gauss jordan

GAUSS- JORDAN

ALGEBRA LINEAL

ESTE ES UN METODO PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES DE 3 A MAS INCOGNITAS. COMUNMENTE SON 3 (x, Y y z). EN GENERAL SE LLAMA METODO POR ELIMINACION DE GAUSS-

JORDAN.

PARA SABER COMO ES SU FORMULA, SERA REPRESENTADA A CONTINUACION:

PARA ECUACIONES DE 3 INCOGNITAS:

1 0 00 1 00 0 1

𝑥𝑦𝑧

PARA ECUACIONES DE 4 INCOGNITAS:

1 0 0 00 1 0 000

00

10

01

𝑤𝑥𝑦𝑧

Y TAMBIEN SE PUEDE HACER PARA ECUACIONES DE VARIAS INCOGNITAS, SIEMPRE Y CUANDO SEAN MAYORES DE 3. DONDE AL EMPEZAR Y ACOMODAR LOS COEFICIENTES DE LA ECUACION DEBE DE

QUEDAR DE LA SIGUENTE MANERA:

2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 93𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 7

2 3 −13 −1 11 1 1

917

DANDO UNA ESTRUCTURA AL COLOCAR LOS COEFICIENTES DE CADA INCOGNITA Y SU RESULTADO DE CADA ECUACION.

5𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 22𝑥 − 𝑦 + 10𝑧 = 9𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 5

5𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 22𝑥 − 𝑦 + 10𝑧 = 9𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 5

5 3 −12 −1 101 1 −2

295

REALIZAREMOS UN INVERSO MULTIPLICATIVO AL PRIMER NUMERO DE LA MATRIZ PARA QUE NOS DE RESULTADO UNO, ES DECIR:

5 ×1

5= 1

Y COMO TODA FILA SERA MULTIPLICADA POR 1/5 SE OBTIENE LO SIGUIENTE:

1

5..

5 3 −12 −1 101 1 −2

295=

13

5−

1

5

2 −1 101 1 −2

2

5

95

AHORA, PARA EMPEZAR A GENEREAR CEROS, BASTA SOLAMENTE REALIZAR UN INVERSO ADITIVO PARA LA 2da FILA Y 3ra FILA. ESTO SE HACE (PARA LA 2da FILA) MULTIPLICAR EL1 (QUE ESTA EN LA 1ra FILA) Y SUMAR O RESTAR (DEPENDIENDO DEL SIGNO) CON LA FILA SIGUIENTE (ARRIBA O ABAJO) HASTA ACOMPLETAR CREAR NUEVOS VALORES A CADA COLUMNA Y SIN

ALTERAR NADA LOS VALORES QUE ESTAN EN LA 1ra FILA.

−1 −2..

13

5−1

52 −1 101 1 −2

2

595

=

13

5−1

5

0 −11

5

52

5

02

5−9

5

2

541

523

5

SE REALIZARÁ NUEVAMENTE EL INVERSO MULTIPLICATIVO PARA LA 2da FILA (, ES DECIR:

−11

5−−−−−−−→ −

5

11

_

−5

11_

13

5−

1

5

0 −11

5

52

5

02

5−

9

5

2

541

523

5

=

13

5−

1

5

0 1 −52

11

02

5−

9

5

2

5

−41

1123

5

Y REALIZAMOS UN INVERSO ADITIVO PARA LA TODOS LOS VALORES DE LA 1ra Y 3ra FILA PARA IRLOS CONVIRTIENDO EN CERO E IR DESCUBRIENDO NUEVOS VALORES PARA LOS RESTANTES, ES

DECIR:

.

−2

5−3

5.

13

5−1

5

0 1 −52

11

02

5−9

5

2

5

−41

1123

5

=

1 029

11

0 1 −52

11

0 01

11

29

11

−41

1167

11

CONTINUAREMOS CON EN INVERSO MULTIPLICATIVO PARA 59

9CON EL FIN DE OBTENER LA

UNIDAD

.

.11

1 029

11

0 1 −52

11

0 01

11

29

11

−41

1167

11

=

1 029

11

0 1 −52

11

0 0 11

29

11

−41

11

67

Y PARA FINALIZAR APLICAMOS EL INVERSO ADITIVO PARA LA 2da Y 1ra FILA DE LA MATRIZ PARA IR OBTENIENDO CEROS.

.

.

−29

11

52

11

1 029

11

0 1 −52

11

0 0 1

29

11

−41

11

67

=1 0 00 1 00 0 1

−17431367

DONDE SE OBTIENE LOS RESULTADOS SIGUIENTES DE LA 4ta COLUMNA:

𝑥 = −174 𝑦 = 313 𝑧 = 67

DONDE ESTOS RESULTADOS YA SON LOS VALORES DE LAS INCOGNITAS x, y y z.

AHORA PARA SABER SI ESTOS VALORES SON CORRECTOS, LOS PODEMOS COMPROBAR MEDIANTE LAS ECUACIONES DADAS EN EL EJERCICIO, ES DECIR:

1) 5𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 2

2) 2𝑥 − 𝑦 + 10𝑧 = 9

3) 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 5

PRIMERO COMENZAREMOS CON LA 1ra ECUACION

1) 5𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 2

5 −174 + 3 313 − 67 = 2

−870 + 939 − 67 = 2

2 = 2

OBSERVAMOS QUE CONCUERDA BIEN NUESTRA COMPROBACION PERO AUN NO DEBEMOS DE CONFIAR. CONTINUAREMOS CON LA 2da ECUACION

2) 2𝑥 − 𝑦 + 10𝑧 = 9

2 −174 − 313 + 10 67 = 9

−348 − 313 + 670 = 9

9 = 9

Y PARA SEGUIR COMPROBANDO, UTILIZAREMOS LA 3ra ECUACION

3) 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 5

−174 + 313 − 2 67 = 5

5 = 5

AHORA VEAMOS COMO PODEMOS RESOLVER EL SIGUIENTE EJEMPLO

2𝑥 + 3𝑧 = 8𝑥 + 9𝑦 = −32𝑦 + 9𝑧 = 1

2𝑥 + 3𝑧 = 8

𝑥 + 9𝑦 = −3

2𝑦 + 9𝑧 = 1

Y COMENZAMOS POR ACOMODAR LOS COEFICIENTES A LA MATRIZ QUE RESOLVEREMOS:

2 0 31 9 00 2 9

8−31

Y REALIZAREMOS LOS PASOS SIGUENTES:

1

2..

2 0 31 9 00 2 9

8−31

=1 0

3

2

1 9 00 2 9

4−31

COMO EN LA 3ra FILA DE LA 1ra COLUMNA YA TIENE CERO SOLO NOS ENCARGAREMOS EL NUMERO DE LA 2da FILA DE LA 1ra COLUMNA REALIZANDO EL INVERSO ADITIVO, ES DECIR:

−1..

1 03

2

1 9 00 2 9

4−31

=

1 03

2

0 9 −3

2

0 2 9

4−71

AHORA NOS ENCARGAREMOS DEL 9 Y LO HAREMOS MULTIPLCANDO EL INVERSO

MULTIPLICATIVO ES DECIR DE 9 A 1

9:

.1

9.

1 03

2

0 9 −3

2

0 2 9

4−71

=

1 03

2

0 1 −1

6

0 2 9

4

−7

9

1

OBSERVAMOS QUE YA HAY UN CERO EN LA 2da COLUMNA DE LA 1ra FILA, ASI QUE, NOS FALTA CONVERTIR EL CERO DE LA 2da COLUMNA DE LA 3ra FILA UTILIZANDO EL INVERSO ADITIVO, ES

DECIR:

.−2.

1 03

2

0 1 −1

6

0 2 9

4

−7

9

1

=

1 03

2

0 1 −1

6

0 028

3

4

−7

923

9

Y COMVERTIREMOS EN LA UNIDAD EL ULTIMO NUMERO QUE ESTA EN LA 3ra FILA Y COLUMNA UTILIZANDO EL INVERSO MULTIPLICATIVO, ES DECIR:

.

.3

28

1 03

2

0 1 −1

6

0 028

3

4

−7

923

9

=

1 03

2

0 1 −1

6

0 0 1

4

−7

923

84

PARA FINALIZAR, CONVERTIREMOS EN CEROS LA 3ra COLUMNA DE LA 1ra y 2da FILA, ES DECIR:

.

.

−3

2

1

6

1 03

2

0 1 −1

6

0 0 1

4

−7

923

84

=1 0 00 1 00 0 1

201

56

−41

5623

84

Y POR LO TANTO LOS VALORES DE CADA VARIABLE SON:

𝑥 =201

56𝑦 = −

41

56𝑧 =

23

84

A CONTINUACION SE REALIZARA LA COMPROBACION PARA SABER SI ESTOS VALORES DE CADA VARIABLE SON CORRECTOS.

2𝑥 + 3𝑧 = 8

2201

56+ 3

23

84= 8

402

56+

69

84= 8

33768+3864

4704= 8

37632

4704= 8

8 = 8

𝑥 + 9𝑦 = −3

201

56+ 9 −

41

56= −3

201

56−

369

56= −3

201−369

56= −3

−168

56= −3

−3 = −3

2𝑦 + 9𝑧 = 1

2 −41

56+ 9

23

84= 1

−82

56+

207

84= 1

−6888+11592

4704= 1

4704

4704= 1

1 = 1

ESTAS 3 ECUACIONES CONCUERDAN (IGUAL QUE EL EJEMPLO ANTERIOR), ESTO QUIERE DECIR QUE LOS VALORES DE X, Y y Z SON CORRECTOS. RECUERDEN QUE AL MOMENTO DE COMPROBAR

UNA ECUACION Y CONCUERDA, NO HAY QUE CONFIARNOS SOLAMENTE EN 1 PORQUE NO SABEMOS SI LAS OTRAS ECUACIONES RESTANTES CONCUERDEN CON EL RESULTADO

ESTABLECIDO. ES RECOMENDABLE QUE SI QUIERES COMPROBAR TUS VALORES DE LAS VARIABLES, TIENES QUE HACERLOS A TODAS LAS ECUACIONES NO SOLAMENTE 1 Y SI TIENES

VALORES FRACCIONARIOS SERA CON MUCHA MAS RAZON, COMO EN EL CASO DEL 2do EJEMPLO.

BIBLIOGRAFIAS

Larson, Edwards, “INTRODUCCION AL ÁLGEBRA LINEAL”, 2006, Editorial LIMUSA, México, 752 Págs.