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Proposition de création d’équipe

GeoSpec

LabEx PERSYVAL 29/04/2016

Institut Fourier

Membres du projet d’équipe

Laboratoire Jean Kuntzman

Institut Fourier

Laboratoire Jean Kuntzman Lama

Institut Fourier

Contexte et objectif de l’action Mathématiques fondamentales et outils numériques

Contexte et objectif de l’action

• Calcul formel (Maple, SAGE, MuPAD, etc.).

Mathématiques fondamentales et outils numériques

• Théorème des quatre couleurs : logiciel Coq et « démonstrateurs », certification.

• Plus proche du calcul scientifique l’approche de Hales : conjecture de Kepler et des Honeycombs. Approche par arithmétique d’intervalle et optimisation. Démonstration de la conjecture de Kepler !

• Un succès récent régional : le tore plat (PNAS, Pour La Science, etc.).

Objectif des porteurs du projet

• Valorisation du potentiel Grenoblois mathématiques fondamentales et calcul scientifique.

• Développement d’une nouvelle dynamique originale au niveau national et international autour de jeunes chercheurs brillants de disciplines transverses. Plus que de nouveaux théorèmes, les perspectives sont de proposer de nouveaux éclairages sur des sujets très actuels.

Complexité dynamique : sections de Birkhoff

Notion de section associée à un champ de vecteur

Comprendre la complexité d’un champ de vecteur par ses sections

• Les géomètres travaillent dans des classes de surfaces !

• Les géomètres travaillent dans des classes de surfaces !• Le théorème non constructif de Thurston garantit l’existence de

représentations élémentaires sur des surfaces plates dans le cadre hyperbolique. Comment les identifier ?

Optimisation parmi les métriques

pp v 2 Tx

S, lim

nlog ||D

(v)|| = log(�)

• Paramétrisation des métriques : problèmes avec contraintes de type SDP locales. Résultats de non convergence pour P1 ! Plusieurs échelles sont nécessaires.

pp v 2 Tx

S, lim

nlog ||D

(v)|| = log(�)

• Benchmarks : recherche d’exemples explicites de Thurston. Autres paramétrisation du problème ?

pp v 2 Tx

S, lim

nlog ||D

(v)|| = log(�)

• Benchmarks : recherche d’exemples explicites de Thurston. Autres paramétrisation du problème ?

pp v 2 Tx

S, lim

nlog ||D

(v)|| = log(�)

• Linéarisation, projection //, algorithme non lisse large scale.

Complexité géodésique et spectrale :

Complexité géodésique et spectrale : Qu’est ce qu’une géodésique sur une surface plate ?

Un problème géométrique

QuestionTrouver la géodésique fermée la plus courte sur une surface plate S.

La surface est représentée par un sous-ensemble ouvert de R2 pourlequel des morceaux de bord sont identifies (exemple: le tore plat).Une géodésique est une trajectoire d’une particule dans un champvectorielle V : S æ R2 constante sur S.

Emmanuel Russ, Bozhidar Velichkov Problèmes spectraux

Qu’est ce qu’une géodésique sur une surface plate ?

Emmanuel Russ, Bozhidar Velichkov Problèmes spectrauxTrouver la géodésique la plus courte fermée sur une surface plate donnée

• Complexité combinatoire : tous les points, toutes les directions

• Complexité combinatoire : tous les points, toutes les directions• Contexte non plat, problème de l’approximation géodésique

• Complexité combinatoire : tous les points, toutes les directions• Contexte non plat, problème de l’approximation géodésique • La complexité explose avec la dimension

fl0 = ”x0

= fl(t, x)

fl0 = Ï

fl(t, x)

Les géodésiques sont solutions de l’équation de transport

fl(t, x) + V · Òx

fl(t, x) = 0, fl(0, ·) = ”x0 . (1)

"La géodésique la plus courte corresponde à un champ vectoriel V

et une donnée initiale x0 œ S pour lesquelles la solution de (??) etla moins di�usée."

QuestionDéfinir la di�usion pour un système dynamique: topological mixing,

mixing, ergodicity.

Une approche de nature EDP

⇢(t, x) + V ·rx

⇢(t, x) = 0, ⇢(0, ·) = �

fl0 = ”x0

= fl(t, x)

fl0 = Ï

fl(t, x)

fl(t, x) + V · Òx

fl(t, x) = 0, fl(0, ·) = ”x0 . (1)

mixing, ergodicity.

Une approche de nature EDP Un problème géométrique

fl0 = ”x0

= fl(t, x)

fl0 = Ï

fl(t, x)

fl(t, x) + V · Òx

fl(t, x) = 0, fl(0, ·) = ”x0 . (1)

mixing, ergodicity.

⇢(t, x) + V ·rx

⇢(t, x) = 0, ⇢(0, ·) = �

fl0 = ”x0

= fl(t, x)

fl0 = Ï

fl(t, x)

fl(t, x) + V · Òx

fl(t, x) = 0, fl(0, ·) = ”x0 . (1)

mixing, ergodicity.

fl0 = ”x0

= fl(t, x)

fl0 = Ï

fl(t, x)

fl(t, x) + V · Òx

fl(t, x) = 0, fl(0, ·) = ”x0 . (1)

mixing, ergodicity.

⇢(t, x) + V ·rx

⇢(t, x) = 0, ⇢(0, ·) = �

@t⇢✏(t, x) = ✏�⇢✏(t, x)� V ·r⇢✏(t, x), ⇢✏(0, x) = '(x).

On considère l’équation de la chaleur avec un terme de drift

fl0 = ”x0

= fl(t, x)

fl0 = Ï

fl(t, x)

fl(t, x) + V · Òx

fl(t, x) = 0, fl(0, ·) = ”x0 . (1)

mixing, ergodicity.

fl0 = ”x0

= fl(t, x)

fl0 = Ï

fl(t, x)

fl(t, x) + V · Òx

fl(t, x) = 0, fl(0, ·) = ”x0 . (1)

mixing, ergodicity.

Équations de di�usion sur une surface plate

flÁ(t, x) = Á�flÁ(t, x) ≠ V · ÒflÁ(t, x), flÁ(0, x) = Ï(x). (2)

flÁ(t, x)

La vitesse de di�usion de flÁ est déterminée par la valeur propre ⁄Á

≠ Á�uÁ + V · ÒuÁ = ⁄ÁuÁ,

uÁ = 0,

2Á = 1. (3)

La fonction la moins di�usée est la fonction propre uÁ.

⇢(t, x) + V ·rx

⇢(t, x) = 0, ⇢(0, ·) = �

@t⇢✏(t, x) = ✏�⇢✏(t, x)� V ·r⇢✏(t, x), ⇢✏(0, x) = '(x).

fl0 = ”x0

= fl(t, x)

fl0 = Ï

fl(t, x)

fl(t, x) + V · Òx

fl(t, x) = 0, fl(0, ·) = ”x0 . (1)

mixing, ergodicity.

fl0 = ”x0

= fl(t, x)

fl0 = Ï

fl(t, x)

fl(t, x) + V · Òx

fl(t, x) = 0, fl(0, ·) = ”x0 . (1)

mixing, ergodicity.

flÁ(t, x)

uÁ = 0,

2Á = 1. (3)

⇢(t, x) + V ·rx

⇢(t, x) = 0, ⇢(0, ·) = �

@t⇢✏(t, x) = ✏�⇢✏(t, x)� V ·r⇢✏(t, x), ⇢✏(0, x) = '(x).

La vitesse de di↵usion de ⇢✏ est determinee par la valeur propre �✏

�✏�u✏ + V ·ru✏ = �✏u✏,

Su✏ = 0,

Su2✏ = 1.

La fonction la moins di↵usee est la fonction propre u✏.

fl0 = ”x0

= fl(t, x)

fl0 = Ï

fl(t, x)

fl(t, x) + V · Òx

fl(t, x) = 0, fl(0, ·) = ”x0 . (1)

mixing, ergodicity.

fl0 = ”x0

= fl(t, x)

fl0 = Ï

fl(t, x)

fl(t, x) + V · Òx

fl(t, x) = 0, fl(0, ·) = ”x0 . (1)

mixing, ergodicity.

flÁ(t, x)

uÁ = 0,

2Á = 1. (3)

fl0 = ”x0

= fl(t, x)

fl0 = Ï

fl(t, x)

fl(t, x) + V · Òx

fl(t, x) = 0, fl(0, ·) = ”x0 . (1)

mixing, ergodicity.

fl0 = ”x0

= fl(t, x)

fl0 = Ï

fl(t, x)

fl(t, x) + V · Òx

fl(t, x) = 0, fl(0, ·) = ”x0 . (1)

mixing, ergodicity.

flÁ(t, x)

uÁ = 0,

2Á = 1. (3)

• Pour ✏ fixee, determinee le champ vectoriel V✏ qui maximise �(�✏�+V ·r).

• ´

Etudier les proprietes du champ optimal V✏ et de la fonction propre u✏

correspondante.

fl0 = ”x0

= fl(t, x)

fl0 = Ï

fl(t, x)

fl(t, x) + V · Òx

fl(t, x) = 0, fl(0, ·) = ”x0 . (1)

mixing, ergodicity.

fl0 = ”x0

= fl(t, x)

fl0 = Ï

fl(t, x)

fl(t, x) + V · Òx

fl(t, x) = 0, fl(0, ·) = ”x0 . (1)

mixing, ergodicity.

flÁ(t, x)

uÁ = 0,

2Á = 1. (3)

• ´

correspondante.

• EDP non variationelle, optimisation non lisse probable en cas de multiplicité >0. Méthodes bundle.

fl0 = ”x0

= fl(t, x)

fl0 = Ï

fl(t, x)

fl(t, x) + V · Òx

fl(t, x) = 0, fl(0, ·) = ”x0 . (1)

mixing, ergodicity.

fl0 = ”x0

= fl(t, x)

fl0 = Ï

fl(t, x)

fl(t, x) + V · Òx

fl(t, x) = 0, fl(0, ·) = ”x0 . (1)

mixing, ergodicity.

flÁ(t, x)

uÁ = 0,

2Á = 1. (3)

• ´

correspondante.

• Problème non convexe : relaxation par petit paramètre ?

• EDP non variationelle, optimisation non lisse probable en cas de multiplicité >0. Méthodes bundle.

Complexité métrique :

Complexité métrique : Tore plat et distance : problème du plongement isométrique de Nash

The flat torus

I Realization of the square torus in 3D

Distances are changed during the transformation.

) The torus of revolution is not an isometric embedding of the square flat torus

The flat torus

science received a particular attention in the last decades (for instance when it comes to shapematching). Many practical questions have been addressed related to the comprehension of thegeometry of an object and its spectral data. Whereas progress has been made regarding for in-stance the parametrization of meshed surface, manifold with a large genus (that is with manyholes) are still very challenging to manipulate or cluster. We expect that progresses in the math-ematical understanding of the link between the geometry and analytic or dynamical propertiesmay also lead to significant progresses in these fields.

2 ObjectivesThe general goal of this project is to combine the knowledge of theoretical and applied mathe-maticians in order to study optimal manifolds with respect to complex criteria, under complexgeometrical constraints. The main difficulty to achieve this purpose lies in that the comprehen-sion of extremal manifolds requires fine mathematical parametrization. Related tools have beendeveloped in the areas of topology and dynamical systems but are still beyond the reach of ap-plied mathematicians or computer scientists. This project plans to benefit from the expertise oftwo teams in Grenoble University in the related fields of theoretical and applied mathematics toproduce original and promising studies in this direction: we indeed believe that the researchersof the Fourier Institute, of the LAMA and of the Jean Kuntzmann Laboratory involved in thisproject have the exact complementary skills which will make it possible to develop new ap-proaches in the numerical approximation of optimal or critical manifolds and the analysis ofshape optimization problems under complex geometrical constraints.

We focus our project on three problematics in which both theoretical and applied mathemati-cians are involved. By this proposal, our team targets progress on understanding deeper thefollowing three different fields of metric structures, dynamical systems and spectral theory.

3 Metric complexity [D.Bucur - G. Besson - E. Oudet - B. Thibert]

Metrics are the relevant mathematical tools to generalize the notion of length, shortest path andcurvatures for general surfaces. In the last decades, the theoretical point of view on these classicalgeometrical notions generated a wide range of applications in many fields like data analysis inhigh dimension, mesh matching, optimal transportation, etc.

We develop in the following paragraphs the part of our project related to the understandingof abstract metrics. More precisely, we focus here on the identification of specific geometricalobjects which help to describe and quantify metric structures.

Figure 1: Two approximate isometric embeddings of a flat torus (the left illustration comes from[29] and the central picture has been obtained by from [4]).

Plongement canonique, alternative à l’approche de Gromov

The flat torus

• Les objets à manipuler sont de régularité restreinte

The flat torus

• Les objets à manipuler sont de régularité restreinte • Généralisation à un genre plus grand que 1

The flat torus

• Les objets à manipuler sont de régularité restreinte

• Comportement fractal attendu, estimation quantitative

• Généralisation à un genre plus grand que 11

The flat torus

Une approche spectrale

Théorème d’optimalité de Nadirashvili

|S|=↵, genre(S)=1�(S) = �(Tequi)

• Problème aux valeurs propres pour des surfaces singulières. Approche paramétrique spectrale. Approche par bougé de maillage dangereuse.

• Comment paramétrer des surfaces de genres supérieurs de manière compatible avec le calcul scientifique. Classes conformes et représentants.

• Distance géodésique, évaluation quantitative de la régularité du plongement.

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Documents

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