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1
2005/2006 1
Gestão e Teoria da Decisão
Logística e Gestão de Stocks§
Gestão de Stocks
Licenciatura em Engenharia CivilLicenciatura em Engenharia do Território
2005
/200
6
2
1. O papel dos stocks
2. Classificação dos Modelos de Gestão de Stocks
3. Composição do custo associados aos stocks4. Modelos Determinísticos
n Reposição instantânea sem rotura; Reposição instantânea com rotura; Reposição não instantânea sem rotura; Reposição não instantânea com rotura
5. Modelos Estocásticos:n Aleatoriedade da procura e do tempo de entrega; Gestão de stocks por Nível
de Encomenda (M); Gestão de stocks por Revisão Cíclica
6. Comparação da gestão de stocks por Nível de Encomenda com a gestão por Revisão Cíclica
7. Medidas de desempenho
8. Análise ABC9. Sistemas hierárquicos:
n Planeamento MRP; Planeamento DRP; Just-in-Time
Gestão de Stocks
Agenda
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Gestão de Stocks
O Papel dos Stocks nas Organizações
• Razões para as organizações manterem
inventários:
1. obtenção de economias de escala
2. o equilíbrio entre a procura e a oferta
3. especialização na produção
4. providencia protecção contra incertezas na procura
e no ciclo de encomenda
5. actua como um buffer (protecção) entre interfaces
críticas no canal de distribuição
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Gestão de Stocks
O Papel dos Stocks nas Organizações
• Cadeia logística
• Filosofia push – produção/movimentação do produto com base em previsões
• Filosofia pull – produção/movimentação do produto com base em informação do cliente (notas de encomenda)
• Informação rápida, de qualidade e automática (=> EDI, Internet…) ≅ stocks => visibilidade
FornecedorFornecedor FabricanteFabricante DistribuidorDistribuidor RetalhistaRetalhista ClienteCliente
push pull
Ponto de desacoplagem
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Gestão de Stocks
Classificação Modelos de Gestão de StocksSistema de gestão de stocks E
E (Stock)I
(abastecimento)D
(procura)
T
Q
T T
Abastecimento
Tempo
Procura
r
Tempo
Taxa de procura
Q
T T
Stock
TempoT
Q – Quantidade de compra/Encomenda
Abastecimento
T1
p
T1 T2
Tempo
Procura
r
Tempo
p – Taxa de produção
Q
Stock
TempoT1T1 T2
T
Q = T.r Q = p.T1 =T.r
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Gestão de Stocks
Classificação Modelos de Gestão de Stocks
Procura Regular ou
Independente
Procura Irregular ou
Dependente
Determinísticos Aleatórios MRP
Material
Requirements
Planning
DRP
Distribution
Requirements
Planning
A procura oscila em torno de um
valor médio
Criação de Stocks de segurança
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Gestão de Stocks
Classificação Modelos de Gestão de Stocks• Que quantidade encomendar?• Quando?..• Com que critério?..usualmente procura-se a minimização dos custos:
– Rotura versus excesso de stocks• Na totalidade do ano há sempre que comprar 1200 unidades!
100
600
1200
1 6 12mês
QuantidadeEncomendada
1 x 1200 unidades => 600 unidades em média em stock
2 * 600 unidades => 300 unidades em média em stock
12 x 100 unidades => 50 unidades em média em stock
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Gestão de Stocks
Custos de Funcionamento de um Sistema de Stocks
1. Custo (variável) de aquisição• Usualmente proporcionais à quantidade adquirida, podendo haver desconto de
quantidade2. Custo (fixo) de encomenda
• Custo administrativo da encomenda (lançamento, controlo e recepção), não dependente da quantidade adquirida
3. Custo de posse (manutenção do artigo em stock)• Custos directos:
• Armazém / Espaço• Pessoal / Equipamento para movimentação, seguros, impostos, danos, roubos,
obsolescência • Custo de oportunidade do capital∴ Usualmente proporcionais ao stock médio (ou ao stock máximo em algumas
parcelas) e ao tempo4. Custo de rotura (carência ou falta do artigo)
• Penalidades ocorridas resultantes da falta do artigo• Usualmente proporcionais:
• À quantidade em falta (média / máxima)• Ao tempo de carência
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Gestão de Stocks
Modelos Determinísticos:Reposição Instantânea Sem Rotura
A – custo administrativo da encomendaC2– custo de posse por unidade de tempo, por unidade
CT– custo por ciclo
T2Q
CposseCusto 2
=_
Q
T T
Stock
TempoT
T – comprimento do cicloQ – loter – taxa da procura
(Q/2) = stock médio
T2Q
CAC 2T
+= QC1+
Custo de aquisição – se for C1 for constante pode ser excluído
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Gestão de Stocks
Modelos Determinísticos:Reposição Instantânea Sem Rotura
Custo por unidade de tempo
Como
Determinar o Q que minimiza o custo por unidade de tempo
+==
2Q
CTA
TC
K 2T
TQC1+
rTQ ⋅=
+
⋅=
2Q
CQ
rAK 2 rC1 ⋅+
(r/Q) = n.º de encomendas
02
CQ
rAdQdK 2
2=+
⋅−=
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Gestão de Stocks
Modelos Determinísticos:Reposição Instantânea Sem Rotura
Lote óptimo
2CrA2
Q⋅
=∗
EOQ (Economical Order Quantity)
Q
Custo de posse
Custo de encomenda
Custo Total
K
Q*
K*
2ArC2K =∗
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Gestão de Stocks
Modelos Determinísticos:Reposição Instantânea Sem Rotura
Lote óptimo – Custo de transporte: bQa +
Custo fixo
Custo variável (por unidade)
( )
( ) ( ) T2Q
CQbCaA
bQaT2Q
CQCAC
2
C
1
A
21T
'1
'
++++=
++++=
321321
2
'
CrA2
Q⋅
=∗
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Gestão de Stocks
Modelos Determinísticos:Reposição Instantânea Sem Rotura
Lote óptimo – Custo de armazenagem proporcional ao stock máximo (e ao
Tempo):
( )2Q
C2CrCQAr
QC2Q
CTQC
TA
TC
k
QTCT2Q
CQCAC
'2C
a21
a21T
a21T
43421 +++=
+++==
+++=
'2CrA2
Q⋅
=∗
aC
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Gestão de Stocks
Modelos Determinísticos:Reposição Instantânea Com Rotura
Custo (fixo) de encomenda: A
Custo de posse:
Custo de rotura:
Custo (total) por ciclo:
rS
T
rSQ
T
2
1
=
−=Q
T1 T2
Stock
Tempo
T=T1+T2
Q-S
S ?S?Q
==
12 T2
SQC
−
23 T2S
CC3 - custo de rotura por unidade em falta e unidade de tempo
QCT2S
CT2
SQCAC 12312T ++
−+=
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Gestão de Stocks
Modelos Determinísticos:Reposição Instantânea Com Rotura
( )TQ
CTS
r2C
TSQ
r2C
TA
TC
K 1
23
22T ++
−+==
QCT2S
CT2
SQCAC 12312T ++
−+= substituindo T1 e T2
mas como T=Q/r
( )rC
QS
2C
QSQ
2C
QAr
K 1
23
22 ++
−+=
+=⇒=
∂∂
++=⇒=∂∂
SC
CCQ0
SK
SSCC
CAr2
Q0QK
2
32
22
2
3
2
2
( )
rCCC
CArC2K
CCC1
ArC2S
CC
1CAr2
Q
132
32
*
3232
*
3
2
2
*
++
=
+=
+=
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Gestão de Stocks
Modelos Determinísticos:Reposição Não Instantânea Sem Rotura
p – taxa de produção/fornecimentor – taxa de consumoM – nível de existências máximo
M
T1 T2
Stock
Tempo
T=T1+T2
Declive = - r
Declive = p - r
−=
−=
−==
=
pr
1QM
pQ
rQM
rTQMpTQ
rTQ
1
1
A quantidade Q encomenda corresponde ao consumo em T e a produção em T1
Nota: uma vez determinado M ou Q, o outro valor fica automaticamente determinado => modelo com uma única variável decisória
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Gestão de Stocks
Modelos Determinísticos:Reposição Não Instantânea Sem Rotura
rCQpr
12
CQAr
K
TQC
2M
CTA
TC
K
QCT2M
CAC
12
12
T
12T
+
−+=
++==
++=
Nota: quando a taxa de produção tende para infinito a reposição tende para ser instantânea
O nível médio do stock é M/2
rpp
CrA2
Q2 −⋅
=∗
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Gestão de Stocks
Modelos Determinísticos:Reposição Não Instantânea Com Rotura
( )
( )
( ) prrpTT
QrTTTTTrQ
rprT
TrTrpTS
rprT
TrTrpTMq
324321
3434
2121
−+
=⇒+++==
−=⇒=−=
−=⇒=−==
q
T1 T2
Stock
Tempo
T3 T4
S
?S?Q
==
T
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Gestão de Stocks
Modelos Determinísticos:Reposição Não Instantânea Com Rotura
( ) ( ) QCTT2S
CTT2q
CAC 1433212T +++++=
0TK
TK
SK
QK
TC
K32
T =∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
⇒=
Custo de posse Custo de rotura
Nota: O custo total depende de 4 parâmetros: Q, S, T2 e T3
( ) ( )
( )
+
−=
++
−
=+
−
=
+
−
=+
−
=
3
32
2
132
32*
332
2
3
232
2
232
3
2
CCC
pr1
1CrA2Q
rCCC
pr1ACC2
KCCCrp
r1AC2T
CCCp
r1AC2S
CCCrp
r1AC2T
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Gestão de Stocks
Modelos Estocásticos:Aleatoriedade da Procura e do Tempo e Entrega
• Em todos os modelos apresentados até agora admitiu-se que todas as variáveis são deterministicamente conhecidas!
• No caso geral, a realidade é aleatória, sendo necessário desenvolver modelos que permitam considerar explicitamente a aleatoriadade das variáveis que afectam o comportamento do sistema:– Flutuações (aleatórias) da procura
– Flutuações (aleatórias) do tempo de reposição do stock
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Gestão de Stocks
Modelos Estocásticos:Aleatoriedade da Procura e do Tempo e Entrega
• Variáveis decisórias:
– Quantidade a encomendar
– Instante de tempo em que essa encomenda é colocada
– Nota: ao contrário dos modelos determinísticos, a determinação do valor de uma das variáveis não fixa o valor da outra!
• O sistema de gestão de stocks deve adaptar-se automaticamente às flutuações da procura variando o tempo entre encomendas ou variando a quantidade a encomendar:
– Política do “nível de encomenda”, onde a quantidade a encomendar é fixa, sendo o instante em que a encomenda é colocada determinado pelas flutuações da procura
– Política da “revisão cíclica”, pelo contrário, o intervalo de tempo entre encomendas é fixo e a quantidade a encomendar varia com as flutuações da procura
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Gestão de Stocks
Modelos Estocásticos:Aleatoriedade da Procura e do Tempo e Entrega
• Política do nível de encomendaUma encomenda é colocada sempre que o stock desce até um nível prefixado M (ponto de encomenda)
tempo
Stock
M
QNível de
existências
Nível de existências + encomendas
Recepção da encomenda
Colocação da encomenda
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Gestão de Stocks
Modelos Estocásticos:Aleatoriedade da Procura e do Tempo e Entrega
tempo
Stock
M
• Política da revisão cíclicaAs encomendas são colocada em intervalos fixos de tempo sendo variável a quantidade a encomendar, calculada por forma a elevar o stock-em-mãomais a encomenda até um nível máximo M (nível de enchimento)
Pontos de revisão
Nível de existências + encomendas
Nível de existências
TT
τ τ τ
Duração do ciclo
Tempo de reposição
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Gestão de Stocks
Modelos Estocásticos:Medidas de Desempenho
i. Probabilidade rotura por ciclo (α) – este valor mede a probabilidade da procura durante o tempo de reposição exceder o ponto de encomenda, M
• Na presença da variabilidade significativa da procura durante o tempo de reposição, os sistemas de gestão de stocks são avaliados de acordo com dois indicadores:
– Risco de rotura ou o seu complementar (nível de serviço ou de protecção)– Custo anual do sistema
• Há várias formas de medir o risco de rotura:
Consideremos duas políticas de gestão de stocks que diferem apenas da na duração do ciclo, tendo o mesmo α = 5%, e o mesmo número médio de unidades em falta por ciclo de 3:
Política 1: Q = 520 unidades suficientes para todo o ano => 1 ocasião para possível rotura
Política 2: Q = 10 unidades suficientes para uma semana => 52 ocasiões para possíveis roturas
∴ Embora α seja igual, a ocorrência de roturas é muito mais frequente para lotes mais pequenos?!
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Gestão de Stocks
Modelos Estocásticos:Medidas de Desempenho
ii. Percentagem da procura satisfeita sem atrasos , também denominada vulgarmente com o nível de serviço – esta medida entra em consideração com o número médio de unidades em falta por ciclo ( ) e tamb ém com o número de ciclos por ano r/Q.
η
Procura anual – Procura não satisfeita imediatamenteNível de serviço =
Procura anual
Q1
rQr
rserviço_de_Nível η−=
η−=
Calcular o nível de serviço para as duas situações alternativas:
%4,99994,0520
31serviço_de_Nível ==−=
%707,01031serviço_de_Nível ==−=
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Gestão de Stocks
Política do Nível de Encomenda
tempo
τ - tempo de entrega (ou de reposição)Q – quantidade de encomenda fixaT – duração do ciclo (variável)x – quantidade em falta quando chega uma nova encomenda (variável)
τ1 τ2 τ3
Recepção da encomenda
– 1ª Parte do ciclo: Existências > M. Não pode haver rotura
– 2ª Parte do ciclo: Existências < M. Duração =τ
Pode haver rotura se a procura durante o tempo de entrega (x) exceder a disponibilidade (M): se x > M => Rotura!
T1 T2 T3
Stock
MNível de
encomenda
Colocação da encomenda: Ponto de Revisão
x2
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Gestão de Stocks
Política do Nível de EncomendaModelação da Rotura – Procura Discreta
• Probabilidade de rotura por ciclo: α
• Nível de protecção: (1 - α)
• Quantidade em falta quando chega uma nova encomenda: η(x,M)
( ) ( )∑+∞
+=
=>=α1Mx
ii
xhMxP
( )
>≤
=ηM xseM-xM xse0
M,x
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• Valor esperado da quantidade em falta por ciclo:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )∑
∑ ∑
∑
∞+
=
=
∞+
=
+∞
=
⋅−=η
⋅−+⋅η⋅=η
⋅η=η
Mxii
M
0x Mxiii
0xi
i
i i
i
xhMxM
xhMxxh0M
xhM
)M(η
h(x) – função massa de probabilidade da procura durante o tempo de reposição
Função de perdas
Gestão de Stocks
Política do Nível de EncomendaModelação da Rotura – Procura Discreta
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• Exemplo
h(x)
10 %10 %15 %15 %
50%
r(u/s)60 80 100 120 140
70100Média
000
2040
40200
-20-40
1015501510
6080100120140
Valores possíveis
Faltasη
Stock-em-mão no fim do ciclo (M-procura)
Probabilidade(%)
Procura no tempo de reposição
Tempo de reposição = 1 semana ; M = 100
Gestão de Stocks
Política do Nível de EncomendaModelação da Rotura – Procura Discreta
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• Exemplo– Stock de segurança, S: valor médio do stock no fim do ciclo,
imediatamente antes de a encomenda chegar
– Neste caso S = 100 – 100 = 0
µ−= MSProcura média durante o
tempo de reposição
40S%0140M20S%10120M0S%25100M
==α===α===α=
Probabilidade de rotura excessiva! Considerar valores de M mais elevados
( ) ( )∑+∞
+=
=>=α1Mx
ii
xhMxP
Gestão de Stocks
Política do Nível de EncomendaModelação da Rotura – Procura Discreta
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• Exemplo – Efeito do aumento do tempo de reposição (fixo) para 2 semanas!
– É necessário determinar a distribuição da procura condicionada ao tempo de reposição de 2 semanas, admitindo-se a independência entre a procura em duas semanas consecutivas:
Gestão de Stocks
Política do Nível de EncomendaModelação da Rotura – Procura Discreta
∑=
=L
1iirx
21 xxx +=
Procura na 1ª semana
Procura na 2ª semana
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• Exemplo – Efeito do aumento do tempo de reposição (fixo) para 2 semanas!
0,1 x 0,10 = 0,010x 0,15 = 0,015x 0,50 = 0,050x 0,15 = 0,015x 0,10 = 0,010
200220240260280
6080100120140
140
0,15 x 0,10 = 0,0150x 0,15 = 0,0225x 0,50 = 0,0750x 0,15 = 0,0225x 0,10 = 0,0150
180200220240260
6080100120140
120
0,5 x 0,10 = 0,050x 0,15 = 0,075x 0,50 = 0,250x 0,15 = 0,075x 0,10 = 0,050
160180200220240
6080100120140
100
0,15 x 0,10 = 0,0150x 0,15 = 0,0225x 0,50 = 0,0750x 0,15 = 0,0225x 0,10 = 0,0150
140160180200220
6080100120140
80
0,1 x 0,10 = 0,010x 0,15 = 0,015x 0,50 = 0,050x 0,15 = 0,015x 0,10 = 0,010
120140160180200
6080100120140
60
Probabilidade1ª+2ªsem2ªsemana1ªsemana
Gestão de Stocks
Política do Nível de EncomendaModelação da Rotura – Procura Discreta
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• Exemplo – Efeito do aumento do tempo de reposição (fixo) para 2 semanas!
µ = 200Procura média durante o tempo de reposição,
= 0,01= 0,03= 0,1225= 0,18= 0,315= 0,18= 0,1225= 0,03= 0,01
0,010,015+0,0150,5+0,0225+0,050,015+0,075+0,075+0,0150,01+0,0225+0,25+0,0225+0,010,015+0,075+0,075+0,0150,5+0,0225+0,050,015+0,0150,01
120140160180200220240260280
Probabilidade de ocorrênciaProcura
Gestão de Stocks
Política do Nível de EncomendaModelação da Rotura – Procura Discreta
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• Exemplo – Efeito do aumento do tempo de reposição (fixo) para 2 semanas!
– Notas:• Para valores de α inferiores a 5% o stock de segurança para o
tempo de reposição de 2 semanas cresce rapidamente• Para α = 0 (não há rotura), para 2 semanas de tempo de reposição
o valor do stock de segurança é o dobro do observado para 1 semana
80S%0280M
60S%1260M40S%4240M20S%16220M0S%34200M
==α=
==α===α===α===α=
Gestão de Stocks
Política do Nível de EncomendaModelação da Rotura – Procura Discreta
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• Exemplo – Efeito do aumento do tempo de reposição variável– h(x) pode ser determinada através da análise de dados históricos– Ou:
– Consideremos o exemplo anterior, sendo tempo de reposição é de 1 ou 2 semanas, com igual probabilidade
( ) ( ) ( ) τττ= ∫+∞
dg|xfxh0
Densidade probabilidade do tempo de reposição
Densidade probabilidade condicionada da procura para um dado tempo de reposição, τ
Gestão de Stocks
Política do Nível de EncomendaModelação da Rotura – Procura Discreta
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/200
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• Exemplo – Efeito do aumento do tempo de reposição variável
µ = 150Procura média durante o tempo de reposição,
= 0,05= 0,075= 0,25= 0,08= 0,065= 0,06125= 0,09= 0,1575= 0,09= 0,06125= 0,015= 0,005
0,5 x 0,10,5 x 0,150,5 x 0,50,5 x 0,15 + 0,5 x 0,010,5 x 0,10 + 0,5 x 0,03
0,5 x 0,12250,5 x 0,180,5 x 0,3150,5 x 0,180,5 x 0,12250,5 x 0,030,5 x 0,01
6080100120140160180200220240260280
Probabilidade de ocorrênciaProcura
P[x=120]=P[x=120/τ=1]P[τ=1]+P[x=120/τ=2] P[τ=2]
Gestão de Stocks
Política do Nível de EncomendaModelação da Rotura – Procura Discreta
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• Exemplo – Efeito do aumento do tempo de reposição variável
130S%0200M110S%2200M90S%2200M70S%8200M50S%17200M30S%33180M
==α===α===α===α===α===α=
Gestão de Stocks
Política do Nível de EncomendaModelação da Rotura – Procura Discreta
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• Exemplo – Stock de segurança em função da probabilidade de rotura por ciclo
0
20
40
60
80
100
120
140
0% 10% 20% 30% 40%
1 sem
2 sem
1 ou 2 sem
As empresas preferem fornecedores e distribuidores com tempos de reposição mais curtos e pouco variáveis – até estão disposta a pagar mais!
α(%)
S
Gestão de Stocks
Política do Nível de EncomendaModelação da Rotura – Procura Discreta
20
2005
/200
6
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Gestão de StocksPolítica do Nível de Encomenda
Modelação da Procura Durante o Tempo de Entrega – Genérica
• Tempo de reposição constante e igual a L– Procura média durante o tempo de reposição
∑=
=L
1iirx
Procura (aleatória) na unidade de tempo, num dado instante
( )
( )
rL
r
rE
rExE
L
1ii
L
1ii
L
1ii
=µ
=µ
=µ
==µ
∑
∑
∑
=
=
=
Procura média na unidade de tempo
Procura média durante o tempo de reposição
2005
/200
6
40
Gestão de StocksPolítica do Nível de Encomenda
Modelação da Procura Durante o Tempo de Entrega – Genérica
• Tempo de reposição constante e igual a L– Variância da procura, admitindo que a procura é independente de unidade de
tempo para unidade de tempo
( )
( )
2r
2
L
1i
2i
2
L
1ii
2
L
1ii
2
L
rVAR
rVARxVAR
σ=σ
σ=σ
=σ
==σ
∑
∑
∑
=
=
=
Variância da procura na unidade de tempo, constante
Variância da procura na durante o tempo de reposição
21
2005
/200
6
41
Gestão de StocksPolítica do Nível de Encomenda
Modelação da Procura Durante o Tempo de Entrega – Genérica
• Quando x e τ (tempo de reposição) são ambos variáveis: – A média e variância da procura durante o tempo de reposição:
Nota:• Quando o tempo de reposição é fixo, estas expressões transformam-se
nas anteriores
∑τ
=
τ
=
σ+στ=σ
⋅τ=µ
1ii
222r
2
rx
r
r
Média e a variância do tempo de reposição
Média e a variância da procura durante do tempo de reposição
Tempo de reposição
Procura durante o tempo de entrega – soma das procuras nas unidades de tempo abrangidas pelo tempo de entrega
2005
/200
6
42
Gestão de StocksPolítica do Nível de Encomenda
Modelação da Procura Durante o Tempo de Entrega – Genérica
• Exemplo– Procura por semana
=σ=
222 /sem ton225 ton/sem100r
Variância Média
=σ=τ
τ22 sem 0
sem 3 Variância
Média
i) Tempo de entrega (fixo)
Procura durante o tempo de entrega (x)
≈σ
=×=σ+τσ=σ=×=⋅τ=µ
τ
ton26
ton6753225r ton300100 3r
2222r
2
=σ=τ
τ22 sem 25,0
sem 3 Variância
Média
ii) Tempo de entrega aleatório
Procura durante o tempo de entrega (x)
≈σ=×+×=
=σ+τσ=σ=×=⋅τ=µ
τ
ton56 ton317510025,03225
r ton300100 3r
22
222r
2
22
2005
/200
6
43
Gestão de StocksPolítica do Nível de Encomenda
Modelação da Rotura – Procura Contínua
• Probabilidade de rotura por ciclo: α
• Nível de protecção: (1 - α)
• Quantidade em falta quando chega uma nova encomenda: η(x,M)
( ) ( )∫+∞
=>=αM
dxxhMxP
( )
>≤
=ηM xseM-xM xse0
M,x
2005
/200
6
44
• Valor esperado da quantidade em falta por ciclo:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )dxxhMxM
dxxhMxdxxh0M
dxxhM
M
M
M
0
0
∫∫∫
∫
∞+
∞+
+∞
⋅−=η
⋅−+⋅=η
⋅η=η
)M(η
h(x) – função massa de probabilidade da procura durante o tempo de reposição
Função de perdas de h(x)
Gestão de StocksPolítica do Nível de Encomenda
Modelação da Rotura – Procura Contínua
23
2005
/200
6
45
• Os modelos clássicos assumem para h(x) uma lei Normal• O que, para tempos de reposição suficientemente longo, torna
possível evocar o Teorema do Limite Central => x∼N(µ,σ2)
– Stock de segurança
σ= αZS
Factor de segurança
Probabilidade de a variável normal reduzida tomar valores menores ou iguais a Zα
( )αφ−=
σµ−
φ−=α Z1M
1
( ) ( ) ( ) ( )α
∞+σζ=
σµ−
σζ=−=η ∫ ZM
dxxhMxMM
Função de perdas normal
Gestão de StocksPolítica do Nível de Encomenda
Modelação da Rotura – Procura Contínua
Exercício
2005
/200
6
46
A. Custos de encomenda : AB. Custo de posse: as existências em termos médios, são Q+S
no início do ciclo e S (stock de segurança) no final
Fazendo S = M - µ
Custo esperado de posse por ciclo:
( ) S2Q
S21
SQ21
+=++
Gestão de StocksPolítica do Nível de Encomenda
Optimização Global (Minimização do Custo) – Método Iterativo
µ−+=+ M2Q
S2Q
TM2Q
C 2
µ−+
24
2005
/200
6
47
C. Custos de rotura : proporcional à quantidade em falta, mas independente do tempo de carência
D. Custo total
( ) ( ) ( )MCdxxhMxC '3
M
'3 η=−∫
+∞
Gestão de StocksPolítica do Nível de Encomenda
Optimização Global (Minimização do Custo) – Método Iterativo
( )
( )MTC
M2Q
CTA
TC
K
MCTM2Q
CAC
'3
2T
'32T
η+
µ−++==
η+
µ−++=
2005
/200
6
48
Atendendo a que rTQ ⋅=
Gestão de StocksPolítica do Nível de Encomenda
Optimização Global (Minimização do Custo) – Método Iterativo
( )MQ
rCTM
2Q
CQ
rAK
'3
2 η+
µ−++=
( )
( ) ( ) ( )
=
−⋅+⋅−+⇒=
∂∂
=η−+−⇒=∂∂
∫∞+
0dxxhMhMMhMQ
rCC0
MK
0MQ
rC2
CQ
rA0
QK
M2
'3
2
2
'32
2
( )[ ]
( )rC
QCdxxh
CMCAr2
Q
'3
*2
M
*
2
*'3*
*
==α
η+=
∫∞+
(1)
(2)
25
2005
/200
6
49
Método iterativo para encontrar a solução óptima:
1. Começar com o valor de Q dado pela expressão do lote óptimo
determinístico, fazendo ;
2. Utilizar a expressão (2) para determinar o valor de M
correspondente a Q;
3. Utilizar a expressão (1) com o valor de M encontrado no passo
anterior para determinar o novo valor de Q;
4. Voltar a 2.
Gestão de StocksPolítica do Nível de Encomenda
Optimização Global (Minimização do Custo) – Método Iterativo
rr =
Exercício
2005
/200
6
50
Gestão de StocksPolítica do Nível de Encomenda
Optimização Global (Minimização do Custo) – Método Iterativo
( )[ ]
( )
==α
η+=
∫∞+
rCQC
dxxh
CMCAr2
Q
'3
*2
M
*
2
*'3*
*
Probabilidade de rotura
Determinar o stock de segurança (S) e nível de encomenda (M)
Determinam quantidade média em falta η
26
2005
/200
6
51
• É prática corrente não tratar o problema de optimização dos parâmetros definidores da política de gestão de stocks em simultâneo
• Um hipótese é fixar-se a priori o n ível de protecção desejado e determinar o ponto de encomenda correspondente
1. Fixar α (nível de protecção desejado)
2. Determinar M (ponto de encomenda)
3. Determinar Q através da expressão de lote óptimo
NOTA: Este procedimento não minimiza os custos na sua globalidade!
( )∫+∞
=αM
dxxh
Gestão de StocksPolítica do Nível de Encomenda
Optimização Parcial – Método Iterativo
2CAr2
Q =
2005
/200
6
52
• Outra hipótese, sabendo o custo de rotura C’3
1. Determinar Q* através da expressão de lote óptimo
2. Determinar α* (probabilidade de rotura)
2CAr2
Q =
rCQC'3
*2* ≤α
Gestão de StocksPolítica do Nível de Encomenda
Optimização Parcial – Método Iterativo
( )
( ) discreto x para xh
contínuo x para dxxh
**i Mx
i*
M
*
∑
∫
>
+∞
=α
=α
27
2005
/200
6
53
M – Nível de enchimentoT – Intervalo de tempo entre encomendas (fixo)Q – Quantidade de encomenda variávelτ – Tempo de entrega ou reposição (variável)
tempo
Stock
M
Pontos de revisão
Nível de existências + encomendas
Nível de existências
TT
τ τ τ
Duração do ciclo
Tempo de reposição
T+τ
Q2Q1
Q3
x
Gestão de Stocks
Política de Revisão Cíclica
Procura durante
Há rotura se a procura (x) durante T+τ > M
M
2005
/200
6
54
• Princípios operativos:
– A posição de stock (existências + encomendas = stock em mão
mais o encomendado) é revista em intervalos fixos de tempo (T)
– Em cada instante de revisão é colocada uma encomenda
(quantidade variável Q) para repor a posição do stock no nível de
enchimento (M)
• Nota: O stock M (stock em mão mais o encomendado no
instante em que é feita a revisão cíclica) tem que cobrir as
necessidades até o instante em que a encomenda que é
colocada no ciclo seguinte chega
Gestão de Stocks
Política de Revisão Cíclica
28
2005
/200
6
55
• T = Comprimento do ciclo: intervalo de tempo entre pontos de revisão/encomenda
• τ = Tempo de reposição
• M = Nível máximo de “existências + encomendas”, por vezes denominado como nível de enchimento
• X = Procura durante o comprimento do ciclo mais o tempo de reposição (variável aleatória)
( )
( ) rT
rT
222r
2τσ+σ+τ=σ
⋅+τ=µ
Gestão de StocksPolítica de Revisão Cíclica
Modelação da Procura Durante (T + τ)
( )
rx
dxxh
T
1ii
M
∑
∫τ+
=
+∞
=
=α
2005
/200
6
56
• Não é possível obter resultados analíticos para optimizar T (intervalo de tempo entre encomendas) e M (n ível de enchimento) sem se recorrer a métodos de optimização especiais.
• Optimização “parcial”:
– Determinar Q* através da expressão do lote óptimo
*'3
2'3
*
2* TCC
rCQC
=≤=α
Gestão de StocksPolítica de Revisão Cíclica
Optimização para Minimização de Custos
rQ
T C
r2AQ
*
*
2
*==>=
( )
( ) discreto x para xh
contínuo x para dxxh
**i Mx
i*
M
*
∑
∫
>
+∞
=α
=α
Procura durante (T + τ)
29
2005
/200
6
57
Gestão de StocksAcréscimo de Stock de Segurança para a Política da Revisão Cíclica
(para igual risco de rotura)
Procura semanal:
a ton/seman10a ton/seman100r
r =σ=
Tempo de entrega:
semana 5,0semanas 3
=σ=τ
τ
1. Nível de encomenda (procura durante o tempo de entrega)
ton9,521005,0103r 222222r =×+×=σ+στ=σ τ
a = 5% => Stock de segurança: S E = 1,64 x 52,9 = 86,6 ton
2. Revisão cíclica (procura durante o tempo de entrega + duração do ciclo)
( ) ( ) ton641005,010313rT 222222r =×+×+=σ+στ+=σ τ
a = 5% => Stock de segurança: S C = 1,64 x 64 = 105 ton
Nota: Admitindo que a procura tem uma distribuição normal
2005
/200
6
58
Gestão de StocksComparação dos Stocks de Segurança para as
Políticas de Ponto de Encomenda e de Revisão Cíclica
Ponto de Encomenda Revisão Cíclica
Procura durante τ Procura durante T + τ
( )
2r
2E
222r
2r
222r
2C
T
rT
rT
σ+σ=
σ+σ+στ=
σ+σ+τ=σ
τ
τ
222r
2E rτσ+στ=σ
2r
2E
2C
2 Tσ=σ−σ=σ∆
x ∼ Normal => S =Zασ
0TZS 2E
2r
2E >σ−σ+σ=∆ α
( )2E
2CEC ZSSS σ−σ=−=∆ α
Zα - factor de protecção (probabilidade de rotura α)
S – stock de segurança
→← x
Acréscimo do S para política de revisão cíclica (mesmo risco de rotura e nível de encomenda compat ível
30
2005
/200
6
59
Gestão de Stocks
Classificação de Artigos – Análise ABC
A anA anáálise ABClise ABC éé uma expressão da lei de uma expressão da lei de ParetoPareto : muitas situa: muitas situaçções são dominadas, e portanto ões são dominadas, e portanto
explicadas, por um nexplicadas, por um núúmero relativamente pequeno de factores crmero relativamente pequeno de factores crííticos ticos -- regra 80/20regra 80/20
Por exemplo, as vendas de uma empresaPor exemplo, as vendas de uma empresa::%Vendas
(valor)
100%20% 50%
80%
95%100%
% de artigos(unidades)
A B C
2005
/200
6
60
• Classe A (~ 20% dos artigos representam tipicamente 80 % do valor
total do consumo )
– Artigos mais importantes, quer pelo seu valor e/ou consumo, quer por
serem estratégicos para a empresa
– Elevado nível de serviço (reduzidos valores a)
– Sofisticados sistemas de controlo
– As decisões de reaprovisionamento são frequentemente consideradas muito importantes
– Utilização de sofisticados modelos de provisão, mas com correcções
“manuais” por intervenção do gestor
– Tipicamente, estes artigos apresentam elevada rotação
– Definitivamente: grande atenção por parte dos gestores
Gestão de Stocks
Classificação de Artigos – Análise ABC
31
2005
/200
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61
• Classe B (~ 30% dos artigos representam tipicamente 15 %
do valor total do consumo)
– Artigos moderadamente importantes
– Sistemas de controlo, previsão e decisões de reaprovisionamento
relativamente sofisticados. Funcionam essencialmente no
“automático”, com revisões dos parâmetros não muito frequentes
(trimestrais, semestrais...?)
– A intervenção dos gestores s ó por excepção
– Necessidade de dispor de alertas automáticos para situações
anómalas
Gestão de Stocks
Classificação de Artigos – Análise ABC
2005
/200
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62
• Classe C (~ 50% dos artigos representam tipicamente 5 % do valor total do consumo )
– Artigos pouco importantes– Sistemas de controlo, previsão e decisões de reaprovisionamento pouco
sofisticados– Para artigos de reduzido valor de custos totais implica que, por mais
sofisticado que seja o sistema de gestão, nunca se poderão obter poupanças significativas em termos absolutos
– É recomendável a agregação destes produtos em grupos de controlo comuns (único fornecedor, único utilizador, tempos de entrega semelhantes,...) por forma a reduzir o número de decisões a tomar
– Cuidados especiais:• Atenção aos “monos”• É difícil corrigir encomendas de quantidades excessivas
– Políticas recomendáveis:• Revisão cíclica com intervalos entre encomendas relativamente dilatados• Nível de encomenda com processos de controlo muito simples• Em ambos os casos: revisão dos parâmetros pouco frequente!
Gestão de Stocks
Classificação de Artigos – Análise ABC
32
2005
/200
6
63
• Os modelos apresentados até este ponto admitiam que a procura era aproximadamente regular ao longo do tempo e que, com maior ou menor qualidade, era possível prever esse valor com base em dados histórico passados - produtos de procura independente:
– Vendas a retalho...de produtos acabados
• Por oposição, a procura dependente é mais irregular, estando concentrada em instantes de tempo seguidos de períodos sem consumo:
– Produção por lotes ou stocks hierárquicos...depende, de alguma forma de produtos de procura independente
– No caso de uma obra, as matérias primas são encomendadas de acordo com o plano de obra, estando disponível na obra nos instantes em que são necessários
– Não há, portanto, incerteza relativamente ao consumo destes produtos!
– A procura dependente tem que ser gerida de acordo com o planeamento das necessidades (normalmente, no planeamento de produção ou de obra)
Gestão de Stocks
Sistemas Hierárquicos
2005
/200
6
64
• O que é o MRP?
– Sistema de planeamento da produção e de gestão de stocks
apoiado por computador
– Objectivos:
• Assegurar a disponibilidade dos componentes, materiais e
produtos para a produção planeada e encomendas de clientes
• Manter os níveis de stock mínimos
• Planear actividades de produção, encomendas e entregas
– Nota: A evolução para a metodologia MRP II, os recursos
passam a estar incluídas no planeamento das necessidades.
Gestão de Stocks
Sistemas Hierárquicos: MRP
33
2005
/200
6
65
Inputs do MRP
Gestão de Stocks
Sistemas Hierárquicos: MRP
Plano de Produção(MPS – Master Production Scheduling)
Indicações de quais e quando os produtos a produzir
Composição do Produto(BOM – Bill of Materials)
Lista dos materiais, componentesnecessários para a produção dos produtos
finais e indicação de tempos de montagem
ExistênciasNível de stock actual, encomendas e entregas planeadas, tempos de entrega/produção, stockde segurança, lote de encomenda para todos
os artigos
MATERIALREQUIREMENT
PLANNING
Encomendasde clientes
Previsão deprocura
2005
/200
6
66
• Composição do Produto - BOM– Lista de todos os materiais, componentes e módulos necessários para
a produção do produto final – Indicação de tempos de montagem respectivos
Gestão de Stocks
Sistemas Hierárquicos: MRP
AT = 4
BT = 3, Q = 1
CT = 2, Q = 2
DT = 1, Q = 1
ET = 1, Q = 2
Nível 0
Nível 1
Nível 2
Q – quantidade necessária por cada unidade do artigo de nível superiorT – tempo de entrega/produção do artigo
34
2005
/200
6
67
• Planeamento de para o instante 8 de 100 unidades de A(admitindo a inexistência de stocks e colocação de ordens iguais Às necessidades)
Gestão de Stocks
Sistemas Hierárquicos: MRP
Art. Q T 1 2 3 4 5 6 7 8Procura 100Colocação encomenda 100
Procura 100Colocação encomenda 100Procura 200Colocação encomenda 200
Procura 200Colocação encomenda 200Procura 400Colocação encomenda 400
1D
4A
3B
Período
1E
1
2
1
2
2C
2005
/200
6
68
• Dimensão do lote de encomenda em MRP:– Unitária: igual à necessidades líquida– Programação dinâmica
– Heurísticas• Por exemplo, incluir na encomenda as necessidades futuras tal
que :
Gestão de Stocks
Sistemas Hierárquicos: MRP
( )0i2
i iirC
A2T −≥=
T i – tempo entre encomendas óptimas para a procura r ii – instante de tempo em análisei0 – instante de tempo em que será recebida a encomenda
35
2005
/200
6
69
• Comparação
Gestão de Stocks
Sistemas Hierárquicos: MRP
– Orientada para os artigos– Procura independente
– Procura contínua– História da procura– Previsão da procura de todos os
artigos– Stock de segurança para todos os
artigos
– Orientada para os produtos– Procura dependente
– Procura discreta– Produção futura– Previsão da procura dos produtos
finais– Stock de segurança para produtos
finais
Lote Óptimo Sistema MRP
2005
/200
6
70
• A metodologia DRP (Distribution Requirements Planning), com origem
nos anos setenta, baseia-se nas previsões da procura no ponto de
consumo para agregar, antecipar e planear as necessidades de reposição
dos inventários nos restantes níveis da cadeia de distribuição. Desta
forma, é possível determinar as necessidades nas fontes abastecedoras
com visibilidade da procura final.
• Por seu lado, a evolução da metodologia, o DRP II (Distribution
Resource Planning) tem como base as previsões da procura final para
agregar e determinar as necessidades ou os consumos de recursos nos
restantes níveis da cadeia de abastecimento. A lógica subjacente a esta
evolução é a necessidade de planear não só os produtos, mas tamb ém os
recursos envolvidos na distribuição, de forma a utilizar melhor.
Gestão de Stocks
Sistemas Hierárquicos: DRP
36
2005
/200
6
71
• JIT – é uma estratégia que visa a eliminação do desperdício nas compras,
na produção e na distribuição e assenta numa filosofia pull, em que as
operações só ocorrem quando necessárias e de acordo com informação da
procura:
• O JIT tem como característica central o encontro exacto entre o
abastecimento de materiais e a procura destes, o que leva à redução, ou
mesmo eliminação, dos inventários intermédios
• Requerer sistemas de controlo e coordenação eficazes (por exemplo, o
Kanban), tempos de resposta reduzidos (configuração dos equipamentos ou
de entrega) e custos de encomenda reduzidos
• Por um lado, a logística envolvida deve apresentar uma eficácia elevada, não
há inventários de segurança, e
• Por outro lado, a eficiência também deve ser elevada, pois a frequência das
encomendas é elevada
Gestão de Stocks
Sistemas Hierárquicos: JIT
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