geometria espacial - parte 2
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8/7/2019 GEOMETRIA ESPACIAL - Parte 2
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ISERJ - 2013
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O paraleleppedo retngulo um poliedro com 6faces retangulares.
A
B
F
C D
G
H
Dois vrtices opostos so vrtices que
no pertenam a uma mesma face. Por
exemplo: O vrtice A pertence s faces
ABCD, ABEF e ADHE, logo, o vrtice
oposto ao vrtice A o vrtice G.
E
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Diagonal de um prisma o segmento que une doisvrtices opostos
A
B
F
C
D
G
H
d
E
d
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Comprimento da diagonal
d
x
ya
A
B
F
C
D
H
Observe a face EFGH: sejam x e yas medidasdas arestas e a a medida da diagonal da face.
E
G
Paraleleppedo reto retngulo de dimenses , e
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F
x
y
a
E
G
Considere o tringulo retngulo EGH.
Aplicando o Teorema de Pitgoras s medidas, temos:
H
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d
x
y
A
B
F
C
D
H
Considere agora o tringulo retngulo AEG.
E
Gz
Sendo za medida da aresta AE, perpendicular face EFGH, e aplicando novamente Pitgoras:
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d
A
G
z
E
Diagonal de umparaleleppedoretngulo de
arestasx, yez
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d
x
y
z
Agora vamos estabelecer uma frmula para o
clculo do volume do paraleleppedo retngulo de
arestasx, yez.
Lembrando que o volume de um prisma
calculado ao multiplicarmos a rea de sua
base pela medida da altura, temos:
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rea da base = rea do retngulo de dimensesxe y
Altura = medida da aresta lateral, perpendicular base =z
Volume de umparaleleppedoretngulo de
arestasx, yez
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O cubo um prisma cujas 6 faces so quadradas.
A
B
F
C
D
G
HEa
a
a
Consideraremos todas as arestas com
medida igual a a.
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A
B
F
C
D
G
HE aa
a
Aplicando a frmula para o clculo da medida da diagonal de
um paraleleppedo com x= y= z= a, temos:
d
Diagonal de umcubo de aresta a
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a
a
a
Aproveitando novamente a frmula deduzida para o
paraleleppedo retngulo para o clculo do volume de um
cubo de arestas x= y= z= a, temos:
Volume de umcubo de aresta a
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Antes de continuarmos a estudar o clculo devolumes dos prismas, vamos rever algumasfrmulas bsicas do clculo de reas de figurasplanas.
Tringulo Qualquer
b
h
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Tringulo Equiltero
h
/2
Vamos aplicar o teorema de Pitgoras
para escrever a medida da altura, h,em funo da medida do lado, :
Usando essa expresso da altura na frmula para o
clculo da rea de um tringulo qualquer, temos:
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Losango
d
D
diagonal menor
Diagonal maior
D/2
d/2
O
A
B
Considere o tringulo retngulo
OAB cuja rea
Como o losango formado por 4
tringulos congruentes ao DOAB,sua rea ser o qudruplo da
rea do DOAB:
1
2
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Trapzio
b
B
h
H
H
h
T
P Q
RS
Considere o trapzio PQRS debases paralelas b e B e altura h
Considere agora o tringulo PQTde base B e altura H
O tringulo RST, de base b ealtura H h, semelhante aotringulo PQT e da:
A rea do trapzio PQRS ser a diferena entre a rea do tringulo
PQT e a do tringulo RST resultando na forma:
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Hexgono Regular
60
60 60
Considere o hexgono regularABCDEF de lado
B
A
FC
D E
OT
As diagonais AD, BE e CFconcorrem no ponto O dividindoo ngulo central de 360 em 6ngulos de 60
Sendo o hexgono regular, as diagonaistm o mesmo comprimento einterceptam-se no meio. Da, podemosconcluir que o tringulo OAB issceles.
Se o tringulo OAB issceles com um ngulo interno de 60,ento ele tambm equiltero e os lados AO e OB medem
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60
60 60
B
A
FC
D E
Sabemos que a rea do tringulo equiltero de lado igual a
A rea do hexgono regular ABCDEF igual a 6 vezes a rea dotringulo OAB:
O
3
2
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1) Seja um paraleleppedo de dimenses 5, 3 e 2. Calcule a medida dadiagonal desse paraleleppedo.
Soluo: A primeira figura mostra a base do paraleleppedo.
Aplicando Pitgoras, vem: d = 5 + 3 = 25 + 9 = 34
A segunda figura mostra outro tringulo retngulo onde um
dos catetos a diagonal da base. Logo,D2 = 22 + d2 = 4 + 34 = 38
Calculando, temos: 38D
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2) Num paraleleppedo reto, as arestas da base medem 8dm e6dm e a altura mede 4dm. Calcule a rea da figuradeterminada pela diagonal do paraleleppedo, com a diagonal
da base e a aresta lateral.
Soluo: A rea pedida est sombreada na figura. umtringulo retngulo com base de altura (cateto) 4dm.
A base d a diagonal da base:
1010086 22 d
Logo a rea :220
2
40
2
)4)(10(
2
.dm
hbA
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3) Sabendo que a aresta de um cubo mede 5 cm, calcule:
a) A diagonal do cubo.
b) A rea total do cubo.
c) O volume do cubo.
a) O cubo o paraleleppedo com as arestas iguais.
Substituindo o valor da aresta na frmula, temos:
cmdd 3553 2
3ad
b)O cubo possui seis faces quadradas:
222 1505.6.6 cmAaAtt
c) O volume dado pelo produto da rea da base pela altura.No caso do cubo, a altura vale a mesma medida da aresta,Logo, V = a3. Ento:
333 1255 cmVaV
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4) Calcule a rea total de um prisma reto de altura 12 cm e base
quadrada, com aresta 5 cm.
Soluo: A rea total dada pela soma
das reas das bases (quadradas)com oqudruplo da rea da face lateral (retngulo).
Temos:
22 19550144)25(2)36(4)5(2)12.3(4 cmAt
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5) Calcule a rea lateral e o volume de um prisma reto de basetriangular, cujas arestas da base medem 6 cm, 8 cm e 10 cm e cujaaresta lateral mede 20 cm.
Soluo:
a) A rea lateral ser a soma das reasde cada face. Ou o produto do permetroda base pela altura. O permetro da base: 10 + 6 +8 = 24cm. Logo,
248020.24).24( cmhAl
10
6 8
20
b) O volume ser o produto da rea da base pela altura.
Observando com ateno os lados da base, vemos que somltiplos de 3, 4 e 5. Logo ele retngulo. A rea ser ametade do produto dos catetos. Ento,
348020.2420).
2
86( cmx
V
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6) Calcule o volume de um prisma hexagonal regular de 6 cm dealtura e cuja rea lateral igual rea da base.
Soluo: Sejaxo lado do hexgono. Area lateral calculada como o sxtuplo
da rea de um retngulo de lados 6 ex:xxA
l36)6)((6
A rea da base o sxtuplo da rea de umtringulo equiltero de ladox:
2
33
4
3
6
22xx
Ab
Pelas informaes do problema Al = Ab. Logo,
38
9
372
333
372
33
72
2
3336
2
xx
x
O volume o produto da rea da base pela altura.Logo, substituindo os valores, temos:
32
317283)3)(64(962
3)38(3cmV
3
1
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Questes resolvidas:
http://www.professorwaltertadeu.mat.br
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