=
∫ C
dz z f )(
))(21( 22
idydx xyi y xC
++−−
∫ ∫ −+−−−−+C
xy xydxiidydxdyiydx ydyixdx x 222222
( ) ( ∫ ∫ −−−++−−C C
xyiiyixdx xyi y x 221 2222
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
35/50
real i a$iner
2321
1
223
31
31 −−−++−−
− xyiy yi yix yix x xy x
−−−+ −− xiiix y 31
2232 22
−−+
+−−− iiix y x
31
32
22 22
−+ −−− 34342 22 iix y x
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
36/50
Deret laurent
1a(aimana &en)eretannya *ila f(z) 'un(si meromor k yan((a(al analitik )i se*uah kutu* z 6 a )i )alam )aerahkonver(ensinya8 Di )alam se*uah anulus *er&usatkan )i6 a 'un(si f(z) menja)i analitik- karena z 6 a su)ah *era))i luar kontur, Daerah kover(ensinya menja)i : r F z-Di )alam )aerah &en)eretan yan( *eru&a anulus ini- )eret'un(si yan( )ihasilkan ti)ak hanya )eret taylor teta&imenja)i le*ih umum:
•
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
37/50
•
• Den(an
)an∫ −−=k
nn z t t f
ia 1
0 )()(
21π ∫ −= C n t
i
b(2
1π
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
38/50
"uku &ertama )i ruas kanan ti)ak lain a)alah)eret taylor )an suku ke)uanya yan( *eru&a&olinomial *er&an(kat ne(ati' )ise*utse*a(ai *a(ian utama )ari )eret laurent,
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
39/50
,E-E) L.U-EN)
#ntinya *
+eret (aurent seperti ha(nya dengan deret tay(or% uraian,acLaurin% atau deret pangkat suatu fungsi....)(...)()()( 2210 +−++−+−+= nn a xC a xC a xC C x f
∑∞
=
−=0
)( ))((!
1)(
n
nn a xa f n
x f
∑∞
==
0
)( ))(0(!
1)(
n
nn x f n
x f
...!3
)2)(1(!2
)1(1)1( 32 +−−+−++=+ x p p p x p p px x p
+e
+e
+eret
+ere
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
40/50
1e*era&a 'un(si )asar &a)a uraianma>laurin
• 0os • "in
•
&ON)O/ SO L
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
41/50
&ON)O/ SO.L
!raikan 'un(si )i sekitar 6 B,Pem*ahasan :
1entuk umum uraian %aurent '? @ )i sekitar 6 B a)alah : z
e z f
z
=)(
∑ ∑∞
=
∞
=+=
0 1
)(n n
nnn
n z b
z a z f
...
!
...
!3!2
132
+
++
+
++=n
z z z z e
n z
z z e
z f z 1
)( ==
++++++ ...
!...
!3!21
32
n z z z
z n
...!
...!3!2
11 32 ++++++=
n z z z
z
n 0
am(abeci
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
42/50
• Tentukan )eret laurent :
• 3awa*:
• "esuai )en(an )eret *inomial:•
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
43/50
3a)i:
• ?
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
44/50
L.)I/.N SO.L
23 4raikan deret (aurent dari fungsi disekitar / 5 1
9@ Tentukan )eret laurent )alam &an(kat )ari untuk@ Tentukan )eret laurent
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
45/50
PEMB./.S.N NOMO- '
Diselesaikan dengan menggunakan deret binomial diperoleh:
)2)(1(1
231
)( 2 −−=+−= z z z z z f
0,2
111
11
21
1
11
12
11
1
11
=
−+
−−=
−
+
−
−=−
+−
−=
−−
z z z z z
z z
z z
z z
=
−
= −−
−
1
1
21
11
z
z
+++++
+++++
...16842
1
...11111
432
432
z z z z
z z z z
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
46/50
PEMB./.S.N NOMO- '
Dengan:
Jadi:
+++
−−−−−= 421...1111 2432 z z z z z z z
...731
432 +++= z z z ∞
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
47/50
PEMB./.S.N NOMO- 0
•
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
48/50
• Penyelesaian:• $isal maka
•
PEMB./.S.N NOMO- 1
•
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
49/50
• Deret konver(en nilai
-
8/9/2019 Fungsi Kompleks -
50/50
T%ANK &O'
top related