geometría descriptiva
Post on 28-Oct-2014
1.197 Views
Preview:
TRANSCRIPT
GeometríadescriptivaSistema de proyección ortogonal
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADORFACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO
Arq. Edmundo Llaguno A.Docente FAU
a2
b2
sb2
sb1a1
b1
sa2
sasa11
PH
PV
Cap. Tema Contenido Pag.
I.1 Conceptos básicos geométricos
GEOMETRÍA PLANA
I.2 El punto y la línea
I.3 La recta y la poligonalI.4 La curva
I.6 Polígonos
I.7 Sólidos y poliedros
I.9 Tipos de líneas y escala para la representación técnica
II.1 Elementos del sistema de proyección
II.2 Sistemas y tipos de proyección
II.4 Otros sistemas
CAPI
TULO
I
CON
CEPT
OS
GEO
MÉT
RICO
S BÁ
SICO
S
II.5 Proyección cilíndrica diédricaII.6 Proyección axonométrica
II.7 Proyección cónica o perspectiva
II.8 Proyección diédrica usada en geometría descriptiva
II.10 Representación simbólicaII.11 Definición de términos empleados en la proyección ortogonal
11.12 Fundamentos de la proyección ortogonal11.13 Rebatimiento de los planos de proyección (horizontal, vertical y de perfil)
6
001002003004
009
012
017
018019
022
023024
028
029
032033035037
I.5 Ángulos
I.8 Cuerpos redondos
II.3 Proyección cilíndrica
II.9 Breve reseña histórica
FORMAS GEOMÉTRICAS ESPACIALES
SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN
REPRESENTACIÓN GRÁFICA015
SISTEMAS DE PROYECCIÓN
007
PROYECCIÓN ORTOGONAL
PROYECCIÓN CÓNICA
SISTEMA DIÉDRICO DE PROYECCIÓNCAPI
TULO
II
SIST
EMAS
DE
REPR
ESEN
TACI
ÓN 021
019
031
Cap. Tema Contenido Pag.
II.14 Planos principalesII.15 Planos auxiliares de elevación
II.16 Planos auxiliares inclinados
III.1 Posiciones principales de la recta
III.2 Posiciones particulares de la rectaIII.3 Verdadera Longitud (VL) de una recta (Métodos)III.4 Orientación y pendiente de la recta
III.5 Rectas paralelas (//) y paralelas aparentesIII.6 Rectas perpendiculares
III.8 Rectas oblicuas intersecantes y no intersecantes, ángulo real
IV.2 Vista de canto de una superficie plana oblicua y ángulo de inclinaciónIV.3 Vista de canto de una superficie plana oblicua e inclinación respecto al PV
IV.4 Vista de canto y forma real (VL) de un plano oblicuo
IV.5 Relaciones básicas entre el punto, la recta y el plano
IV.7 Recta paralela al planoIV.6 Recta paralela a una recta del plano y perpendicular
IV.8 Mínima distancia entre el plano y la recta paralela
IV.11 Punto de intersección entre un plano y una recta
III.7 Distancia mínima entre dos rectas oblicuas
038039040041
042044046048
049050051052
054
056
057058059060
II.17 Clave, proyección y cambio de planos
IV.1 Generación de una superficie plana
IV.9 Recta perpendicular al plano
PLANOS DE PROYECCIÓN
POSICIÓN DE LA RECTA EN EL ESPACIO
RELACIÓN ENTRE RECTAS
CAPI
TULO
III
RECT
AS E
N E
L ES
PACI
OTR
IDIM
ENSI
ON
AL
DEFINICIÓN, GENERACIÓN Y VISTAS
CAPI
TULO
IV
SUPE
RFIC
IES
PLAN
AS E
N E
L ES
PACI
OTR
IDIM
ENSI
ON
AL
RELACIÓN ENTRE PLANOS Y RECTAS
061
065
053
055
IV.10 Ángulo diedro (real) de la intersección 064
IV.12 Intersección y visibilidad entre dos superficies planas 066IV.13 Vista de canto y ángulo diedro de dos planos 068IV.14 Ángulo diedro (real) de la intersección (Método de rotación) 069
INTERSECCIÓN ENTRE PLANOS
Cap. Tema Contenido Pag.
IV.15 Intersección de un plano y un prisma oblicuoIV.16 Intersección de una pirámide y un prisma triangular
V.1 Desarrollo de superficies de cuerpos geométricos básicos
V.4 Prisma oblicuo
V.5 Cilindro rectoV.6 Cilindro recto trunco
V.8 Pirámide recta
V.10 Pirámide recta truncaV.11 Pirámide oblicua trunca
V.12 Cono recto
V.14 Cono oblicuoV.15 Cono oblicuo trunco
V.16 Rotación de elementos geométricos
V.17 Proyección sucesiva de un prisma
V.19 Proyección sucesiva de una pirámide
V.9 Pirámide oblicua
070071
072
075
076077
079080081082
083
086087
088
089
091
V.3 Prisma recto trunco
V.7 Cilindro oblicuo
V.13 Cono recto trunco
V.18 Proyección sucesiva de un prisma recto trunco
INTERSECCIÓN DE PLANOS Y VOLÚMENES
PRISMAS
CAPI
TULO
V
DESA
RRO
LLO
DE
VOLÚ
MEN
ES Y
PRO
YECC
ION
ES S
UCE
SIVA
S
CILINDROS
PIRÁMIDES
CONOS
ROTACIÓN
PROYECCIONES SUCESIVAS
074
078
084
090
V.2 Prisma recto 073
Cap. Tema Contenido Pag.
VI.1 Definiciones
VI.2 Trazado de módulo baseVI.3 Diferentes tipos de encuentrosVI.4 Casos de acoplamientos entre faldonesVI.5 Variante de faldones
VI.9 Cubierta con planos triangulares
VII.1 Paraboloide hiperbólico
VII.3 Paraboloide hiperbólico (reglada)VII.4 Aplicación en la arquitectura
VII.5 Conoide
VII.7 Hiperboloide
VII.9 Aplicación en la arquitectura
092
093094
097098099100
101
102103104105
107106
108109110
111112113
114
VI.6 Ejemplo de acoplamientos
VII.2 Aplicación en la arquitectura
VII.8 Hiperboloide de revolución inclinado
CARACTERÍSTICAS
MÓDILO BASE Y PASOS DE TRAZADO
CAPI
TULO
VI
CUBI
ERTA
S TR
ADIC
ION
ALES
CUBIERTAS ESPECIALES
PARABOLOIDE HIPERBÓLICO
CONOIDE
HIPERBOLOIDE
VI.7 Cubiertas con patio interior (vacio)VI.8 Cubiertas en dos niveles
VII.6 Aplicación en la arquitectura
VII.10 Helicoide (recto cilindrico)
VII.12 Aplicación en la arquitecturaVII.11 Helicoide (recto cónico)
HELICOIDE
VII.13 Cilindroide
CILINDROIDE
095
CAPI
TULO
VII
SUPE
RFIC
IES
ALAB
EADA
S
Cap. Tema Contenido Pag.
VIII.1 Secciones cuadrangulares diferentesVIII.2 Conexión de secciones cilindricad diferentes
VIII.3 Conexión de sección cuadrangular y circularVIII.4 Aplicación en la arquitectura
IX.1 Sombra arrojada del punto en los planos horizontal, vertical e inclinado
IX.3 Sombra arrojada por una recta de punta al PH y PVIX.4 Sombra arrojada por una recta oblicua al PH y PVIX.5 Sombra arrojada por una superficie plana
IX.7 Sombra de una línea curva
IX.9 Sombra de un pasamanos en una grada
115
117119
120
122
124125126
130129
132133135
138
IX.2 Sombra arrojada por una recta principal al PH y PV
IX.8 Sombra de una chimenea sobre una cubierta
CONEXIÓN DE SECCIONESCA
PITU
LO V
III
PIEZ
AS D
E TR
ANSI
CIÓ
N
SISTEMA DE PROYECCIÓN DE SOMBRAS
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
IX.6 Sombra de un volado en una superficie concava y convexa
IX.10 Sombra de un poste sobre una pared con molduras
IX.12 Sombra de un punto en una cúpula (semiesfera)IX.11 Método para determinar la sombra de una recta en una cúpula
IX.13 Sombra de una recta vertical en una superficie curva
CAPI
TULO
IX
SOM
BRAS
116
IX.14 Sombra de una recta horizontal en una superficie curva
IX.15 Sombra de un plano en una superficie curvaIX.16 Sombra de una cúpula en el PH y PVIX.17 Sombra de una esfera en el PH
121
123
127
136
131
137
CAPÍTULO ICONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS
I.1. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA
LÁMINA # 001
CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS GEOMETRÍA PLANA
Introducción.- Cualquier objeto puede sintetizarse mediante sus elementosgeométricos más simples: puntos, líneas, superficies, ángulos, etc. Es por lotanto necesario que el estudiante de Geometría Descriptiva domine y expreseestos conceptos en forma correcta, razón por la cual se inicia el presentetema, trabajo en el que se describen en forma simple los conceptosgeométricos básicos de mayor uso en el estudio de la Geometría Descriptiva.
Además, pensando en la ejercitación práctica del estudiante en la resoluciónde problemas de Geometría Descriptiva, aplicables a la representacióngráfica, destrezas que posibilita el dibujo y diseño de objetos arquitectónicosy sus diversos componentes, se incluyen en este punto las nociones básicasde trazado y manejo de escuadras, compás, lápices de mina dura y suave,habilidades para conseguir un trazado claro, preciso, imaginativo del dibujo,finalizando con una breve descripción del concepto de escala.
Se supone que todo el contenido antes descrito es del conocimiento previodel estudiante de Geometría Descriptiva, razón por la cual se presenta estecapítulo en forma concisa y con carácter principalmente informativo.
Es la representaciónde una posición fijadel espacio. No esun objeto físico, porlo tanto carece deforma ydimensiones
I.2. EL PUNTO Y LA LÍNEA
LÁMINA # 002
PUNTO
LÍNEA
Es una sucesión infinitade puntos.Las líneas se clasificanbasicamente en: recta,poligonal, curva
A A A
Cortando Lineas Con un círculo Con un cuadrado
Línea recta Línea poligonal Línea curva
CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS GEOMETRÍA PLANA
Línea de direcciónconstante. Una rectapuede ser definida pordos puntos a los queune recorriendo sumenor distancia
RECTA
b
Semirrectas a y b Segmento A-B
a
A
b
a
A-Bsemirrecta: cadauna de las dospartes en que sedivide a una rectaque une cualquierade sus puntos
Segmento: porciónde una rectacomprendida entredos de sus puntos
LÁMINA # 003
Línea formada porsegmentos rectosconsecutivos no alineados.Se clasifican en:
POLIGONALPoligonal abierta Poligonal cerrada
poligonal abierta:si el primer yúltimo segmentosno están unidos
poligonal cerrada: sicada segmento estaunido a otros dos
I.3. LA RECTA Y LA POLIGONALCONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS GEOMETRÍA PLANA
Línea del plano o delespacio que no tienesegmentos rectos. Lascurvas se clasifican en:
LÁMINA # 004
CURVA Circunferencia° = ° Elipse
° < °
Parábola
° = °Hipérbola
° > °
A
°°
°
°
°
Curva que se genera alseccionar un cono rectode revolución con unplano. Las cónicas soncuatro y su formacióndepende de la relaciónentre los ángulos ( °:ángulo que forma elplano seccionante (a)con el plano base delcono) y ( °: ángulo queforman las generatricesdel cono con el planobase del mismo) comose describe acontinuación:
Cónica
Circunferencia: se forma cuandoel plano seccionante (a) esparalelo al plano base del cono,por lo tanto °=0°
Elipse: se formacuando °< °
Parábola: se formacuando °= °
Hipérbola: se formacuando °> °
°°
I.4. LA CURVACONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS GEOMETRÍA PLANA
Curva del plano, generada por un punto (P) que se muevecon velocidad lineal constante (v), a lo largo de una recta(a); mientras esta gira, con velocidad angular uniforme (w),alrededor de un punto fijo contenido en ella.
Espiral de Arquímedes
V a
B
P
A B
P
A B
D C
P
P
Curva del plano, generada porun punto fijo (P) de un hilo,mientras este se desenrolla apartir de un segmento, polígonoregular ó circunferencia.
La involuta de un círculo seutiliza en la construcción de losdientes de engranajes.
Involuta (envolvente)Involuta de una recta
Involuta de un polígono
Involuta de un círculo
I.4. LA CURVA
Curva matemáticaEstas curvas son generadas porecuaciones propias de cada unade estas ciencias y su estudioes de gran utilidad en lasolución de problemasrelacionados con las mismas.
0° 90° 180° 270° 360°
1.0
0.5
0
-0.5
-1.0
f(x) =seno °
CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS GEOMETRÍA PLANA
LÁMINA # 005
Curva del plano, generada por un punto fijo (P)de una circunferencia, que ruede sin deslizarse alo largo de una recta (a).
Las cicloides tienen aplicación en la construcciónde los dientes de engranajes.
Cicloide
Curva plana que forma, por la acción de supropio peso, un hilo, completamentehomogéneo, flexible e inextensible, cuando sefijan dos de sus puntos.
Catenaria
BP
a
Curva del espacio, generada por un punto (P), de unarecta (a); la cual se desplaza, con velocidad constante(v) y a su vez rota, con velocidad constante ( ), sobreotra recta (e), con la que se corta.
I.4. LA CURVA
Hélice
Hélice cilíndrica. Si elpunto (P) que la genera, esun punto fijo de la recta (a)
Hélice cónica. Si el punto (P)que la genera, se mueve, convelocidad lineal constante(vo), a lo largo de la recta (a).
e
aP
v
e
aP
v
Vp
CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS GEOMETRÍA PLANA
LÁMINA # 006
I.5. ÁNGULOS
Ángulos consecutivos
Porción de un plano comprendida entre dos semirrectas de origen común
Ángulos complementarios
ángulos suplementarios
=90°
=180°
Clasificación según su medida angular
Según su medida angular en grados sexagesimales (un gradosexagesimal es la 90a. parte del ángulo recto), un ángulo se define como:
Cóncavo Llano Completo
Convexo
180° <360° =180° =360°
Agudo<90°
Recto=90°
Obtuso90° <180°
CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS GEOMETRÍA PLANA
LÁMINA # 007
I.5. ÁNGULOS
Ángulos opuestos y adyacentes
Ángulos opuestos: si no poseen ningunasemirrecta común. En este caso susmedidas angulares son iguales
Dos rectas que se cortan definen cuatro ángulos,los cuales, tomados en pares se definen como:
Ángulos adyacentes: si poseen una semirrecta común. En este casoson ángulos suplementarios
Ángulos alternos y correspondientes
Si dos rectas paralelas soncortadas por una tercera recta, seforman ocho ángulos, los cuales,considerados en pares de igualmedida ángular, se denominan:
Alternos internos Alternos externos
Ángulos correspondientes
Ángulos alternos
CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS GEOMETRÍA PLANA
LÁMINA # 008
I.6. POLÍGONOSFigura geométrica plana, limitada por una poligonal cerrada que no se corta a sí misma
Polígonos regulares
Polígono en el cual todos sus lados son de igual longitud, ytodos sus vértices están circunscritos en una circunferencia
Triángulo equilátero Cuadrado Pentágono regular
Hexágono regular Heptágono regular Octágono regular
CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS GEOMETRÍA PLANA
LÁMINA # 009
I.6. POLÍGONOS
Polígonos irregulares
Polígono en el cual sus lados no son deigual longitud y/o sus vértices no estáncontenidos en una circunferencia. Deacuerdo al número de sus lados
Triángulo Cuadrilátero
Pentágono Hexágono
Heptágono Octágono
Triángulo
Polígono de tres lados. De acuerdo a la magnitud de susángulos
Triángulo isósceles:2 ángulos iguales
Triángulo escaleno: 3ángulos diferentes
Triángulo rectángulo:1 ángulo recto
Triángulo obtusángulo:1 ángulo obtuso
Triángulo acutángulo:3 ángulos agudos
90°
CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS GEOMETRÍA PLANA
LÁMINA # 010
I.6. POLÍGONOS
LAMINA # 011
CuadriláterosPolígonos de 4 lados
Paralelogramo:cuadrilátero en el quelos lados opuestos sonparalelos Romboide:
Paralelogramo que notiene ángulos rectos ysus lados adyacentes noson de igual longitud
b
aa
b
a
a
a
aa
a
b
b
Rectángulo:Paralelogramo en el cuallos cuatro ángulos sonrectos, pero los ladosadyacentes no son deigual longitud
Trapecio Isosceles:Cuadrilátero en que suslados no paralelos son deigual longitud
Trapecio:cuadrilátero que tiene solo dos lados paralelos
Trapeciorectángulo:trapecio que tienedos ángulos rectos
Trapezoide:Cuadrilatero que notiene lados paralelos
CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS GEOMETRÍA PLANA
Rombo:Paralelogramo que notiene ángulos rectos,pero sus lados son deigual longitud
I.7. SÓLIDOS Y POLIEDROS
LAMINA # 012
SÓLIDOEspacio limitado por superficies
Poliedro Regular
Poliedro cuyas caras sonpolígonos regulares iguales ytodas sus aristas son de iguallongitud; en consecuencia,todos sus vértices estáncontenidos en una esfera
Tetraedro regular:Poliedro regular definido por 4triángulos equiláteros iguales
Octaedro regular:Poliedro regular definido por 8triángulos equiláteros iguales
Hexaedro regular (cubo):Poliedro regular definidopor 6 cuadrados iguales
Dodecaedro regular:Poliedro regular definido por 12pentágonos regulares iguales
Icosaedro regular:Poliedro regular definido por 20triángulos equiláteros iguales
vérticecara
arist
a
CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS FORMAS GEOMÉTRICAS ESPACIALES
I.7. SÓLIDOS Y POLIEDROS
LAMINA # 013
Poliedro Irregular
Poliedro definido por polígonos que no sontodos iguales
Según el número de sus caras
Tetraedro Pentaedro
Hexaedro Heptaedro Octaedro
Pirámide
Poliedro definido por unpolígono base y cuyascaras laterales sontriángulos que poseen unvértice común (V),denominado vértice de lapirámide, que no estácontenido en el plano base.La recta que pasa por elvértice de la pirámide y elcentro geométrico de labase se denomina eje de lapirámide (e)
e
e
Pirámides Regulares
Pirámideregular recta:la base es unpoligonoregular y eleje esperpendicularal polígonobase
Pirámideregular oblicua:la base es unpoligono regulary el eje no esperpendicular alpolígono base
CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS FORMAS GEOMÉTRICAS ESPACIALES
I.7. SÓLIDOS Y POLIEDROS
LAMINA # 014
e
e
Pirámide recta: el eje esperpendicular al polígonobase
Pirámide oblicua:el eje no es perpendicularal polígono base
Pirámides Irregulares PrismaPoliedro definido por dos polígonos iguales y paralelos (bases) y cuyascaras laterales, en consecuencia, son paralelogramos. La recta que unelos centros geométricos de las bases se denomina eje del prisma (e)
Prisma recto:el eje esperpendiculara los polígonosbase
Prisma regularoblicuo: lasbases sonpoligonosregulares y el ejeno esperpendicular alos polígonos base
Prisma oblicuo:el eje no esperpendicular alos polígonosbase
Prisma regularrecto: las basesson poligonosregulares y eleje esperpendicular alos polígonosbase
Prismas Regulares
Prismas Irregulares
e e
e e
CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS FORMAS GEOMÉTRICAS ESPACIALES
I.8. CUERPOS REDONDOS
LAMINA # 015
Cilindro
Sólido que contiene superficies curvas (regladas)
Cono
Cuerpo redondo limitado por una superficie cilíndrica y dosbases planas paralelas. La recta que pasa por los centrosgeométricos de las bases se denomina eje del cilindro (e), yes paralela a la generatriz (g) de la superficie cilíndrica
Cilindrorecto:si el eje (e),esperpendiculara las bases
Cuerpo redondo limitado por unasuperficie cónica y por una base plana. Larecta que pasa por el vértice (V), de lasuperficie cónica y el centro geométricode la base se denomina eje del cono (e)
Cilindro oblicuo:si el eje (e), no esperpendicular alas bases
Cilindro derevoluciónrecto: si eleje (e), esperpendiculara las bases
Cilindro derevoluciónoblicuo: si eleje (e), no esperpendiculara las bases
Cono recto: si el eje(e), es perpendiculara la base
Cono oblicuo: siel eje (e), no esperpendicular a labase
e e
ee
e
e
CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN
LAMINA # 016
I.8. CUERPOS REDONDOS
Cono de revoluciónrecto: si el eje (e),es perpendicular a labase
Cono de revoluciónoblicuo: si el eje (e),no es perpendicular ala base
Toro (anillo):Su superficie la genera unacircunferencia ó una elipse, que giraalrededor de un eje (e), coplanar conella, y situado fuera de ella
Esfera:La generatriz esuna circunferencia
Elipsoide:La generatrizes una elipse
Paraboloide:La generatrizes una parábola
Hiperboloide:La generatriz esuna hipérbola
Cuerpo redondo limitado por una generatriz (g) curva, que rotaalrededor de un eje (e)
Sólido de Revolución
Conoe
e
CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN
I.9. TIPOS DE LÍNEAS Y ESCALA PARA LA REPRESENTACIÓN TÉCNICA
LAMINA # 017
Líneas
Tipo Representación Designación Espesor Proporción Aplicación
AContínua Fina
intensaObjetos espaciales,proyecciones, contornosvisibles, diedros, planosde proyección y linea detierra
B ContínuaFinamenosintensa
0,2Líneas auxiliares, ejesde simetría,proyectantes
0,2
C Trazocorto
Finaintensa 0,2
Objetos espaciales,proyecciones ycontornos ocultos
DTrazocorto
Finamenosintensa
0,2Ejes de simetría,prolongacionesauxiliares, indicaciones
E Continua Medianaintensa 0,3
Texto para títulos,subtítulos y anotaciones
Clase
Mapas y planos
Reducción
Natural
Ampliación
Escalas
1: 51:101:201:501:1001:2001:5001:1000
1:1
2:15:110:1
Escalas
CONCEPTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS REPRESENTACIÓN GRÁFICA
CAPÍTULO IISISTEMAS DE REPRESENTACIÓN
II.1. ELEMENTOS DEL SISTEMA DE PROYECCIÓN
Objeto
Un sistema de proyección es un sistema pormedio del cual puede ser definida laproyección de un objeto sobre unasuperficie. Como puede observarse en lafigura, en todo sistema de proyecciónintervienen cuatro elementos, denominados:
Es la figura, objeto que sedesea representar. Puede serun punto, recta, plano,superficie, sólido, etc; en fincualquier elementogeométrico ú objeto real
Punto de observación
Punto desde el cual seobserva el objeto que sequiere representar. Es unpunto cualquiera del espacio
Superficie de proyecciónEs la superficie sobre la cualse proyectará el objeto.Generalmente es un plano;aunque también puede ser unasuperficie esférica, cilíndrica,cónica, etc.
ProyectantesSon rectas imaginariasque unen los puntos delobjeto con el punto deobservación
P´
P
Punto deobservación
Proyección
Superficie deproyección
Proyectante
Objeto
La proyección (P´) de cualquier punto (P) del objeto se obtieneinterceptando su proyectante con el plano de proyección
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN SISTEMAS DE PROYECCIÓN
LAMINA # 018
II.2. SISTEMAS Y TIPOS DE PROYECCIÓN
LAMINA # 019
Toda figura inclinada u oblicua con respecto a un plano de proyecciónse proyecta deformada con cualquier sistema de proyección
Proyección cónicao central
Proyección cilíndricao paralela ortogonal
Proyección cilíndricao paralela oblicua
Plano deProyección
A
B
C
a1
c1
b1
a1
b1
d1
c1
x1
y1
a2c2x2y2
b2d2
A
a1
B
C
c1
b1
Lineasvisuales(Rayosproyectantes)
Proyecciónde laforma
Punto deobservación
Figura realen el espacio
Punto deobservación
Punto deobservación
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN SISTEMAS DE PROYECCIÓN
Proyección cónicao central
A
a1
B
C
c1
b1
Toda figura paralela con respecto a un planode proyección, se proyecta en su verdaderaforma (VF) en cualquier sistema de proyección
Plano deProyección
A B
C
a1
c1
b1
Proyección cilíndrica oparalela ortogonal
Toda figura perpendicular con respectoa un plano de proyección, se proyectacomo una arista o vista de canto encualquier sistema de proyección
Figura real enel espacio(objeto)
Rayosproyectantes
Proyección cilíndricao paralela ortogonal
a1
b1
d1
c1
x1
y1
a2c2 x2y2
b2d2
II.2. SISTEMAS Y TIPOS DE PROYECCIÓN
LAMINA # 020
Punto deobservación
Punto deobservación
Punto deobservación
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN SISTEMAS DE PROYECCIÓN
II.3. PROYECCIÓN CILÍNDRICASe obtiene cuando el punto de observación se encuentra a una distancia tan grande del objeto, que permitaconsiderar que las proyectantes son paralelas al interceptarse con el plano de proyección. Los principales tiposde proyección cilíndrica son:
Proyección ortogonal
También denominada proyecciónortográfica. Se obtiene cuando lasproyectantes son perpendicularesal plano de proyección
Proyección oblicua
Se obtiene cuando las proyectantesno son perpendiculares al plano deproyección. Preferentemente aldibujar en proyección oblicua secoloca el plano de proyección paralelo a una de las caras principalesdel objeto; ya que de esta formadicha cara se proyectará enverdadero tamaño
A
BC
A´
B´
C´
A
BC
A´
B´
C´
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN SISTEMAS DE PROYECCIÓN
LAMINA # 021
II.4. OTROS SISTEMAS
LAMINA # 022
PLANOS ACOTADOS.- Se basan en Proyecciones Ortogonales, con un Planode Proyección. Su aplicación práctica es la representación de terrenos,relieves, urbanizaciones, carreteras y planos relacionados con curvas de nivel
PROYECCIÓN MERCATOR.- Es un tipo de proyección cartográficacilíndrica, ideada por Gerardus Mercator en 1569, para elaborarplanos terrestres, Es muy utilizada en planos de navegación porla facilidad de trazar rutas de rumbo constante o loxodrómicas.Mercator, mediante proyección, pretende representar lasuperficie esférica terrestre sobre una superficie cilíndrica,tangente al Ecuador, que al desplegarse genera un mapaterrestre plano.
PROYECCIÓN MOLLWEIDE.- Creada por el alemán Karl Mollweide en 1805.Proyección pseudocilíndrica equivalente en la que el meridiano central, recto,tiene la mitad de longitud que el Ecuador y el resto de los meridianosequidistantes sobre cada paralelo son elípticos. Si el meridiano central, losparalelos se trazan como líneas rectas que se cortan en ángulo recto en elmeridiano central. Cada paralelo dentro de cada hemisferio se divide en espaciosiguales según la distancia entre meridianos y las mismas divisiones proporcionaránlos puntos de intersección de los meridianos más al exterior. Entre los dos polos setrazan elipses a través de las intersecciones de los meridianos y paralelos. Estaproyección es equivalente ya que la distancia entre paralelos esta calculada paraque sea así. La escala lineal es real sólo a lo largo de los paralelos 40 grados y 40minutos norte y sur, aumentado hacia los polos y disminuyen hacia el Ecuador.Sinónimo: Proyección homolográfica.Nota: Puede hacerse discontinua con el objeto de aminorar la anamorfosis.
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN SISTEMAS DE PROYECCIÓN
II.5. PROYECCIÓN CILÍNDRICA DIÉDRICA
LAMINA # 023
Se basan en Proyecciones Ortogonales, con 2 o más Planos de Proyección
Su aplicación práctica es la representación de objetos espaciales enplanos de proyección, basados en vistas de las piezas, como alzados,plantas, perfiles, secciones, etc.
Cuadrante ICuadrante II
Cuadrante IV
CuadranteIII
PV
PH
PV
PHLT
Figura volumétrica o espacialSistema diédrico formando
los cuatro cuadrantes
PLANO HORIZONTAL
PLANO FRONTAL
LINEA DE TIERRA
Proyecciónhorizontal
Proyecciónposterior
Proyecciónfrontal
PLANO LATERAL
Sistema diédrico
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN PROYECCIÓN ORTOGONAL
II.6. PROYECCIÓN AXONOMÉTRICA
LAMINA # 024
PROYECCIÓN ISOMÉTRICA PROYECCIÓN DIMÉTRICA
Figura volumétrica o espacial Figura volumétrica o espacial
Dependiendo de los angulos que forman entre sí los ejes axonométricos se clasifican en:Isométrica, Dimétrica y Trimétrica
X Y
Z
120°
120°
120°
30°30°
Se obtiene cuando los tres ángulosque forman los ejes axonométricosson iguales. Al representar objetosen proyección isométrica se mideen una misma escala sobre los tresejes isométrico
X Y
Z
149°
105°
105°
Se obtiene cuando solo dos de los tresángulos que forman los ejesaxonométricos son iguales.
Al representar un objeto en proyeccióndimétrica debe medirse en dos de losejes con una misma escala y con unaescala diferente en el tercer eje
1
1
1 1
3/4
3/4
71/ 2
71/ 2
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN PROYECCIÓN ORTOGONAL
II.6. PROYECCIÓN AXONOMÉTRICA
LAMINA # 025
VARIANTES DIMÉTRICAS
PROYECCIÓN TRIMÉTRICA
Figura volumétrica o espacial
XY
Z
135°
120°105°
Se obtiene cuando los tres ángulos queforman los ejes axonométricos sondiferentes. En la proyección trimétricacada eje posee su propia escaladiferentea la de los otros dos
Figura volumétrica o espacial45
71/2°
0
1
3
52.5
0
2.55
1
1
1
1
3/4
1/2
371/
2
371/2
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN PROYECCIÓN ORTOGONAL
II.6. PROYECCIÓN AXONOMÉTRICA
LAMINA # 026
1. PROYECCIÓN OBLICUA 2. PROYECCIÓN CABALLERA
Figura volumétrica o espacial Figura volumétrica o espacial
X
Y
Z
Angu
lo c
ualqu
iera
30°
Se obtiene cuando los tres ángulosque forman los ejes axonométricosson iguales. Al representar objetosen proyección isométrica se mideen una misma escala sobre los tresejes isométricos
X
Y
Z
135°
Se obtiene cuando solo dos de lostres ángulos que forman los ejesaxonométricos son iguales.Al representar un objeto enproyección dimétrica debe medirseen dos de los ejes con una mismaescala y con una escala diferente enel tercer eje
Eje recedente45°
De la clasificación anterior se desprenden estas cuatro proyecciones particulares
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN PROYECCIÓN ORTOGONAL
II.6. PROYECCIÓN AXONOMÉTRICA
LAMINA # 027
3. PROYECCIÓN DE GABINETE 4. PROYECCIÓN OBLICUA AÉREA
Se obtiene cuando los tres ángulosque forman los ejes axonométricosson diferentes. En la proyeccióntrimétrica cada eje posee su propiaescala diferentea la de los otros dos
Figura volumétrica o espacial
X
Y
Z
135°
Se obtiene cuando solo dos de lostres ángulos que forman los ejesaxonométricos son iguales.Al representar un objeto enproyección dimétrica debe medirseen dos de los ejes con una mismaescala y con una escala diferente enel tercer eje
45°
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN PROYECCIÓN ORTOGONAL
II.7. PROYECCIÓN CÓNICA O PERSPECTIVAPerspectiva de un punto de fugaDenominada también perspectiva. Se obtiene
cuando el punto de observación y el objetose encuentran relativamente cercanos
Se obtiene cuando el plano de proyección es paralelo a unade las caras principales del objeto (el plano de proyección esparalelo a dos de los tres ejes principales del objeto)
Perspectiva de dos puntos de fuga
Se obtiene cuando el plano de proyección esparalelo a solamente uno de los tres ejesprincipales del objeto
Perspectiva de tres puntos de fugaSe obtiene cuando ninguno de los tres ejesprincipales del objeto es paralelo al plano deproyección
A
BC
A´
B´
C´
Objeto
Proyección
Plano deproyección
Punto deobservación
ProyectantesPunto deobservación
Punto deobservación
Punto deobservación
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN PROYECCIÓN CÓNICA
LAMINA # 028
II.8. PROYECCIÓN DIÉDRICA USADA EN GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
LAMINA # 029
SISTEMA AMERICANO ( trabaja en el cuadrante III) SISTEMA EUROPEO ( trabaja en el cuadrante I )
Cuadrante ICuadrante II
Cuadrante IV
CuadranteIII
PV
PV
PHL
Cuadrante II
Cuadrante IV
Cuadrante III
PV
PH
PV
PH
Plano vertical
Figura volumétrica o espacial
Cuadrante I
Plano horizontal
Linea de tierra
Figura volumétrica o espacial
PH T
L
TCuadrante II
Cuadrante IV
CuadranteIII
Cuadrante I
PV
PH
PV
PH T
L
Variación del angulovisual de los cuadrantes
Plano horizontal
Plano vertical
Linea de tierra
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN SISTEMA DIÉDRICO DE PROYECCIÓN
CuadranteIII
Cuadrante I
II.8. PROYECCIÓN DIÉDRICA USADA EN GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
LAMINA # 030
Cuadrante I
ProyecciónVertical Rebatida
PV Rebatido
P V
P H
Giro o RebatimientoProyección Vertical
Punto del Espacio
Proyección Horizontal
Línea Visualde Proyección
Línea de Tierra
GIRO O REBATIMIENTO DE PLANOS SISTEMA AMERICANO
Línea de Tierra
Proyección Verticaldel punto P
Proyección Horizontaldel Punto P
Proyección Horizontaldel Punto P
Proyección Verticaldel Punto P
Plano Horizontal
Plano Vertical
GIRO O REBATIMIENTOSISTEMA EUROPEO
Figura descriptiva
L
T
TLL T 121
2
Figura volumétrica o espacial
Figura descriptiva
L
T
PV Rebatido
PH
Cuadrante III
Figura volumétrica o espacial
P V
p1
P
p2
p2
Proyecciónvertical rebatida
Giro o rebatimiento
Plano Vertical
Plano Horizontal
p2
p2
p1
P
p2
p1
p1
p2
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN SISTEMA DIÉDRICO DE PROYECCIÓN
LAMINA # 031
II.9. BREVE RESEÑA HISTÓRICA
La geometría descriptiva, que posee el carácter de ciencia aplicada, ha tenido un largo proceso de desarrollo
desde las incipientes representaciones trazadas en la edad de piedra, los elementos de Euclides, los estudios
de Descartes en geometría analítica y la crucial aportación de Gaspard Monge a finales del siglo XVIII, quien
la formula y la eleva a la condición de ciencia autónoma.
Desde la antigüedad, el hombre ha sentido siempre la necesidad de representar gráficamente el entorno
que le rodea, como lo demuestran los dibujos encontrados en la pre-historia, pero no es hasta el
Renacimiento cuando se intenta representar la profundidad.
Las nuevas necesidades de representaciones del arte y de la técnica empujan a ciertos humanistas a estudiar
propiedades geométricas para obtener nuevos métodos que les permitan representar fielmente la realidad.
Aquí se enmarcan figuras como Luca Paccioll, Leonardo da Vinci, Alberto Durero, Leone Batista Alberti, Piero
della Francesca y muchos otros.
Todos ellos, al descubrir la perspectiva y la sección crean la necesidad de sentar las bases formales en la que
se asiente la nueva forma de geometría que esta implica: La Geometría proyectiva, cuyos principios
fundamentales aparecen de la mano de Gerard Desargues en el siglo XVII. Esta nueva geometría también fue
estudiada por Blaise Pascal o por de la Hire, pero debido al gran interés suscitado por la geometría
Cartesiana y sus métodos, no alcanzó tanta difusión.
El posterior desarrollo de la técnica hizo necesario aplicar las teorías matemáticas a la práctica, proceso que
culminó en 1795 con la publicación de la obra de Gaspard Monge <<GEOMETRÍA DESCRIPTIVA>>
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN SISTEMA DIÉDRICO DE PROYECCIÓN
II.10. REPRESENTACIÓN SIMBÓLICA
LAMINA # 032
Perpendicularidad(Ángulo Recto)
Paralelismo
Paralelas(equidistancia)Igualdad
Punto Recta Plano Volumen
Ángulo Recto Ángulo Inclinado
Equivalencia / Coincidencia
Más otros signos y símbolos que seutilizan en geometría plana.VM: Verdadera Magnitudh: AlturaDl: Distancia LateralAl. AlejamientoLT: Línea de Tierra o de ReferenciaPH (PV): Planos de proyección
a = b
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN SISTEMA DIÉDRICO DE PROYECCIÓN
Son la líneas de vista de un observador quemira un punto o serie de puntos. Se suponeque son rectas paralelas. La posición delobservador con respecto al punto o serie depuntos que esta mirando, se considera en elinfinito
II.11. DEFINICIÓN DE TÉRMINOS EMPLEADOS EN LAPROYECCIÓN ORTOGONAL
LAMINA # 033
LíNEAS VISUALES PLANOS DE PROYECCIÓN
Son superficies planas que no tienenespesor, transparentes y que se suponeestan colocadas entre el observador y elpunto o serie de puntos que mira. Laposición de un plano de proyección es talque siempre es perpendicular a las líneasvisuales del observador
LÍNEAS PROYECTORAS
Rectas que pueden considerarse comoprolongaciones de líneas visuales delobservador y que van desde los planos deproyección a un punto o serie de puntos enel espacio definido por los mismos planos
LíNEA DE TIERRA
Es la recta común a dos planos deproyección mutuamente perpendicularesque se intersecan. Esta línea se usa comobase para las mediciones que definen laubicación o localización de los objetos en elespacio tridimensional.
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN SISTEMA DIÉDRICO DE PROYECCIÓN
LAMINA # 034
PROYECCIÓN HORIZONTAL(VISTA DE PLANTA)
Es la proyección de un punto o serie de puntos en elespacio, sobre el plano de proyección horizontal.Vista que se aprecia cuando sus líneas visuales sonverticales osea, perpendiculares al plano deproyección horizontal
PROYECCIÓN VERTICAL(VISTA DE ELEVACIÓN FRONTAL)
Es la proyección de un punto o serie depuntos en el espacio, sobre el plano deproyección vertical. Vista que se apreciacuando sus líneas visuales son horizontalesosea, perpendiculares al plano deproyección vertical
PROYECCIONES O VISTAS DE ELEVACIÓN(PRINCIPALES Y AUXILIARES)
Esto significa que el observador puede tener unnúmero infinito de posiciones en las cuales su líneavisual permanece horizontal. Los planos principalesson el vertical, lateral derecho e izquiedo yposterior. Las proyecciones auxiliares de elevaciónson todas las que no son principales. Se observaraque los planos de proyección de elevación sonsiempre perpendiculares al plano de proyecciónhorizontal
PROYECCIÓNES O VISTAS INCLINADASAUXILIARES
Son todas aquellas vistas en las cuales laslíneas visuales del observador no sonverticales ni horizontales, siendo infinito sunúmero y son perpendiculares a otrosplanos de proyección tanto de elevacióncomo inclinados
II.11. DEFINICIÓN DE TÉRMINOS EMPLEADOS EN LAPROYECCIÓN ORTOGONAL
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN SISTEMA DIÉDRICO DE PROYECCIÓN
II.12. FUNDAMENTOS DE LA PROYECCIÓN ORTOGONAL
LAMINA # 035
Proyección lateralizquierda de lafigura geométrica
Proyección frontalde la figurageométrica
Distancia detras delPV (alejamiento)
Proyección horizontalde la figura geométrica
Línea de Tierrao de Referencia
PV
PH
12
3
p1
P V de ProyecciónP.L de Proyección
PH de Proyección
Línea visual de proyección perpendicular al plano deproyección horizontal (línea vetical).El observador ve los planos frontal y de perfil como artistas
Línea visual de proyección perpendicular al plano deproyección vertical (línea horizontal).El observador ve los planos horizontal y de perfil como aristas
Distancia bajodel PH (altura)
Distanciabajo delPH (altura)
PP
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN SISTEMA DIÉDRICO DE PROYECCIÓN
LAMINA # 036
Proyección del Puntoen el plano horizontal
P H de Proyección
Línea visual del observador (línea visualde proyección) que ve la proyecciónhorizontal del punto en el espacio
Punto en elespacio
Línea visual del observador(línea visual de proyección)que ve la proyecciónvertical del punto en elespacio
Proyección del puntoen el plano vertical.
PV de Proyección
Figura descriptiva
Alejamiento
Altura
Linea visual deproyección
Plano Horizontal
Plano Vertical
21
Figura volumétrica oespacial
Línea de Tierra
p1
p2
p1
p2
P
Proyecciónhorizontal
Proyecciónhorizontal
Línea detierra
Perpendicularidad Perpendicularidad
II.12. FUNDAMENTOS DE LA PROYECCIÓN ORTOGONALSISTEMAS DE REPRESENTACIÓN SISTEMA DIÉDRICO DE PROYECCIÓN
AlturaAltura
AlejamientoAlejamiento
II.13. REBATIMIENTO DE LOS PLANOS DEPROYECCIÓN: HORIZONTAL,VERTICAL y PERFIL
LAMINA # 037
PLANO
HORIZONTAL
PLANO VERTICAL
PLANO DE PERFIL
12
123
p1
p1
p2
p3
p3
P
Proyecciónhorizontaldel punto
Líneas visualesdel observadordespués deque los planosde proyeccióncoinciden conel plano de lasuperficie deldibujo
Proyecciónvertical delpunto
Proyección deperfil del punto
Planos de proyecciónantes de abatirse sobreel plano de la superficiedel dibujo
Superficieplana delpanel dedibujo
p1
123
Plano Horizontal
Plano VerticalPlano de Perfil
p2p3
Figura descriptiva
Superficie plana del panel de dibujo
Figura volumétrica
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN SISTEMA DIÉDRICO DE PROYECCIÓN
Altura
Alejamiento
Alejamiento
II.14. PLANOS PRINCIPALES
LAMINA # 038
Plano superior
Plano de perfil
izquierdo Plano frontal
Línea visual (vertical)
Línea visual(horizontal)
12
155
1
12
4
23
Alejamiento
Altura
Planos rebatidos en susrespectivas líneas de tierraFigura volumétrica
o espacial
p1
p3
p2P
p1
p2
p3
p5
p4
Plano Posterior
Plano Horizontal
Plano Frontal
Plano Lat. Izquierdo Plano Lateral Derecho
3 41
Proyecciónhorizontaldel punto P
Proyecciónfrontal delpunto P
Proyecciónposteriordel punto P
Altura
Alejamiento
Altura
Alejamiento
12
15
Figura descriptiva pura
p1
p2
p3
p5
p4
Plano Posterior
Plano Horizontal
Plano Frontal
Plano Lateral Izquierdo Plano Lateral Derecho
3 41
Altura
Altura
Altura Altura
AlejamientoAlejamiento
Línea visual(horizontal)
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN PLANOS DE PROYECCIÓN
Altura
Alejamiento
Altura
Altura
Altura
II.15. PLANOS AUXILIARES DE ELEVACIÓN
LAMINA # 039
Los planos 2,3,4,5 y 6 son planosde proyección de elevación, yaque son perpendiculares al planode proyección horizontal
Planohorizontal
Elevaciónfrontal
16
12
14
15
Figura descriptiva(rebatimiento de planos)
Figura descriptiva pura
Figura volumétricao espacial
p1
p3
p2
p4
P
p1
p4
p2
p3
p6
p5
Elevación auxilia
r
Elevaciónauxiliar
Elevaciónauxiliar
Elevación
auxiliar
p1
p4
p2
p3
p6
p5
156
1
11
1
5
4
4223
3
6
Alejamiento
Altura(h)
Alejam
iento
h
h
hh
156
1
11
1
5
4
4223
36
Línea visual (vertical)
Línea visual(horizontal)
Línea visual(horizontal)
Línea visual(horizontal)
Los planos 3, 4, 5 y 6 son auxiliaresde elevación, ya que entre ellos nohay perpendicularidad
Altura
h
h
Alejamiento
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN PLANOS DE PROYECCIÓN
hh
hAlejamiento Alejamiento
Alejam
iento
h
II.16. PLANOS AUXILIARES INCLINADOS
LAMINA # 040
Línea visual inclinadadel observador. Elplano de proyecciónvertical aparece comouna arista
Los planos #2 y #3son perpendicularentre si
Plano de Proy. VerticalPlano de Proy. Aux.inclinado
Plano de Proy. Horizontal
Plano de ProyecciónHorizontal
Plano de Proyección Auxiliar
inclinado
FIGURA DESCRIPTIVA
3 2
12
FIGURA VOLUMÉTRICAO ESPACIAL
Plano de Proyección Vertical
Línea visual (vertical)
Línea visual(horizontal)
Línea visual(inclinada)
231
a1
a2
a3
X
X
a1
a2
a3 A
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN PLANOS DE PROYECCIÓN
X
XX
hh
h
II.17. CLAVE DE LA PROYECCIÓN ORTOGONALY CAMBIO DE PLANOS
LAMINA # 041
Líneas visuales verticales # 1.El plano vertical y los demásplanos de elevación aparecensiempre como aristas
Línea visualhorizontal #3.El PH y elplano Aux.inclinado #4aparecencomo aristas
Línea visual inclinada #4el plano de elevaciónAux. Aparece como unaarista
Línea visualhorizontal #2.El PH aparecesiempre comouna arista
Línea visual inclinada #5.El PV o frontal aparececomo una arista
Plano deProy. Aux.
de Elev.
Plano de Proy. Horizontal
Plano de Proy. Vertical
Plano de Proy. Aux. Inclinado
E
H
E
F
H
F
#1
#4#5
#2
3 4
3 1
12
2
P
5
FIGURA VOLUMÉTRICAO ESPACIAL
Vista #4 plano deproyección auxiliarinclinado
Vista #3 plano deproyección auxiliar deelevación
Vista #1 plano deproyección horizontal
Vista #5 plano deproyección auxiliarinclinado
FIGURA DESCRIPTIVA
E
H
E
F
H
F
Vista #2 plano deproyección verticalo frontal
4 3
3 1
12
25
#3
p3
p4 p1
p2
p5
p1
p2p4
p5p3
PH
PV
PAI
PAE
PAI
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN PLANOS DE PROYECCIÓN
PROYECCIÓN DEL PUNTO
CAPÍTULO IIIRECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
III.1. POSICIONES PRINCIPALES DE LA RECTA
LAMINA # 042
(VL)
(VL)
(VL)
(VL)
Figura descriptiva Figura descriptiva
RECTA HORIZONTAL RECTA FRONTAL
31
12
31
12
12
12
Figura volumétricao espacial
Figura volumétricao espacial
a1
b1
a2 b2
b2
a2
a1
b1
AB
a2
b2
a1 b1
b1
a1
a2
b2A
B
RECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL POSICIÓNES DE LA RECTA EN EL ESPACIO
La recta horizontales // al PH, por tantotiene la misma alturay la proyecciónhorizontal esta enverdadera magnitudo longitud
La recta frontal es //al PV, por tanto tieneel mismo alejamientoy la vista frontal estaen VL
Altura
Alejamiento
Alejamiento
Altura
(VL)
Figura descriptiva
RECTA DE PERFIL
12
13
LAMINA # 043
(VL)
(VL)
Figura descriptiva
RECTA PARALELA
31
1
2
12
Figura volumétricao espacial
a1 b1
a2 b2
a1
b1
a2
b2
b3
a3
A
B
a1
b1
a2
b2(VL)
31
1
2
Figura volumétricao espacial
a2
b2
a1
b1
a3
b3
A
B
III.1. POSICIONES PRINCIPALES DE LA RECTARECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL POSICIÓNES DE LA RECTA EN EL ESPACIO
La recta de perfil es// al PF, por tantotiene el mismoalejamiento. Laproyección de perfilesta en VL
La recta // alPH y PV
La recta //, lasproyecciones H yV son // a laLínea de Tierra
LAMINA # 044
(VL) (VL)
(VL) (VL)
(VL)
(VL)
(VL)
RECTA DE PUNTA AL PF RECTA DE PUNTA AL PH RECTA DE PUNTA AL PV
Figura descriptiva
31
1
2
31
1
23
11
2
1
2
13
1
2
13
1
2
13
Figura Volumétrica o Espacial
Figura descriptiva Figura descriptiva
Figura Volumétrica o Espacial Figura Volumétrica o Espacial
a1a3b3 b1
a2 b2
a1
b1
a3b3
a2
b2A
B
a1b1
A
B
a2
b2
a3
b3 a2b2
ABa3
b3
a1
b1
a1
b1
a3
a3
b3
b3
a2
b2
a1b1
a2b2
III.2. POSICIONES PARTICULARES DE LA RECTARECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL POSICIÓNES DE LA RECTA EN EL ESPACIO
Esta rectaes I al PF
Esta rectaes I al PH
Esta rectaes I al PV
RECTA OBLICUA (INCLINADA)
3
11
2
13
1
2
Figura descriptiva
Figura Volumétrica o Espacial
a1
a1
b1
b1
a3
a3
b3
b3
a2
a2
b2
b2
A
B
III.2. POSICIONES PARTICULARES DE LA RECTAVISTA DE PUNTA DE UNA RECTA
(VL)
Figura Descriptiva
31
1
2
12
Figura Volumétrica o Espacial
(VL)
Figura Descriptiva
Vista de punta dela recta a unplano auxiliarinclinado (plano 3)
3
12
12
Figura Volumétrica o Espacial
Vista de punta dela recta a un planoauxiliar (plano 3)de elevación
LAMINA # 045
a1
31
a3b3
b1
a2b2
(VL)
(VL)
a1b1
a2
b2
a3b3 AB
2
23
a1
a1
b1
b1
a2
a2
b2
b2
a3b3
a3b3
A
B
RECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL POSICIÓNES DE LA RECTA EN EL ESPACIO
Esta recta esinclinada a los planosde proyección
III.3. VERDADERA LONGITUD (VL) DE UNA RECTA
LAMINA # 046
Plano 3 paralelo a laproyección horizontalde la recta
Figura Volumétrica o Espacial
Proyección 3 (auxiliarinclinado) de la rectaque se ve enverdadera magnitud
MÉTODO DEL PLANO PARALELOProyección 3 (auxiliarde elevación) de larecta que se ve en VLo verdadera magnitud
Plano 3 paralelo a laproyección horizontalde la recta
Figura Descriptiva
12(VL)3
11
2
a1
b1
a2
b2
AB
b3a3
La proyección en elplano 3 esta enverdadera magnitud
A
B
a1b1
a2
b2
a3
b3
23
(VL)
12
13(VL)
Paralel
a
Y
X
Y
X
12
23
(VL)
Y
X
Y
a2
b2a3
b3
b1
a1X
Paralel
a
b2
b1
a1
a2
b3
a3
La proyección en elplano 3 esta enverdadera magnitud
Figura Descriptiva
Figura Volumétrica o Espacial
RECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL POSICIÓNES DE LA RECTA EN EL ESPACIO
LAMINA # 047
Figura Descriptiva
MÉTODO DE GIRO
121
2
(VL)
a1
b1
a2
b2
b1'
b2'
a1
b1b1'
b2'b2
a2
A BB'
(VL)
LT
MINIMA DISTANCIA ENTRE UNPUNTO Y UNA RECTA
Figura Descriptiva
12
13(VL)
Paralel
a
Y
X
Y
X
b2
b1
a1
a2
b3
a3
34 a4b4
p3
p1
p4
VL de la mínimadistancia
90°
p2
o3
o1
o2
Figura Volumétrica o Espacial
RECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL POSICIÓNES DE LA RECTA EN EL ESPACIO
III.3. VERDADERA LONGITUD (VL) DE UNA RECTA
Al girar cualquiera de las proyecciones hastaubicarla paralela al plano de proyección (LT), en elplano correspondiente se observara la verdaderamagnitud de la recta
III.4. ORIENTACIÓN Y PENDIENTE DE LA RECTA
LAMINA # 048
El plano #3es // a laproyecciónhorizontal
N 60 °
La proyección vertical de la rectacualquiera sea su ubicación opendiente, no tiene ningun efectoen la orientación en el PH
Paralel
a
Ángulo de la
inclinaci
ónO E
S
21
12
13
Figura Descriptiva
b1
a1
a2'
a2b2'
b2
La orientación de una rectase observa y mide solo en laproyección horizontal.
La medición del ángulo de laorientación o rumbo, parte delnorte al este, del norte al oeste,del sur al este y del sur al oeste
N
12
B
A
N
S
E
O
a2'
a2
b2'
b2
b1 a1N 60 °
Figura volumétricao espacial
Figura Descriptiva
Vista de canto del planode proyección horizontalcuando se ve la vista deelevación auxiliar #3
Figura volumétricao espacial
12
13
A
B
a2 b2
a1
b1
a3
b3 b2
a2
b1
a1
a3
b3La proyección enel plano 3 esta enverdadera longitud
(VL)
ORIENTACIÓN PENDIENTE
RECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL POSICIÓNES DE LA RECTA EN EL ESPACIO
III.5. RECTAS PARALELAS (//) Y PARALELAS APARENTES(DETERMINACIÓN DE LA EQUIDISTANCIA )
LAMINA #0 49
RECTAS PARALELAS (//) APARENTES
Las rectas // seproyectan en cualquierplano de proyecciónsiempre //
2
1
13
34
54
Vistas de puntade las rectas //
Dadas las proyecciones de las rectas AB y CD,comprobar si son o no paralelas en el espacio
Las dos rectas de perfilaparentemente //, sedemuestra en el plano#3 que no lo son
1 3
12
Figura Descriptiva
(VL)
(VL)
a5
c5
b5
d5
c4d4
a4b4
d3
c3
b3
a3
a1 c1
b1 d1
a2
b2c2
d2
a3
c3
b3
d3d1
b1
a1
c1
a2
d2
c2
b2
La una rectase encuentrasobre la otra
Distancia real equidistanteentre las dos rectas
RECTAS PARALELAS (//)
RECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL RELACIÓN ENTRE RECTAS
III.6. RECTAS PERPENDICULARES ( I )
LAMINA # 050
Figura Descriptiva
12
31
4 3
90 °
90°
c5
c4c3
c1
c2
a2d2
b2
a1
b1 d1
b3a3
d3
a4b4
d4
d5
a5
b5
VL
5 4 4 3
31
12
VL
VL
d4
c4
c3
c1
c2
d2a2
b2
d1
b1
a1
b3
b3
a3a4b4
Mínima distancia Ientre las 2 rectas
VL
VL
Cuando la proyección de una de lasrectas se encuentra en VL, en eseplano de proyección se definirá laotra recta
Cuando la proyección de una de las rectasesta en VL, se dibujara la segunda recta I .El punto de intersección real se encuentraen la misma línea visual I a la LT
Vista de puntade la recta
x4x3
x1
x2
x5
Vista o proyecciónsimultanea de lasrectas en VL
Figura Descriptiva
RECTAS NO INTERSECANTES RECTAS INTERSECANTES
Paralela
Paralela
RECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL RELACIÓN ENTRE RECTAS
III.7. DISTANCIA MÍNIMA ENTRE DOS RECTAS OBLICUAS
LAMINA # 051
Figura Descriptiva
a1
b1x1
y1
a2
b2
x2
y2
12
b3a3
y3
x3
y4
x4
31
34
a4b4
VL de la distancia mínimaentre las dos rectas
VL
Paralela
m4
n4
m3
n3
90°
90°
n1
m1
m2
n2
A
B
X
Y
N
M
90°
90
Figura volumétricao espacial
La recta MN es la distanciamínima entre las 2 rectascualquiera, AB y XY, ya quees I a ambas rectas
RECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL RELACIÓN ENTRE RECTAS
LAMINA # 052
III.8. RECTAS OBLICUAS INTERSECANTES Y NOINTERSECANTES, ÁNGULO REAL
VL
1
1
2
31
b2
a2
c2
d2
c1 a1
b1 d1
12
3
x2
x1
x3
d3
b3
a3
c1
a4b4
x3
Vista depunta de larecta
34
Cuando la proyección a3-b3 de una de lasrectas esta en VL, se dibujara la segundarecta c3-d3 en cualquier posición
a1
b1
d1
c1
b2
c2
a2 d2
b3
d3
c3
a3
VL
Mínima distancia Ientre las dos rectas
a4b4
34
c4
d4
El punto de intersecciónreal se encuentra en lamisma línea visual I a la LT
El punto de intersecciónes aparente y no seencuentra en la mismalínea visual I a la LT
RECTAS INTERSECANTES RECTAS NO INTERSECANTES
Paralela
d4
C4
RELACIÓN ENTRE RECTASRECTAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
CAPÍTULO IVSUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO
TRIDIMENSIONAL
IV.1. GENERACIÓN DE UNA SUPERFICIE PLANA
LAMINA # 053
Plano generado por unarecta que se desplaza // asimisma
Plano generadopor una recta y unpunto fuera de ella
A
A'
B
B'A'
B
A
A
B
Y
X
P
A
B
C
Plano generado (sectorcircular) por una recta quegira en uno de sus extremos
Plano generado por dosrectas que se intersecan
Plano generado por trespuntos no colineales
Plano generadopor dos rectas //
La recta XY pertenece a la superficie plana, por tanto todos sus puntos esta en contacto con la misma
XX
X
X
X
Y
Y
Y
Y
Y
AB
C
D
A
B
C
D
DEFINICIÓN, GENERACIÓN Y VISTASSUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
IV.2. VISTA DE CANTO DE UNA SUPERFICIE PLANA OBLICUA YÁNGULO DE INCLINACIÓN
Empleando una recta horizontal auxiliar
LAMINA # 054
12
b1
a1
c1
b2
a2
c2
AC
B
L H
31
21
(VL)
a1
b1
c1
c2
a2
b2
a3
b3
c4
a4
b4
34
Figura Descriptiva
Figura volumétricao espacial
Vista de Canto(VC) del planoABC
c3x3
Forma real (VL)
x2
x1
1
3
a3
b3
c3x3x2
x1
68°
49°
63°
6,73
6,99
5,66
El plano 4 es // a la VC(vista de canto del planoen el #3), por tanto en elplano 4 se ve laverdadera magnitud VL
46°
Ángulo deinclinación
DEFINICIÓN, GENERACIÓN Y VISTASSUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Línea Frontal
32
12
(VL)
a2
c2
b2
b1
a1
c1
a3
c3
b4
a4
c4
3
4
IV.3. VISTA DE CANTO DE UNA SUPERFICIE PLANA OBLICUA EINCLINACIÓN RESPECTO AL PV
Empleando una recta frontal auxiliar
LAMINA # 055
Figura Descriptiva Figura volumétrica o espacial
12
b1a1
c1
b2
a2
c2
CA
B
Vista de Cantodel plano ABC
Forma real
x2
x3b3
(VL)
1 3
x1
c3a3
x2
x3b3
68°
49°
63°
7,45
7,17
6,03
El plano 4 es // a la VCdel plano #3, por lo tantoen el plano 4 se ve laverdadera magnitud(VM) o VL
DEFINICIÓN, GENERACIÓN Y VISTASSUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
IV.4. VISTA DE CANTO Y FORMA REAL (VL) DE UN PLANO OBLICUO
LAMINA # 056
12
13
El plano #4 es perpendicular a la VL de larecta auxuliar XY. La proyección #4 permiteobservar la Vista de Canto del plano ABC3 4
45
a1
b1
c1
x1
y1
y2
x2
a2
b2
c2
r2s2
r1
s1
a3
b3
c3
x3
y3
s3
r3
x4y4r4s4
c4
a4
b4
a5b5
c5
x5
y5
r5
s5
Forma real delplano ABC
VL de larecta XY
Figura Descriptiva
3,79
5,51
5,61
40°
69°
72°
La recta oblicua auxiliardebe estar en VL paraproceder a encontrar la VCde la superficie plana
DEFINICIÓN, GENERACIÓN Y VISTASSUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Empleando una recta oblicua auxiliar
La recta XY en elplano #3 seencuentra en VL
IV.5. RELACIONES BÁSICAS ENTRE EL PUNTO, LA RECTA Y EL PLANO
LAMINA # 057
PUNTO QUE NO PERTENECE AL PLANO PUNTO QUE PERTENECE AL PLANO
RECTA QUE NO PERTENECE AL PLANO RECTA QUE PERTENECE AL PLANO
a1
b1
c1
d1
p1
y1x1
p2 c2
d2
a2
b2
y2
x2
a1
c1
d1
y1
x1
c2
d2
a2y2
21
21
a1
b1
c1
p1
p2
c2a2
b2 y2
x221
Para que el punto Ppertenezca al plano, debepertenecer a la recta XYdel plano
El punto aparente (o)de contacto entre larecta y el plano, se veque pertenece solo a larecta y no al plano
El punto P nopertenece al plano,ya que no pertenecea una recta del plano,como se observa enla proyección vertical
o1
o2'
o2''
m1'
m1''
m2
x2
Para que la recta XYpertenezca al plano,los puntos decontacto M y Ndeben pertenecer alplano
m2
m1
y1
x1
1
23
4 5 6
7
9101112
8
1'
2'3'
4' 5' 6'
7'
8'9'
10'11'12'
x1
y1
y2
x2
21
n1m1
n2m2
RELACIÓN ENTRE PLANOS Y RECTASSUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
N
L
S0
M
RPLANO DADO
IV.6. RECTA PARALELA (//) A UNA RECTA DEL PLANO Y PERPENDICULAR
La recta XY es paralela a larecta CD contenida en el planoABC. Por tanto, XY es paralelaa la superficie plana ABC
La recta XY es paralela a larecta AC del perimetro delplano ABC. Por tanto, XY esparalela a la superficie planaABC
rectas auxiliares quepertenecen al plano
La recta XY esperpendicular al planoABCD en el espacio
LAMINA # 058
B
A
X
Y
C
B
X
A
C
D
YParalela
Paralela
B
A
C
D
X
Y
RELACIÓN ENTRE PLANOS Y RECTASSUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
La recta XY esperpendicular al planoABCD en el espacio
21
LH
a1
b1
c1
c2
b2
a2
y2
x2
y1
x1
b3
c3x3
y3
h1
a3h3
(VL)
13
IV.7. RECTA PARALELA (//) AL PLANO
LAMINA # 059
Figura Descriptiva Figura volumétrica o espacial
h2
A
B
C
X
Y
a1
b1
c1
x1
y1
b3
b3h3
c3
x3
y3
c2
b2
a2
x2
y2
12
13
RELACIÓN ENTRE PLANOS Y RECTASSUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
La recta XY es // al planoABC, como se observa en laproyección 3. Vista de cantodel plano y la recta son //
Figura Descriptiva
VC
12
13
Figura volumétrica o espacialFigura descriptiva
Distancia I mínima entrela recta y el plano en VL
IV.8. MÍNIMA DISTANCIA ENTRE EL PLANO Y LA RECTA PARALELA (//)
LAMINA # 060
c2
b2
a2
x2 y2
a1c1
b1
x2
y1
c3
(VL)
x3y3
b3
a3h3
n3
m1
n1
n2
m2
Distancia Imínimaentre la rectay el plano
La ubicación PH delpunto N es arbitraria
12
c1
b1
a1
c2
b2
a2
BA
C
h1
h2
a3h3
b3
c3
y2
13
x1
y1
x2
X
Y
(VL)
x3y3
n3
n1
n2
h1
90°90
90°
90°
90 N
m2
M
m1
m3
H
RELACIÓN ENTRE PLANOS Y RECTASSUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
VC
21
VC
2 3
IV.9. RECTA PERPENDICULAR ( I ) AL PLANO
Ángulo realCuando el plano dado ABCD, aparece como una arista o uncanto (para el caso en las proyecciones vertical y de perfil) sepuede apreciar el ángulo real de 90° que forma la recta XY conel plano
90 °
LAMINA # 061
b1
a1d1
c1
n1
p1
r1
m1
o1
s1
x1y1
a2b2 d2x2
y2
o2m2 n2p2r2s2 d3 b3c3
e1f1
b2
e2 c2f2
e3f3 a3
x3
y3
90 °
RELACIÓN ENTRE PLANOS Y RECTASSUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
EN CONTACTO CON EL PLANO
IV.9. RECTA PERPENDICULAR ( I )AL PLANO
LAMINA # 062
21
LH
a1
b1
c1
c2
b2
a2
x2
x1
b3
c3
h1
a3h3y3
(VL)
13
Figura DescriptivaFigura volumétrica o espacial
h2
x3
y1
y2
(VL)
12
c1
b1
a1
c2
b2
a2
BA
C
h1
h2
a3h3
b3
c3
y2
13
(VL)
x3
X
(VL)
x1
y1
x2
Y
RELACIÓN ENTRE PLANOS Y RECTASSUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
El punto Y de la recta XYesta en contacto con elplano por tanto perteneceal plano ABC
EN CONTACTO CON EL PLANO
12
c1b1
a1
c2
b2
a2
B
A
C
h1
h2c3h3
b3
a3
y2
13
(VL)
d1
x3
D
(VL)
x1 y1
x2
LAMINA # 063
21
LH
a1
b1
c1
c2
b2
a2
b3
a3 h1
c3h3
(VL)
Figura Descriptiva Figura volumétrica o espacialh2
(VL)
X
Y
x3
y3
y3
x2
y2
x1
y1
13
(VL)
RELACIÓN ENTRE PLANOS Y RECTASSUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
La recta XY seencuentra separadadel plano ABC, comose ve en laproyección #3, vistade canto del plano.
IV.9. RECTA PERPENDICULAR ( I ) AL PLANO
NO HACE CONTACTO CON EL PLANO
IV.10. ÁNGULO REAL (DIEDRO) ENTRE UNA RECTA OBLICUA Y UN PLANO
LAMINA # 064
12
LH
Longitud Verdadera
Vista de cantodel plano ABC
Longitud VerdaderaAngulo real(ángulo diedro)de aberturaentre una rectay un plano
Para determinar elángulo diedro esnecesaria la vista decanto del plano y la VLde la recta
x2
y2
a2
b2
c2
h2
a1
c1
b1
x1
y1
h1
x3
y3 c3
b3
a3h3
31
12
c1
b1
a1
c2
b2
a2B
A
Ca3h3
b3
c3
y2
13
x1
y1
x2
X
Y
x3
y3
(VL)
h1
h2
Figura descriptivaFigura volumétrica o espacial
RELACIÓN ENTRE PLANOS Y RECTASSUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
LH
121
2
13
MÉTODO VISTA DE CANTO
Vista de cantodel plano ABC
Vista de canto del planode corte vertical auxiliar.
IV.11. PUNTO DE INTERSECCIÓN ENTRE UN PLANO Y UNA RECTA
LAMINA # 065
MÉTODO DEL PLANO DE CORTE
x1
y1
a1
b1
c1
h1 p1
x2a2
y2
h2
p2
b2
c2
x3
p3
c1
c3
a3
y3
b3h3
x1
y1
a1
b1
z1
w1
p1
a2
b2
c2
y2
x2
p2w2
z2
En PH es visible la sección de la rectaque se encuentra sobre la VC que seobserva en PE, y la otra sección esinvisible
En PV es visible la secciónde la recta que seencuentra delante, estose observa en PH, el restoque esta detrás esinvisible
RELACIÓN ENTRE PLANOS Y RECTASSUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
Intersección
Intersección
Intersección
Intersección
12
LH
2 3
Linea de intersección
Vista de punta de la recta auxiliar Hperteneciente al plano ABC.Los puntos X-Y son las intersecciones entrelos dos planos
Vista de canto del planoABC (considerado comoun plano de corte)
MÉTODO DE LA VISTA DE CANTO
IV.12. INTERSECCIÓN Y VISIBILIDAD ENTRE DOS SUPERFICIES PLANAS
LAMINA # 066
b1m1
n1
x1 y1 f1
c1p1
o1
a1
c2
h2
y2
g2
d2
f2
e2b2
a2
x2
f3 e3
g3 d3
CM
N A
O
P
B
X
Y
Linea de intersección
c3
b3
a3h3
y3
x3
(VL)
INTERSECCIÓN ENTRE PLANOSSUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
12
MÉTODO DEL PLANO DE CORTE
Línea deintersección XYque resulta de larelación entre UTy la recta PM, yRS y la recta NC
Intersección dePlanos
IV.12. INTERSECCIÓN Y VISIBILIDAD ENTRE DOS SUPERFICIES PLANAS
LAMINA # 067
a1
b1
m1t1
n1
s1
y1
c1
o1
u1p1
x1
n2
m2
b2
t2
x2
u2
a2
p2
o2
c2
y2
r1
B
CA
MN
PO
U R
XY
T
S
Línea de intersección ( UTy RS) de los planos decorte entre los planosABC y MNOP
Planos de corte quecontienen a lasrectas MP y NO
INTERSECCIÓN ENTRE PLANOSSUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
r1r1
r1r1
s1
12
IV.13. VISTA DE CANTO Y ÁNGULO DIEDRO DE DOS PLANOS
13
LAMINA # 068
Línea de intersección
Ángulo diedro real
Vista de punta dela intersección
a1
b1
d1
c1
a2
d2
c2
b2
a2
d2
c2
b2
(VL)
a3
b3c3
d3
12°
34
Los planos ABC y BCDaparecen comoaristas, cuando la VLde la intersección CBse ve como un punto
INTERSECCIÓN ENTRE PLANOSSUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
El plano #3 auxiliar deelevación es // a laproyección horizontal de laintersección, paraencontrar la VL de la misma
INTERSECCIÓN ENTRE DOS PLANOS
Pasamos un plano de corte l a la recta de intersecciónentre los planos dados. Este plano corta una sección planacuya forma real contiene el ángulo diedro. Haciendo girarla sección plana de modo que sea l a la línea visual delobservador, podremos ver el ángulo diedo real
Determinación del ángulo entre una recta y un planoDeterminamos una vista en el que la recta y el planoaparezcan simultáneamente en longitud verdadera ycomo una arista, respectivamente..
Ángulodiedro real
X
X
L
A
C
D
LR
Eje
de ro
taci
ón
Eje de rotación
M
Línea visual delobservador
Arista del plano
Línea visual delobservador
Recta deintersección
PR
NC
A
D
A
OP
Eje
n1
P1Ro1Plano horizontal
SUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
IV.14. ÁNGULO DIEDRO (REAL) DE LA INTERSECCIÓN(MÉTODO DE ROTACIÓN)
INTERSECCIÓN ENTRE PLANOS
LAMINA # 069
Puntos deinterseccionde las aristaslaterales
Plano de intersección
Plano base Aristas laterales
O
Q
M
S
B
w P
y
z
N L
R
C
A D
x
Línea visual del observador, elplano de intersección se vecomo una arista
Vista de canto delplano de intersecciónABCD
Aristas lateralesdel prisma
Puntos deintersección
q3
o3
s3m3
x3w3
y3
z3
b3c3
p3
n3
r3
l3
a3d3
Vista de canto del plano base
3 112
a1 o1
q1
m1
s1
w1
z1
y1
x1
d1
c1
r1
l1
n1p1
LHLV
b1
o2 m2 q2 s2
b2
a2
w2
z2 y2x2
c2
d2
n2 l2 p2 r2
IV.15. INTERSECCIÓN DE UN PLANO Y UN PRISMA OBLICUO
LÁMINA # 070
INTERSECCIÓN DE PLANOS Y VOLÚMENESSUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
MÉTODOS DE LA VISTA DE CANTO Y DE LOS PLANOS DE CORTE
u1
Planos verticales de cortevistos como aristas
III
IVIII
u2v2
v1x1y1
x2y2
f2g2h2
i2
f1
g1h1
i1
Los puntos 2, 4,7,8 sonpuntos de intersección delas aristas laterales delprisma con las caras de lapirámide
los puntos 1, 3, 5, 6 sonpuntos de intersección delas aristas laterales de lapirámide con las carasdel prisma
Plano del corte quecontiene la arista lateraldel prisma PQ y queinterseca la cara lateralde la pirámide BVC
Línea visual en quese aprecia la vistaaxial del prisma
V
l1
l1
B6
81 L
N
P
A47X
QPlanobase
2
53
W
C
IV.16. INTERSECCIÓN DE UNA PIRÁMIDE Y UN PRISMA TRIANGULAR
LÁMINA # 071
INTERSECCIÓN DE PLANOS Y VOLÚMENESSUPERFICIES PLANAS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
CAPÍTULO VDESARROLLO DE VOLÚMENESY PROYECCIONES SUCESIVAS
V.1. DESARROLLO DE SUPERFICIES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS
DefiniciónLos cuerpos geométricos sedesdoblan o extienden, sobre unplano.En estas condiciones, la superficieadopta una forma que puederodarse o doblarse para obtener laforma original del cuerpo dado
Todas las líneasaparecen en VL
VL VL
VL
1
2
3
41
1'
2'3'
4'1'
1
2
3 4
1
1'
2'
3' 4'
1'
1
2
34
4'
3'
1'
2'
1
2
31'
2'3'
4
4'
1
1'
PLANO DE DESARROLLOPLANO DE DESARROLLOParalelo
VL VL
Líneas de doblez
Caras del prisma extendidos
Prisma recto
Línea dedesarrollo(sobre la cualse desdobla elperímetro delprisma)
Líneas de doblez
PRISMASDESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS
LÁMINA # 072
PRISMA RECTO
12
Líneas de doblezBASESUPERIOR
BASEINFERIOR
VL
VL
Línea de desarrollo
Nota: se usan números en lugar deletras para designar las proyeccionesdel prisma con objeto de facilitar lanotación usada en el desarrollo
Desarrollo de la superficie lateral del prisma,incluyendo las bases superior e inferior
VISTA AXIAL DEL PRISMA
V.2. PRISMA RECTO
Base inferiorvista en formareal
Base superiorvista en formareal en la vista# 1
Perímetro delprisma visto enla proyección#1
LÁMINA # 073
2' 3'
4' 3' 2' 1'
4 3 2 1
1'
1
2
3,3'
4,4'
1,1'
2,2'
aris
tas
late
rale
s en
VL
2 3 1 4
2' 3' 1' 4'
PRISMASDESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS
V.3. PRISMA RECTO TRUNCO
12
VISTA AXIALDEL PRISMA
Vista de canto de la base inferior
Forma real de labase inferior
FORMA REAL DE
LA BASE
SUPERIOR
FORMA REAL
DE LA BASE
SUPERIOR
FORMA REALDE LA BASEINFERIOR
34
LAMINA # 074
1,1'
2,2'
3,3'
4,4' Línea de desarrollo
2'1'
4 1 3 2
3'
4'
3'
4'
2'
1'
3 4 2 1
3'
4'
2'
1'2 3
VL VL VL VL
1 2 4 1
1' 1'
4'
3'
2'
1
3
4
1'
4'
Líneas de doblez
LV aristas laterales
Desarrollo completo de la superficie
PRISMASDESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS
12
S
O
2 3
1’, 2’, 3’, 4’, es la formareal de la base inferior.
El plano S-O esperpendicular a lacara de las aristaslaterales delprisma. corta unasección 1-2-3-4,que se aprecia enforma real en lavista #4.
V.4. PRISMA OBLICUO
FORMA REAL DE LABASE SUPERIOR
FORMA REAL DE LABASE INFERIOR
Líneas de doblez
Desarrollo completo de la superficieLAMINA # 075
2'
3'
4'
1'
4''
1''3''
2''
2''
3''
4''
1''
24
32
14
3' 2' 4' 1'
32
41
Línea de desarrollo
3''
2''
4''
1''
1''
2''
3''
4''1''
2''
1''
1 4 3 2 1
1'
2'
3'
2'
1'
1'
4'
x
y
VLVL
VL VL
Trasladar VL y ángulos
Perímetro enVL en vista axial
PRISMASDESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS
V.5. CILINDRO RECTO
1
2
Vista axial del cilindro. Laforma real de las basessuperior e inferior apareceaquí
LAMINA # 076
1' 2' 3' 4' 5' 6' 7' 8'
9' 10' 11' 12' 1'
7
6
54 3
2
1
1289 10
11
1 2
3 4 5 6
9 10 11 12 187
Línea de
desarrollo
FORMA REAL DE LABASE SUPERIOR
FORMA REAL DELA BASE INFERIOR
12
3
4
5
67
8
9
10
11
12
1'2' 12' 11' 10'3'4'7'6' 8' 9'5'
12 12 11 103476 8 95
Desarrollo completo de la superficie
CILINDROSDESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS
V.6. CILINDRO RECTO TRUNCO
1’’
1
9’’
10’’
1’’12’’
11’’
8’’7’’6’’
5’’
4’’
3’’2’’
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
43
2
1
12
11 109
8
7
6
5
FORMA REAL DE LABASE SUPERIOR
FORMA REAL DELA BASE SUPERIOR
FORMA REAL DELA BASE INFERIOR
Desarrollo completo de la supeficie
Vista axial del cilindro (Se aprecia elperímetro y la real de la base inferior)
32
PARALELAS
1
2
1 2 3 4 5 6 712 11 10 9 8
1’’
12’’
11’’
2’’
3’’
4’’
5’’6’’
7’’
9’’
8’’
10’’
Elementos en LV
LAMINA # 077
Línea de
desarrollo
6’’
7’’8’’9’’
10’’
11’’
12’’
1’’
12
1
8
7
6
5 43
2
7’’
6’’
5’’
4’’
3’’2’’
1’’
12’’
11’’
10’’
9’’ 8’’
CILINDROSDESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS
V.7. CILINDRO OBLICUO
x
yS O
1
2
1’’
9’’
10’’
1’’12’’
11’’
8’’7’’6’’
5’’4’’
3’’2’’
Vista axial del cilindro
El plano S-O es perpendicular a loselementos del cilindro en VL, cortala sección que aparece en la vista#1 en forma real.( Vista axial del cilindro)
FORMA REAL DELA BASE SUPERIOR
FORMA REAL DELA BASE INFERIOR
VC del plano de
32
24
LAMINA # 078
1
23 4 5
6
7
891011
12
1''
2''
3''
4''5'' 6''
7''
8''
9''10''
11''12''
FORMA REAL DELA BASE SUPERIOR
FORMA REAL DELA BASE INFERIOR
1''2''
3''
4''5''
6' 7''8''
9''10''
11''12''
1 2 3 4 5 6 712 11 10 9 8
Línea de desarrollo
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1
1' 2' 3'4'
5'
6'
7'8'9'
10'
11'
12'
1' 2'3'
4'5'
6'7'8'
9'10'
11'12'
1' 2' 3'
6' 7' 8'9'
10'11'
12' 1'
5'4'
x
y
(perímetro en VL)
Desarrollo completo de la supeficie
la base inferior
1'
7'8'9'
10'
11'
12'
1’’
8’’
7’’6’’ 5’’
4’’
3’’
2’’
CILINDROSDESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS
V.8. PIRÁMIDE RECTA
Todas las caras triangularesen forma de la pirámideaparecen en forma real enel desarrollo
El radio del arco es igual a laLV de las aristas laterales dela pirámide
FORMA REALDE LA BASEDE LAPIRÁMIDE
Aristas laterales en LV
FORMA REAL DELA BASE DE LAPIRAMIDE
En una pirámide recta,todas las aristas son deigual longitud; por lotanto, sólo es necesariodeterminar la longitudverdadera de una deellas
1
2
3
4
1LVLV
LV
LV
LV
LV
LV
LV
LV
LV
LV
LVV1
4
3
2
1
12
4312
LAMINA # 079
V1
LV
2'
V1
Líneas dedoblez
1
2
Desarrollo completo de la supeficie
PIRAMIDESDESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS
V.9. PIRÁMIDE OBLICUA
LAMINA # 080
2
3
4
5
1V
1' 4' 3'2'5'
V
V
VL de las generatrices
MÉTODO DE GIRO
3' 1'5'4' 2'Desarrollo completo de la supeficie
2
3
4
5
1
3
4
5
1
FORMA REALDE LA BASE DE LA
PIRÁMIDE
FORMA REALDE LA BASE DE LA
PIRÁMIDE
12
PIRAMIDESDESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS
Base pentagonal irregular
V.10. PIRÁMIDE RECTA TRUNCA
FORMA REALDE LA BASE
INFERIOR DE LAPIRÁMIDE
FORMA REALDE LA BASEINFERIOR DELA PIRAMIDE
La arista v1-2'' esta enVL
1
2
34
1
LV
LV
LV
LVV1
4
32
1 12
4312
LAMINA # 081
V1
LV
2''
V1
Líneas de doblez
12
Desarrollo completo de la supeficie
4'
3'
1'
2'
FORMA REALDE LA BASE
SUPERIOR DE LAPIRÁMIDE
4'
3'1'
2'4'
3'
2'
1'
1'
4'
2'
3' 2'
1'Aristas lateralesen VL
PIRAMIDESDESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS
BASE RECTANGULAR
V.11. PIRÁMIDE OBLICUA TRUNCA
LAMINA # 082
2
3
4
5
1V
1 4 325
V
V
VL de las generatrices
Método de giro paradeterminar las VL de lasaristas
3 154 2
Desarrollo completo de la supeficie
2
3
4
5
1
3
4
5
1
FORMA REALDE LA BASEINFERIOR DELA PIRÁMIDE
FORMA REALDE LA BASEINFERIOR DELA PIRÁMIDE
1'
2'
3'
4'5'
1'5'
4'2'3'
FORMA REALDE LA BASE
SUPERIOR DE LAPIRÁMIDE
1'5'
2' 3'
4'
1'
5'
2'3'
4'
1'
3'4'
5'
PIRAMIDESDESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS
BASE PENTAGONAL
Desarrollo completo dela cara del conoincluyendo su base
7
6
54
3 2 1 12 1110
98
7
V
FORMA REAL DELA BASE INFERIOR
Distancia de sus cuerdas,medidas en la vista #1.
Generatriz en VLGENERATRIZ
ANGULO DE AVERTURA DE LACARA DEL CONO EN FORMA
REAL 1
76 8
9
10
11
122
3
4
5
V
12
12345 6 7 8 9
1012
11
Cuerdas medidas enla vista de forma realde la base
V.12. CONO RECTO
LAMINA # 083
107°
11
10
9
87
6
5
4
3
CONOSDESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS
6
5
4
32 1 12
11
10
9
8
7
FORMA REALDE LA BASEINFERIOR
El radio del desarrollo es iguala la longitud verdadera de loselementos del cono (desde elvértice V)
V.13. CONO RECTO TRUNCO
Distancias en VL delas cuerdas se midenla base inferior
Generatriz= (V 7) 12
3
4
5
67
8
9
10
11
12
11123 1012
1'2'
3'4'
5'6'
7' 8'9'
10'
11'12'
12
1'2'3'4'
11'12'
10'9'
8'
6'7'
5'
LAMINA # 084
4
1'2'
3'
4'5' 6' 7'
8'
9'
10'
11'12'
Mientras mayoraltura posee el conomenor es el angulo deapertura del mismo
7V
V
1'
2'3'4'
11'12' 10'
9'
8'6'
7'
5'7'
La VL de las generatricesse miden desde V2 a 4
11
10
9
87
6
5
4
3
6'5'4'
3'
Desarrollo completo de la superficie
23
V2
V3
VL
VL
VL
FORMA REALDE LA BASESUPERIOR
CONOSDESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS
9
8
7
65 4 3
2
1
12
11
10
FORMA REALDE LA BASEINFERIOR
El radio del desarrollo es iguala la longitud verdadera de loselementos del cono (desde elvértice V)
V.13. CONO RECTO TRUNCO
Desarrollo completo de la superficie
Generatriz= (V 10) 12
3
4
5
67
8
9
10
11
12
11123 1012
1'2'
3'4'
5'6'
7' 8'9'
10'
11'12'
1
2
1'2'3'4'
11'12'
10'9'
8'
6'7'
5'
LAMINA # 085
4
1'2'
3'
4'5' 6' 7'
8'
9'
10'
11'12'
10V
V
4' 2'3'
11'12'
10'
9'8'
6'7' 5'
10'
2
1
12
1110
9
8
7
6
1'
12
1'
23
V2
V3
VL
VL Distancias en VL delas cuerdas se midenla base inferior
La VL de las generatricesse miden desde V2 a 4
FORMA REALDE LA BASESUPERIOR
7'
8'
9'10'
11'
CONOSDESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS
LAMINA # 086
9
8
7
6
5
4 32
1
12
11
10
9
F
17 6
25
348
129 1110
12
3
4
5
67 8
9
10
11
12
f1
1
2
5
6
7
89 10
11
12
1
V.14. CONO OBLICUO
f2
VL Generatrices
24
1 12 11 102347 8 965
FORMA REAL DELA BASE
INFERIOR
FORMA REALDE LA CARADEL CONO
Desarrollo completo de la supeficie
CONOSDESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS
Método de giro paradeterminar las VL de lasgeneratrices
LAMINA # 087
9
8
7
6
5
4 32
1
12
11
10
9
F
17 6
25
348
129 1110
12
3
4
5
67 8
9
10
11
12
f1
1
2 5
6
7
89 10
11
12
1
V.15. CONO OBLICUO TRUNCO
f2
VL Generatrices
24
1 12 11 102347 8 965
FORMA REAL DELA BASE
INFERIOR
FORMA REALDE LA CARADEL CONO
Desarrollo completo de la supeficie
7'6' 8'9'
10'4'3'
2'1' 12'
11'
5'
7'
1'
6'
2'
5'8'9'
10'11'12'
3'4'
CONOSDESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS
Método de giro paradeterminar las VL de lasgeneratrices
V.16. ROTACIÓN DE ELEMENTOS GEOMÉTRICOS
Rotación de un punto con respecto a un ejeCuande se hace girar unpunto dado con respectoa un eje, el punto éstasituado a una distanciaespecífica del eje.
Rotación de una recta alrededor de un ejeAl hacer girar una recta dadaalrededor de un eje, si uno de losextremos de la recta dada estásituada en el eje y la rotación es de360°, se genera un cono derevolución.
Rotación de un plano alrededor de un ejeUna superficie plana se puedehacer girar alrededor de un eje demanera que sea l a la línea visualdel observador. En esta posiciónel observador puede ver la formareal de la superficie plana dada.
90°
Línea visual delobservador
DB en VL vista por elobservador p#1
Línea visual delobservador (p#1)
BR(rotado)
C RR
X
A
D
Eje
BR(rotado)B
Recta DBantes de rotar
Eje derotación
Línea visual delobservador
P
PR
(rotado)
(posición inicial)
RR
C
Plano derotación
A
Trayectoria de Pdurante la rotación
CR (rotado)
D
D
DR (rotado)
Línea visual delobservador
Eje de rotación
AB
Forma real de ABC vista por elobservador despues de la rotación
ROTACIÓN
LAMINA # 088
DESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS
14
V.17. PROYECCIÓN SUCESIVA DE UN PRISMA
LAMINA # 089
1,1'
2,2'
3,3'
4,4'
4
4'
1
1'
3
3'
2
2'
4
44
1
1
1
3
3
3
2
2
2
4'
4'4'
1'
1'
1'
3'
3'
3'
2'
2'
2'
1 3
12
15
PROYECCIONES SUCESIVASDESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS
V.18. PROYECCIÓN SUCESIVA DE UN PRISMA RECTO TRUNCO
LAMINA # 090
1,1'
2,2'
3,3'
4,4'
1
2
1
1'
4
4'
3
3'
2
2'4
4
4'
4'
1
1
1'
1'
3
3
3'
3'
2'
2'
2
2
1
1
15
4
3
4
1
3
2
4'
1'
3'
2'
PROYECCIONES SUCESIVASDESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS
V.19. PROYECCIÓN SUCESIVA DE UNA PIRÁMIDE
LAMINA # 091
12
1
2
3
4
A
1 4 32
A
A
4
1
2
3
1
1
4
4
2
2
3
3
A
A
1 3
14
15
PROYECCIONES SUCESIVASDESARROLLO DE VOLÚMENES Y PROYECCIONES SUCESIVAS
CAPÍTULO VICUBIERTAS TRADICIONALES
VI.1. DEFINICIONES
LAMINA # 092
Las cubiertas tradicionales.- Se basanen la intersección de 2 o mássuperficies planas inclinadas paraformar las faldas o faldones.
La intersección entre dos faldonesadyacentes, línea recta inclinada queparte del extremo del cumbrero haciael vértice exterior conformada por losdos faldones que forman un ángulosuperior, lomo configurado en laproyección horizontal a 45 grados, seconoce como limatesa.
La intersección entre dos faldonesadyacentes, línea recta inclinada queparte del extremo del cumbrero haciael vértice exterior conformada por losdos faldones y formando un ánguloinferior, canal configurado en laproyección horizontal a 45 grados, seconoce con el nombre de limahoya.
Tanto limatones y limatesa son loslimatones en una cubierta tradicional.
Los lados extremos inferiores de losfaldones configuran los aleros de lacubierta, teniendo la misma altura encualquiera de sus costados..
La intersección entre 2 faldonesinclinados opuestos se conoce comocumbrero, el mismo que es horizontal.Esta línea recta siempre se bica en elcentro del área que se pretende cubrir.
El alero generalmente sobresale delparamento o pared de la edificaciónuna dimensión que sirve para protegela misma.
CUBIERTAS TRADICIONALES CARACTERISTICAS
1.- Definición del espacio a cubrirse. 2.- Trazado de zonas
4.- Trazado de encuentros 5.- Eliminación de líneas auxiliares ytrazado de permanentes
VI.2. TRAZADO DEL MÓDULO BASE
LAMINA # 093
3.- Trazado del módulo basepor zonas
CUBIERTAS TRADICIONALES MÓDULO BASE Y PASOS DE TRAZADO
LAMINA # 094
VI.3. DIFERENTES TIPOS DE ENCUENTROS
1.- Espacio a cubrirse
3.- Trazado del módulo base.
4.- Trazado encuentros.
2.- Trazado de las zonas.
Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3
Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3
Alternativa 1 Alternativa 2 Alternativa 3
5.- Eliminación de las líneas auxiliares y trazado de pendientes.
CUBIERTAS TRADICIONALES MÓDULO BASE Y PASOS DE TRAZADO
VI.4. CASOS DE ACOPLAMIENTOS ENTRE FALDONES
LAMINA # 095
Cubierta resuelta
Cubierta resuelta
Encuentro en rectangulo
Encuentro en cuadrado
CUBIERTAS TRADICIONALES MÓDULO BASE Y PASOS DE TRAZADO
LAMINA # 096
V.4. CASOS DE ACOPLAMIENTOS ENTRE FALDONES
Elevación frontal
1.- Primera variante 2.- Segunda variante 3.- Tercera variante
Elevación frontal Elevación frontal
Encuentro en cuadrado Encuentro en rectangulo Encuentro adyacente
CUBIERTAS TRADICIONALES MÓDULO BASE Y PASOS DE TRAZADO
LAMINA # 097
VI.5. VARIANTES DE FALDONES
elevación frontal elevación frontal elevación frontal elevación frontal
elevación frontal elevación frontal elevación frontal elevación frontal
CUBIERTAS TRADICIONALES MÓDULO BASE Y PASOS DE TRAZADO
LAMINA # 098
VI.6. EJEMPLO DE ACOPLAMIENTOS
Elevación frontal
Todas las faldasinclinadas en PV son (//)
CUBIERTAS TRADICIONALES MÓDULO BASE Y PASOS DE TRAZADO
LAMINA # 099
VI.7. CUBIERTAS CON PATIO INTERIOR (VACIO)
Elevación frontal
Cubierta resuelta
Espacio a cubrirse
CUBIERTAS TRADICIONALES MÓDULO BASE Y PASOS DE TRAZADO
LAMINA # 100
VI.8. CUBIERTAS EN DOS NIVELES
2.- Eliminación de líneas internas
1.- Trazado de la cubierta inferior
3.- Trazado de la cubierta del nivel superior
Contorno de nivelsuperior
CUBIERTAS TRADICIONALES MÓDULO BASE Y PASOS DE TRAZADO
LAMINA # 101
VI.9. CUBIERTAS CON PLANOS TRIANGULARESPLANTA CUADRADA PLANTA HEXAGONALPLANTA CUADRADA
Pendientes: Horizontales y verticales desentidos contrarios y diferentes magnitudesCumbreras: Centrales (transversal ylongitudinal)Limahoyas y lematesas: descendientes hacialos bordes exteriores
Pendientes: De sentidos contrariose igual magnitudCumbreras: Centrales (transversaly longitudinal)
Limatesas: Convergentes ydescendentes hacia el centroLimahoyas: Descendenteshacia el centro
CUBIERTAS TRADICIONALES CUBIERTAS ESPECIALES
LAMINA # 102
12
A
9'
7'
5'
3'
1' 2'
4'
6'
8'
10'
B
2
4
6
8
10
B
1
3
5
7
9
A
VII.1. PARABOLOIDE HIPERBÓLICO
Superficie generada poruna recta que sedesplaza, apoyada enotras dos rectascualesquiera, y seconserva paralela a unplano. existen dosposibilidades degeneración
Superficie generadapor rectas que seapoyan en directricesrectas
PLANO DIRECTORHORIZONTAL
SUPERFICIES ALABEADAS PARABOLOIDE HIPERBÓLICO
FIgura volumétrica o espacial
Figura descriptiva
LAMINA # 103
VII.2. APLICACIÓN EN LA ARQUITECTURASUPERFICIES ALABEADAS PARABOLOIDE HIPERBÓLICO
En geometría analítica, es una superficietridimensional que se describe mediante la ecuación(X2/A2 )-(Y2/B2 ) = -Z
Lobby del hotel Waikikian, (construido el 1956)
LAMINA # 104
1
2
13
57
911
20
18
16
14
1210
86
42
13
15
17
19
2'13'
15'
17'
19'
1'
12'14'
16'18'
20'11'
3'
7'
5'10'
8'
9'6'
4'
VII.3. PARABOLOIDE HIPERBÓLICO (REGLADA)
Superficie generada porrectas que se apoyan endirectrices oblicuas
PLANO DIRECTOR OBLICUO
PLANO DIRECTORHORIZONTAL
SUPERFICIES ALABEADAS PARABOLOIDE HIPERBÓLICO
Figura descriptiva
FIgura volumétrica o espacial
LAMINA #105
VII.4. APLICACIÓN EN LA ARQUITECTURA
La paraboloide hiperbólica es de gran importancia en la construcción de formas arquitectónicas, generalmentecubiertas, pues este doble apoyo de las generatrices resuelven algunos problemas estáticos, además depermitir la construcción de cubiertas nervadas en las cuales todas las piezas son rectas, dando lugar, también, ageneraciones poliédricas. Estas superficies se emplean en canales, acequias, canales de hormigón y túneles.
SUPERFICIES MÍNIMAS.Félix Candela ( 1910-1997), El maestro de las cubiertas de hormigónllevo al extremo las posibilidades estructurales de estas formascurvilíneas inversas. Se opto por las superestructuras en forma deparaboloide hiperbólico. En concreto cada cubierta esta formada porcuatro cuadrantes entre sí.
RICHARD ROGERS: PALACIO DE JUSTICIA DE ÁMBARES (BÉLGICA)Es una enorme catedral de metal, cristal y madera tiene 7800m". Eledificio esta formado por 6 alas en torno a un gran espacio central.Su estructura a partir de secciones triangulares, las que forman unamalla tridimensional compleja.
CUBIERTA DE LA CIUDAD OLÍMPICA DE MUNICHEsta diseñada a partir de la construcción del paraboloide hiperbólico,superficies mínimas.Este sistema tiene 2 ventajas construcción de gran ligereza y la tensiónsuperficial esta equilibrada.
SUPERFICIES ALABEADAS PARABOLOIDE HIPERBÓLICO
LAMINA # 106
a1 b1
a2
b2 b3
x1
y1
x2y2 x3 y3c3 d3c2d2
c1
d1
3’3 3’’3 3’3’’
3
3’3’’
12
Superficie generada por unarecta que se desplaza, apoyadaen otra recta, y en una curvacualquiera plana o de doblecurvatura, conservándosesiempre paralelo a un planodirector.
VII.5. CONOIDE
2 3
CONOIDE RECTO
SUPERFICIES ALABEADAS CONOIDE
Figura descriptiva
FIgura volumétrica o espacial
LAMINA # 107
VII.6. APLICACIÓN EN LA ARQUITECTURA
Se emplea en los intrados de las bóvedas, uniendo aberturas de formadiferente. Conveniente cuando es necesario unir techos de bóvedascurvadas o abovedadas con otros techos planos. Se empleafrecuentemente, formando piezas de unión o de tránsito. Su forma lepermite ser usada como componente de un muro.
ESTRUCTURA CONOIDE PARA LA EXPOSICIÓN DE AUTOMÓVILES ENCARTAGENA (MURCIA)Conoide de palanta dodecagonal con mástil central y doce mástilesperiféricos, superficie cubierta 400m²
ESCUELAS DE LA SAGRADA FAMILIA (GAUDI)Construcción concebida totalmente como provicional, lo másimportante de todo esto es el conjunto de superficies onduladas. Lasuperficie de estas fachadas estan formadas por conoides .La cubierta usa conoides para ahorrarse de hacer encaballadas.Gaudi dispone un pórtico central dentro del edificio como apoyocentral de las vigas.
SUPERFICIES ALABEADAS CONOIDE
LAMINA # 108
12
VII.7. HIPERBOLOIDE
HIPERBOLOIDE DE REVOLUCIÓN ( ELÍPTICO)Superficie generada por una recta, que se apoya en tres circulos situadosen planos paralelos se encuentra en un mismo eje perpendicular a ellos.
1311
9
7
5
31
23
21
19
17
1514 12
10
8
642
2422
20
1816
19 2117
2315 13
1113
95 7
20 82117
2416 14
2124
106
SUPERFICIES ALABEADAS HIPERBOLOIDE
12
34
5
A7
89
10 11
12
34
5C
78
910
11
B
A BC
C
1 23 4 5 C7 8 910
11
12
LAMINA # 109
VII.8. HIPERBOLOIDE DE REVOLUCIÓN
HIPERBOLOIDE DE REVOLUCIÓN( ELÍPTICO) INCLINADO
Superficie generada por unarecta, que se apoya en trescirculos situados en planosparalelos se encuentra en unmismo eje perpendicular a ellos.
SUPERFICIES ALABEADAS HIPERBOLOIDE
LAMINA # 110
VII.9. APLICACIÓN EN LA ARQUITECTURALa gran ventaja de las cuádricas regladas de permitir un doble pretenado de las armaduras en las direcciones de losdos sistemas de generatrices, se ha utilizado con frecuencia para consegir la estanqueidad en depósitos de agua.El hiperbole también se ha utilizado en rascacielos.Al momento de realizar esta rotación en torno al eje de abscisas entonces se llega a generar un hiperboloide de doshojas. Ahora bien también se llega a crear una hipérbole de una hoja cuando la rotación se crea en tono al eje delas ordenadas.Las coordenadas cartesianas llegan a dividir a la perfección el plano en cuatro cuadrantes, estos ejes se llegan acortar en un solo punto, lo cual es conocido como coordenada, donde la recta vertical es el eje de las ordenadas, y lahorizontal es el de las abscisas.Las estructuras hiperboloides que hoy día se han construido son muy variadas, siendo la más antigua una torre deacero elaborada por Nizhny Novgorod en el año 1896 en Rusia. Así mismo años más tarde se dieron a conocerotras estructuras creadas por Oscar Niemeyer, Eduardo Torroja, Antoni Gaudí, Le Corbusier, etc.Cabe reconocer la cúpula central de las caballerizas de la Finca Gaudí, así como también la bóveda para el giro decarruajes y la iglesia de la Sagrada Familia de Parc Guell, donde la hipérbole se forma en los techos de las naves, lacual se caracteriza por ser de una hoja.
Torre de control del aeropuerto deBarcelona (2007, Bruce Fairbanks)
Catedral de Brasilia (1959-70,Oscar Niemeyer)
Planetario McDowel (Centro de Ciencias deSaint Louis; 1963, Gyo Obata)
SUPERFICIES ALABEADAS HIPERBOLOIDE
LAMINA # 111
VII.10. HELICOIDE
Superficie que se genera por elmovimiento de una recta, que tiene comodirectrices una elice y su eje, y seconserva perpendicular a un planodirector. existen dos posibilidades degeneración
1
23 4 5
67
8e1a1b1
12
87
65
43
21
c2 e2 a2
HELICOIDE RECTO (CILINDRICO)
9
10111213
14
15
9
1011
1213
1415
d1c1
d1c1
SUPERFICIES ALABEADAS HELICOIDE
LAMINA # 112
VII.11. HELICOIDE
Superficie que se genera por elmovimiento de una recta, que tiene comodirectrices una élice y su eje, y seconserva perpendicular a un planodirector. existen dos posibilidades degeneración
SUPERFICIES ALABEADAS HELICOIDE
HELICOIDE RECTO (CÓNICO)
e
a
P
v
Vp
LAMINA # 113
VII.12. APLICACIÓN EN LA ARQUITECTURASUPERFICIES ALABEADAS
ESTAS SUPERFICIES TIENEN ENORMES POSIBILIDADES EN SU EMPLEO COMO FORMA CONSTRUCTIVA,PUES DE SER MATEMATICAMENTE DIFICIL DE MANEJAR
HELICOIDE DE LA ROCA TARPEYA Y CENTRO PROFESIONAL DEL ESTESon obras de Jorge Romero Gutiérrez, arquitecto venezolano merecedordel premio nacional de arquitectura en 1996. En 1995 escoja la rocatarpeya como el lugar adecuado para edificar un importante centrocomercial.Tiene la forma geométrica triangular y esta construida sobre una colinaque le da forma piramidal.
ARQUITECTO : RAFAEL DE LA HOZPantallas dispuestas radicalmente a soportar losashelicoidales y a su vez, las cerchas que se colocan el segundovolúmen, dispuestas igualmente de la forma radial sustentalos forjados de las oficinas. La volumetría aparece como undisco flotante, cuyo interior se vacía para albergar una espiralque se hunde en el terreno, dejando un patio concéntrico
TEMPLO DE LA SAGRADA FAMILIA (GAUDI)Utiliza el helicoide en su sentido de agarre en las columnas arboladas. Lasbovedas de hiperboloides tienen el ojo, el cuello del hiperboloide, un vacíopor donde pasa luz natural. Las costuras entre hiperboloides sonintersecciones que no aparecen nunca curvas extrañas sino que utilizansiempre rectas generatrices para hacer transiciones entre los planos queforman biseles.
Gaudi logra la máxima resistencia y optimizar elcomportamiento mecánico en su última versión de lasbóvedas con superficies alabeadas de doble curvatura.
HELICOIDE
LAMINA # 114
a1
c1
b1
e1
f1
g1
b2
a2 c2
f2
e2 g2
VII.13. CILINDROIDESUPERFICIE ALBEADA, CUYA GENERATRIZ RECTA SE MUEVE DE TAL MODO QUE ESTA CONTINUAMENTE EN
CONTACTO CON 2 LINEAS CURVAS DIRECTRICES Y ES SIEMPRE PARALELA A UN PLANO DIRECTOR
APLICACIÓN DEL CILINDROIDE EN LA ARQUITECTURA.-Empleando en los intradós de las bóvedas, uniendo aberturas de formadiferente.Es útil cuando los vanos que tienen que unirse no están en planosparalelos.Estas superficies se emplean fundamentalmente, formando piezas deunión o de tránsito más para el proseso de construcción de estassuperficies, a partir de la chapa o lámina plana o bien de superficies desimple curvatura.
SUPERFICIES ALABEADAS CILINDROIDE
1
2
CAPÍTULO VIIIPIEZAS DE TRANSICIÓN
1
2
A
D
B
C
B’
C’
A’
D’G
E F
BH
A
0’0
H’
DC
G’
G’H’ FGEH
BC C’B’ADA’D’
0’ 0
E
E
OO'
FG
H
A B
C
A
D
En este caso las aristas laterales no se intersecan en un mismo vértice para formar una pirámide. Es conveniente desarrollarlas caras (A) y (B) prolongando sus lados hasta formar triángulos; se encuentran la verdadera longitud de los lados empleadosel método de giros. Las caras (C) y (D) se desarrollan por triangulación, y se encuentran las verdaderas longitudes de lasdiagonales así como de las aristas laterales, luego se ensambla como se puede ver
VL VL VL VL
VIII.1. SECCIONES CUADRANGULARES DIFERENTES
LAMINA # 115
PIEZAS DE TRANSICIÓN CONEXIÓN DE SECCIONES
1
2
10 11
12
1
2
3456
7
8
9
7 86
95
10 4
113
122
1
1211
109´87´
6
54
3´ 2 1
10 11121
2345
678
9
7 6 5 4 3 2 1 6 5 4 23 1
7´6´5´4´3´2´1´
7654321
Para determinar las longitudes verdaderas de las aristaslaterales, diagonales y elementos en # 13, seriaincómodo emplear el método de planos auxiliares y aunel de giros; resulta más conveniente formar diagramasde verdadera longitud que consiste en conformar paracada arista un triángulo rectángulo cuya base es igual ala arista superior y cuya altura es la diferencia enelevación de sus extremos.La hipotenusa de el triángulo será la verdaderamagnitudde la arista.
La forma descrita en esta figura semeja un cono, pero una simple observación nos revela que los elementos laterales no seintersecan en un vértice común. La intersección circular con el tubo inferior aparece en verdadera magnitud en el plano(1) y la intersección superior con el tubo inclinado pequeño se ve en su forma real en la vista auxiliar de (3). Se puedeconseguir un desarrollo bastante aproximado de la pieza si se considera que esta compuesta por varios triángulos planos.
7
3
2
LAMINA # 116
VIII.2. CONEXION DE DOS SECCIÓNES CILINDRICAS DIFERENTESPIEZAS DE TRANSICIÓN CONEXIÓN DE SECCIONES
VL con el método de giro
LAMINA # 117
VII.3. CONEXION DE UNA SECCIÓN CUADRANGULAR Y CIRCULAR
PIEZAS DE TRANSICIÓN CONEXIÓN DE SECCIONES
1
2
D C
XX
A BVL
67
891011
1212
3 4 567
4 5
4 5 6 7
AD
BC
AD
1 23 4 4 56 7
B C'
1 2 3 4 5 67
VL con el método de giro
12 32
costura
Longitud verdadera de los elementos
145
23
1
5
4 3
2
M L K J N A B C D E F G
C DB A
1234
El desarrollo de esta pieza de transición se compone de cuatro superficies triangulares planas y de porciones de superficiescónicas. Por ser la pieza simétrica en el eje XX´. Se construye el medio desarrollo. Hacemos girar la semi-circunferencia 1-7hasta una posición 1´-7´para tener la longitud real entre los puntos de las superficies cónicas, mientras que las bases de lascaras triangulares planas están en verdadera magnitud en los planos (1) y (2). Los diagramas de verdadera longitud sonsimilares a los de la figura anterior .
LAMINA # 118
VIII.3. CONEXION DE UNA SECCIÓN CUADRANGULAR Y CIRCULARPIEZAS DE TRANSICIÓN CONEXIÓN DE SECCIONES
1 2
34
1
24
4
FIgura volumétrica o espacial
Desarrollo del cuerpo
LAMINA # 119
PIEZAS DE TRANSICIÓN CONEXIÓN DE SECCIONES
VIII.4. APLICACIONES EN ARQUITECTURA
Conductos de ventilación
Estas piezas de transición son utilizadas enconductos de ventilación, captación de polvo,etc. son de salidas cuadradas o rectangularescon conexión a tuberías cilíndricas.
Piezas especiales de hormigón para vados
CAPÍTULO IXSOMBRAS
45°
IX.1. SOMBRA ARROJADA DEL PUNTO EN PH, PV y PI
LAMINA # 120
p1
p2
sp1
12
12
SOMBRA DEL PUNTO EN PH
sp2
p1
p2
Sombra arrojadapor un punto enel PH
Sombra arrojadapor un punto enel PV
PH
PH
PV
PV
Línea deproyección
SOMBRA DEL PUNTO EN PV
45°
45°
45°
SOMBRA DEL PUNTO EN PI
SOMBRA DEL PUNTO EN PI
p1
p2
sp1
12
PI
PI
Línea deproyección45
°
sp2
Sombra arrojadapor un punto enel PI
p3
3
Plano inclinado
12
p1
p2
PI
45°
45°
sp1
Plano inclinado
SOMBRAS SISTEMA DE PROYECCIÓN DE SOMBRAS
Los rayos de luz quevan ha generar lassombras en losplanos de proyección,se considera losiguiente:En PH tienen unadirección N45E.En PV tienen unainclinación de 45grados.
IX.2. SOMBRA ARROJADA POR UNA RECTA PRINCIPAL AL PH Y PV
LAMINA # 121
RECTA HORIZONTAL
12
a1b1
a2 b2
sa1sb1
45°
Sombraen el PH
PH
PH
Línea deproyección
45°
21
a2b2
a1 b1
sa2sb2
45°
PV
PV
Línea deproyección
45°
RECTA DE PERFILRECTA FRONTAL
12
b1
a1
a2
b2
sb1
sa1PH
PH
Línea deproyección
45°
21
a2
b2
b1
a1
sa2
sb2PV
PV
Línea deproyección
45°
45°
45°
12
a2
PH
PH
b2
a1 b1
45°
Línea deproyección
45°
sa1sb1
a1b1
a2 b2
45°
45°
sa2sb2PV
PV
Sombraen el PV
Línea deproyección
RECTA HORIZONTAL RECTA DE PERFILRECTA FRONTAL
Sombraen el PV
Sombraen el PV
Sombraen el PH
Sombraen el PH
SOMBRAS SISTEMA DE PROYECCIÓN DE SOMBRAS
LAMINA # 122
IX.3. SOMBRA ARROJADA POR UNA RECTA DE PUNTA AL PH Y PVRECTA VERTICAL APOYADA EN EL PH
12
b2
sa1
sb1
Sombra en PH
Línea deproyección
45°
RECTA HORIZONTAL APOYADA EN EL PV
a2
a1b1
PH
PH
21
a1
sb2
sa2
Sombra en PV
Línea deproyección
45°
b1
a2b2
PV
PV
RECTA VERTICAL SEPARADA DEL PH
12
b2
sa1
sb1
Sombra en PH
Línea deproyección
RECTA HORIZONTAL SEPARADA DEL PV
a2
a1b1
PH
PH
21
a1
sb2
sa2
Sombra en PV
Línea deproyecciónb1
a2b2
PV
PV
45°
45°
45°
45°
45°45°
Recta encontactocon PH
Rectaseparadade PH
Recta encontactocon PV
Rectaseparadade PV
SOMBRAS SISTEMA DE PROYECCIÓN DE SOMBRAS
LAMINA # 123
IX.4. SOMBRA ARROJADA POR UNA RECTA OBLICUA AL PH y PVRECTA OBLICUA
12
b2
sa1 sb1
Sombra en PH
Línea deproyección
RECTA OBLICUA
a2
a1
PH
PH
b1
21
b1
sa2sb2 Sombra en PV
Línea deproyección
a1
a2
PV
PV
b2
12
b2sa2
sb1
a2
PH
PV
a1
b1
SOMBRA PROYECTADA DE LA RECTA OBLICUAEN LOS 2 PLANOS PRINCIPALES
45°
45°
Sombra en PH
Sombra en PV
SOMBRA DE LA RECTA VERTICAL ENLOS 2 PLANOS PRINCIPALES
12
b2
sa2
sb1
Sombra en PH
a2
PH
PV
a1b1
Sombra en PVRecta encontactocon PH
12
b1
sb1 Sombra en PHa1
PH
PV
a2b2sa2
Sombra en PV
SOMBRA DE LA RECTA HORIZONTAL ENLOS 2 PLANOS PRINCIPALES
Recta encontactocon PV
SOMBRAS SISTEMA DE PROYECCIÓN DE SOMBRAS
LAMINA # 124
IX.5. SOMBRA ARROJADA POR UNA SUPERFICIE PLANA
1
2
Sombraen el PH
PLANO VERTICAL FRONTAL
PH
PHa2
1
2
Sombraen el PV
PV
PV
1
2
Sombraen el PH
PH
2
1
Sombraen el PV PV
PV
PLANO VERTICALDE PERFIL
PLANO HORIZONTAL(CORNISA)
PLANO VERTICALEN VOLADO
a2'
b2
b2'
a1'
a1 b1'
b1
sa1 sb1
a2'
a1
a2
b2'b2
PH
a1'
a2
a2'
b2
b2'
a1'
a1
b1'
b1
b1
b1'
a2'a2
b2'b2
a1' b1'
a1 b1
SOMBRAS SISTEMA DE PROYECCIÓN DE SOMBRAS
IX.6. SOMBRA DE UN VOLADO (CORNISA) EN UNA SUPERFICIECONCAVA Y CONVEXA
SOMBRA EN UNA SUPERFICIE CÓNCAVA SOMBRA EN UNA SUPERFICIE CONVEXA
12
12
LAMINA # 125
1´ 2´
3´ 4´ 5´ 6´7´
8´9´10´11 12´13´14´
1 2
3 4 5 67
89
101112 13 14
1´ 2´
4´6´
8´ 10´
11´
12´ 13´ 16´
1 2
4
68 10 11
12 13 16
12´
SOMBRAS SISTEMA DE PROYECCIÓN DE SOMBRAS
Sombra arrojada en el PV Sombra arrojada en el PH Sombra arrojada en el PI
12
12 3 4
6
a2 b2
5
123 4 65a' b'
a2 b21 2 3 4 5 6
1'2' 3' 4'
5'6'
a' b'
a' b'
a2 b2
1 2 3 b' 54a' 6
a1 b11 2 3 4 5 6
12
3 45
6
1'2'
3' 4'5'6'
12
12
123
45
IX.7. SOMBRA DE UNA LÍNEA CURVA
LAMINA # 126
PV
PH
PH
PV
67
1 23
45
67
123
45
6 7
S1S2 S3
S4S5
S6
S7
PI
PI
PI
1
23 4 5
6
7
S1S7
SOMBRAS SISTEMA DE PROYECCIÓN DE SOMBRAS
12
LAMINA # 127
1 2
34
1 2
34
23
1 2
3 4
14
IX.8. SOMBRA DE UNA CHIMENEA SOBRE UNA CUBIERTA
SOMBRAS EJERCICIOS DE APLICACIÓN
La sombra proyectada de los ladosinclinados de la chimenea en la faldainclinada de la cubiera, se observaque forma una sola línea recta en PVy PH
LAMINA # 128
12
1 2
34
1 234
1 2
3 4
23
14
IX.8. SOMBRA DE UNA CHIMENEA SOBRE UNA CUBIERTA
SOMBRAS EJERCICIOS DE APLICACIÓN
La sombra proyectada de los ladosinclinados de la chimenea en las dosfaldas inclinadas de la cubiera, seobserva que la línea recta se cortaadoptando diferente orientación.
12
34
56
78
910
11
5
10
789
10
65
LAMINA # 129
IX.9. SOMBRA DEL PASAMANO EN LA GRADA
12
1 3
SOMBRAS EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Plano base
Los tramos de sombra del pasamanoen la grada se determina en primerlugar en la proyección de perfil,señalando en PF los cortes de lagrada en el pasamano, para luegoregresar a PV y PH.
IX.10. SOMBRA DE UN POSTE SOBRE UNA PARED CON MOLDURAS
12
LAMINA # 1301
2 3
4 5
6
78
9
1011
12
123456789101112a3 b3
a1b1
a2
b2
SOMBRAS EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Este caso como los anteriores, en elprocedimiento se debe en primer lugardeterminar los puntos de sombra del poste enla Proyección de perfil, luego regresamos ydeterminamos la ubicación del punto desombra en la proyección horizontal y vertical.
LAMINA # 131
IX.11. MÉTODO PARA DETERMINAR LA SOMBRA DE UNA RECTA EN UNA CÚPULA
ORIENTACIÓN COINCIDENTECON UN MERIDIANO
ORIENTACIÓN NO COINCIDENTECON UN MERIDIANO
1. Dividir la cúpula enparalelos de igual distanciay proyectarlos al PH1
1
2345
67
8
9
2. Rebatir la altura de los paraleloshasta la proyección horizontal (arcosinscritos) de la dirección de la sombra,en este caso se asume en el meridianoa 45 grados (diagonal), y otroarbitrario. El procedimiento generainterseciones que se deben determinaren los paralelos de la proyecciónvertical
3. Los puntos de intersección encontrados en el meridiano a45 grados y en el arbitrario en PH se proyectan al PV y sedeterminan las respectivas alturas en cada paralelo. Seprocede a unir estos puntos y aparece la forma de la curvadel meridiano y la arbitraria en PV
1
1
2345
67
8
9
PH
PV
PH
PV
SOMBRAS EJERCICIOS DE APLICACIÓN
4. en esta curva del meridiano yla arbitraria en PH y PV estarácontenida la sombra, sea delpunto o los puntos de cualquierrecta
CURVA QUE ORIENTA LA UBICACIÓN DE LA SOMBRA EN PROYECCIÓN H Y V EN LA CÚPULA
LAMINA # 132
IX.12. SOMBRA DE UN PUNTO EN UNA CÚPULA (SEMI ESFERA)
SOMBRA DEL PUNTOFUERA DEL MERIDIANO
SOMBRA DE VARIOSPUNTOS VERTICALESA DIFERENTEALTURA, FUERA DELMERIDIANO
Dirección de lasombra del punto
Inicio de la dirección de la sombraentre el PH y el Plano curvo
Orientación de la líneade sombra del puntoo serie de puntos
P1
sp1
P2
sp2
P1
P1'
P1''
P2''
P2'
P2
sp2
sp2'
sp2''
sp1''
sp1'
sp1
PH
PV
PH
PV
SOMBRAS EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Dirección de lasombra de lospuntos, ubicadosen la curva quegeneró laorientación en PH
LAMINA # 133
IX.13. SOMBRA DE UNA RECTA VERTICAL EN UNA SUPERFICIE CURVA (CÚPULA)
SOMBRA DE LA RECTAAPOYADA EN EL PH
SOMBRA DE LA RECTAAPOYADA EN EL PH
SOMBRA DE LA RECTANO APOYADA EN EL PH
Sombra coincidentecon la orientacióndel meridiano
Sombra no coincidentecon la orientación delmeridiano
Sombra nocoincidente conla orientacióndel meridiano
a1
b1
a2
b2
sb2
sb1
sa1
sa2
a2
b2
sb2
sb1a1
b1
sa2
sa1
a2
b2
sb2
sb1
a1
b1
sa2
sa1
PH
PV
PH
PV
PH
PV
SOMBRAS EJERCICIOS DE APLICACIÓN
LAMINA # 134
IX.13. SOMBRA DE UNA RECTA VERTICAL EN UNA SUPERFICIE CURVA (CÚPULA)
SOMBRA DE LA RECTAAPOYADA EN EL PH
Sombra no coincidentecon la orientación delmeridiano y quesobrepasa la cúpula enel Ph y en el PV
a2
b2
sa2
sb1a1
b1
sa1
sb2
PH
PV
SOMBRAS EJERCICIOS DE APLICACIÓN
SOMBRA DE LA RECTAFRONTAL EN LOS PLANOSH Y V
a2
a1 b1
b2
sb2
sa2
sb1
sa1
o1
o2
so2
so1
SOMBRA DE LA RECTA DEPUNTA QUE SOBREPASA LACÚPULA
a1
b1
a2
o2
b2
sa1
sb1
sa2
sb2
o1
so1
so2
LAMINA # 135
IX.14. SOMBRA DE UNA RECTA HORIZONTAL EN UNA SUPERFICIE CURVA (CÚPULA)
SOMBRA DE LA RECTA DEPUNTA AL PV
a1
b1
a2
b2
sb1
sb2
sa1
sa2
PH
PV
PH
PV
PH
PV
SOMBRAS EJERCICIOS DE APLICACIÓN
LAMINA # 136
IX.15. SOMBRA DE UN PLANO EN UNA SUPERFICIE CURVA (CÚPULA)
SOMBRA DEL PLANO HORIZONTAL
b1
b2d2
sd2sa2
sb1sc1
a1
a2c2
sc2
sa1
d1c1
SOMBRA DEL PLANO VERTICAL DE PERFIL EN EL PLANO H Y V
sb2
sd1
a2
b2
sb2
sb1a1
b1
sa2
sa1
PH
PV
SOMBRAS EJERCICIOS DE APLICACIÓN
LAMINA # 137
SOMBRA DE LA CÚPULA EN EL PH SOMBRA DE LA SEMI ESFERA EN EL PV
SOMBRAS EJERCICIOS DE APLICACIÓN
IX.16. SOMBRA DE UNA CÚPULA EN EL PH Y PV
Línea desombra
Rayos de luzparalelos
Penumbra
Umbría (lineas querepresentan los rayos
de luz interceptados
Superficie Plana
Contorno dela sombraEn esta figura la
umbría es un volúmen
Esféra
sombraproyectada
LAMINA # 138
SOMBRA DE LA ESFERA EN EL PLANO DE PROYECCIÓN HORIZONTAL
SOMBRAS EJERCICIOS DE APLICACIÓN
IX.17. SOMBRA DE UNA ESFERA EN EL PH
top related