geometri: areal
Post on 27-Jan-2016
143 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Geometri: Areal
Fladefigurer og deres arealerSammensatte fladefigurer
Specielle fladefigurer Fladefigurer i koordinatsystemet
Figurer og deres arealer
Der er kun to forskellige ”enkle” fladefigurer: cirkler og n-kanter (polygoner): trekanter, firkanter, femkanter, sekskanter, osv.
Man kan finde både omkreds og areal af fladefigurer.
Sammensatte fladefigurer består af flere enkle figurer, der er sat sammen, f.eks. en halv cirkel sat sammen med et kvadrat, en trekant eller lign.
Arealet af en cirkel:
A = ·r2, hvor r er cirklens radius.
r
Cirklen
Cirklen
Arealet af en cirkel:
A = ·r2, hvor r er cirklens radius.
Omkredsen af en cirkel:
O = 2··r (læses og huskes som “2, pi, r” = “2 piger”)
r
Cirklen
Arealet af en cirkel:
A = ·r2, hvor r er cirklens radius.
Omkredsen af en cirkel:
O = 2··r (læses og huskes som “2, pi, r” = “2 piger”)
Omkredsen kan også findes som:
O = ·d, hvor d er cirklens diameter
d
Firkanter
En firkant har 4 sider og dermed også 4 vinkler mellem siderne…
Firkanten kan være konveks (ingen vinkler over 180o – som den sorte firkant til højre)
Firkanter
En firkant har 4 sider og dermed også 4 vinkler mellem siderne…
Firkanten kan være konveks (ingen vinkler over 180o – som den sorte firkant til højre)
… eller konkav (én vinkel større end 180o – som den røde firkant)
Firkanter
Der er 5 specielle former for firkanter:
1. Trapez- har 2 sider, der er parallelle
Firkanter
Der er 5 specielle former for firkanter:
1. Trapez- har 2 sider, der er parallelle
Firkanter
Der er 5 specielle former for firkanter:
1. Trapez- har 2 sider, der er parallelle2. Parallellogram- har 2 par parallelle sider
Firkanter
Der er 5 specielle former for firkanter:
1. Trapez- har 2 sider, der er parallelle2. Parallellogram- har 2 par parallelle sider
Firkanter
Der er 5 specielle former for firkanter:
1. Trapez- har 2 sider, der er parallelle2. Parallellogram- har 2 par parallelle sider3a. Rektangel- har 4 rette vinkler
Firkanter
Der er 5 specielle former for firkanter:
1. Trapez- har 2 sider, der er parallelle2. Parallellogram- har 2 par parallelle sider3a. Rektangel- har 4 rette vinkler
Firkanter
Der er 5 specielle former for firkanter:
1. Trapez- har 2 sider, der er parallelle2. Parallellogram- har 2 par parallelle sider3a. Rektangel- har 4 rette vinkler3b. Rombe- har 4 lige lange sider
Firkanter
Der er 5 specielle former for firkanter:
1. Trapez- har 2 sider, der er parallelle2. Parallellogram- har 2 par parallelle sider3a. Rektangel- har 4 rette vinkler3b. Rombe- har 4 lige lange sider
Firkanter
Der er 5 specielle former for firkanter:
1. Trapez- har 2 sider, der er parallelle2. Parallellogram- har 2 par parallelle sider3a. Rektangel- har 4 rette vinkler3b. Rombe- har 4 lige lange sider4. Kvadrat- har 4 rette vinkler og 4 lige lange sider
Firkanter
Der er 5 specielle former for firkanter:
1. Trapez- har 2 sider, der er parallelle2. Parallellogram- har 2 par parallelle sider3a. Rektangel- har 4 rette vinkler3b. Rombe- har 4 lige lange sider4. Kvadrat- har 4 rette vinkler og 4 lige lange sider
Firkanter
Der er 5 specielle former for firkanter:
1. Trapez- har 2 sider, der er parallelle2. Parallellogram- har 2 par parallelle sider3. Rektangel- har 4 rette vinkler4. Rombe- har 4 lige lange sider5. Kvadrat- har 4 rette vinkler og 4 lige lange sider
1
2
34
5
Firkanter
s
s
A = s2
Firkanternes arealer:
Kvadrat
Areal:A = s·s = s2
Firkanter
Firkanternes arealer:
Kvadrat
Areal:A = s2
Omkreds:O = 4·s
s
s
O = 4·s
Firkanter
Firkanternes arealer:
Rhombe
D er den lange diagonal, d er den korte diagonal.
D
d
Firkanter
Firkanternes arealer:
Rhombe
D er den lange diagonal, d er den korte diagonal.
D
d
Firkanter
Firkanternes arealer:
Rhombe
D er den lange diagonal, d er den korte diagonal.
D
d
Firkanter
Firkanternes arealer:
Rhombe
D er den lange diagonal, d er den korte diagonal.
D
d
Firkanter
Firkanternes arealer:
Rhombe
D er den lange diagonal, d er den korte diagonal.
D
d
Firkanter
Firkanternes arealer:
Rhombe
D er den lange diagonal, d er den korte diagonal.
Areal:
D
d2
A = 2D·d
Firkanter
Firkanternes arealer:
Rhombe
D er den lange diagonal, d er den korte diagonal.
Areal:
D
d
A = 2D·d A = 2
D·d
Firkanter
Firkanternes arealer:
Rektangel
Areal:A = g·h
A = g · h
g (grundlinie)
h (højde)
Firkanter
Firkanternes arealer:
Rektangel
Areal:A = g·h
A = g · h
g (grundlinie)
h (højde)
I stedet for begreberne grundlinie og højde bruges ofte begreberne længde og bredde.Areal = længde · bredde
Firkanter
h (højde)
g (grundlinie)
Firkanternes arealer:
Rektangel
Areal:A = g·h
Omkreds:O = g+h+g+hO = 2·(g + h)
O = 2·(g + h)
Firkanter
Firkanternes arealer:
Parallellogram
h er højden mellem de 2 parallelle sider, g er grundlinien.
h
g
Firkanter
h
g
Firkanternes arealer:
Parallellogram
h er højden mellem de 2 parallelle sider, g er grundlinien.Ved at flytte den viste tre-kant, får vi et rektangel.
Firkanter
Firkanternes arealer:
Parallellogram
h er højden mellem de 2 parallelle sider, g er grundlinien.Ved at flytte den viste tre-kant, får vi et rektangel.
g
h
Firkanter
Firkanternes arealer:
Parallellogram
h er højden mellem de 2 parallelle sider, g er grundlinien.Ved at flytte den viste tre-kant, får vi et rektangel.
Areal:A = g·h
g
h
Firkanter
h
g
Firkanternes arealer:
Parallellogram
h er højden mellem de 2 parallelle sider, g er grundlinien.
Areal:A = g·h
Firkanter
Firkanternes arealer:
Trapez
h er højden mellem de 2 parallelle sider, a og b er længderne af de parallelle sider.
h
b
a
Firkanter
Firkanternes arealer:
Trapez
h er højden mellem de 2 parallelle sider, a og b er længderne af de parallelle sider.For at finde arealet af trapezet, bruges følgende opskrift:
h
b
a
Firkanter
Firkanternes arealer:
Trapez
h er højden mellem de 2 parallelle sider, a og b er længderne af de parallelle sider.For at finde arealet af trapezet, bruges følgende opskrift:1. Tegn linien præcis midt mel-lem siderne a og b h
b
a
Firkanter
Firkanternes arealer:
Trapez
h er højden mellem de 2 parallelle sider, a og b er længderne af de parallelle sider.For at finde arealet af trapezet, bruges følgende opskrift:1. Tegn linien præcis midt mel-lem siderne a og bDenne linie har længden:
h
b
a
g = 2a+b
Firkanter
Firkanternes arealer:
Trapez
h er højden mellem de 2 parallelle sider, a og b er længderne af de parallelle sider.For at finde arealet af trapezet, bruges følgende opskrift:2. Flyt trekanterne som vist:
h
b
a
Firkanter
Firkanternes arealer:
Trapez
h er højden mellem de 2 parallelle sider, a og b er længderne af de parallelle sider.For at finde arealet af trapezet, bruges følgende opskrift:2.– og derved dannes igen et rektangel.Højden: h – ogGrundlinien:
h
g = 2a+b
g = 2a+b
Firkanter
Firkanternes arealer:
Trapez
h er højden mellem de 2 parallelle sider, a og b er længderne af de parallelle sider.For at finde arealet af trapezet, bruges følgende opskrift:3. Arealet er igen g·h, altså:
hA = 2
a+b
g = 2a+b
· h
Firkanter
Firkanternes arealer:
Trapez
h er højden mellem de 2 parallelle sider, a og b er længderne af de parallelle sider.
A = 2a+b · h
h
b
a
Trekanter
Arealet af en trekant:h er højden, g er grundlinien.
h
g
Trekanter
Arealet af en trekant:h er højden, g er grundlinien.En trekant er nøjagtig halvt så stor som det rektangel, der har samme højde og grundlinie:
Trekanter
Arealet af en trekant:h er højden, g er grundlinien.En trekant er nøjagtig halvt så stor som det rektangel, der har samme højde og grundlinie:A1 = A2…
A1
A2
Trekanter
A1
A2
Arealet af en trekant:h er højden, g er grundlinien.En trekant er nøjagtig halvt så stor som det rektangel, der har samme højde og grundlinie:A1 = A2… og
Trekanter
A3
A4
Arealet af en trekant:h er højden, g er grundlinien.En trekant er nøjagtig halvt så stor som det rektangel, der har samme højde og grundlinie:A1 = A2… ogA3 = A4
Trekanter
Arealet af en trekant:h er højden, g er grundlinien.En trekant er nøjagtig halvt så stor som det rektangel, der har samme højde og grundlinie:A1 = A2… ogA3 = A4
Derfor er arealet: h
g
A = 2h·g
Trekanter
Arealet af en trekant:h er højden, g er grundlinien.
h
g
A = 2h·g
Trekanter
Arealet af en trekant:h er højden, g er grundlinien.
Hvis trekanten er retvinklet,kan den ene katete brugessom højde, mens den anden katete er grundlinie.
h
g
A = 2h·g
n-kanter
Arealet af en n-kant (polygon)- kan altid findes ved at dele figuren op i trekanter:
F.eks. kan en 6-kant opdeles i 4 trekanter:
n-kanter
Arealet af en n-kant (polygon)- kan altid findes ved at dele figuren op i trekanter:
F.eks. kan en 6-kant opdeles i 4 trekanter (og arealet findes som summen af de 4 trekanters arealer):
n-kanter
Arealet af en n-kant (polygon)- kan altid findes ved at dele figuren op i trekanter:
… og en 8-kant opdeles i 6 trekanter,
n-kanter
Arealet af en n-kant (polygon)- kan altid findes ved at dele figuren op i trekanter:
… og en 8-kant opdeles i 6 trekanter, osv…
Sammensatte figurer
Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår!
Der er alle mulige tænkelige eksempler på sammensatte figurer.
På de følgende sider ses 3 eksempler.
Sammensatte figurer
Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår:
1) Kvadrat + halv cirkel:
s
s
Sammensatte figurer
Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår:
1) Kvadrat + halv cirkel:
Kvadratet: A =
s
s
s2
Sammensatte figurer
Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår:
1) Kvadrat + halv cirkel:
Kvadratet: A =
Halv cirkel: A =
s
s
·( ·s)2
221
s2
Sammensatte figurer
Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår:
1) Kvadrat + halv cirkel:
Kvadratet: A =
Halv cirkel: A =
I alt: A = +s
s
·( ·s)2
221
s2
s2·( ·s)2
221
Sammensatte figurer
Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår:
2) En husgavl bestående af 2 trapezer:
a
bc
d
Sammensatte figurer
Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår:
2) En husgavl bestående af 2 trapezer:
Venstre trapez: A =
a
bc
d
2a+c
·2d
Sammensatte figurer
Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår:
2) En husgavl bestående af 2 trapezer:
Venstre trapez: A =
Højre trapez: A =
a
bc
d
2a+c
·2d
2c+b
·2d
Sammensatte figurer
Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår:
2) En husgavl bestående af 2 trapezer:
Venstre trapez: A =
Højre trapez: A =
I alt: A = +
a
bc
d
2a+c
·2d
2c+b
·2d
2a+c
·2d
2c+b
·2d
Sammensatte figurer
Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår:
3) Rektangel + kvart cirkel:
h
g
Sammensatte figurer
Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår:
3) Rektangel + kvart cirkel:
Rektanglet: A = g·h
h
g
Sammensatte figurer
Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår:
3) Rektangel + kvart cirkel:
Rektanglet: A = g·h
Kvart cirkel: A = h
g
·g2
4
Sammensatte figurer
Arealet af sammensat figur findes som summen af de figurer, der indgår:
3) Rektangel + kvart cirkel:
Rektanglet: A = g·h
Kvart cirkel: A =
I alt: A = g·h +
h
g
·g2
4
·g2
4
Specielle figurer
Specielle figurer, der tager udgangspunkt i en cirkel:
Cirkelring:
Arealet findes som forskellen mellem de 2 cirklers arealer:
eller
R
r
A = ·(R2 - r2)
A = ·R2 - · r2
Specielle figurer
Specielle figurer, der tager udgangspunkt i en cirkel:
Cirkeludsnit:
- hvor v er cirkeludsnittets størrelse i grader.
Arealet findes som:R
v
A = ·R2 ·v
360
Specielle figurer
Specielle figurer, der tager udgangspunkt i en cirkel:
Ellipse (oval):
- hvor a er den halve lilleakse og b den halve storeakse.
Arealet findes som:
A = ·a·b
a
b
Specielle figurer
Specielle figurer, der tager udgangspunkt i en trekant:
Ligesidet trekant:
- alle 3 sider lige lange.
Højden kan beregnes ved Pythagoras til:
h
s
h = · s23√
= · s2
43√
A = ·h·g21
s s
Areal i koordinatsystemet
C
A
B
Når man skal udregne arealet af en figur i et koordinatsystem – og gøre det nøjagtigt, skal det gøres på følgende måde:
Areal i koordinatsystemet
C
A
B
Når man skal udregne arealet af en figur i et koordinatsystem – og gøre det nøjagtigt, skal det gøres på følgende måde:
1. Tegn lodrette linier gennem figurens hjørner, så den “pakkes ind i” et rektangel:
Areal i koordinatsystemet
C
A
B
Når man skal udregne arealet af en figur i et koordinatsystem – og gøre det nøjagtigt, skal det gøres på følgende måde:
1. Tegn lodrette linier gennem figurens hjørner, så den “pakkes ind i” et rektangel:
Areal i koordinatsystemet
C
A
B
Når man skal udregne arealet af en figur i et koordinatsystem – og gøre det nøjagtigt, skal det gøres på følgende måde:
1. Tegn lodrette linier gennem figurens hjørner, så den “pakkes ind i” et rektangel:
Areal i koordinatsystemet
C
A
B
Når man skal udregne arealet af en figur i et koordinatsystem – og gøre det nøjagtigt, skal det gøres på følgende måde:
1. Tegn lodrette linier gennem figurens hjørner, så den “pakkes ind i” et rektangel (blåt)
Areal i koordinatsystemet
C
A
B9
Når man skal udregne arealet af en figur i et koordinatsystem – og gøre det nøjagtigt, skal det gøres på følgende måde:
1. Tegn lodrette linier gennem figurens hjørner, så den “pakkes ind i” et rektangel (blåt)
2. Aflæs længde
Areal i koordinatsystemet
C
A
B
10
9
Når man skal udregne arealet af en figur i et koordinatsystem – og gøre det nøjagtigt, skal det gøres på følgende måde:
1. Tegn lodrette linier gennem figurens hjørner, så den “pakkes ind i” et rektangel (blåt)
2. Aflæs længde og bredde af rektanglet
Areal i koordinatsystemet
C
A
B
10
9
Når man skal udregne arealet af en figur i et koordinatsystem – og gøre det nøjagtigt, skal det gøres på følgende måde:
1. Tegn lodrette linier gennem figurens hjørner, så den “pakkes ind i” et rektangel (blåt)
2. Aflæs længde og bredde af rektanglet og find dets areal (90 cm2)
90 cm2
Areal i koordinatsystemet
9
6
27 cm2
Når man skal udregne arealet af en figur i et koordinatsystem – og gøre det nøjagtigt, skal det gøres på følgende måde:
1. Tegn lodrette linier gennem figurens hjørner, så den “pakkes ind i” et rektangel (blåt)
2. Aflæs længde og bredde af rektanglet og find dets areal (90 cm2)
3. Find herefter arealet af hver af de blå trekanter…
Areal i koordinatsystemet
7
4
27 cm2
14 cm2
Når man skal udregne arealet af en figur i et koordinatsystem – og gøre det nøjagtigt, skal det gøres på følgende måde:
1. Tegn lodrette linier gennem figurens hjørner, så den “pakkes ind i” et rektangel (blåt)
2. Aflæs længde og bredde af rektanglet og find dets areal (90 cm2)
3. Find herefter arealet af hver af de blå trekanter…
Areal i koordinatsystemet
Når man skal udregne arealet af en figur i et koordinatsystem – og gøre det nøjagtigt, skal det gøres på følgende måde:
1. Tegn lodrette linier gennem figurens hjørner, så den “pakkes ind i” et rektangel (blåt)
2. Aflæs længde og bredde af rektanglet og find dets areal (90 cm2)
3. Find herefter arealet af hver af de blå trekanter…
2
10
27 cm2
14 cm2 10 cm2
Areal i koordinatsystemet
Når man skal udregne arealet af en figur i et koordinatsystem – og gøre det nøjagtigt, skal det gøres på følgende måde:
1. Tegn lodrette linier gennem figurens hjørner, så den “pakkes ind i” et rektangel (blåt)
2. Aflæs længde og bredde af rektanglet og find dets areal (90 cm2)
3. Find herefter arealet af hver af de blå trekanter…
4. Træk trekanternes arealer fra rektanglets areal – og man har figurens areal:
27 cm2
14 cm2 10 cm2
Areal i koordinatsystemet
Når man skal udregne arealet af en figur i et koordinatsystem – og gøre det nøjagtigt, skal det gøres på følgende måde:
1. Tegn lodrette linier gennem figurens hjørner, så den “pakkes ind i” et rektangel (blåt)
2. Aflæs længde og bredde af rektanglet og find dets areal (90 cm2)
3. Find herefter arealet af hver af de blå trekanter…
4. Træk summen af trekanternes arealer fra rektanglets areal – og man har figurens areal:
27 cm2
14 cm2 10 cm2
90 cm2 – (27 cm2 + 14 cm2 + 10 cm2) = 39 cm2
Lidt om tillægsord…En kvadratisk figur Har form som et kvadrat
Lidt om tillægsord…En kvadratisk figur
En rektangulær figur
Har form som et kvadrat
Har form som et rektangel
Lidt om tillægsord…En kvadratisk figur
En rektangulær figur
En triangulær figur
Har form som et kvadrat
Har form som et rektangel
Har form som en trekant
Lidt om tillægsord…En kvadratisk figur
En rektangulær figur
En triangulær figur
En cirkulær figur
Har form som et kvadrat
Har form som et rektangel
Har form som en trekant
Har form som en cirkel
Lidt om tillægsord…En kvadratisk figur
En rektangulær figur
En triangulær figur
En cirkulær figur
En elliptisk figur
Har form som et kvadrat
Har form som et rektangel
Har form som en trekant
Har form som en cirkel
Har form som en ellipse
Lidt om tillægsord…En kvadratisk figur
En rektangulær figur
En triangulær figur
En cirkulær figur
En elliptisk figur
En regulær figur,
regulær polygon
Har form som et kvadrat
Har form som et rektangel
Har form som en trekant
Har form som en cirkel
Har form som en ellipse
Har lige lange sider
ArealerArealer
top related