fungsi variabel banyak bernilai real -...

Fungsi Variabel Banyak Bernilai RealPengantar Fungsi dan Grafik

Wono Setya Budhi

KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 19

Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel

Pada termodinamika, terdapat tiga besaran yaitu tekanan (P),volume (V ) dan temperatur (T ).

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 2 / 19

Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel

Pada termodinamika, terdapat tiga besaran yaitu tekanan (P),volume (V ) dan temperatur (T ).Berdasarkan hukum termodinamika terdapat hubungan PV = nRT .

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 2 / 19

Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel

Pada termodinamika, terdapat tiga besaran yaitu tekanan (P),volume (V ) dan temperatur (T ).Berdasarkan hukum termodinamika terdapat hubungan PV = nRT .

Dengan menuliskan

P = (nR)T

Vmaka kita dapat melihat bahwa P sebagai fungsi dua variabel T danV .

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 2 / 19

Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel

Pada termodinamika, terdapat tiga besaran yaitu tekanan (P),volume (V ) dan temperatur (T ).Berdasarkan hukum termodinamika terdapat hubungan PV = nRT .

Dengan menuliskan

P = (nR)T

Vmaka kita dapat melihat bahwa P sebagai fungsi dua variabel T danV .

Dalam hal ini T dan V merupakan variabel bebas dan P variabelyang bergantung pada T dan V .

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 2 / 19

Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel

Pada termodinamika, terdapat tiga besaran yaitu tekanan (P),volume (V ) dan temperatur (T ).Berdasarkan hukum termodinamika terdapat hubungan PV = nRT .

Dengan menuliskan

P = (nR)T

Vmaka kita dapat melihat bahwa P sebagai fungsi dua variabel T danV .

Dalam hal ini T dan V merupakan variabel bebas dan P variabelyang bergantung pada T dan V .

Di matematika, khususnya di kuliah ini, variabel bebas biasanyaditulis sebagai x dan y .

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 2 / 19

Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel

Pada termodinamika, terdapat tiga besaran yaitu tekanan (P),volume (V ) dan temperatur (T ).Berdasarkan hukum termodinamika terdapat hubungan PV = nRT .

Dengan menuliskan

P = (nR)T

Vmaka kita dapat melihat bahwa P sebagai fungsi dua variabel T danV .

Dalam hal ini T dan V merupakan variabel bebas dan P variabelyang bergantung pada T dan V .

Di matematika, khususnya di kuliah ini, variabel bebas biasanyaditulis sebagai x dan y .

Jika z bergantung pada x , y , ditulis

z = f (x , y )

dengan f suatu fungsi.

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 2 / 19

Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel

Jika z bergantung pada x , y , ditulis

z = f (x , y )

dengan f suatu fungsi, artinya

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 3 / 19

Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel

Jika z bergantung pada x , y , ditulis

z = f (x , y )

dengan f suatu fungsi, artinya

setiap (x , y ) yang berada di daerah definisi menentukan satu danhanya satu nilai z .

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 3 / 19

Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel

Jika z bergantung pada x , y , ditulis

z = f (x , y )

dengan f suatu fungsi, artinya

setiap (x , y ) yang berada di daerah definisi menentukan satu danhanya satu nilai z .

Daerah definisi fungsi f , biasanya, adalah himpunan terbesar sehinggaformula f mempunyai arti.

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 3 / 19

Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel

Jika z bergantung pada x , y , ditulis

z = f (x , y )

dengan f suatu fungsi, artinya

setiap (x , y ) yang berada di daerah definisi menentukan satu danhanya satu nilai z .

Daerah definisi fungsi f , biasanya, adalah himpunan terbesar sehinggaformula f mempunyai arti.

Sudah tentu kita dapat memperkecil daerah definisi fungsi.

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 3 / 19

Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel

Misalkan diketahui fungsi

z =√

x2 − y2

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 4 / 19

Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel

Misalkan diketahui fungsi

z =√

x2 − y2

Daerah definisi fungsi adalah semua (x , y ) sehingga x2 − y2 ≥ 0

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 4 / 19

Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel

Misalkan diketahui fungsi

z =√

x2 − y2

Daerah definisi fungsi adalah semua (x , y ) sehingga x2 − y2 ≥ 0

Dalam bahasa himpunan

D ={(x , y ) : x2 − y2 ≥ 0

}

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 4 / 19

Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel

Misalkan diketahui fungsi

z =√

x2 − y2

Daerah definisi fungsi adalah semua (x , y ) sehingga x2 − y2 ≥ 0

Dalam bahasa himpunan

D ={(x , y ) : x2 − y2 ≥ 0

}

Untuk menggambar, pertama kita menentukan jawab persamaan

x2 − y2 = 0

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 4 / 19

Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel

Misalkan diketahui fungsi

z =√

x2 − y2

Daerah definisi fungsi adalah semua (x , y ) sehingga x2 − y2 ≥ 0

Dalam bahasa himpunan

D ={(x , y ) : x2 − y2 ≥ 0

}

Untuk menggambar, pertama kita menentukan jawab persamaan

x2 − y2 = 0

yaituy = x dan y = −x

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 4 / 19

Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel

Grafik dari D ={(x , y ) : x2 − y2 ≥ 0

}

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 5 / 19

Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel

Grafik dari D ={(x , y ) : x2 − y2 ≥ 0

}

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4−1−2−3−4

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 5 / 19

Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel

Grafik dari D ={(x , y ) : x2 − y2 ≥ 0

}

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4−1−2−3−4

y = x

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 5 / 19

Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel

Grafik dari D ={(x , y ) : x2 − y2 ≥ 0

}

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4−1−2−3−4

y = xy=-x

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 5 / 19

Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel

Grafik dari D ={(x , y ) : x2 − y2 ≥ 0

}

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4−1−2−3−4

y = xy=-x

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 5 / 19

Fungsi Dua Variabel

Fungsi Dua Variabel

Grafik dari D ={(x , y ) : x2 − y2 ≥ 0

}

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4−1−2−3−4

y = xy=-x

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 5 / 19

Fungsi Dua Variabel

Grafik Fungsi Dua Variabel

Grafik fungsi z = f (x , y )

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 6 / 19

Fungsi Dua Variabel

Grafik Fungsi Dua Variabel

Grafik fungsi z = f (x , y )

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 6 / 19

Fungsi Dua Variabel

Grafik Fungsi Dua Variabel

Grafik fungsi z = f (x , y )

� (x , y , 0)

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 6 / 19

Fungsi Dua Variabel

Grafik Fungsi Dua Variabel

Grafik fungsi z = f (x , y )

� (x , y , 0)

�(x,y,f(x,y))

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 6 / 19

Fungsi Dua Variabel

Grafik Fungsi Dua Variabel

Grafik fungsi z = f (x , y )

� (x , y , 0)

�(x,y,f(x,y))

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 6 / 19

Fungsi Dua Variabel

Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel

Misalkan, kita akan menggambar grafik z = x2 + y2

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 7 / 19

Fungsi Dua Variabel

Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel

Misalkan, kita akan menggambar grafik z = x2 + y2

Kita dapat menyelidikinya melalui fungsi dengan variabel lebih sedikit,yaitu dengan mengambil satu variabel bergerak dan lainnya konstan.

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 7 / 19

Fungsi Dua Variabel

Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel

Misalkan, kita akan menggambar grafik z = x2 + y2

Kita dapat menyelidikinya melalui fungsi dengan variabel lebih sedikit,yaitu dengan mengambil satu variabel bergerak dan lainnya konstan.

Kemudian, kita menggunakan pengetahuan tentang fungsi satuvariabel.

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 7 / 19

Fungsi Dua Variabel

Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel

Misalkan, kita akan menggambar grafik z = x2 + y2

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 8 / 19

Fungsi Dua Variabel

Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel

Misalkan, kita akan menggambar grafik z = x2 + y2

Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 8 / 19

Fungsi Dua Variabel

Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel

Misalkan, kita akan menggambar grafik z = x2 + y2

Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel

Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel Lain

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 8 / 19

Fungsi Dua Variabel

Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel

Misalkan, kita akan menggambar grafik z = x2 + y2

Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel

Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel Lain

Menggambar Grafik Fungsi Macam2

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 8 / 19

Fungsi Dua Variabel

Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel

Misalkan, kita akan menggambar grafik z = x2 + y2

Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel

Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel Lain

Menggambar Grafik Fungsi Macam2

Masalah Panas

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 8 / 19

Fungsi Dua Variabel

Cara Lain Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel

Misalkan kita akan menggambar f (x , y ) = cos x + cos y

0 2 4 6 8 10 12

0

2

4

6

8

10

12

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 9 / 19

Fungsi Dua Variabel

Cara Lain Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel

Misalkan kita akan menggambar f (x , y ) = cos x + cos y

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 10 / 19

Fungsi Dua Variabel

Cara Lain Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 11 / 19

Fungsi Dua Variabel

Menggambar Permukaan Ketinggian Fungsi 3 Variabel

Misalkan, kita akan mempunyai fungsi

f (x , y , z) = z2 − x2 − y2

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 12 / 19

Fungsi Dua Variabel

Menggambar Permukaan Ketinggian Fungsi 3 Variabel

Misalkan, kita akan mempunyai fungsi

f (x , y , z) = z2 − x2 − y2

Menggambar Permukaan Ketinggian Tiga Variabel

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 12 / 19

Fungsi Dua Variabel

Himpunan Buka

Misalkan a ∈ R, dan ε > 0, maka semua bilangan di

{x : |x − a| < ε}dapat dihampiri oleh a dengan kesalahan sebesar ε.

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 13 / 19

Fungsi Dua Variabel

Himpunan Buka

Misalkan a ∈ R, dan ε > 0, maka semua bilangan di

{x : |x − a| < ε}dapat dihampiri oleh a dengan kesalahan sebesar ε.Himpunan ini disebut sebagai lingkungan berjari-jari ε > 0 denganpusat a.

1 2 3 4 5a�

c

εε

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 13 / 19

Fungsi Dua Variabel

Himpunan Buka

Misalkan a ∈ R, dan ε > 0, maka semua bilangan di

{x : |x − a| < ε}dapat dihampiri oleh a dengan kesalahan sebesar ε.Himpunan ini disebut sebagai lingkungan berjari-jari ε > 0 denganpusat a.

1 2 3 4 5a�

c

εε

Himpunan di atas dapat ditulis sebagai interval

a− ε < x < a+ ε

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 13 / 19

Fungsi Dua Variabel

Himpunan Buka

Misalkan a ∈ R, dan ε > 0, maka semua bilangan di

{x : |x − a| < ε}dapat dihampiri oleh a dengan kesalahan sebesar ε.Himpunan ini disebut sebagai lingkungan berjari-jari ε > 0 denganpusat a.

1 2 3 4 5a�

c

εε

Himpunan di atas dapat ditulis sebagai interval

a− ε < x < a+ ε

Di R2, himpunan sejenis di atas mempunyai bentuk sebagai berikut.

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 13 / 19

Fungsi Dua Variabel

Himpunan Buka

Misalkan a ∈ R, dan ε > 0, maka semua bilangan di

{x : |x − a| < ε}dapat dihampiri oleh a dengan kesalahan sebesar ε.Himpunan ini disebut sebagai lingkungan berjari-jari ε > 0 denganpusat a.

1 2 3 4 5a�

c

εε

Himpunan di atas dapat ditulis sebagai interval

a− ε < x < a+ ε

Di R2, himpunan sejenis di atas mempunyai bentuk sebagai berikut.Misalkan (a, b) ∈ R2, lingkungan dengan jari-jari ε > 0 dan pusat(a, b) adalah { √ }Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 13 / 19

Fungsi Dua Variabel

Himpunan Buka

Misalkan a ∈ R, dan ε > 0, maka semua bilangan di{x : |x − a| < ε} atau −a− ε < x < a+ ε dapat dihampiri oleh adengan kesalahan sebesar ε.

Di R2, himpunan sejenis di atas mempunyai bentuk sebagai berikut.

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 14 / 19

Fungsi Dua Variabel

Himpunan Buka

Misalkan a ∈ R, dan ε > 0, maka semua bilangan di{x : |x − a| < ε} atau −a− ε < x < a+ ε dapat dihampiri oleh adengan kesalahan sebesar ε.

Di R2, himpunan sejenis di atas mempunyai bentuk sebagai berikut.Misalkan (a, b) ∈ R2, lingkungan dengan jari-jari ε > 0 dan pusat(a, b) adalah {

(x , y ) |√(x − a)2 + (y − b)2 < ε

}

merupakan cakram berjari-jari ε dan pusat (a, b).

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 14 / 19

Fungsi Dua Variabel

Himpunan Buka

Misalkan a ∈ R, dan ε > 0, maka semua bilangan di{x : |x − a| < ε} atau −a− ε < x < a+ ε dapat dihampiri oleh adengan kesalahan sebesar ε.

Di R2, himpunan sejenis di atas mempunyai bentuk sebagai berikut.Misalkan (a, b) ∈ R2, lingkungan dengan jari-jari ε > 0 dan pusat(a, b) adalah {

(x , y ) |√(x − a)2 + (y − b)2 < ε

}

merupakan cakram berjari-jari ε dan pusat (a, b).

1 2 3 4 5(a, b)�

c

uv

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 14 / 19

Fungsi Dua Variabel

Himpunan BukaTitik Dalam, Titik Batas dan Titik Luar

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 15 / 19

Fungsi Dua Variabel

Himpunan BukaTitik Dalam, Titik Batas dan Titik Luar

�C

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 15 / 19

Fungsi Dua Variabel

Himpunan BukaTitik Dalam, Titik Batas dan Titik Luar

�C

�A

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 15 / 19

Fungsi Dua Variabel

Himpunan BukaTitik Dalam, Titik Batas dan Titik Luar

�C

�A

�D

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 15 / 19

Fungsi Dua Variabel

Himpunan BukaTitik Dalam, Titik Batas dan Titik Luar

�C

�A

�D

Titik x0 disebut titik batas dari himpunan A, jika untuk setiap ε, diskD (x0, ε) ∩A �= φ dan D (x0, ε) ∩Ac �= φ

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 15 / 19

Fungsi Dua Variabel

Himpunan BukaTitik Dalam, Titik Batas dan Titik Luar

�C

�A

�D

Titik x0 disebut titik batas dari himpunan A, jika untuk setiap ε, diskD (x0, ε) ∩A �= φ dan D (x0, ε) ∩Ac �= φTitik x0 disebut titik dalam dari himpunan A, jika ada ε > 0,sehingga D (x0, ε) ⊂ A.

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 15 / 19

Fungsi Dua Variabel

Himpunan BukaTitik Dalam, Titik Batas dan Titik Luar

�C

�A

�D

Titik x0 disebut titik batas dari himpunan A, jika untuk setiap ε, diskD (x0, ε) ∩A �= φ dan D (x0, ε) ∩Ac �= φTitik x0 disebut titik dalam dari himpunan A, jika ada ε > 0,sehingga D (x0, ε) ⊂ A.Titik x0 disebut titik luar dari himpunan A, jika ada ε > 0, sehinggaD (x0, ε) ⊂ Ac .

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 15 / 19

Fungsi Dua Variabel

Himpunan BukaTitik Dalam, Titik Batas dan Titik Luar

Example

Misalkan D = {(x , y ) : 0 ≤ x < 1}Carilah semua titik dalam himpunan D.

Solution

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 16 / 19

Fungsi Dua Variabel

Himpunan BukaTitik Dalam, Titik Batas dan Titik Luar

Example

Misalkan D = {(x , y ) : 0 ≤ x < 1}Carilah semua titik dalam himpunan D.

Carilah semua titik batas himpunan D.

Solution

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 16 / 19

Fungsi Dua Variabel

Himpunan BukaTitik Dalam, Titik Batas dan Titik Luar

Example

Misalkan D = {(x , y ) : 0 ≤ x < 1}Carilah semua titik dalam himpunan D.

Carilah semua titik batas himpunan D.

Solution

2

4

6

2

4

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0�E

�F

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 16 / 19

Fungsi Dua Variabel

Himpunan Buka

Definition

Himpunan D ⊂ R2 disebut himpunan buka jika setiap titik di D adalahtitik dalam.

Konsep ini dengan mudah dapat diperluas di Rn

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 17 / 19

Fungsi Dua Variabel

Himpunan Buka

Definition

Himpunan D ⊂ R2 disebut himpunan buka jika setiap titik di D adalahtitik dalam.

Konsep ini dengan mudah dapat diperluas di Rn

Bola di R berpusat di x0 dengan jari-jari ε > 0 adalah

{x : |x − x0| < ε}

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 17 / 19

Fungsi Dua Variabel

Himpunan Buka

Definition

Himpunan D ⊂ R2 disebut himpunan buka jika setiap titik di D adalahtitik dalam.

Konsep ini dengan mudah dapat diperluas di Rn

Bola di R berpusat di x0 dengan jari-jari ε > 0 adalah

{x : |x − x0| < ε}Bola di R2 berpusat di (x0, y0) dengan jari-jari ε > 0 adalah{

(x , y ) :√|x − x0|2 + |y − y0|2 < ε

}

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 17 / 19

Fungsi Dua Variabel

Himpunan Buka

Definition

Himpunan D ⊂ R2 disebut himpunan buka jika setiap titik di D adalahtitik dalam.

Konsep ini dengan mudah dapat diperluas di Rn

Bola di R berpusat di x0 dengan jari-jari ε > 0 adalah

{x : |x − x0| < ε}Bola di R2 berpusat di (x0, y0) dengan jari-jari ε > 0 adalah{

(x , y ) :√|x − x0|2 + |y − y0|2 < ε

}

Bola di R3 berpusat di (x0, y0, z0) dengan jari-jari ε > 0 adalah{(x , y ) :

√|x − x0|2 + |y − y0|2 + |z − z0|2 < ε

}

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 17 / 19

Fungsi Dua Variabel

Titik Limit

Definition

Titik x0 disebut titik limit dari himpunan K jika untuk setiap ε > 0,cakram

D (x0, ε) ∩K �= φ

0.2

0.4

−0.2

−0.4

0.2 0.4−0.2−0.4

�

������������������������������������������������������������������������������������������������

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 18 / 19

Fungsi Dua Variabel

Titik Limit

Definition

Titik x0 disebut titik limit dari himpunan K jika untuk setiap ε > 0,cakram

D (x0, ε) ∩K �= φ

0.2

−0.2

0.2−0.2

���������������������������������������������������������������������������������������������

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real 19 / 19