gara - newmark beam - bozza 01
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Modello di trave composta
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Modello di trave composta acciaio-calcestruzzo con connessione deformabile
1 INTRODUZIONE Le strutture composte in acciaio-calcestruzzo sono concepite per sfruttare al meglio le
propriet dei materiali, in particolare dellacciaio a trazione e del calcestruzzo a compressione. Gli impalcati composti sono, ad esempio, molto utilizzati nel campo delle strutture da ponte, in cui risultano nettamente competitivi, rispetto ai sistemi in cemento armato precompresso, per luci medie (superiori a 40 m) o quando la tortuosit dei tracciati stradali non consente il trasporto e quindi lutilizzo di travi prefabbricate in c.a.p. prefabbricate di grande luce. Il sistema composto altres utilizzabile in edifici con solai di grande luce e in tutti i casi in cui si vogliono conseguire risultati di resistenza e leggerezza.
Le travi composte sono generalmente formate da una trave in acciaio, per esempio con sezione a doppia T, completata superiormente con una soletta in calcestruzzo. Laccoppiamento delle due parti dato dalla connessione di interfaccia che pu essere realizzata con elementi metallici come, ad esempio, i pioli Nelson che vengono saldati nella flangia superiore della trave e rimangono immersi nel getto della soletta. La connessione riveste pertanto un ruolo fondamentale nel comportamento della struttura in quanto lunico elemento tramite il quale le due parti si scambiano forze di interazione longitudinali. Grazie a questo meccanismo la trave si comporta come trave composta nei confronti delle sollecitazioni esterne. Tale comportamento possibile se la connessione sufficientemente resistente per trasmettere le interazioni di taglio, ed ovviamente influenzato dalla rigidezza k della connessione stessa. Si consideri, ad esempio, la trave composta di figura 1, semplicemente appoggiata e soggetta ad un carico uniformemente distribuito.
Nel caso limite di connessione con rigidezza nulla (k = 0), ossia in assenza di connessione, le due parti si appoggiano semplicemente luna sullaltra scambiandosi per contatto solo forze verticali; in assenza di attrito, non si hanno forze di interazione longitudinali. La trave si comporta come due travi sovrapposte in regime di flessione parallela; il momento esterno equilibrato dai due momenti interni offerti dalle singole parti mentre le risultanti assiali di ciascuna parte sono nulle. Gli spostamenti verticali e le curvature delle due parti sono uguali; allinterfaccia si ha uno scorrimento longitudinale.
Nel caso limite opposto di connessione rigida (k = ), le due parti collaborano luna con laltra formando una sezione unica. Allinterfaccia le forze di interazione longitudinali equivalgono alle forze di scorrimento che possono essere stimate con semplici considerazioni di equilibrio (Jourawsky). La trave si comporta come una semplice trave con sezione mista; il momento esterno equilibrato non solo dai due momenti interni offerti dalle singole parti ma anche da un contributo offerto dalle forze assiali di compressione sulla parte superiore, la soletta in calcestruzzo, e di trazione su quella inferiore, la trave in acciaio, che forniscono un importante contributo al momento interno grazie al braccio di leva interno. Gli spostamenti verticali e le curvature delle due parti sono, anche in questo caso, uguali ma notevolmente inferiori rispetto al caso precedente in assenza di connessione; lo scorrimento allinterfaccia nullo. Nelle travi in cui la rigidezza della connessione ha valori intermedi rispetto ai due casi limite appena esaminati, il comportamento fortemente influenzato dal valore della rigidezza sia in termini di distribuzione di tensioni, e quindi di risultanti interne, sia in termini di spostamenti.
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Modello di trave composta
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Ac = 1.2 m2
Ic = 0.004 m4 Ec = 35034 MPa fck = 35 MPa = 0.15 As = 0.1219 m2 Is = 0.0587 m4 Es = 2.1 x 105 MPa
Gs
6015
80
970
B=6000
200Gc
800
630
600
25 m
p=100 kN/m
Fig. 1. Esempio di trave a sezione composta: geometria, schema statico, caratteristiche meccaniche
Fig. 2. Comportamento di trave composta nei due casi limite di connessione infinitamente deformabile
(k = 0) e infinitamente rigida (k = ) Per descrivere con sufficiente adeguatezza il comportamento di questa tipologia di impalcati
non ci si pu basare sul pi semplice dei modelli di trave, il modello di Eulero-Bernoulli; questo, essendo basato sullipotesi di mantenimento della sezione piana, non in grado di cogliere aspetti cinematici importanti quali, oltre alla deformabilit della connessione, ad esempio la deformabilit della soletta in calcestruzzo per effetto shear-lag, la deformabilit a taglio e a torsione, la deformabilit trasversale. Nella pratica progettuale si ricorre generalmente ad una modellazione agli elementi finiti con elementi shell dellintero impalcato, che pu prevedere anche la modellazione della connessione con link deformabili o elementi beam. Questi modelli, seppur capaci di predire accuratamente il comportamento dellimpalcato, sono tuttavia complessi da costruire, si riferiscono ad un singolo caso, non si prestano ad uno studio parametrico, forniscono risultati in forma non sintetica di non rapida interpretazione, ecc. Unalternativa la messa a punto di modelli analitici a trave arricchiti rispetto al modello di Eulero-Bernoulli.
In questa relazione viene rielaborato il cosiddetto modello di Newmark [1] che prende il nome dal primo autore di un articolo scientifico nel quale viene presentato, si ritiene per la prima volta, un
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Modello di trave composta
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modello di trave composta acciaio-calcestruzzo con connessione flessibile uniformemente distribuita su una linea; il modello cinematico basato sullaccoppiamento di due elementi modellati come travi di Eulero-Bernoulli e connessi allinterfaccia tramite una connessione che permette lo scorrimento longitudinale relativo (slip) e la trasmissione di forze longitudinali tra le due parti, mentre ne blocca leventuale distacco (uplift). Il modello si basa pertanto sullipotesi di conservazione delle sezioni piane per quanto riguarda ciascuna parte considerata indipendentemente dallaltra, mentre la sezione composta presenta uno scorrimento relativo longitudinale allinterfaccia. Il modello trascura lingobbamento della soletta per effetto shear-lag, la deformabilit a taglio della sezione, linflessione trasversale e la torsione. Il comportamento dei materiali considerato elastico lineare. Nella realt la connessione manifesta quasi subito un comportamento non lineare che comunque non cambia sostanzialmente il comportamento qualitativo della struttura.
0
10
20
30
40
50
v [mm] v' [ ] 64
0
-4-6
-2
2
Ns = Nc [kN]
0
1000
2000
3000
4000
5000
[mm] 64
0
-4-6
-2
2
0 40
80
120
160
200 0 5 2015 25 m10
Mc [kNm] 0
2000
4000
6000
8000
100000 5 20 15 25 m10
Ms [kNm]
Fig. 3. Comportamento della trave composta di figura 1 per 8 diversi valori di rigidezza della connessione,
da pressoch infinitamente deformabile (k = 101 kN/m2) a infinitamente rigida (k = 108 kN/m2)
[1] Newmark, N. M., Siess, C. P., and Viest, I. M. (1951). Test and analysis of composite beams with incomplete interaction. Proc. Soc. Exp. Stress Anal., 9(1), 75-92.
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Modello di trave composta
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2 CINEMATICA
2.1 Geometria e sistema di riferimento
Si sceglie un sistema di riferimento globale zyx ,,,0 tale che lasse della trave parallelo alla direzione z e il piano di simmetria della trave giace sul piano coordinato yz. La figura 1 si riferisce al caso di impalcato monotrave.
0
0 X
Y
Z
i j
k
L
Gs
Gch
X
Y
yc
ys
(a) (b)
B
Fig. 1. Geometria della trave e sistema di riferimento: (a) trave composta; (b) sezione trasversale
Posizione di un generico punto P della trave
kjir zyxzyx ,, sc AAyx , e z [0, L] (2.1) 2.2 Campo di spostamenti
Con riferimento alle tre direzioni indicate dai versori i j e k, si definiscono gli spostamenti della soletta di calcestruzzo, con il pedice c, e della trave di acciaio, con il pedice s:
Soletta in calcestruzzo
kju tzvyytzwtzvtzyx cc ;;;;,, , ,,0 ,, 0ttLzAyx c (2.2a) Trave in acciaio
kju tzvyytzwtzvtzyx ss ;;;;,, , ,,0 ,, 0ttLzAyx s (2.2b) dove v lo spostamento verticale, uguale per tutti i punti della sezione, wc e ws sono le componenti di spostamento longitudinale della soletta in cls. e della trave in acciaio rispettivamente.
Scorrimento allinterfaccia trave-soletta
htzvtzwtzwtz cs ;;;; (2.3)
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Modello di trave composta
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Z
ys
yc
wck
vj
vj
v'
v'
wsk
Fig. 2. Componenti di spostamento della sezione trasversale
2.3 Deformazioni In accordo con la teoria lineare, le uniche componenti di deformazione non nulle sono le
seguenti:
;,, vyywtzyx cccz , ,,0 ,, 0ttLzAyx c (2.4a) vyywtzyx sssz ;,, , ,,0 ,, 0ttLzAyx s (2.4b)
3 CONDIZIONE DI BILANCIO La condizione di bilancio viene imposta tramite il principio dei lavori virtuali (P.L.V.),
uguagliando il lavoro interno ed esterno compiuto per una variazione virtuale ammissibile del campo di spostamento introdotto in precedenza.
3.1 Lavoro interno e risultanti delle sollecitazioni interne il lavoro compiuto dalle tensioni interne per una generica deformazione virtuale compatibile
con il campo di spostamento introdotto:
L
csz
L
Asssz
L
Acccz
L
z
L
Aczcz
L
Aczcz
Vijij
Vi
zvhwwq
zavyywzavyyw
zqzaza
VVL
sc
sc
0
00
000
d
d d d d
dd dd d
d duS
(3.1)
Highlight
Highlight
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L
csz
L
sss
L
ccci zvhwwqzvMwNzvMwNL000
ddd (3.2)
L lunghezza dellimpalcato; Nc e Ns sollecitazione normale su soletta in calcestruzzo e trave in acciaio; Mc e Ms momento flettente su soletta in calcestruzzo e trave in acciaio;
cw e sw deformazione normale longitudinale virtuale degli elementi in calcestruzzo e acciaio; v rotazione rispetto lasse X;
qz forza longitudinale per unit di lunghezza allinterfaccia trave-soletta, con direzione Z.
3.2 Risultanti interne delle tensioni
cA
czc atzN d; cA
czcc ayytzM d; (3.3a,b)
sA
szs atzN d; sA
szss ayytzM d; (3.3c,d)
dove: Ac dominio di integrazione della sezione trasversale della soletta; As dominio di integrazione della sezione trasversale della trave in acciaio.
3.3 Lavoro esterno e risultanti delle sollecitazioni esterne il lavoro compiuto dalle azioni esterne per un generico spostamento virtuale compatibile
con il campo di spostamento introdotto:
AVV
e aavL ddd ususub (3.4)
LssccL sszcczye vMwNwNvTzvmwpwpvpL 00
d (3.5) dove: b forze di volume; V volume dellimpalcato; s forze di superficie;
V superficie laterale dellimpalcato; A superficie delle sezioni trasversali per z = 0 e z = L; u campo degli spostamenti virtuali.
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3.4 Risultanti delle azioni di volume e di superficie applicate lungo la trave composta
sscc Ay
Ay
Ay
Aysycyy lsablsabtzptzptzp dddd;;; (3.6a)
cc A
zA
zcz lsabtzp dd; (3.6b)
ss A
zA
zsz lsabtzp dd; (3.6c)
sscc A
zcA
zsA
zcA
zcsc lsyyabyylsyyabyytzmtzmtzm dddd;;; (3.6d)
py azione verticale (lungo y) distribuita sullimpalcato; pcz azione assiale longitudinale distribuita lungo la soletta in calcestruzzo; psz azione assiale longitudinale distribuita lungo la trave in acciaio; m azione flettente distribuita sulla trave.
3.5 Risultanti delle sollecitazioni esterne applicate sulle sezioni trasversali finali della trave
sc A
yA
y asastT dd (3.7a)
cA
zc astN d (3.7b)
sA
zs astN d (3.7c)
sc A
zsA
zc asyyasyytM dd (3.7d)
T la risultante delle azioni di taglio applicate sulla sezione composta;
cN la risultante delle forze assiali agenti sulla sezione della soletta in calcestruzzo; sN la risultante delle forze assiali agenti sulla sezione della trave in acciaio;
M la risultante dei momenti flettenti agenti sulla sezione composta.
3.6 Equazione di bilancio Il PLV fornisce
0uusubuS
dddVVV
avV (3.8a)
Sticky Notemanca il termine relativo alle facce di estremit
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congr. , ,
d
d
00
0
sc
Lsscc
L
ysszccz
L
cszscsscc
wwv
vTvMwNwNzvpvmwpwp
zvhwwqvMMwNwN
(3.8b)
3.7 Equilibrio locale (in termini delle risultanti delle tensioni interne) Integrando per parti e invocando il lemma fondamentale del calcolo variazionale si ottiene:
Equazioni differenziali
czzc pqN (3.9a)
szzs pqN (3.9b)
mpqhMM yzsc (3.9c)
Condizioni al contorno
0 ccc wNN cw , 0, L (3.10a) 0 sss wNN sw , 0, L (3.10b) 0 vMMM sc v , 0, L (3.10c) 0 vmThqMM zsc v , 0, L (3.10d)
Le equazioni di campo (3.9) esprimono lequilibrio del concio di trave. Le prime due assicurano lequilibrio alla traslazione longitudinale, in direzione Z, della soletta e della trave in acciaio considerate separatamente; la terza, lequilibrio in direzione Y della trave composta. Le condizioni al contorno (3.10) descrivono in forma sintetica le condizioni essenziali e naturali nelle due sezioni di estremit della trave. Si ha la condizione essenziale nel caso di spostamento imposto, nella sezione di estremit, ovvero per variazione di spostamento nulla (sj 0, essendo sj uno degli spostamenti wc, ws, v', v). Viceversa, nel caso di spostamento libero, essendo la variazione di spostamento non nulla (sj 0), le condizioni naturali richiedono lannullarsi del termine fra parentesi quadra, il quale esprime la reazione del vincolo nella direzione dello spostamento. Infatti, se la variazione dello spostamento nulla il vincolo esercita una reazione diversa da zero, nella direzione del vincolo; viceversa se il vincolo non idoneo ad esercitare reazione nella direzione del vincolo, pu aversi una variazione non nulla dello spostamento in quella direzione.
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4 ANALISI VISCO-ELASTICA
4.1 Legame costitutivo (tensioni e forze di connessione in funzione degli spostamenti) Si ipotizza: comportamento elastico lineare per la connessione a taglio, con rigidezza ,
legame viscoelastico lineare per la soletta in calcestruzzo con funzione di rilassamento ,tR ; legame elastico lineare per la trave di acciaio con modulo di Young sE . Soletta in calcestruzzo
tt
ccc
t
tcczcz vyywtRtRtzyx
00
d ,d ,;,, (4.1)
Trave in acciaio
vyywEEtzyx sssssszssz )(;,, (16) Connessione flessibile
vhwwtztzq csz ;; (17) 4.2 Risultanti interne delle tensioni (in funzione degli spostamenti)
tt
cccA
czc wAtRatzNc 0
d ,d ; (18a)
tt
cA
czc vItRaytzMc 0
d ,d ; (18b)
)(d ; ssssA
szs wAEatzNs
(18c) vIEaytzM ss
Aszs
s
d ; (18d)
4.3 Inerzie
cA
c a yI d2 (19a)
sA
s ayI d 2 (19b)
4.4 Equilibrio locale (in funzione degli spostamenti) Equazioni differenziali
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czcst
tccc pvhwwwAtR
0
d , (20a)
szcsssss pvhwwwAE )( (20b)
mpvItRvIEhvwwh yt
tcsscs
0
d, (20c)
Condizioni al contorno
0d ,0
cctt
ccc wNwAtR cw , 0, L (21a)
0)( ssssss wNwAE sw , 0, L (21b) 0d,
0
vMvIEvItR sstt
c v , 0, L (21c)
0d,0
vmThvwwhvIEvItR cssstt
c v , 0, L (21d)
4.5 Condizione di equilibrio locale (in funzione degli spostamenti e della funzione di viscosit) Utilizzando lequivalenza che caratterizza gli integrali di Volterra [CEB, 1984]:
tt
GtRtH0
d, tt
HtJtG0
d, (22a)
dove i nuclei J e R devono soddisfare la relazione integrale
t
t
dtJtRttRttJ0
0000
,,,,1 (22b)
il problema pu essere riformulato in funzione della funzione di viscosit invece di quella di Rilassamento. Equazioni differenziali
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t
tcz
t
tcsccc ptJvhwwtJwA
00
d ,d , (23a)
szcsssss pvhwwwAE )( (23b)
tt
y
t
tcs
t
tssc mptJhvwwtJhvtJIEvI
000
d,d,d, (23c)
Condizioni al contorno
0d,0
ctt
cccc wNtJwA cw , 0, L (24a)
0)( ssssss wNwAE sw , 0, L (24b) 0d,
0
vMvIEtJvIt
tssc v , 0, L (24c)
0d,0
vmThvwwhvIEtJvIt
tcsssc v , 0, L (24d)
4.6 Tensioni attive (espresse in funzione delle caratteristiche di sollecitazione) Le tensioni possono essere espresse in funzione delle risultanti interne. Dalle espressioni delle
sollecitazioni in funzione degli spostamenti (18) si ricava
c
ct
tcc A
t;zNt;zt;zw,tR 0
d (25a)
c
ct
t It;zMv,tR
0
d (25b)
ss
ss AE
t;zNw (25c)
ss
s
IEt;zMv (25d)
Sostituendo le (25) nelle (15, 16, 17) si ottiene
Soletta in calcestruzzo
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yI
MAN
c
c
c
ccz (26a)
Trave in acciaio
ss
s
s
ssz yyI
MAN (26b)
Connessione flessibile
sszz Npq (26c)
5 ANALISI ELASTICA
5.1 Legame costitutivo Oltre al comportamento elastico della connessione con rigidezza e della trave di acciaio con
modulo elastico Es si considera che si comporti in modo elastico lineare anche la soletta in calcestruzzo con modulo di Young cE . Quanto segue pu essere desunto semplicemente dal caso viscoelastico considerando t = t0. Risulta:
cEttR 00 , (27) Soletta in calcestruzzo
vyywEEzyx ccccczccz ,, (28) Trave in acciaio
vyywEEzyx ssssszssz )(,, (29) Connessione flessibile
vhwwzzq csz (30) 5.2 Risultanti interne delle tensioni (in funzione degli spostamenti)
ccccA
czc wAEazNc
d (31a) vIEayzM cc
Aczc
c
d (31b) )(d ssss
Aszs wAEazN
s
(31c) vIEayzM ss
Aszs
s
d (31d)
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5.3 Equilibrio locale (in funzione degli spostamenti) Equazioni differenziali
czcscccc pvhwwwAE (32a) szcsssss pvhwwwAE )( (32b)
mpvIEIEhvwwh yccsscs (32c)
Condizioni al contorno
0 cccccc wNwAE cw , 0, L (33a) 0)( ssssss wNwAE sw , 0, L (33b) 0 vMvIEIE ccss v , 0, L (33c) 0 vmThvwwhvIEIE csccss v , 0, L (33d)
5.4 Tensioni reattive Generalmente, a causa della non completezza del campo di spostamenti, le tensioni attive
sopra ricavate non sono sufficienti a garantire lequilibrio globale per il quale sono necessarie anche le tensioni reattive. Mentre per una trave generica, le condizioni di equilibrio locale non sono sufficienti per calcolare le tensioni reattive ed il problema rimane indeterminato, nel caso di travi in parete sottile, possibile calcolare lo stato tensionale reattivo partendo dallespressione delle tensioni assiali z date dal legame costitutivo, secondo una procedura che procedura costituisce una generalizzazione del metodo di Jourawski.
Ipotizzando che le tensioni tangenziali yz e le forze di massa bz e di superficie fz sono nulle, lequazione di equilibrio locale in direzione Z fornisce
0
zx
zxz zzxz Cxzt;z,y,xt;z,y,x
d (34) Analogamente, ipotizzando che le tensioni tangenziali xy e le forze di massa by e di superficie
fy siano nulle, lequazione di equilibrio locale in direzione X fornisce
0
zxxzx xxzx Cxz
t;z,y,xt;z,y,x d (35)
Le costanti di integrazione Cx e Cz dipendono dalle condizioni al contorno lungo i bordi laterali. Nel caso di bordi laterali liberi le condizioni al contorno sono
0 bxxz t;z,y,x (36a)
Cross-Out
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Modello di trave composta
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0 bxx t;z,y,x (36b) Le tensioni normali longitudinali z sono costante nella direzione X. Pertanto la tensione
tangenziale xz lineare e la tensione normale trasversale sx una funzione parabolica. Nel caso in esame, anche linterazione trave-soletta composta, oltre che dalla parte attiva qz,
anche da una parte reattiva qy che pu essere dedotta attraverso condizioni di equilibrio.
dz
qyqz
mspsz
MsdMs
NsdNsTsdTs
Ns
Ms
Ts
psyh
Fig. 3. Forze sullelemento di trave in acciaio
Pertanto, considerando lelemento di trave in acciaio, le condizioni di equilibrio alla
traslazione verticale e alla rotazione forniscono la relazione
szsysy mhqpMq (37)
che pu essere espressa in termini di funzioni di spostamento come
ssydcsssy mpfhvwwhvIEq (38)
Sticky Notecostanti
Highlight
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Modello di trave composta
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6 SOLUZIONE IN FORMA CHIUSA PER LANALISI ELASTICA
6.1 Sistema differenziale modificato Sostituendo le equazioni (32a) e (32b), derivate una volta, nellequazione (32c) derivata due
volte, si ottiene il sistema differenziale seguente:
)(1
112
csccczszss
cc
ccyy
ss
cc
cc
tottot
cc
ss
cc
cc
AEppAEAE
AEhmpmp
AEAE
AE
EIv
EIhAE
AEAE
AEv
(39a)
vEImpphAhE
w totyszss
ss 1 (39b)
vEImpphAhE
w totyczcc
cc 1 (39c)
avendo definito ccsstot IEIEEI 6.2 Ipotesi sui carichi e notazioni quadratica zc quadratica zs (40a,b) costante yy pzp linearezm (40c,d) linearezpcz linearezp sz (40e,f)
costanteT costantecN (40g,h)
costantesN costanteM (40i,l)
Tali funzioni possono essere espresse come segue:
pyy czp (41a) mm czbzm mbzm (41b,c) pszpszsz czbzp pszsz bzp (41d,e) pczpczcz czbzp pczcz bzp (41f,g)
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Modello di trave composta
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cccc czbzaz 221 ccc bzaz cc az (41h,i,l)
ssss czbzaz 221 sss bzaz ss az (41m,n,o)
Dove (con = c,s) sono le deformazioni imposte alla soletta in calcestruzzo (pu simulare una precompressione) e alla trave in acciaio.
6.3 Sistema differenziale modificato semplificato in base alle ipotesi nelle equazioni (36)
)(11
12
csccczszss
cc
ccy
ss
cc
cctot
tot
cc
ss
cc
cc
AEppAEAE
AEhmp
AEAE
AEEI
vEI
hAEAEAE
AEv
(42a)
vEImpphAhE
w totyszss
ss 1 (42b)
vEImpphAhE
w totyczcc
cc 1 (42c)
6.4 Soluzione in forma chiusa del sistema differenziale Il sistema differenziale lineare (42) pu essere semplicemente integrato e si ottengono le
seguenti espressioni degli spostamenti:
24)(
1
1
11
26
4
2
65
2
4
3
321
zAEppAEAE
AEAEhmp
hAEEI
hAEAEAEAE
AE
CzCzCzCeCeCEI
hAEzv
csccczszss
cc
ss
ccy
cctot
cc
ss
ccss
cc
qzqz
tot
cc
(43a)
-
Modello di trave composta
17/47
6
1
)(
1
12
3
2
2
2
2
2
32
2
121
zAE
phAE
EIhAE
AEAE
EIhAE
AEAE
AEppAEAE
EIhAE
hmp
hAEEI
hAEAEAEEI
hAEwzwzwqeCqeCAEAEzw
ss
szscc
tot
cc
ss
cc
tot
cc
ss
cc
csccczszss
cc
tot
ccy
cctot
cc
ss
cctot
ccsss
qzqz
ss
ccs
(43b)
6
1
)(
1
12
3
2
2
2
2
2
32
2
121
zAE
phAE
EIhAE
EIhAE
AEAE
AEppAEAE
EIhAE
hmp
hAEEI
hAEAEAEEI
hAEwzwzwqeCqeCzw
cc
czccc
tot
cc
tot
cc
ss
cc
csccczszss
cc
tot
ccy
cctot
cc
ss
cctot
ccccc
qzqzc
(43c)
dove
t
cc
aa
cc
cc EIhAE
AEAE
AEq
201 [q] = [L-1] (44)
Condizioni al contorno
0 cccccc wNwAE cw , 0, L (45a) 0)( ssssss wNwAE sw , 0, L (45b)
-
Modello di trave composta
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0 vMvIEIE ccss v , 0, L (45c) 0 vmThvwwhvIEIE csccss v , 0, L (45d)
6.5 Equazioni aggiuntive A causa delle derivazioni il sistema differenziale modificato (39) non equivalente al sistema
originario (32). Le quattro condizioni aggiuntive che assicurano lequivalenza tra i due sistemi, considerando le ipotesi sui carichi (40), si possono ottenere sostituendo le soluzioni del sistema modificato (43a,b,c) nel sottoriportato sistema (46) formato dalle tre equazioni del sistema originario (32) pi una quarta equazione ottenuta derivando una volta la (32c), ed imponendo il passaggio in z = 0 (metodo di Cauchy).
czcscccc pvhwwwAE (46a) szcsssss pvhwwwAE )( (46b)
mpvIEIEhvwwh yccsscs (46c) 0 vIEIEhvwwh ccsscs (46d)
Si ottengono, infine, le seguenti espressioni.
Condizioni aggiuntive
032
11 CEIAEhww
AEAE
tot
cccs
ss
cc (47a)
')(1
1
1124
2
22
mpAEppAEAE
AEAEhmp
EIhAE
AEAEAE
AECEI
AEhwwAEAEh
ycsccczszss
cc
ss
ccy
tot
cc
ss
ccss
cc
tot
cccs
ss
cc
(47b)
0152
33
szssss
cc
tot
cccs
ss
cc pAEwAECEI
AEhwwAEAE (47c)
0152
33
czcccc
cc
tot
cccs
ss
cc pAEwAECEI
AEhwwAEAE (47d)
-
Modello di trave composta
19/47
Scorrimento allinterfaccia trave-soletta
zvhzwzwz cs (48) Momento totale agente
cccccyczccc
cccctotcsc
wCzwCAhEmphpAhEzwAhEvEIhNMMzM
2413
2
2
)( (49)
-
Modello di trave composta
20/47
7 METODO GENERALE PER LANALISI VISCOELASTICA
7.1 Introduzione Il sistema integro-differenziale (??) con associate le condizioni al contorno (??) descrive con
rigore matematico il problema fisico in esame. La sua integrazione in forma chiusa, tuttavia, particolarmente complicata, se non impossibile nel caso di funzioni di viscosit generiche. Il problema pu essere risolto, in modo approssimato, discretizzando opportunamente lasse temporale ed applicando il metodo generale al passo (step-by-step) [Bazant, 1972]; questo consente di trasformare il sistema integro-differenziale in una successione di sistemi differenziali. A questo punto generalmente conveniente definire una discretizzazione anche dellasse geometrico per risolvere numericamente le equazioni differenziali, ad esempio col metodo degli elementi finiti o delle differenze finite.
7.2 Discretizzazione temporale La discretizzazione dellintervallo temporale [t0, tf] in nt parti consente lapplicazione del ben
noto metodo generale di step-by-step. Gli integrali di sovrapposizione nel tempo vengono approssimati con serie finite di somme utilizzando la regola dei trapezi
tn
iiii
t
t
t,tJt,tJHH,tJ1
121d
0
(7.1)
dove la variabile di integrazione nel tempo, H una generica funzione del tempo t e iH Hti Hti1 lincremento della funzione H valutata fra gli istanti ti e ti1. 7.3 Equazione di bilancio
congr. , ,
d
d
0
sc
Lkksskcck
Lykksszkcczk
Lcszkskcksskcck
wwv
vTvMwNwNzvpvmwpwp
zvhwwqvMMwNwN
(7.2)
7.4 Risultanti interne delle tensioni (in funzione degli spostamenti)
1
0 ,
k
i ikc
cikckckckcck E
NEwAEN (7.3a)
1
0 ,
k
i ikc
cikckckcck E
MEvIEM (7.3b)
sksssk wAEN (7.3c)
vIEM ksssk (7.3d)
Highlight
Highlight
-
Modello di trave composta
21/47
dove
12
ikikkic t,tJt,tJ
E (7.4a)
11112
ikikikikic t,tJt,tJt,tJt,tJ
E (7.4b)
7.5 Equilibrio locale (in funzione degli spostamenti) Sottraendo termine a termine le equazioni (??) e (??) calcolate allistante tk1 da quelle relative
allistante tk, si ottiene un sistema differenziale, con le associate condizioni al contorno, che permette di determinare lincremento di ciascuna funzione di spostamento nellintervallo di tempo tk tk1. Il sistema risolvente discretizzato rispetto al tempo assume la seguente forma:
Equazioni di campo ( k 1,, nt)
1
1 11
1
k
icziidicisi
icczk
kkc
kdkckskkkc
kcskckc
pfvhwwE
pE
vhwwE
fSwA f (7.5a)
szkkdkckskskss pfvhwwwAE (7.5b)
1
1 1
1 1
k
iiyii
Tdicisiiss
ic
kykkkc
kTdkckskkss
kkckc
mpfvhwwhvIEE
mpE
fvhwwhvIEE
vI (7.5c)
1
1
1112
k
ii
ick
kkc
kdkcskck bE
bE
fIfIwS cc (7.5d)
Condizioni al contorno (k 1,, nt)
011 11
ck
ici
icck
kkckkcskckc wNE
NE
wA fS
cw , 0, L (7.6a)
0 sskskss wNwAE sw , 0, L (7.6b)
Highlight
Highlight
-
Modello di trave composta
22/47
011 11
vMvIEEMvIEEvIk
iiiss
ickkss
kkckc
v , 0, L (7.6c)
0 1
1
1
1
vTmvIEfvhwwhE
TmvIEfvhwwhE
vI
k
iiiissidicisi
ic
kkksskdkckskkkc
kc
v , 0, L (7.6d)
011 11
fEEfIwS
k
ii
ick
kkckcskck
f , 0, L (7.6e) Se il carico viene applicato allistante iniziale t0 e mantenuto costante, il sistema integro-
differenziale (23), con le condizioni al contorno (24), si trasforma in una successione di nt + 1 sistemi differenziali; il primo sistema, per t t0, coincide con quello del problema elastico (33) e (34) con Ec0 1 Jt0, t0; i successivi, allistante generico tk con k 1,, nt, presentano termini che tengono conto della completa storia di deformazione della struttura fino a quellistante, ossia termini che dipendono dalle soluzioni dei precedenti sistemi, rendendo cos necessaria una soluzione a cascata.
Poich gli integrali presenti nelle equazioni sono integrali di Stieltjes, gli effetti di discontinuit della generica funzione H sono colti automaticamente scegliendo una suddivisione dellintervallo temporale in modo da far coincidere un istante ti con listante in cui si verifica la discontinuit e, successivamente, imponendo ti1 ti. In tal modo possibile cogliere automaticamente gli incrementi elastici degli spostamenti incogniti dovuti ad un carico applicato allistante generico tk, con k 0,, nt, essendo
kkc t,tJE kk1 (7.7a)
01 icE
(7.7b)
La discretizzazione dellintervallo di tempo t0, tf in nt parti, viene eseguita secondo i criteri fissati da Bazant (1972) con una successione esponenziale caratterizzata da istanti molto ravvicinati allinizio dellanalisi. Ci consente di cogliere al meglio gli effetti della viscosit e del ritiro che nei primi periodi sono particolarmente accentuati. Si pu utilizzare la seguente successione di istanti temporali:
-
Modello di trave composta
23/47
fn
tmm
k
tt
n,...,ktttt
.tt
tt
t
12 10
010
001
01
00
(7.8)
con
010
1011
tttt
logn
mm ft
(7.9)
dove il tempo espresso in giorni.
-
Modello di trave composta
24/47
8 METODO DEGLI ELEMENTI FINITI 8 D.O.F. Definendo una discretizzazione anche dellasse geometrico consente di risolvere
numericamente le equazioni differenziali del sistema risolvente, ad esempio col metodo degli elementi finiti.
8.1 Campo di spostamenti approssimato Le funzioni di forma che approssimano il campo di spostamenti sono lineari per i due
spostamenti longitudinali e cubica per lo spostamento verticale.
cwc zzw wN sws zzw wN vN zzv v (8.1a,b,c) dove
2
1
c
cc w
ww
2
1
s
ss w
ww
2
2
1
1
v
v
v (8.2a,b,c)
sono i vettori che raggruppano gli spostamenti nodali dellelemento finito, e
,1wN (8.3a) 32323232 ,23,2,231 eev LLN (8.3b)
sono le matrici delle funzioni di forma degli spostamenti, avendo indicato con = z / Le lascissa adimensionale.
w1 w2
v1v2 12 (a) (b)
Le Le
Elemento finito ad 8 gradi di libert (8 d.o.f.): (a) spostamenti assiali della soletta e della trave di acciaio; (b) spostamento verticale della sezione composta
8.2 Teorema dei Lavori Virtuali La condizione di equilibrio determinata con il PLV pu essere riscritta in base alla
approssimazioni introdotte sulle funzioni di spostamento:
vk
wk
wk
k
sk
k
vvvwvw
vwwwww
vwwwww
s
c
sc
ssscs
csccc
ttt
vww
KKKKKKKKK c
(8.4)
Cross-Out
Sticky Note possibile
-
Modello di trave composta
25/47
dove le sottomatrici che compongono la matrice di rigidezza sono:
eL
ckc z''AE dwTww
Twww NNNNK cc (8.5a)
eL
zdwTwwwww NNKK cssc (8.5b)
eL
vwTv zh dNNKK
Twvw cc
(8.5c)
e
ssL
vwTv zh dNNKK
Twvw (8.5d)
eL
ss z''EA dwTww
Twww NNNNK ss (8.5e)
eL
ssckc z''hIEIE dvTvv
Tvvv NNNNK (8.5f)
e i sotto-vettori delle forze nodali sono
eLczk
k
i ikc
cickckck zpE
NAE d1
0 ,
Tw
Tww NNt c (8.6a)
zpeL
szkk d Tww Nt s (8.6b)
eL
ykk
n
i ikc
cikck zpmE
ME d1
0 ,
Tv
Tv
Tvv NNNt (8.6c)
Da notare che nei vettori delle forze nodali sono presenti, oltre ai termini dipendenti dai carichi (pcz, psz, py) e dalle deformazioni imposte ( c , s ), anche termini che tengono conto della storia delle tensioni dovuta al comportamento viscoso.
Integrando, si ottiene
BAww KKK cc ee
ckc LL
AE (8.7a)
Bwwww KKK cssc eL (8.7b)
CvTv hKKK cc ww (8.7c)
-
Modello di trave composta
26/47
CvTv hss KKK ww (8.7d)
BAww KKK ss ee
ss LLAE (8.7e)
Ee
De
sscc
Lh
LIEIE k KKKvv
2
3 (8.7f)
e
1
1 11
11
11
2 1k
ici
c
cckkcc
ezckk NE
EEALpi
k
cwt (8.8a)
11
2e
zskkLp
swt (8.8b)
1
1
101
01
0101
6
6
12
k
i eci
c
ck
e
eeykk L
MEEm
L
LLpi
kvt (8.8c)
dove
1111
AK
2112
61
BK
ee
eeC LL
LL6666
121K (8.9a,b,c,)
2
22
2.36
323636
2
e
e
eee
ee
D
LsymL
LLLLL
K
2
22
4.336
34336336
301
e
e
eee
ee
E
LsymL
LLLLL
K (8.9d,e)
e
ee
L
Tv
L
LLze
6
6
12dN da controllare! Sul vecchio file era
e
ee
L
Tv
L
LLze
12
12
12dN
-
Modello di trave composta
27/47
9 METODO DEGLI ELEMENTI FINITI 10 D.O.F. Lelemento finito di trave composta con coneesione flessibile ad 8 d.o.f. appena derivato ha
problemi numerici di locking della curvatura. Nel seguito si presenta un elemento finito simile, con un maggior numero di gradi di libert, 10 d.o.f., che non presenta problemi di locking.
9.1 Campo di spostamenti approssimato Le funzioni di forma che approssimano il campo di spostamenti sono paraboliche per i due
spostamenti longitudinali e cubica per lo spostamento verticale.
w z zc w c N w sws zzw wN v z zv N v (9.1a,b,c) dove
wcc
c
c
www
1
2
3
3
2
1
s
s
s
s
www
w v
v
v
1
1
2
2
(9.2a,b,c)
sono i vettori che raggruppano gli spostamenti nodali dellelemento finito, e
Nw 1 3 2 2 4 42 2 2 , , or 222 44,2,231 wN (9.3a) 32323232 ,23,2,231 eev LLN (9.3b) sono le matrici delle funzioni di forma degli spostamenti, avendo indicato con = z / Le lascissa adimensionale.
w1 w3 w2
v1v2 12 (a) (b)
Le Le Le
Elemento finito ad 8 gradi di libert (10 d.o.f.): (a) spostamenti assiali della soletta e della trave di acciaio; (b) spostamento verticale della sezione composta
9.2 Teorema dei Lavori Virtuali La condizione di equilibrio determinata con il PLV pu essere riscritta in base alla
approssimazioni introdotte sulle funzioni di spostamento:
vk
wk
wk
k
sk
k
vvvwvw
vwwwww
vwwwww
s
c
sc
ssscs
csccc
ttt
vww
KKKKKKKKK c
(9.4)
dove le sottomatrici che compongono la matrice di rigidezza sono:
-
Modello di trave composta
28/47
eL
ckc z''AE dwTww
Twww NNNNK cc (9.5a)
eL
zdwTwwwww NNKK cssc (9.5b)
eL
vwTv zh dNNKK
Twvw cc
(9.5c)
e
ssL
vwTv zh dNNKK
Twvw (9.5d)
eL
ss z''EA dwTww
Twww NNNNK ss (9.5e)
eL
ssckc z''hIEIE dvTvv
Tvvv NNNNK (9.5f)
e i sotto-vettori delle forze nodali sono
eLczk
k
i ikc
cikckck zpE
NAE d1
0 ,
Tw
Tww NNt c (9.6a)
zpeL
szkk d Tww Nt s (9.6b)
eLykk
n
i ikc
cikck zpmE
ME d1
0 ,
Tv
Tv
Tvv NNNt (9.6c)
Da notare che nei vettori delle forze nodali sono presenti, oltre ai termini dipendenti dai carichi (pcz, psz, py) e dalle deformazioni imposte ( c , s ), anche termini che tengono conto della storia delle tensioni dovuta al comportamento viscoso.
Integrando, si ottiene
BAww KKK cc ee
ckc LL
AE (9.7a)
BAww KKK ss ee
ss LL
AE
(9.7b)
16.24214
301
symLecssc wwww KK
(9.7c)
-
Modello di trave composta
29/47
4484487636
3676
601
eLTwvvw
Tvwvw sscc
KKKK da controllare (9.7d)
ee
ee
ee
LLLL
LLh
4484487636
3676
601T
wvvwTvwvw sscc
KKKK cos era nel vecchio file
2
222
2
22
3
4.336
34336336
302.
662323636
2
e
e
eee
ee
e
e
e
eee
ee
e
sscc
LsymL
LLLLL
Lh
LsymL
LLLLL
LIEIE k
vvK (9.7e)
e
1
1 2
1
445115
61
411
6011
k
i ci
ci
c
cezckkkcck N
N
EELpEA
i
k
cwt (9.8a)
411
6e
zskkLp
swt (9.8b)
1
1 2
1
011
011
1
0101
12
12
12
k
i ci
ci
e
e
ec
ck
e
eeykk M
M
L
LLE
Em
L
LLp
i
kvt da controllare (9.8c)
1
1 2
11
0101
6
6
12
k
i ci
ci
ec
ck
e
eeykk M
MacontrollatnonLE
Em
L
LLp
i
kvt cos nel vecchio file
con
16.
87817
31
sym
AK
16.24214
301
symBK (9.9a,b)
-
Modello di trave composta
30/47
10 SOLUZIONI IN FORMA SIMBOLICA La soluzione in forma simbolica viene determinata considerando ipotesi ulteriormente
semplificate sulle deformazioni imposte (funzioni lineari) (45) e sui carichi assiali distribuiti su trave di acciaio e soletta in calcestruzzo (psz e pcz costanti e m lineare) (46). La soluzione dipende complessivamente da dodici costanti di integrazione, 6 per v(z), 3 per ws(z) e 3 per wc(z). Tali costanti si determinano tramite le otto equazioni al contorno e le quattro equazioni aggiuntive che risultano semplificate rispetto a quelle precedentemente calcolate. Nel prosieguo si riportano le nuove ipotesi sui carichi e si determinano nuovamente le soluzioni e le condizioni aggiuntive. Successivamente vengono determinate le espressioni delle 12 costanti di integrazione e quindi le espressioni analitiche (in forma chiusa) delle funzioni di spostamento relativamente ad alcuni casi specifici (trave semplicemente appoggiata, doppiamente incastrata e mensola con carico uniformemente distribuito).
10.1 Ipotesi sui carichi e notazioni
lineare zc lineare zs (46a,b) costante yy pzp linearezm (46c,d) costantezpcz costantezp sz (46e,f) costanteT costantecN (46g,h)
costantesN costanteM (46i,l)
Tali funzioni possono essere espresse come segue:
yy pzp (47a) mm czbzm mbzm (47b,c) szsz pzp 0 zpsz (47d,e) czcz pzp 0 zpcz (47f,g) ccc czbz cc bz 0 zc (47h,i,l) sss czbz ss bz 0 zs (47m,n,o)
-
Modello di trave composta
31/47
Sistema disaccoppiato con le nuove assunzioni
mpEIAE
AEAE
vEI
hAEAEAE
AEv y
totss
cc
cctot
cc
ss
cc
cc
111
20 (48a)
vEImpAhE
w totyss
s 1 (48b)
vEImpAhE
w totycc
c 1 (48c)
Soluzioni in forma chiusa del sistema differenziale (48)
241
11
26
4
2
65
2
4
3
321
zhAEmp
EIhAE
AEAEAE
AE
CzCzCzCeCeCEI
hAEzv
cc
y
tot
cc
ss
ccss
cc
qzqz
tot
cc
(49a)
61
1
2
3
2
2
32
2
121
zhAEmp
EIhAE
AEAEEI
hAE
wzwzwqeCqeCAEAEzw
cc
y
tot
cc
ss
cctot
cc
sssqzqz
ss
ccs
(49b)
61
1
2
3
2
2
32
2
121
zhAEmp
EIhAE
AEAEEI
hAE
wzwzwqeCqeCzw
cc
y
tot
cc
ss
cctot
cc
cccqzqz
c
(49c)
-
Modello di trave composta
32/47
Condizioni aggiuntive
032
11 CEIAEhww
AEAE
tot
cccs
ss
cc (50a)
01
2
2
4
2
22
tot
cc
ss
cc
cc
y
tot
cc
cc
tot
cccs
ss
cc
EIAEh
AEAE
AhEmp
EIAEh
AEC
EIAEh
wwAEAE (50b)
0152
33
szssss
cc
tot
cccs
ss
cc pAEwAE
CEI
AEhww
AEAE (50c)
0152
33
czcccc
cc
tot
cccs
ss
cc pAEwAECEI
AEhwwAEAE (50d)
10.2 Caso A Trave semplicemente appoggiata con carico uniformemente distribuito
10.2.1
00sw 0Lv
00v
Condizioni al contorno
0)(000 cccccc NwAEw 00 LcccccLc NwAEw (A1a,b)
0000 ss ww 0)(0 LsssssLs NwAEw (A1c,d)
0000 MvEIv tot 00 LtotL MvEIv , (A1e,f)
0000 vv 00
LLvv (A1g,h)
-
Modello di trave composta
33/47
Espressioni delle costanti
)1(1
1
)1(1
)1(1)1(1
)1(1)1(1
)1(1
)(
1)1(
22
2
0
22
2
0
22
222
2
00
2
0
22
2
2
22
22
22
4
2
1
ql
tot
cc
ss
cc
css
ccql
ss
cclc
ss
ccs
ql
tot
cc
ss
cc
slss
ql
tot
cc
ss
cccc
szczss
cc
ql
tot
cc
ss
cccc
ctot
ccc
ss
cc
ql
tot
cc
ss
cccc
ltot
ccql
ql
tot
cc
ss
ccss
sl
ql
tot
cc
ss
cccc
ss
ccqlcl
tot
cc
ss
cccc
ql
ytot
cc
eEI
hAEAEAEq
AEAELe
AEAE
AEAE
eEI
hAEAEAEq
L
eEI
hAEAEAEqAE
PPLAEAE
eEI
hAEAEAEhqAE
hNMEI
hAENAEAEh
eEI
hAEAEAEhqAE
MEI
hAEe
eEI
hAEAEAEqAE
N
eEI
hAEAEAEqAE
AEAEeN
EIhAE
AEAEhAEeq
mpEI
hAE
C
(A2a)
)1(1
1
)1(1
1
)1(1)1(1
)1(1)1(1
)1(1
1
1)1(
'
22
2
222
0
22
2
2.
22
2
2
22
2
00
2
0
22
2
0
2
22
22
2
20
2
24
2
2
ql
tot
cc
ss
cc
cql
ss
ccql
ss
ccql
lcss
ccqlc
ql
tot
cc
ss
cc
sql
lslqql
ql
tot
cc
ss
cccc
szczss
ccql
ql
tot
cc
ss
cccc
ctot
ccc
ss
cc
ql
tot
cc
ss
cccc
qll
tot
ccql
ql
tot
cc
ss
ccss
qlsl
ql
tot
cc
ss
cccc
ss
ccqlc
ql
ss
ccqlcl
tot
cc
ss
cccc
ql
ytot
ccql
eEI
hAEAEAEq
LeAEAEe
AEAEe
AEAEe
eEI
hAEAEAEq
Leee
eEI
hAEAEAEqAE
PPLAEAEe
eEI
hAEAEAEAEhq
hNMEI
hAENAEAEh
eEI
hAEAEAEhqAE
MeMEI
hAEe
eEI
hAEAEAEqAE
eN
eEI
hAEAEAEqAE
AEAEeNe
AEAEeN
EIhAE
AEAEhAEeq
mpEI
hAEeC
(A2b)
-
Modello di trave composta
34/47
tot
cc
ss
cccc
ss
cclclco
ql
tot
cc
ss
cc
scss
cc
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cc
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ccc
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cc
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AEAEMMhNhN
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LLAEAE
AEAE
AEAE
AEPP
AEAE
EIhAE
AEAEhAE
mpLC
2
0
22
2
0
23
1
1)(
)1(1
11
)(11
'2
(A2c)
tot
cc
ss
cc
slscss
cc
lc
ss
cc
ss
ccc
tot
cc
ss
ccsscc
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sstot
cc
ss
cc
czsz
tot
cc
ss
cccc
y
tot
cc
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AEAE
LLAEAE
AEAE
AEAE
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AEAEhAEAE
NNhAEAEAEhNAEAEM
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PPL
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1
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(A2d)
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cc
ss
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cc
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L
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AEAEAE
LN
EIhAE
AEAELqAE
AEAEqL
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EIhAE
AEAELqAE
AEAEqLN
EIhAE
AEAEhLqAE
AEAEqL
EIhAEM
EIhAE
AEAEhLqAE
AEAEqL
EIhAEM
EIhAE
AEAEAEq
PPLq
qAEAEqL
EIhAEL
EIhAE
AEAEhAE
mpC
222
22
22
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22
2
22
22
22
220
22
222
0
22
222
22
22
2
222
25
1213
3
16
161212
12
16
1216
13
13
13
13
16
16
13
))(3(
24
112
1
'
(A2e)
-
Modello di trave composta
35/47
tot
cc
ss
cc
scss
cc
lcss
cc
ss
cccls
tot
cc
ss
cccc
ss
ccccl
ss
cc
tot
cc
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sl
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cc
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cc
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AEAE
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AEAE
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AEAEAEq
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AEAEhqAE
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hAE
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AEAEqAE
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EIhAE
AEAEhAE
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hAEC
22
0
22
0
22
22
0
2
22
42
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6
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1
1
1
11
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)(
1
'
(A2f)
tot
cc
ss
cc
ss
cc
tot
ccs
ss
ccc
tot
cc
ss
cc
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cc
tot
cc
ss
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lclcotot
cc
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cc
ss
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tot
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tot
cc
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cccc
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ccs
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AEAE
AEAE
EIhAE
AEAE
EIhAE
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EIhAE
EIhAE
AEAELhAE
MMhNhNEI
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AEAEAE
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AEAEhAE
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2
2
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1
11
1
1)(
1
'2
(A2g)
tot
cc
ss
cc
ss
cc
tot
ccsc
ss
cc
tot
cc
ss
cc
ctot
cc
ss
cc
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cc
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cc
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tot
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cccc
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cc
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ccclsl
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cc
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cc
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tot
cc
ss
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tot
cc
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AEAE
AEAE
EIhAE
AEAEL
EIhAE
AEAE
EIhAE
AEAE
EIhAED
EIhAE
EIhAE
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EIhAE
AEAEAE
EIhAEPPL
q
EIhAE
AEAEhAE
mpEI
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2
2
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222
2
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22
0
2
2
2
22
2
1
1
1
11
1
)(1
1
1)(
1
'2
(A2h)
qCqCWs 23 1 (A2i)
-
Modello di trave composta
36/47
tot
cc
ss
cc
scss
cc
lcctot
cc
tot
cc
ss
cccc
lclcotot
cc
tot
cc
ss
ccss
czsz
tot
cc
ss
cccc
y
tot
ccc
EIhAE
AEAE
L
LLAEAE
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hAE
EIhAE
AEAE
AhLE
MMhNhNEI
hAE
EIhAE
AEAE
AE
PP
EIhAE
AEAE
hAE
mpEI
hAELW
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0
2
2
0
2
22
2
1
11
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)(
1
'2
(A2j)
tot
cc
ss
cc
scss
cc
lcss
ccc
tot
cc
ls
tot
cc
ss
ccsscc
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cccssclccccsl
tot
ccss
tot
cc
ss
ccss
czsz
tot
cc
ss
cccc
y
tot
ccc
EIhAE
AEAE
LLAEAE
AEAE
EIhAE
EIhAE
AEAEhAEAE
EIhAEhNAEhNAEhAENM
EIhAEAE
EIhAE
AEAEAE
PPLq
EIhAE
AEAEhAE
mpEI
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0
2
2
2
00
2
22
2
2
2
1
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1
'
(A2k)
5)(2
31
3 CEIhAEW
AEAEPWAEW
tot
ccs
ss
ccszssccc
(A2l)
Scorrimento allinterfaccia trave-soletta:
12
2
21
2
1
'
)(1
ccccc
tot
cc
ss
cccc
y
tot
cc
qzqz
tot
cc
ss
cc
WAEzAE
EIhAE
AEAEhAE
mpEI
hAE
eCeCEI
hAEAEAE
(A3)
Momento totale agente
zcccyccWCzWCzmphAEzM 2413
2
2)( (A4)
-
Modello di trave composta
37/47
Forma compatta
)1(11
)1(1
)1(1)1(1)1(1
)1(1)1(1)(
)1(
220
220
2222000
22
22241
ql
cql
lcs
ql
slss
qlc
szczql
c
ccql
c
lql
qls
slql
c
qlcl
ql
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L
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eBDRhqhNBMhDN
eBDqhRBMe
eBDqRN
eBDqRDeN
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(A5a)
)1(1
1
)1(1
1
)1(1)1(1)1(1
)1(1)1(11
)1(
22
222
022
2.
22
2
22000
220
222
20
2
42
ql
cqlqlql
lcql
c
ql
sql
lslqql
qlc
szczql
qlc
ccql
c
qll
ql
qls
qlsl
qlc
qlc
qlqlcl
ql
ql
eBDq
DLeeDeDe
eBDq
Leee
eBDqRPPDLe
eBDRhqhNBMhDN
eBDqhRMeMBe
eBDqReN
eBDqRDeNeDeN
eqBPAeC
(A5b)
BDhLRDMMhNhN
eBDq
LDLDD
RPPDPALC
c
lclco
ql
sclcc
s
czsz
1)1)((
)1(1
11)()1(2
3
0
220
(A5c)
BDLDLDD
BDhRRNNhRRRhNRRM
RBDPPLBPAqC
slsclcc
sc
clslcsccosc
s
czsz
1
1
1)()(
1)(4
0
01
(A5d)
BDL
BDqqLD
BDqL
DDDqL
BDRLN
BDLqRDqLDN
BDLqRDqLN
BDhLqRDqLBM
BDhLqRDqLBM
BDRqPPLq
qDqLBPALC
lscs
lcclcc
s
sl
c
cl
c
c
c
c
l
s
czsz
12133
16
161212
12
161216
1313
13)1(3
16)1(6
13))(3(
24)1(125
2
22
200
22
2
22
2
220
2
220
2
22
2
22
2
22
(A5e)
BDqLDLDD
BDqRDNDN
BDRqN
BDhqRBM
BDqRPPLBPAqC
sclccls
c
ccl
s
sl
cs
czsz
1
1
11
111)(6
20
20
220
24
(A5f)
-
Modello di trave composta
38/47
BDDBD
BDL
BB
BDLhRMMhNhNB
BDRBPPBPALW
sclcc
c
lclco
c
czszs
1)1)((
1
111)(
21
0
01
(A5g)
BDDBDL
BD
DBBDB
BDhRhBNBMNNBh
BDRBPPLBPAqWs
scclcls
c
cclsl
c
czsz
11
1
11
1))(1(
1)1)((2
0
002
(A5h)
qCqCWs 23 1 (A5i)
BDLLDLBB
BDhLRMMhNhNB
BDRPPBPALW
sclcc
c
lclco
s
czszc
1
11)(
21
0
01
(A5j)
BDLDLDB
BDhRRBhNRhNRhRNBMR
BDRsPPL
BPAqW
sclccls
sc
csclccslsczszc
1
11)(
0
0022
(A5k)
5)(3 31 BCDWPWRWc sszssc
(A5l)
Scorrimento allinterfaccia trave-soletta:
121 )(1 cqzqz FWzBPAFeCeCBD (A6) Momento totale agente
zccccWCzWCzPhRzM 2413
2
2)(
(A7)
Con
ccc AER sss AER
cc AEF
tot
cc
EIhAE
B2
ss
cc
AEAED
hAEmP
Pcc
y )1(1 BDA
-
Modello di trave composta
39/47
Caso B Trave incastrata alla estremit sotto lazione di un carico uniformemente distribuito
00cw 0Lcw
00sw 0Lsw
00v 0
Lv
00v 0
Lv
Condizioni al contorno
0000 cc ww 00 LcLc ww (B1a,b)
0000 ss ww 00 LsLs ww (B1c,d)
0000 vv 00
LLvv , (B1e,f)
0000 vv 00
LLvv (B1g,h)
Espressioni delle costanti
qe
AE
EIAEh
AEAEhAE
mPLe
EIAEh
eC
C ql
cc
tot
cc
ss
cccc
yql
tot
ccql
1
1
1)1(
2
22
2
5
1
(B2a)
qe
AE
EIAEh
AEAEhAE
mPL
EIAEheCe
C ql
cc
tot
cc
ss
cccc
y
tot
ccqlql
1
1
1)1(
2
22
2
5
2
(B2b)
-
Modello di trave composta
40/47
cc
czszss
cc
ss
ccsc
tot
cc AE
PPAEAE
qAEAE
C
EIAEh
C 2523 1)(1 (B2c)
tot
cc
ss
cc
tot
cc
ss
cccc
y
tot
cc
tot
cc
ss
cc
czszcc
ss
ccsc
tot
cc
EIAEh
AEAELq
EIAEh
AEAEhAE
mPEI
AEh
EIAEh
AEAE
PPEsAs
AE
LqAEAECLqLq
EIAEh
qC
222
2
2
24
542
2
2
4
611
1
1313)(3
6 (B2d)
1122121
11
1
121
3322
223
22
2
5
ss
ccqlql
tot
cc
tot
cc
ss
cc
tot
cc
ss
ccscczsz
ss
ccql
tot
cc
ss
cccc
y
tot
cc
AEAEeLqqLqLe
EIAEh
EIAEh
AEAE
EIAEh
AEAEPP
AEAEqeqL
q
EIAEh
AEAEhAE
mPEI
AEhLC
(B2e)
cc
tot
cc
ss
cccc
yql
tot
ccqlql
ql AE
EIAEh
AEAEhAE
mPe
EIAEh
qeqeeCC 22
2
25
6
1
121
11
)1( (B2f)
cc
szs
cc
sss AE
P
AE
AEqCw 251 (B2g)
cc
szs
cc
ss
tot
cc
ss
cccc
y
tot
ccs AE
LPLAEAELCq
qL
EIAEh
AEAEhAE
mPEI
AEhw 3336
1
161
52
22
2
2
2 (B2h)
-
Modello di trave composta
41/47
53 Cws (B2i)
cc
czcc AE
PqCw 251 (B2j)
cc
czc
tot
cc
ss
cccc
y
tot
ccc AE
LPLLCq
qL
EIAEh
AEAEhAE
mpEI
AEhw
3336
1
161
52
22
2
2
2 (B2k)
53 Cwc (B2l)
Scorrimento allinterfaccia trave-soletta
czs
tot
cc
ss
cccc
y
tot
cccc
qLqLqz
qzqLqLqzqzqL
tot
cc
ss
cccc
y
tot
cc
cc
PqC
EIAEh
AEAEhAE
mpEI
AEhzAE
eee
eeeqCeee
EIAEh
AEAEhAE
mPEI
AEhL
AEz
252
2
2252
2
1
1
11
1111
1
(B3)
Momento totale agente
222
22
5
2
22
2
6)(
122
11
22
2)(1
LmP
PAEAE
PEI
AEhzL
EIAEh
hhAE
EIAEh
AEAE
qCEI
AEh
zLhAEzmPEI
AEh
EIAEh
zM
ysz
ss
cccz
tot
cc
tot
ccccc
tot
cc
ss
ccs
tot
ccc
ccytot
cc
tot
cc
(B4)
-
Modello di trave composta
42/47
10.3 Caso C Mensola incastrata in z = 0 con carico uniformemente distribuito
00cw
00sw
00v
00v
Condizioni al contorno
0000 cc ww 00 LcccccLc NwAEw C1a,b
0000 ss ww 0)(0 LsssssLs NwAEw C1c,d
0000 vv 00
LtotLMvEIv , C1e,f
0000 vv 0
0 31
Lssssz
ysccL
mTAEPh
zpCwAhEv C1g,h
Espressioni delle costanti
tot
cc
ss
ccqlccss
ccslssclql
qllslc
ql
tot
cc
ss
ccql
cs
tot
cc
ss
ccqlcc
czss
ccsz
qlcc
tot
cc
ss
cc
ylql
ltot
cc
ql
ql
tot
cc
ss
cccc
y
tot
cc
EIhAE
AEAEeAEqAE
AENAENeeq
e
EIhAE
AEAEeq
EIhAE
AEAEeAEq
PAEAEP
eAhEqEI
hAEAEAE
LmpmTqeMEI
hAE
eqe
EIhAE
AEAEhAE
mpEI
hAEC
222
22
223
223
232
2
242
2
1
1)1(
)()1(
)(
1)1(
)''(
1)1(
)1(1
))((
)1(1
'
(C2a)
-
Modello di trave composta
43/47
tot
cc
ss
ccql
lslcql
tot
cc
ss
ccqlc
czss
ccsz
tot
cc
ss
ccqlcc
ql
ss
ccslcl
tot
cc
ss
ccql
csql
tot
cc
ss
ccqlcc
qlqll
qly
qll
tot
cc
ql
ql
tot
cc
ss
cccc
y
tot
cc
EIhAE
AEAEeq
e
EIhAE
AEAEeRq
PAEAEP
EIhAE
AEAEeAEq
eAEAENN
EIhAE
AEAEeq
e
EIhAE
AEAEeAhEq
meqeMLemPeTEI
hAE
eqe
EIhAE
AEAEhAE
mpEI
hAEC
222
223
222
223
2
223
2222
242
2
2
1)1(
)(
1)1(1)1(
1)1(
)''(
1)1(
))'((
)1(1
'
(C2b)
tot
cc
ss
cccc
czss
ccsz
tot
cc
ss
cc
sc
tot
cc
ss
cccc
ss
ccyl
EIhAE
AEAEhAE
PAEAEP
EIhAE
AEAE
EIhAE
AEAEhAE
AEAEmLmPT
C2223
11
)''(
1
1)'( (C2c)
tot
cc
ss
cc
lslc
tot
cc
ss
ccsscc
ccslsscl
tot
cc
ss
cccc
czss
ccsz
tot
cc
ss
cc
sc
tot
cc
ss
cccc
ss
ccyll
tot
cc
ss
cccc
y
tot
cc
tot
cc
ss
cccc
y
ss
cc
EIhAE
AEAE
EIhAE
AEAEAEAE
AENAEN
EIhAE
AEAEAE
PAEAEPL
EIhAE
AEAEL
EIhAE
AEAEhAE
AEAELmLmPLTM
q
EIhAE
AEAEhAE
mpEI
hAE
EIhAE
AEAEhAE
mpAEAELC
222
22
2
22
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1
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1
1))'((
1
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1
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2
(C2d)
tot
cc
ss
cccc
czss
ccsz
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cc
ss
cc
cs
tot
cc
ss
cccc
yltot
cc
EIhAE
AEAEAEq
PAEAEP
qEI
hAEAEAE
EIhAE
AEAEhAEq
LmPTmEI
hAE
C2
2222
2
2
5
11
)''(
1
))'(( (C2e)
216 CCC (C2f)
-
Modello di trave composta
44/47
tot
cc
ss
cccc
cztot
ccsz
tot
cc
ss
cc
ss
cc
ss
ccc
tot
ccs
tot
cc
ss
cccc
yltot
cc
s
EIhAE
AEAEAE
PEI
hAEP
EIhAE
AEAE
AEAE
AEAE
EIhAE
EIhAE
AEAEhAE
LmPTmEI
hAE
W
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
'1'
1
))'((
(C2g)
tot
cc
ss
cccc
tot
ccslcl
tot
cc
ss
cccc
cztot
ccsz
tot
cc
ss
cc
ss
cc
ss
cc
lctot
cc
ls
tot
cc
ss
cc
ss
cc
ss
ccc
tot
ccs
tot
cc
ss
cccc
ylltot
cc
tot
cc
ss
cccc
y
tot
ccs
EIhAE
AEAEAE
EIhAENN
EIhAE
AEAEAE
PEI
hAEPL
EIhAE
AEAE
AEAE
AEAE
EIhAE
EIhAE
AEAE
AEAE
AEAE
EIhAEL
EIhAE
AEAEhAE
LmLmPLTMEI
hAE
Lq
EIhAE
AEAEhAE
mpEI
hAEW
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
22
2
2
2
1
1
1
1
1
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1
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21
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(C2h)
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22
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1
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AEAEP
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AEAE
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AEAE
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W2
2
2
2
2
2
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11
''
1
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-
Modello di trave composta
45/47
tot
cc
ss
cc
lstot
cc
ss
cc
lc
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cc
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cccc
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AEAE
EIhAE
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EIhAE
AEAEAE
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AEAEN
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AEAEhAE
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2
2
2
2
2
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2
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22
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11
11
''
1
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21
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(C2k)
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AEAEAEq
PAEAEP
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AEAEq
EIhAE
AEAEhAEq
LmPTmEI
hAE
W2
22
22
2
2
3
11
''
1
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Scorrimento allinterfaccia trave-soletta:
12
2
21
2
1
'
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y
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cc
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cc
ss
cc
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EIhAE
AEAEhAE
mpEI
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(C3)
Momento totale agente
22
2
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)'(21)'(')(
LAhEmP
AhELmPLTLmM
AEN
AEPLL
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zAhE
LmPTmAE
PhAEzM
cc
y
cc
yll
cc
cl
cc
czc
cc
y
cc
y
cc
czccc
(C4)
-
Modello di trave composta
46/47
Forma compatta
)1()(
)1()''(
)1()(
)1())((
)1()1()(
222323
2324221
qlsc
ql
qlcs
qlc
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lql
ql
qlcs
clslsclql
eqAe
eqA
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(C5a)
)1()(
)1()(
)1()(
)1()''(
)1())'((
)1(
222322
23
2
23
222
242
qlsc
ql
qlc
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c
qlslcl
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ql
qlc
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qly
qll
ql
ql
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eRqAPDP
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ehRqmeqeMLemPeTAB
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(C5b)
c
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c
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3 (C5c)
22
1
2
4
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C
sc
sc
cslscl
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c
yll
(C5d)
c
czszcs
c
yl
RqAPDP
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C 2225)()''())'(( (C5e)
216 CCC (C5f)
c
czszcs
c
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LmPTmBAW ))1(()')1('(
))'((1
(C5g)
22
2
2
21))1(())1((
))1(()')1('())'((
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ABNNR
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DBAD
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LmLmPLTMBAW
c
slcl
c
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c
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(C5h)
c
czszcs
c
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LmPTmBAW 2
223
)()''())'(( (C5i)
c
czszsc
c
ylc R
ABDPDPBDAhR
LmPTmBAW ))(()')('(
))'((1
(C5j)
-
Modello di trave composta
47/47
22
2
2
))((21))(())((
)')('())'((
BPAqABDBPALR
ADNBDNR
ABDPDPL
BDLAhR
LmLmPLTMBAW
scc
slcl
c
czsz
scc
yllc
(C5k)
c
czszcs
c
ylc Rq
APDPAqhRq
LmPTmBAW 2
223
)()''())'(( (C5l)
Scorrimento allinterfaccia trave-soletta:
1)21(1 FWcFPAzeCeCA qzqz (C6)
Momento totale agente
))21)'(
'(21)
)'('(()(
22
2
PLhR
LmPLTLmMRN
RPLLPzz
hRLmPTm
RPhRzM
c
yll
c
cl
c
czc
c
y
c
czcc
(C7)
Con
ccc AER sss AER
cc AEF
tot
cc
EIhAE
B2
ss
cc
AEAED
hAEmP
Pcc
y )1(
1 BDA
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