funzioni di due variabili una funzione di più variabili viene indicata come: con se n=2 la funzione...
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FUNZIONI DI DUE VARIABILI
• Una funzione di più variabili viene indicata come:
con• Se n=2 la funzione presenta due variabili
indipendenti e viene normalmente scritta come:
• La sua rappresentazione grafica si realizza introducendo un sistema cartesiano di riferimento riportando sull’asse verticale (!!!) i valori della variabile dipendente z.
BAf : nRA
),( yxfz
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
• Esempio 1• Il grafico della funzione
• è:
xyyyxxz 22 334320
02
46
810
x
02
46
810
y
050
100150200250
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
• La funzione di Cobb-Douglas:
• dove:• P=produzione totale• C=produzione unitaria• L=unità di lavoro impiegato• K=unità di capitale investito• =costante compresa tra 0 ed 1
1LCKP
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
• Sezionando il grafico di una funzione di due variabili con un piano parallelo al piano xy si ottengono le curve di livello. Considerando la funzione dell’esempio 1 e proiettando le curve di livello sul piano xy si ottiene:
0
2
4
6
8
10
y
2 4 6 8 10x
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
• Una funzione è omogenea di grado “s” se:
• La funzione di Cobb-Douglas è omogenea di grado s=1:
•
),(),( yxfvvyvxf s
1)()(),( vLvKCvLvKP
),(1111 LKvPLCKvvLvKCv
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
• L’estensione del concetto di limite di una funzione non è immediata. Infatti la modalità di avvicinamento nel piano xy di un punto di coordinate ad un punto di accumulazione per il dominio della funzione non è unica ma anzi può avvenire seguendo un numero infinito di traiettorie. Vale il risultato:
• Il è uguale ad “l” se, per ogni successione che converge a
la successione converge ad “l”.
),( oo yx),( yx
),(),(lim
oo yxyx ),( yxf
),( nn yxn ),( oo yx
),( nn yxfn
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
• L’estensione della definizione di derivata di una funzione (continua) non è immediato. Infatti il limite del rapporto incrementale
non ha significato in quanto rapporto di un numero (il numeratore) con una coppia di numeri(il denominatore)!
)0,0(),(lim
yx ),(
),(),(
yx
yxfyyxxf
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
• Considerando la variazione della funzione (continua) generata dalla variazione di una variabile alla volta:
si ottengono (con le stesse attenzioni delle funzioni di una variabile) le derivate parziali rispetto ad x e rispetto ad y : e
0limx x
yxfyxxf
),(),(
0limy y
yxfyyxf
),(),(
),( yxf x ),( yxf y
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
• Il vettore che contiene le derivate parziali della funzione viene denominato gradiente della funzione e viene indicato:
• Le derivate parziali per la funzione di C-D sono:•
y
f
x
ff
11),( LKCK
PLKPK
K
P
LKCL
PLKPL )1(),(
L
P1
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
• L’elasticità della produzione rispetto al capitale è:
• ovvero
• L’elasticità della produzione rispetto al lavoro è:
• ovvero
K
P
P
K
K
PK
P
EK
L
P
P
L
L
PL
P
EL
KE
1LE
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
• Derivate di ordine successivo. Le derivate parziali prime in quanto funzioni possono essere derivate a loro volta (naturalmente se soddisfano le condizioni già ricordate), ottenendo:
),(),(),(
2
2yxf
x
yxf
x
yxf
x xx
x
yxf
y
),(),(
),(2yxf
yx
yxfxy
),(),(),( 2
yxfxy
yxf
y
yxf
x yx
),(),(),(
2
2yxf
y
yxf
y
yxf
y yy
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
• Le derivate parziali seconde possono essere organizzate in una matrice denominata matrice Hessiana.
yyyx
xyxx
ff
ffH
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
• Massimi e minimi relativi (liberi) e selle.
-4-2
02
4
x
-4-2
02
4
y
102030405060
-4-2
02
4
x
-4-2
02
4
y
-40-30-20-10
010
-4-2
02
4
x
-4-2
02
4
y
-200-100
0100200
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
Le condizioni necessarie e sufficienti sono :
Condizione sufficiente per avere un massimo relativo 1. detH oo yx , >0
2. xxf oo yx , <0
Condizione sufficiente per avere un minimo relativo 1. detH oo yx , >0
2. xxf oo yx , >0
Condizione sufficiente per avere una sella detH oo yx , <0
Condizione necessaria
0),(
0),(
y
yxfx
yxf
oo
oo
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
• Esempio 2. • Determinare la natura dei punti critici della
funzione:
• Dalle condizioni necessarie:
• si determinano i candidati: (-2,3) e (2,3).• La matrice Hessiana è:
5126),( 23 xyyxyxf
062
0123 2
y
x
20
06xH
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
Sostituendo le coordinate del primo punto si ha:
e quindi in (-2,3) la funzione presenta un max. Sostituendo le coordinate del secondo punto si ha:
e quindi in (2,3) la funzione presenta una sella.
detH=24>0 xxf (-2,3)= -12
detH= -24 xxf (2,3)=12
yyf (2,3)=-2
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
Massimi e minimi vincolatiMassimi e minimi vincolati.• La struttura del problema è la seguente:
• Per risolvere il problema di massimo (minimo) vincolato si introduce la funzione lagrangiana:
• dove è il moltiplicatore di Lagrange.• Il massimo (libero) della funzione di Lagrange (se
esiste) equivale al massimo (vincolato) della funzione di partenza .
),(max
yx),( yxf 0),( yxg
),(),(),,( yxgyxfyxL
),( yxf
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
Le condizioni necessarie per la funzione sono:
Il soddisfacimento della prima condizione equivaleal soddisfacimento del vincolo, infatti:
),,( yxL
0
0
0
y
Lx
L
L
L 0),(),(),( yxgyxgyxf
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
TeoremaTeoremaSia una soluzione del sistema di equazioni che esprimono le condizioni del primo ordine. Se la funzione lagrangiana è dotata di derivate parziali seconde e il determinante della matrice hessiana in è positivo (negativo), allora in la funzione presenta un massimo (minimo) relativo e soddisfa il vincolo.
),,( ooo yx
),,( ooo yx),( oo yx ),( yxfz
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
• Il moltiplicatore di Lagrange rappresenta “ il costo opportunità del vincolo”.
Si supponga che si voglia massimizzare la funzione dei ricavi e che il vincolo rappresenti il vincolo di spesa sui mezzi di produzione. Se si aumenta di 1 unità il budget allora i ricavi crescono di circa unità.
Questo risultato consente di valutare se conviene aumentare (diminuire) le risorse investite.
)( o
o
FUNZIONI DI DUE VARIABILI
•
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