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Prof.: Paulo Cesar Costa
Geometria Espacial de Posição
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Noções primitivas
POSTULADOS
Postulados da existência
Numa reta e fora dela existem infinitos pontos.
Num plano e fora dele existem infinitos pontos.
Postulados da determinação
Dois pontos distintos determinam uma reta.
Três pontos não colineares determinam um plano.
Postulado da inclusão
Se uma reta possui dois pontos distintos num plano, então ela
está contida no plano.
Postulado de Euclides (ou postulado das paralelas)
Por um ponto fora da reta passa uma única paralela à reta dada.
OBS: geometrias não-euclidianas
Riemann transformou o plano euclidiano em uma superfície
esférica, adotando as retas como sendo circunferências
máximas e modificou o postulado das paralelas: por um ponto
fora de uma reta não existe qualquer reta paralela à reta dada.
Ex: Indique se as afirmativas são verdadeiras (V) ou falsas (F):
a) duas retas são coplanares ou são reversas.
b) duas retas concorrentes são coplanares.
c) duas retas coplanares são concorrentes.
d) duas retas não coplanares são reversas.
e) duas retas paralelas não tem ponto comum.
f) duas retas que não tem ponto comum são paralelas.
g) duas retas que tem um ponto comum são concorrentes.
h) duas retas que não tem um ponto comum são reversas.
i) duas retas coplanares são paralelas ou concorrentes.
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO ESPAÇO
1. por três pontos não-colineares
2. por uma reta e um ponto fora dela
3. por duas retas concorrentes
4. Por duas retas paralelas e distintas
DETERMINAÇÃO DE PLANOS
POSIÇÕES RELATIVAS DE RETA E PLANO
1. reta contida no plano
3. Reta paralela ao plano
2. reta secante ao plano
. P
Ex: Indique se as afirmativas são verdadeiras (V) ou falsas (F):
Uma reta e um plano secantes têm um ponto comum.
Uma reta e um plano que têm um ponto comum são secantes.
Uma reta e um plano que não tem ponto comuns são paralelos.
Uma reta e um plano paralelos não tem ponto comum
Se uma reta e um plano possuem dois pontos distintos comuns, a
reta está contida no plano.
Se um reta é paralela a um plano e por um ponto do plano
traçarmos uma reta paralela à reta dada, então a reta traçada está
contida no plano.
Se, de duas reta paralelas distintas, uma é paralela a um plano,
então a outra é paralela a esse plano ou está contida nele.
Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então uma reta é
paralela à outra.
Uma reta paralela a um plano é paralela a qualquer reta desse
plano.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
Uma reta paralela a um plano é paralela à infinitas retas desse
plano.
Se um plano é paralelo a uma reta, então toda reta desse plano é
reversa à reta dada..
Dado uma reta e um plano, existe no plano uma reta paralela à reta
dada.
Dadas duas retas distintas, existe um plano que contém uma delas e
é paralelo à outra
Por um ponto fora de uma reta existe um único plano paralela a ela.
Dados uma reta e um plano paralelos, existe no plano uma reta
concorrente com a reta dada.
Por um ponto fora de um plano existem infinitas retas paralelas a
esse plano.
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
POSIÇÕES RELATIVAS DE DOIS PLANOS
Ex: Indique se as afirmativas são verdadeiras (V) ou falsas (F):
Se dois planos são secantes, então qualquer reta de um deles é
concorrente com o outro.
Se dois planos são secantes, então uma reta de um deles pode ser
concorrente com uma reta do outro.
Se dois planos são secantes, então um reta de um deles pode ser
reversa com uma reta do outro.
Se dois planos distintos são paralelos, então uma reta de um deles é
paralela ao outro.
Se dois planos distintos são paralelos, então uma reta de um e outra
do outro podem ser concorrentes.
Se dois planos distintos são paralelos, então toda reta de um deles é
paralela a qualquer reta do outro.
Se dois planos distintos são paralelos, uma reta de um e uma reta
do outro são reversas ou paralelas .
Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são
paralelos.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Se dois planos são paralelos a uma reta, então são perpendiculares
entre si.
Se um plano contém duas retas distintas paralelas a um outro
plano, então esses planos são paralelos.
i)
j)
DEFINIÇÕES
Retas perpendiculares
Duas retas são perpendiculares quando são concorrentes e
formam um ângulo reto.
Retas oblíquas
Duas retas são oblíquas quando são concorrentes e não
perpendiculares
Retas ortogonais
Duas retas são ortogonais quando são reversas e formam um
ângulo reto.
Ex: Indique se as afirmativas são verdadeiras (V) ou falsas (F):
Duas retas perpendiculares são sempre concorrentes.
Se duas retas formam ângulo reto, então elas são perpendiculares.
Se duas retas são perpendiculares, então elas formam um ângulo
reto.
Se duas retas são ortogonais, então elas formam um ângulo reto.
Duas retas que formam um ângulo reto podem ser reversas.
Duas retas perpendiculares a uma terceira são perpendiculares
entre si.
Duas retas perpendiculares a uma terceira são paralelas entre si.
Se duas retas formam um ângulo reto, toda paralela a uma delas
forma ângulo reto com a outra.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
DEFINIÇÕES
Reta perpendicular ao plano
Considere um reta r secante a um plano α em um ponto O. Diz-
se que r é perpendicular a α quando for perpendicular a todas as
retas do plano que passam por O.
Reta oblíqua ao plano
Considere uma reta r secante a um plano α em um ponto O. Diz-
se que r é oblíqua a α quando não for perpendicular ao plano
α
r perpendicular a α r oblíqua a α
Ex: Indique se as afirmativas são verdadeiras (V) ou falsas (F):
Para que uma reta e um plano sejam perpendiculares é necessários
que eles sejam secantes.
Uma reta perpendicular a um plano forma ângulo reto com
qualquer reta do plano.
Se uma reta é perpendicular a duas retas paralelas distintas de um
plano, então ela é perpendicular ao plano.
Se uma reta é perpendicular a duas retas paralelas e distintas de um
plano, então ela está contida no plano.
Dadas duas retas distintas de um plano, se uma outra reta é
perpendicular à primeira e ortogonal à segunda, então ela é
perpendicular ao plano.
Se uma reta forma um ângulo reto com duas retas de um plano,
distintas e que têm um ponto comum, então ela é perpendicular ao
plano.
Duas retas reversas são paralelas a uma plano. Toda reta ortogonal
a ambas é perpendicular ao plano.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
DEFINIÇÕES
Planos perpendiculares
Considere dois planos secantes α e β. Diz-se que α e β são
perpendiculares quando um deles possuir uma reta perpendicular
ao outro.
Planos oblíquos
Considere dois planos secantes α e β. Diz-se que α e β são
oblíquos quando não forem perpendiculares.
Ex: Indique se as afirmativas são verdadeiras (V) ou falsas (F):
Se dois planos são secantes, então eles são perpendiculares.
Se dois planos são perpendiculares, então eles são secantes.
Se dois planos são perpendiculares, então toda reta de um deles é
perpendicular ao outro.
Se uma reta é perpendicular a um plano, por ela passa um único
plano, perpendicular ao plano dado.
Dois planos perpendiculares a um terceiro são perpendiculares
entre si.
Se dois planos são perpendiculares a um terceiro, então eles são
paralelos.
Se dois planos são perpendiculares, então toda reta perpendicular a
um deles é paralela ao outro ou está contida neste outro.
Se dois planos são paralelos, todo plano perpendicular a um delels
é perpendicular ao outro.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Obs
A projeção ortogonal de uma figura sobre um plano é o conjunto
das projeções ortogonais dos pontos da figura sobre esse plano.
DEFINIÇÃO
Projeção ortogonal
Projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é o pé da
perpendicular ao plano conduzida pelo ponto.
.
Ex: Indique se as afirmativas são verdadeiras (V) ou falsas (F):
A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano e um ponto.
A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é uma reta.
A projeção ortogonal de um segmento sobre um plano é sempre um
segmento.
A projeção ortogonal de um segmento oblíquo a um plano, sobre o
plano, é menor que o segmento.
A projeção ortogonal, sobre um plano, de um segmento contido
numa reta, não perpendicular ao plano, é menor que o segmento ou
congruente a ele.
Se um segmento tem projeção ortogonal congruente a ele, então ele
é paralelo ao plano de projeção ou está contido nele.
Se dois segmentos são congruentes, então suas projeções
ortogonais sobre qualquer plano são congruentes.
Se as projeções ortogonais de duas retas, sobre um plano, são
paralelas, então as retas são paralelas.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Distância entre ponto e reta
DISTÂNCIAS
Distância entre dois pontos
Se A e B coincidem, a distância entre eles é nula.
Se A e B são distintos, a distância entre eles é o segmento AB.
Distância entre duas retas paralelas
Distância entre ponto e plano
Distância entre reta e plano paralelos
Distância entre dois planos paralelos
Distância entre duas retas reversas
Ex: Indique se as afirmativas são verdadeiras (V) ou falsas (F):
Se PA é um segmento oblíquo a um plano α, com A em α, então a
distância entre P e A é a distância entre P e α.
A distância entre um ponto e um plano é a distância entre o ponto e
qualquer ponto do plano.
A distância entre um ponto e um plano é a reta perpendicular ao
plano pelo ponto.
A distância de um ponto P a um plano α é a distância de P ao ponto
P´ de interseção de α com a reta r, perpendicular a α, por P.
A distância entre uma reta e um plano paralelos é a distância entre
um ponto qualquer do plano e a reta.
A distância entre uma reta e um plano paralelos é a distância entre
um ponto qualquer da reta e um ponto qualquer do plano.
A distância entre a reta e plano paralelos é a distância entre um
ponto qualquer da reta e o plano.
A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um ponto
qualquer de um e um ponto qualquer de outro.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
A distância entre dois planos paralelos distintos é igual à distância
entre uma reta de um deles e o outro plano.
A distância entre duas retas reversas é a distância entre uma e um
ponto qualquer de uma e a outra reta.
i)
j)
** FIM **
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