geometria analitica con geogebra iii

CURSO EN LINEA HERRAMIENTAS CIENTIFICAS Y

METODOLÓGICAS PARA LA ENSEÑANZA DE MATEMATICAEN

LA EDUCACIÓN SECUNDARIA

MÓDULO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Y SU

TRATAMIENTOMETODOLOGICO

Unidad I: Problemas Básicos de la Geometría Analítica

Aula: 2

Actividad 2: Resolvamos ejercicios

Grupo: 1

Participantes: Eduardo José Escobar Amador

José Orontes Pérez Maryorquin

Tutor: Msc.Tomás Guido

Dinamizadora: Yeraldin Calderón Castilla

Domingo, 22 de agosto de 2015

Indicador de logros

1) Determina utilizando pendiente, si dos o más rectas son paralelas o perpendiculares. 2) Determina el ángulo entre dos rectas utilizando pendiente. 3) Plantea y resuelve problemas aplicados a situaciones de la vida cotidiana utilizando

el criterio de la pendiente.

I. Demostrar utilizando pendientes, que los siguientes puntos son los vértices de un

triángulo rectángulo

1) (2, 3), (- 4, - 3) y (6, - 1)

Calculamos la pendiente de los lados 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ y 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ y la mediad del ≮ 𝐵 que de

acuerdo del gráfico parece ser recto

Hallar el valor 𝑚𝐴𝐵̅̅ ̅̅

𝑚𝐴𝐵̅̅ ̅̅ =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1

𝑚𝐴𝐵̅̅ ̅̅ =3+3

2+4

𝑚𝐴𝐵̅̅ ̅̅ =3+3

2+4

𝑚𝐴𝐵̅̅ ̅̅ =6

6

𝑚𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 1u

Hallar el valor 𝑚𝐵𝐶̅̅ ̅̅

𝑚𝐵𝐶̅̅ ̅̅ =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1

𝑚𝐵𝐶̅̅ ̅̅ =−1−3

6−2

𝑚𝐵𝐶̅̅ ̅̅ =−4

4

𝑚𝐵𝐶̅̅ ̅̅ =−4

4

𝑚𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = −1u

Hallar la amplitud del ≮ 𝐵

𝑡𝑎𝑛𝐵 =𝑚𝐴𝐵−𝑚𝐵𝐶

1+𝑚𝐴𝐵∗𝑚𝐵𝐶

𝑡𝑎𝑛𝐵 =1 + 1

1 + (1)(−1)

𝑡𝑎𝑛𝐵 = 2

1 − 1

𝑡𝑎𝑛𝐵 =2

0

𝑡𝑎𝑛𝐵 = 90∘

Los dos lados𝐴𝐵̅̅ ̅̅ y𝐵𝐶̅̅ ̅̅ forman un ángulo recto .por lo tanto el triángulo es rectángulo.

II. En los ejercicios siguientes, dibuje una recta que pase por el punto dado con la

inclinación o pendiente m indicada.

20) (4, - 5), m = 0

III. Hallar los ángulos interiores de los triángulos cuyos vértices están en los puntos

dados:

1) (3, 2), (5, - 4) y (1, - 2)

Hallar el valor 𝑚𝐴𝐵̅̅ ̅̅

𝑚𝐴𝐵̅̅ ̅̅ =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1

𝑚𝐴𝐵̅̅ ̅̅ =−4−2

5−3

𝑚𝐴𝐵̅̅ ̅̅ =−6

2

𝑚𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = −3u

Hallar el valor 𝑚𝐴𝐶̅̅ ̅̅

𝑚𝐴𝐶̅̅ ̅̅ =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1

𝑚𝐴𝐶̅̅ ̅̅ =−2−2

1−3

𝑚𝐴𝐶̅̅ ̅̅ =−4

−2= 2u

Hallar el valor 𝑚𝐵𝐶̅̅ ̅̅

𝑚𝐵𝐶̅̅ ̅̅ =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1

𝑚𝐵𝐶̅̅ ̅̅ =−2+4

1−5

𝑚𝐵𝐶̅̅ ̅̅ =2

−4

𝑚𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = −1

2u

Hallar la amplitud del ≮ 𝐴

𝑡𝑎𝑛𝐴 =𝑚2−𝑚1

1+𝑚2∗𝑚1

𝑡𝑎𝑛𝐴 =−3 − 2

1 + (−3)(2)

𝑡𝑎𝑛𝐴 = −5

1 − 1

𝑡𝑎𝑛𝐴 =−5

−5

𝑡𝑎𝑛𝐴 = 1

𝐴 = 𝑡𝑎𝑛−1(1)

𝒎∠𝑨 = 𝟒𝟓

Hallar la amplitud del ≮ 𝐶

𝑡𝑎𝑛𝐶 =𝑚2−𝑚1

1+𝑚2∗𝑚1

𝑡𝑎𝑛𝐶 =2 + 1/2

1 + 2(−1/2)

𝑡𝑎𝑛𝐶 =

4 + 12

1 − 2/2

𝑡𝑎𝑛𝐶 =5/2

1 − 1

𝑡𝑎𝑛𝐶 =5/2

0

𝒎∠𝑪 = 𝟗𝟎°

Determino el valor de la amplitud del ≮ 𝐵

≮ 𝐴 + ≮ 𝐵 + ≮ 𝐶 = 180°

45∘+≮ 𝐵 + 90∘ = 180∘

≮ 𝐵 = 180∘ − 90∘

≮ 𝑩 = 𝟒𝟓∘

IV. En los ejercicios siguientes encuentre las pendientes de las rectas que pasan por

los dos pares de puntos. Indique después cuáles de las rectas son paralelas,

perpendiculares o se intersecan oblicuamente.

19) (- 2, 4), (8, 1); (4/3, 6), (10, 2)

Rectas Oblicuas

Si dos rectas tienen un punto de intersección, y forman ángulos no todos iguales, las rectas

se llaman oblicuas

𝑚𝐴𝐶̅̅ ̅̅ =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1 𝑚𝐴𝐶̅̅ ̅̅ =

𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1

𝑚𝐴𝐶̅̅ ̅̅ =1−4

8+2 𝑚𝐴𝐶̅̅ ̅̅ =

2−6

10− 4/3

𝑚𝐴𝐶̅̅ ̅̅ =−3

10= −0.3𝑢 𝑚𝐴𝐶̅̅ ̅̅ =

−426

3

= −4

8.67= −0.459 ≈ −0.46𝑢

V. Hallar el área de cada uno de los polígonos cuyos vértices están en los puntos:

2) (0, 4), (1, -6), (-2, - 3) y (- 4, 2)

Primero. Hacemos el gráfico en GeoGebra

Segundo. Elegimos como primer vértice al par ordenado (0,4) luego:

(x1 ; y1) = (0, 4)

Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos, teniendo en cuenta el sentido anti

horario serán:

(x2 ; y2) = (1, -6)

(x3 ; y3) = (-2, -3)

(x4 ; y4) = (-4, 2)

Tercero. ¿Cómo encontramos el área de una región poligonal en el plano cartesiano?

Tomado de: http://www.ict.edu.mx/acervo_ciencias_mate_Poligonales.pdf

Cuarto. Elegimos como primer vértice al par ordenado (0,4) luego:

(x1 ; y1) = (0, 4)

Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos, teniendo en cuenta el sentido anti

horario serán:

(x2 ; y2) = (1, -6)

(x3 ; y3) = (-2, -3)

(x4 ; y4) = (-4, 2)

Quinto. ¿Cómo encontramos el área de una región poligonal en el plano cartesiano?

Entonces el área de la región poligonal S correspondiente, es el valor absoluto de la

expresión:

S = 𝟏

𝟐

|

|

𝒙𝟏 𝒚𝟏

𝒙𝟐 𝒚𝟐

𝒙𝟑 𝒚𝟑..

.

.. .

𝒙𝒏𝒙𝟏

𝒚𝒏𝒚𝟏

|

| Llamada también la formula determinante de Gauss

Sexto: La forma de resolver esta determinante es la siguiente.

Luego:

Séptimo: Desarrollando los cálculos tenemos:

S = 𝟏

𝟐

|

|

𝒙𝟏 𝒚𝟏

𝒙𝟐 𝒚𝟐

𝒙𝟑 𝒚𝟑..

.

.. .

𝒙𝒏𝒙𝟏

𝒚𝒏𝒚𝟏

|

| =

𝟏

𝟐

|

|

|

𝟎 𝟒𝟏 −𝟔

−𝟐 −𝟑−𝟒 𝟐𝟎 𝟒

|

|

|

Luego los valores de D y de I serán

I D

D = (0)(-6)+(1)(-3)+(-2)(2)+(-4)(4) =-23

I = (4)(1)+(-6)(-2)+(-3)(-4)+(2)(0)= 28

Finalmente: S = 𝟏

𝟐|𝑫 − 𝑰|𝒖𝟐

S = 𝟏

𝟐|−𝟐𝟑 − 𝟐𝟖|𝒖𝟐

S = 𝟏

𝟐|𝟓𝟏|𝒖𝟐

S = 25.5 u2

AUTO-REFLEXIÓN

En la resolución de los ejercicios se aplica las ecuaciones del ángulo entre dos rectas, las

cual nos permite determinar las pendientes de dichas rectas, las cuales me han afianzados

mis conocimientos relacionados a los contenidos desarrollados en la unidad No, también

me auto-evaluado, lo cual me ha permitido determinar que tengo debilidades en ciertos

temas de enseñanza de la geometría analítica .este estudio me ha potencializados y superar

dichas dificultades, así, como fortalecer mi práctica pedagógicas ,técnicas y habilidades

para impartir dichas temas en el aula de clase y de esta forma el proceso de enseñanza –

aprendizaje en los educando ser eficiente .Estos contenidos me ayudaron para que los

estudiantes les ayuden a reforzar la compresión y puesta en práctica de los mismo.

BIBLIOGRAFIA

o Matemática Introductoria./Carlos J Walsh M

o Algebra y trigonometría con geometría Analíticas /Carl W SWOKOWWSKI

o www. MatemáticaBasica.com

o Módulo de Geometría Analítica I y su tratamiento metodológico ; Unidad I

:Problemas básicos de la Trigonometría Analítica