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0 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
KIT
INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK
GBI Tutorium 22
Roman Langrehr, 4. Tutorium am 17.11.2015
KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg undnationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu
Organisatorisches
1 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
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PhysikerInnen bitte am Ende der Stunde zu mir.
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2 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
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Vollständige Induktion
3 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
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Für n ∈ N0 sei An eine Aussage.Ziel: Für alle n ∈ N0 An beweisen.
Wir zeigen:A0 (Indukationsanfang, IA)Wenn An gilt (Induktionsvorraussetzung, IV), dann auch An+1(Induktionsschritt, IS) (n ∈ N0).
Vollständige Induktion
3 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
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Für n ∈ N0 sei An eine Aussage.Ziel: Für alle n ∈ N0 An beweisen.Wir zeigen:
A0 (Indukationsanfang, IA)Wenn An gilt (Induktionsvorraussetzung, IV), dann auch An+1(Induktionsschritt, IS) (n ∈ N0).
Vollständige Induktion
4 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
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Beispiel
x0 := 0
Für alle n ∈ N0 : xn+1 := xn + 2n + 1
Behauptung: Für alle n ∈ N gilt xn = n2
Beweis:I.A: n = 0 : x = 0 = 02
I.V: Für ein beliebiges, aber festes n ∈ N gelte xn = n2
I.S: n n + 1
xn+1 = xn + 2n + 1 =I.V .
n2 + 2n + 1 = (n + 1)2
�
Vollständige Induktion
4 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
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Beispiel
x0 := 0
Für alle n ∈ N0 : xn+1 := xn + 2n + 1
Behauptung: Für alle n ∈ N gilt xn = n2
Beweis:I.A: n = 0 : x = 0 = 02
I.V: Für ein beliebiges, aber festes n ∈ N gelte xn = n2
I.S: n n + 1
xn+1 = xn + 2n + 1 =I.V .
n2 + 2n + 1 = (n + 1)2
�
Vollständige Induktion
4 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
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Beispiel
x0 := 0
Für alle n ∈ N0 : xn+1 := xn + 2n + 1
Behauptung: Für alle n ∈ N gilt xn = n2
Beweis:I.A: n = 0 : x = 0 = 02
I.V: Für ein beliebiges, aber festes n ∈ N gelte xn = n2
I.S: n n + 1
xn+1 = xn + 2n + 1 =I.V .
n2 + 2n + 1 = (n + 1)2
�
Vollständige Induktion
4 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
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Beispiel
x0 := 0
Für alle n ∈ N0 : xn+1 := xn + 2n + 1
Behauptung: Für alle n ∈ N gilt xn = n2
Beweis:I.A: n = 0 : x = 0 = 02
I.V: Für ein beliebiges, aber festes n ∈ N gelte xn = n2
I.S: n n + 1
xn+1 = xn + 2n + 1 =I.V .
n2 + 2n + 1 = (n + 1)2
�
Vollständige InduktionVarianten
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Mehrere Induktionsanfänge
Späterer InduktionsanfangZurückgreifen auf alle Aussagen A0,A1, ...,An im Induktionsschritt
Vollständige InduktionVarianten
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Mehrere InduktionsanfängeSpäterer Induktionsanfang
Zurückgreifen auf alle Aussagen A0,A1, ...,An im Induktionsschritt
Vollständige InduktionVarianten
5 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
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Mehrere InduktionsanfängeSpäterer InduktionsanfangZurückgreifen auf alle Aussagen A0,A1, ...,An im Induktionsschritt
Vollständige Induktion
6 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
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AufgabeSei A ein Alphabet und R : A∗ → A∗ definiert durch:
R(ε) := ε
Für w ∈ A∗ und x ∈ A : R(xw) := R(w)x
Beweise, dass für w ∈ A∗ die Aussage |R (w) | = |w | gilt.
Vollständige Induktion
7 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
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AufgabeAlice und Bob feiern ihren Hochzeitstag. Auf ihrer Party befinden sichn ∈ N+ Paare. Dabei begrüßen sich alle Paare mit Ausnahme deseigenen Partners. xi bezeichne die Anzahl der Begrüßungen für i ∈ N+.Gebe eine geschlossene Formel für xi an und beweise diese.
Formale Sprache
8 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
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DefinitionSei A ein Alphabet. Dann nennt man L ⊆ A∗ eine (formale) Sprache überdem Alphabet A
Konkatenation formaler Sprachen
9 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
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DefinitionEs seien L1 und L2 formale Sprachen. Dann nennt man
L1 · L2 := {w1 · w2|w1 ∈ L1 und w2 ∈ L2}
BeispielEs sei A := {a,b} ein Alphabet und L1 := {a,aa} L2 := {ε,b} formaleSprachen. Dann ist:
L1 · L2 = {a,aa,ab,aab}
Satz (Assoziativität der Konkatenation von formalen Sprachen)
L1 · (L2 · L3) = (L1 · L2) · L3
Konkatenation formaler Sprachen
9 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
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DefinitionEs seien L1 und L2 formale Sprachen. Dann nennt man
L1 · L2 := {w1 · w2|w1 ∈ L1 und w2 ∈ L2}
BeispielEs sei A := {a,b} ein Alphabet und L1 := {a,aa} L2 := {ε,b} formaleSprachen. Dann ist:
L1 · L2 = {a,aa,ab,aab}
Satz (Assoziativität der Konkatenation von formalen Sprachen)
L1 · (L2 · L3) = (L1 · L2) · L3
Konkatenation formaler Sprachen
9 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
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DefinitionEs seien L1 und L2 formale Sprachen. Dann nennt man
L1 · L2 := {w1 · w2|w1 ∈ L1 und w2 ∈ L2}
BeispielEs sei A := {a,b} ein Alphabet und L1 := {a,aa} L2 := {ε,b} formaleSprachen. Dann ist:
L1 · L2 = {a,aa,ab,aab}
Satz (Assoziativität der Konkatenation von formalen Sprachen)
L1 · (L2 · L3) = (L1 · L2) · L3
Konkatenation formaler Sprachen
9 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
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DefinitionEs seien L1 und L2 formale Sprachen. Dann nennt man
L1 · L2 := {w1 · w2|w1 ∈ L1 und w2 ∈ L2}
BeispielEs sei A := {a,b} ein Alphabet und L1 := {a,aa} L2 := {ε,b} formaleSprachen. Dann ist:
L1 · L2 = {a,aa,ab,aab}
Satz (Assoziativität der Konkatenation von formalen Sprachen)
L1 · (L2 · L3) = (L1 · L2) · L3
Potenzen formaler Sprachen
10 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
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DefinitionFür eine formale Sprache L definiere wir:
L0 := {ε}Für alle k ∈ N0 : Lk+1 := L · Lk
BeispielEs sei A := {a,b} ein Alphabet und L := {a,aba}. Dann ist:
L0 = {ε}L1 = {a,aba}L2 = {aa,aaba,abaa,abaaba}L3 = {aaa,aabaa,abaaa,abaabaa,aaaba,aabaaba,abaaaba,abaabaaba}
Potenzen formaler Sprachen
10 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
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DefinitionFür eine formale Sprache L definiere wir:
L0 := {ε}Für alle k ∈ N0 : Lk+1 := L · Lk
BeispielEs sei A := {a,b} ein Alphabet und L := {a,aba}. Dann ist:
L0 = {ε}L1 = {a,aba}L2 = {aa,aaba,abaa,abaaba}L3 = {aaa,aabaa,abaaa,abaabaa,aaaba,aabaaba,abaaaba,abaabaaba}
Potenzen formaler Sprachen
10 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
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DefinitionFür eine formale Sprache L definiere wir:
L0 := {ε}Für alle k ∈ N0 : Lk+1 := L · Lk
BeispielEs sei A := {a,b} ein Alphabet und L := {a,aba}. Dann ist:
L0 = {ε}L1 = {a,aba}L2 = {aa,aaba,abaa,abaaba}L3 = {aaa,aabaa,abaaa,abaabaa,aaaba,aabaaba,abaaaba,abaabaaba}
Potenzen formaler Sprachen
11 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
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AufgabeEs sei L eine formale Sprache über einem Alphabet A mit |L| ∈ N0. Wasist |Ln| für n ∈ N0?
Lösung|L|n, wobei 00 =: 1.
Potenzen formaler Sprachen
11 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
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AufgabeEs sei L eine formale Sprache über einem Alphabet A mit |L| ∈ N0. Wasist |Ln| für n ∈ N0?
Lösung|L|n, wobei 00 =: 1.
Potenzen formaler Sprachen
12 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
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AufgabeWelche Eigenschaft muss eine formale Sprache L über einem AlphabetA erfüllen, damit
L0 ⊆ L1 ⊆ L2 ⊆ L3 ⊆ ...
gilt, erfüllen?
LösungL0 ⊆ L1 ⊆ L2 ⊆ L3 ⊆ ... gilt genau dann, wenn ε ∈ L gilt.
Potenzen formaler Sprachen
12 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
KIT
AufgabeWelche Eigenschaft muss eine formale Sprache L über einem AlphabetA erfüllen, damit
L0 ⊆ L1 ⊆ L2 ⊆ L3 ⊆ ...
gilt, erfüllen?
LösungL0 ⊆ L1 ⊆ L2 ⊆ L3 ⊆ ... gilt genau dann, wenn ε ∈ L gilt.
Konkatenationsabschluss formaler Sprachen
13 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
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DefinitionFür eine formale Sprache L über einem Alphabet A definieren wir denKonkatenationsabschluss L∗ als:
L∗ :=⋃
i∈N0
Li
BeispielEs sei A := {a,b} ein Alphabet und L := {aa,ab}. Dann ist
L∗ = {ε,aa,ab,aaaa,aaab,abaa,abab, ...}
Konkatenationsabschluss formaler Sprachen
13 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
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DefinitionFür eine formale Sprache L über einem Alphabet A definieren wir denKonkatenationsabschluss L∗ als:
L∗ :=⋃
i∈N0
Li
BeispielEs sei A := {a,b} ein Alphabet und L := {aa,ab}. Dann ist
L∗ = {ε,aa,ab,aaaa,aaab,abaa,abab, ...}
Konkatenationsabschluss formaler Sprachen
13 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
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DefinitionFür eine formale Sprache L über einem Alphabet A definieren wir denKonkatenationsabschluss L∗ als:
L∗ :=⋃
i∈N0
Li
BeispielEs sei A := {a,b} ein Alphabet und L := {aa,ab}. Dann ist
L∗ = {ε,aa,ab,aaaa,aaab,abaa,abab, ...}
ε-freier Konkatenationsabschluss formalerSprachen
14 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
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DefinitionFür eine formale Sprache L über einem Alphabet A definieren wir denε-freien Konkatenationsabschluss L+ als:
L+ :=⋃
i∈N+
Li
BeispielEs sei A := {a,b} ein Alphabet und L := {aa,ab}. Dann ist
L+ = {aa,ab,aaaa,aaab,abaa,abab, ...}
Satz
L∗ = L0 ∪ L+ = {ε} ∪ L+
ε-freier Konkatenationsabschluss formalerSprachen
14 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
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DefinitionFür eine formale Sprache L über einem Alphabet A definieren wir denε-freien Konkatenationsabschluss L+ als:
L+ :=⋃
i∈N+
Li
BeispielEs sei A := {a,b} ein Alphabet und L := {aa,ab}. Dann ist
L+ = {aa,ab,aaaa,aaab,abaa,abab, ...}
Satz
L∗ = L0 ∪ L+ = {ε} ∪ L+
ε-freier Konkatenationsabschluss formalerSprachen
14 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
KIT
DefinitionFür eine formale Sprache L über einem Alphabet A definieren wir denε-freien Konkatenationsabschluss L+ als:
L+ :=⋃
i∈N+
Li
BeispielEs sei A := {a,b} ein Alphabet und L := {aa,ab}. Dann ist
L+ = {aa,ab,aaaa,aaab,abaa,abab, ...}
Satz
L∗ = L0 ∪ L+ = {ε} ∪ L+
ε-freier Konkatenationsabschluss formalerSprachen
14 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
KIT
DefinitionFür eine formale Sprache L über einem Alphabet A definieren wir denε-freien Konkatenationsabschluss L+ als:
L+ :=⋃
i∈N+
Li
BeispielEs sei A := {a,b} ein Alphabet und L := {aa,ab}. Dann ist
L+ = {aa,ab,aaaa,aaab,abaa,abab, ...}
Satz
L∗ = L0 ∪ L+ = {ε} ∪ L+
Konkatenationsabschlüsse formaler Sprachen
15 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
KIT
AufgabeEs sei A := {a,b} ein Alphabet. Drücke durch Konkatenationsabschlüssedie formale Sprache
L := {w ∈ A∗|w 6∈ {w ∈ A∗|w = u · ab · v mit u, v ∈ A∗}}
Lösung
L = {b}∗ · {a}∗
Konkatenationsabschlüsse formaler Sprachen
15 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
KIT
AufgabeEs sei A := {a,b} ein Alphabet. Drücke durch Konkatenationsabschlüssedie formale Sprache
L := {w ∈ A∗|w 6∈ {w ∈ A∗|w = u · ab · v mit u, v ∈ A∗}}
Lösung
L = {b}∗ · {a}∗
Konkatenationsabschlüsse formaler Sprachen
16 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
KIT
AufgabenEs sei A := {a,b}. Beschreiben Sie unter Benutzung nur der Symbole{, },a,b, ε,∪,∗ und +, sowie runde Klammer auf, runde Klammer zu undKomma, die folgenden formalen Sprachen:
die Menge aller Wörter über A, die das Teilwort ab enthalten;
Lösung
{a,b}∗ {ab} {a,b}∗
die Menge aller Wörter über A, deren vorletztes Zeichen ein b ist;
Lösung
{a,b}∗ {b} {a,b}
Konkatenationsabschlüsse formaler Sprachen
16 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
KIT
AufgabenEs sei A := {a,b}. Beschreiben Sie unter Benutzung nur der Symbole{, },a,b, ε,∪,∗ und +, sowie runde Klammer auf, runde Klammer zu undKomma, die folgenden formalen Sprachen:
die Menge aller Wörter über A, die das Teilwort ab enthalten;
Lösung
{a,b}∗ {ab} {a,b}∗
die Menge aller Wörter über A, deren vorletztes Zeichen ein b ist;
Lösung
{a,b}∗ {b} {a,b}
Konkatenationsabschlüsse formaler Sprachen
16 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
KIT
AufgabenEs sei A := {a,b}. Beschreiben Sie unter Benutzung nur der Symbole{, },a,b, ε,∪,∗ und +, sowie runde Klammer auf, runde Klammer zu undKomma, die folgenden formalen Sprachen:
die Menge aller Wörter über A, die das Teilwort ab enthalten;
Lösung
{a,b}∗ {ab} {a,b}∗
die Menge aller Wörter über A, deren vorletztes Zeichen ein b ist;
Lösung
{a,b}∗ {b} {a,b}
Konkatenationsabschlüsse formaler Sprachen
16 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
KIT
AufgabenEs sei A := {a,b}. Beschreiben Sie unter Benutzung nur der Symbole{, },a,b, ε,∪,∗ und +, sowie runde Klammer auf, runde Klammer zu undKomma, die folgenden formalen Sprachen:
die Menge aller Wörter über A, die das Teilwort ab enthalten;
Lösung
{a,b}∗ {ab} {a,b}∗
die Menge aller Wörter über A, deren vorletztes Zeichen ein b ist;
Lösung
{a,b}∗ {b} {a,b}
Konkatenationsabschlüsse formaler Sprachen
17 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
KIT
AufgabenEs sei A := {a,b}. Beschreiben Sie unter Benutzung nur der Symbole{, },a,b, ε,∪,∗ und +, sowie runde Klammer auf, runde Klammer zu undKomma, die folgenden formalen Sprachen:
die Menge aller Wörter über A, in denen nirgends zwei b’s unmittelbarhintereinander vorkommen.
Lösung
{a,ba}∗ {b, ε}
Konkatenationsabschlüsse formaler Sprachen
17 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
KIT
AufgabenEs sei A := {a,b}. Beschreiben Sie unter Benutzung nur der Symbole{, },a,b, ε,∪,∗ und +, sowie runde Klammer auf, runde Klammer zu undKomma, die folgenden formalen Sprachen:
die Menge aller Wörter über A, in denen nirgends zwei b’s unmittelbarhintereinander vorkommen.
Lösung
{a,ba}∗ {b, ε}
Konkatenationsabschlüsse formaler Sprachen
18 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
KIT
AufgabeWähle ein Alphabet und beschreibe eine formale Sprache über diesemAlphabet, die alle ganzen Zahlen (Z) in Dezimalschreibweise (ohneführende Nullen) beschreibt.
LösungEs sei A := {−,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} das Alphabet. Dann beschreibt
L := {ε,−} ·({0} ∪
({1,2,3,4,5,6,7,8,9} · {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}∗
))
Konkatenationsabschlüsse formaler Sprachen
18 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
KIT
AufgabeWähle ein Alphabet und beschreibe eine formale Sprache über diesemAlphabet, die alle ganzen Zahlen (Z) in Dezimalschreibweise (ohneführende Nullen) beschreibt.
LösungEs sei A := {−,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} das Alphabet. Dann beschreibt
L := {ε,−} ·({0} ∪
({1,2,3,4,5,6,7,8,9} · {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}∗
))
Konkatenationsabschlüsse formaler Sprachen
19 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
KIT
AufgabeEs sei A ein Alphabet und L eine formale Sprache über A. ZeigeL∗ · L = L+
Konkatenationsabschlüsse formaler Sprachen
20 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
KIT
AufgabeKann ε ∈ L+ gelten? Wenn ja, wann?
LösungJa. ε ∈ L+ gilt genau dann, wenn ε ∈ L.
AufgabeWas ist ∅∗? Was ist ∅+?
Lösung
∅∗ = {ε}∅+ = ∅
Konkatenationsabschlüsse formaler Sprachen
20 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
KIT
AufgabeKann ε ∈ L+ gelten? Wenn ja, wann?
LösungJa. ε ∈ L+ gilt genau dann, wenn ε ∈ L.
AufgabeWas ist ∅∗? Was ist ∅+?
Lösung
∅∗ = {ε}∅+ = ∅
Konkatenationsabschlüsse formaler Sprachen
20 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
KIT
AufgabeKann ε ∈ L+ gelten? Wenn ja, wann?
LösungJa. ε ∈ L+ gilt genau dann, wenn ε ∈ L.
AufgabeWas ist ∅∗? Was ist ∅+?
Lösung
∅∗ = {ε}∅+ = ∅
Konkatenationsabschlüsse formaler Sprachen
20 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
KIT
AufgabeKann ε ∈ L+ gelten? Wenn ja, wann?
LösungJa. ε ∈ L+ gilt genau dann, wenn ε ∈ L.
AufgabeWas ist ∅∗? Was ist ∅+?
Lösung
∅∗ = {ε}∅+ = ∅
Dezimaldarstellung von Zahlen
21 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
KIT
DefinitionSei Z10 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ein Alphabet. Dann definieren wir:
num10 : Z10 → N0
0 7→ 0
1 7→ 1
2 7→ 2
3 7→ 3
4 7→ 4
5 7→ 5
6 7→ 6
7 7→ 7
8 7→ 8
9 7→ 9
Dezimaldarstellung von Zahlen
22 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
KIT
DefinitionDesweiteren definieren wir Num10 : Z ∗
10 → N0 durch:
Num10 (ε) := 0
Für w ∈ Z ∗10 und x ∈ Z10 : Num10 (wx) := 10 · Num10 (w) + num10 (x)
div
23 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
KIT
DefinitionSei x, y ∈ N0. Dann bezeichne x div y das Ergebnis der ganzzahligenDivision von x durch y.
Beispiel
4 div 2 = 2
5 div 3 = 1
div
23 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
KIT
DefinitionSei x, y ∈ N0. Dann bezeichne x div y das Ergebnis der ganzzahligenDivision von x durch y.
Beispiel
4 div 2 = 2
5 div 3 = 1
mod
24 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
KIT
DefinitionSei x, y ∈ N0. Dann bezeichne x mod y den Rest der ganzzahligenDivision von x durch y.
Beispiel
4 mod 2 = 0
5 mod 3 = 2
mod
24 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
KIT
DefinitionSei x, y ∈ N0. Dann bezeichne x mod y den Rest der ganzzahligenDivision von x durch y.
Beispiel
4 mod 2 = 0
5 mod 3 = 2
k-äre Darstellung von Zahlen
25 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
KIT
DefinitionenSei Zk ein Alphabet mit k Ziffern, denen je genau eine Zahl aus Zkeineindeutig zuzuordnen ist.numk : Zk → Zk bezeichne diese Zahl für jede Ziffer.reprk : Zk → Zk : i 7→ num−1
k (i) ist die zugehörige Umkehrfunktion.
Desweiteren definieren wir Numk : Z ∗k → N0:
Numk (ε) := 0
Für w ∈ Z ∗k und x ∈ Zk : Num10 (wx) := k · Numk (w) + numk (x)
und
Reprk : N0 → Z ∗k : n 7→
{reprk (n) falls n < kReprk (n div k) · reprk (n mod k) falls n ≥ k
k-äre Darstellung von Zahlen
25 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
KIT
DefinitionenSei Zk ein Alphabet mit k Ziffern, denen je genau eine Zahl aus Zkeineindeutig zuzuordnen ist.numk : Zk → Zk bezeichne diese Zahl für jede Ziffer.reprk : Zk → Zk : i 7→ num−1
k (i) ist die zugehörige Umkehrfunktion.Desweiteren definieren wir Numk : Z ∗
k → N0:
Numk (ε) := 0
Für w ∈ Z ∗k und x ∈ Zk : Num10 (wx) := k · Numk (w) + numk (x)
und
Reprk : N0 → Z ∗k : n 7→
{reprk (n) falls n < kReprk (n div k) · reprk (n mod k) falls n ≥ k
k-äre Darstellung von Zahlen
25 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
KIT
DefinitionenSei Zk ein Alphabet mit k Ziffern, denen je genau eine Zahl aus Zkeineindeutig zuzuordnen ist.numk : Zk → Zk bezeichne diese Zahl für jede Ziffer.reprk : Zk → Zk : i 7→ num−1
k (i) ist die zugehörige Umkehrfunktion.Desweiteren definieren wir Numk : Z ∗
k → N0:
Numk (ε) := 0
Für w ∈ Z ∗k und x ∈ Zk : Num10 (wx) := k · Numk (w) + numk (x)
und
Reprk : N0 → Z ∗k : n 7→
{reprk (n) falls n < kReprk (n div k) · reprk (n mod k) falls n ≥ k
Wichtige Zahlendarstellungen
26 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
KIT
BinärdarstellungMit Z2 := {0,1} und num2 (0) =: 0 und num2 (1) =: 1
HexadezimaldarstellungMit Z16 := (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F ) mit
num16 (0) =: 0...
num16 (9) =: 9
num16 (A) =: 10
num16 (B) =: 11
num16 (C) =: 12
num16 (D) =: 13
num16 (E) =: 14
num16 (F ) =: 15
Wichtige Zahlendarstellungen
26 17.11.2015 Roman Langrehr – GBI Tutorium 22 INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.net/gbi1516
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BinärdarstellungMit Z2 := {0,1} und num2 (0) =: 0 und num2 (1) =: 1
HexadezimaldarstellungMit Z16 := (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F ) mit
num16 (0) =: 0...
num16 (9) =: 9
num16 (A) =: 10
num16 (B) =: 11
num16 (C) =: 12
num16 (D) =: 13
num16 (E) =: 14
num16 (F ) =: 15
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