geodetickÉ vÝpoČty i....• těžnice se protínají v jednom bodě, který se nazývá...
Post on 02-Dec-2020
14 Views
Preview:
TRANSCRIPT
GEODETICKÉ VÝPOČTY I.
SPŠS Č.BudějoviceObor Geodézie a Katastr nemovitostí
2.ročník
TROJÚHELNÍK
PYTHAGOROVA VĚTA
PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ
TROJÚHELNÍK• trojúhelník je geometrický rovinný útvar určený třemi
body, neležícími v jedné přímce.
• má 3 vrcholy, 3 strany a 3 vnitřní úhly
• vrcholy se označují velkým tiskacím písmenem, strany se označují malým písmenem příslušným protějšímu vrcholu, úhly se označují malým řeckým písmenem.
Geodetické výpočty I.PYTHAGOROVA VĚTA, PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ
úhly se označují malým řeckým písmenem.
• typy:
• podle stran
• podle úhlů
ZÁKLADNÍ PRAVIDLA V TROJÚHELNÍKU
A, B, C – 3 vrcholy, , - 3 vnitřní úhly (vnější úhly ´,´,´,´´,´´,´´ )a, b, c – 3 strany
PLATÍ:• trojúhelníkové nerovnosti a + b > c, b + c > a a c + a > b - součet
Geodetické výpočty I.PYTHAGOROVA VĚTA, PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ
• trojúhelníkové nerovnosti a + b > c, b + c > a a c + a > b - součet dvou libovolných stran trojúhelníku je vždy delší než strana třetí
• + + = 180° - součet všech vnitřních úhlů je v každém trojúhelníku 180°,
• ’ + ’ + ’ = 360° - součet všech vnějších úhlů je v každém trojúhelníku 360° ,
• + ’ = + ’ = + ’ = 180° - součet vnitřního a příslušného vnějšího úhlu je 180°,
• + = ’, + = ’, + = ’ - součet dvou vnitřních úhlů se rovná vnějšímu úhlu u zbývajícího vrcholu
Geodetické výpočty I.PYTHAGOROVA VĚTA, PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ
DŮLEŽITÉ ÚSEČKY V TROJÚHELNÍKU• Výška je kolmice spuštěná z
vrcholu na protější stranu.
• pro výšky platí
• Těžnice je úsečka, jejímiž krajními body jsou střed strany a protilehlý vrchol trojúhelníku
• Těžnice se protínají v jednom bodě, který se nazývá těžiště.
• Těžiště rozděluje každou těžnici na dva díly v poměru 2 : 1
• trojúhelníky (ABT, ACT, CBT), všechny tři mají stejný obsah.
Geodetické výpočty I.PYTHAGOROVA VĚTA, PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ
OBVOD A OBSAH TROJÚHELNÍKU
• Obvod trojúhelníku o se vypočte jako součet všech jeho stran
• Obsah trojúhelníku S se vypočte
o = a + b + c
• Obsah trojúhelníku S se vypočte
• jako polovina součinu libovolné strany a k ní příslušné výšky:
• podle Heronova vzorce
S = (a · va) / 2 = (b · vb) / 2 = (c · vc) / 2
kde s = o / 2
Geodetické výpočty I.PYTHAGOROVA VĚTA, PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ
PYTHAGOROVA VĚTA
• Obsah čtverce nad přeponou pravoúhlého rovinného trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců nad jeho odvěsnami
c2 = a2 + b2
a, b jsou délky odvěsenc je délka přepony
Geodetické výpočty I.PYTHAGOROVA VĚTA, PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ
PYTHAGOROVA VĚTA
c2 = a2 + b2
Zadání: Přední strana stanu typu „áčko“ měří u země 150 cm. Boční stěna stanu od země k vrcholu stanu měří 180 cm. Jak vysoký je stan?
ca
b
Geodetické výpočty I.PYTHAGOROVA VĚTA, PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ
PYTHAGOROVA VĚTA
c2 = a2 + b2
Zadání: Čtverci o straně 5,00 cm je opsána a vepsána kružnice. Určete poloměry obou kružnic
a = 5 cmR = a / 2
Rv
Ro
Rv = a / 2
Rv = 5,00 / 2 = 2,50 cm..
Rv
Geodetické výpočty I.PYTHAGOROVA VĚTA, PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ
PYTHAGOROVA VĚTA
c2 = a2 + b2
Zadání: Určete vzdálenost s mezi body A a B, pokud znáte souřadnice Y a X obou bodů.
+Y 5 2YA = 5 m XA = 1 mYB = 2 m XB = 5 m
+X
1
5
A
B
YB = 2 m XB = 5 m
s?
kontrola výsledku: S = 5 m
Geodetické výpočty I.PYTHAGOROVA VĚTA, PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ
PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ
• dva Δ jsou si podobné, shodují-li se v úhlech, které si navzájem odpovídají – postačí shodují-li se ve dvou úhlech
VĚTA UU
Geodetické výpočty I.PYTHAGOROVA VĚTA, PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ
PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ• Každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry
délek dvou odpovídajících si stran a shodují se v úhlu jimi sevřeném, jsou podobné.
VĚTA SUS
Geodetické výpočty I.PYTHAGOROVA VĚTA, PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ
PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ
• každé dva trojúhelníky, které mají sobě rovné poměry délek všech tří dvojic odpovídajících si stran, jsou podobné
VĚTA SSS
Geodetické výpočty I.PYTHAGOROVA VĚTA, PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ
PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ
Zadání: Zapište podobnost a zkratku uvedené věty pro odvození podobnosti Δ – UU, SUS, SSS
Geodetické výpočty I.PYTHAGOROVA VĚTA, PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ
PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ
Zadání: Zapište podobnost a zkratku uvedené věty pro odvození podobnosti Δ – UU, SUS, SSS
ABC ~ MKL (uu)ABC ~ MKL (uu)ABC ~ MKL (uu)
ABC ~ PQO ~ MKL ~ EFG
EFG ~ MKL (sus; k = 1/2)
OPQ ~ GEF (sss; k = 2/3)
ABC ~ MKL (uu)
OPQ ~ GEF (sss; k = 2/3)
EFG ~ MKL (sus; k = 1/2)
Geodetické výpočty I.PYTHAGOROVA VĚTA, PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ
PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ
• platí, že
• stejnolehlé strany a příčky v podobných Δ jsou úměrné,
• obsahy podobných Δ se mají k sobě jako čtverce
jeden trojúhelník je zvětšení druhého
• obsahy podobných Δ se mají k sobě jako čtverce stejnolehlých stran nebo příček,
• dva Δ jsou podobné, jsou-li jejich odpovídající si strany rovnoběžné, nebo navzájem kolmé,
• dva pravoúhlé Δ jsou podobné, shodují-li se v jednom ostrém úhlu nebo v poměru dvou odpovídajících si stran,
• dva rovnoramenné Δ jsou podobné, shodují-li se v úhlu při základně nebo v úhlu při vrcholu,
• každé dva rovnostranné trojúhelníky jsou si podobné.
Geodetické výpočty I.PYTHAGOROVA VĚTA, PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ
PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ
b
a
A
C
d
M
O
n
p m
c
A
BD
MNP
o
CA : CB = OM : ON
AB : DB = MN : PN
b : c = n : o
PΔ ABC : PΔ MNO = AB2 : MN2
Geodetické výpočty I.PYTHAGOROVA VĚTA, PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ
PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ
bA B
y S
Zadání: Určete hodnotu y = AS na základě podobnosti Δ. a = 15,65 mb = 85,62 mx = 11,98 my = ?
podobné Δ jsou : Δ ABB´ = Δ ASS´
b : a = y : x
b
B´S´
ax
y : b = x : anebo
=>> y = 65,54 m
Geodetické výpočty I.PYTHAGOROVA VĚTA, PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ
PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ
Zadání : Grafická interpolaceRozdělte úsečku AB neznámé délky na dvě části v poměru 3:2
Geodetické výpočty I.PYTHAGOROVA VĚTA, PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ
PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ
Zadání : Vypočtěte polohu (staničení) průsečíku S spojnice AB s měřickou přímkou
15
,25
A
15
,25
45
,84
98
,76
11
,87
B
S
staničení kolmicesA = 45,84 m kA = -15,25 msB = 98,76 m kB = 11,87 msS = ? kS = ?
Geodetické výpočty I.PYTHAGOROVA VĚTA, PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ
PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ
Zadání : Vypočtěte polohu (staničení) průsečíku S spojnice AB s měřickou přímkou
sB – sA : x1 = kA + kB : kA
52,92 : x = 27,12 : 15,25
staničení kolmicesA = 45,84 m kA = -15,25 msB = 98,76 m kB = 11,87 msS = ? kS = ?
52,92 : x1 = 27,12 : 15,25
sS = 45,84 + 29,76 = 75,60 mkS = 0,00 m
Ověřte výpočet sS za pomocí trojúhelníka s x2 .
Geodetické výpočty I.ÚVOD, ZÁKLADNÍ POČETNÍ ÚKONY A ZKOUŠKY
REKAPITULACE
TROJÚHELNÍK, PYTHAGOROVA VĚTA, PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ
• ZÁKLADNÍ PRAVIDLA V TROJÚHELNÍKU• ZÁKLADNÍ PRAVIDLA V TROJÚHELNÍKU
• DŮLEŽITÉ ÚSEČKY – VÝŠKA, TĚŽNICE
• OBVOD A OBSAH TROJÚHELNÍKU
• PYTHAGOROVA VĚTA
• PODOBNOST TROJÚHELNÍKŮ – UU, SUS, SSS
• Domácí úkol č.2 Trojúhelník
• Následuje: ÚHLOVÉ JEDNOTKY, PŘEVODY, OBLOUKOVÁ MÍRA
top related