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G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Le macchine termiche• Il primo principio ci offre la possibilità di trasformare

energia interna, calore in lavoro meccanico

• Le macchine che realizzano queste trasformazioni di chiamano “macchine termiche”

• esempi di macchine termiche:– Il motore dell’automobile

– Le vecchie locomotive a vapore

• Gli stessi principi vengono utilizzate dai– Frigoriferi, condizionatori, pompe di calore

• Una espansione isoterma trasforma tutto il calore assorbito dal serbatoio di calore a temperatura T in lavoro meccanico

• Una volta raggiunta la pressione atmosferica l’espansione si arresta

• Così anche la produzione di lavoro

• Occorre riportare il sistema al punto di partenza e ripetere l’espansione

• La macchina termica deve operare su un ciclo

• Perché ci sia una reale produzione di lavoro occorre far tornare indietro il sistema lungo una isoterma a temperatura più bassa

U = 0 Q = W

Rendimento di una macchina termica• Se ritorno indietro lungo una isoterma a temperatura

più bassa,– il lavoro da effettuare, area in rosa, per riportare il

sistema nello stato iniziale è più piccolo di quello ottenuto nella prima fase

– Nel ciclo si ottiene una produzione netta, positiva, di lavoro del sistema sull’ambiente esterno

• Il lavoro è rappresentato dall’area racchiusa dal ciclo

• Se il ciclo viene percorso in verso orario, come è il caso descritto, il lavoro è positivo (il sistema fa lavoro sull’esterno)

• Se il ciclo viene percorso in verso antiorario, il lavoro è negativo, allora è l’ambiente esterno ad effettuare un lavoro sul sistema

• Si osservi che sulla isoterma if il sistema assorbe un calore Q pari al lavoro effettuato (area sotto la trasformazione, grigia)

• Nella isoterma gh il calore è negativo, viene ceduto dal sistema all’ambiente esterno

• Lungo le isocore in una il calore viene assorbito (hi) nell’altra viene ceduto (gf).

• Si definisce rendimento di una macchina termica il rapporto tra il lavoro prodotto nel ciclo e il calore comunque assorbito nel ciclo:

ΔUii =0 ⇒ W =QΔU =Q−W

Macchine termiche che lavorano tra due serbatoi

• Le macchine termiche sono sistemi termodinamici che descrivono un ciclo

• C’è una parte del ciclo in cui il sistema assorbe calore da uno o più serbatoi presenti nell’ambiente esterno

• C’è un’altra parte del ciclo in cui il sistema cede calore ad uno o più serbatoi presenti nell’ambiente esterno

• Nel ciclo il sistema esegue un lavoro netto positivo sull’ambiente esterno

• Un caso particolare di macchina termica è quella che lavora tra due serbatoi

– Schematizzabile come nella figura a lato

– La macchina assorbe calore Q1 dal serbatoio a temperatura più elevata T1

– Cede il calore Q2 al serbatoio a temperatura inferiore T2

– Produce il lavoro W

• Il rendimento della macchina è dato da

η=WQ1

η=Q1 −Q2

=1−Q2

ΔUii =0 ⇒ W =QΔU =Q−W

La macchina e il ciclo di Carnot• La macchina di Carnot è una macchina reversibile che opera

con due soli serbatoi di calore

• Il ciclo è costituito da – due isoterme (alle temperature T1 e T2)

– e da due adiabatiche (è l’unica trasformazione reversibile che non richiede ulteriori serbatoi di calore)

– Nella figura è rappresentato il ciclo di Carnot percorso da un gas perfetto

• Tutte le macchine reversibili che operano con due soli serbatoi di calore sono macchine di Carnot

• Il ciclo può essere percorso da una qualsiasi sostanza: gas perfetto, gas reale, acqua e vapor d’acqua, freon, etc.

W• Scegliendo il punto b

dove far finire l’espansione isoterma, si può variare il lavoro fatto dalla macchina in un ciclo.

Studio del ciclo di Carnot percorso da un gas perfetto

• Trasformazione ab - Espansione isoterma– U=0, Q1=Wab

– La trasformazione è reversibile: possiamo suddividerla in tratti infinitesimi

– Il lavoro in ciascun tratto infinitesimo sarà: dW=PdV

– Il lavoro complessivo

– Dato che Vb è maggiore di Va (espansione) il lavoro è positivo

– Il calore Q1 è uguale al lavoro: è anch’esso positivo (calore assorbito)

Wab = PdVa

∫ =nRT1

∫ =nRT1dVVa

=nRT1 lnV[ ]ab=nRT1ln

ΔU =Q−W

• Trasformazione bc - Espansione adiabatica– Qbc=0, Ubc =-Wbc

– La variazione di U energia del gas perfetto

– Dato che T2 è più piccolo di T1, U <0

– Il lavoro W è maggiore di zero (il lavoro viene fatto dal sistema sull’ambente esterno

ΔUbc =nCV T2 −T1( )

Wbc =−nCV T2 −T1( )

• Trasformazione cd - Compressione isoterma– U=0, Q2=Wcd

– Operando come sulla trasformazione ab, otteniamo il lavoro complessivo

Wcd =nRT2lnVd

Vc– Dato che Vd è minore di Vc (compressione), il lavoro è negativo

– Il calore Q2 è uguale al lavoro: è anch’esso negativo (calore ceduto)

ΔU =Q−W

• Trasformazione da - Compressione adiabatica– Qda=0, Uda =-Wda

– La variazione di U energia del gas perfetto

– Dato che T2 è più piccolo di T1, U >0

– Il lavoro W è minore di zero (il lavoro viene fatto sul sistema dall’ambente esterno

ΔUda =nCV T1 −T2( )

Wda =−nCV T1 −T2( )

• Si osservi che Wda=-Wbc

• Il lavoro complessivo svolto nel ciclo sarà:

W=Wab+Wbc+Wcd+WdaW =nRT1ln

+nRT2lnVd

• Il calore assorbito nel ciclo è solo Q1=Wab

ΔU =Q−W

Q1 =nRT1lnVb

• Il rendimento del ciclo di Carnot η=

=nRT1ln

+nRT2lnVd

nRT1lnVb

• Vogliamo far vedere che:

ΔU =Q−W

η=WQ1

=nRT1ln

+nRT2lnVd

nRT1lnVb

abisoterma PaVa =PbVb

bcadiabaticaPbVbγ =PcVc

cdisoterma PcVc =PdVd

daadiabaticaPdVdγ =PaVa

γ PaVaPbVbγPcVcPdVd

γ =PbVbPcVcγPdVdPaVa

• Moltiplicando tutti i primi membri e tutti i secondi membri tra loro

VaVbγVcVd

γ =VbVcγVdVa

γ−1Vdγ−1 =Vc

γ−1Vaγ−1

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

γ−1

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

γ−1 Vb

η=1−T2

Il frigorifero• Il ciclo di Carnot è un ciclo reversibile

• Quindi può essere percorso all’indietro

• Ma quando una trasformazione viene percorso al contrario

– Si invertono i segni degli scambi energetici

– Sicuramente cambia segno DU

– Ma anche W e Q

– Quelle che erano le quantità assorbite diventano cedute e viceversa

• quindi la macchina di Carnot al contrario – assorbe il lavoro W

– assorbe il calore Q2 dal serbatoio più freddo

– cede la quantità di calore Q1 al serbatoio più caldo

• Abbiamo realizzato un frigorifero

• Si definisce coefficiente di prestazione del frigorifero ε =Q2

Q1 −Q2

Il secondo principio della Termodinamica - Enunciato di Kelvin-Plank

• Le macchine termiche sono sistemi termodinamici che descrivono un ciclo

• C’è una parte del ciclo in cui il sistema assorbe calore da uno o più serbatoi presenti nell’ambiente esterno

• C’è un’altra parte del ciclo in cui il sistema cede calore ad uno o più serbatoi presenti nell’ambiente esterno

• Nel ciclo il sistema esegue un lavoro netto positivo sull’ambiente esterno

• è impossibile realizzare un processo il cui unico risultato sia quello di assorbire calore da un serbatoio e di convertirlo completamente in lavoro.

W(=Q1)

η=Q1 −Q2

=1−Q2

Q1 ≤0

Macchina monoterma

Il secondo principio della Termodinamica - Enunciato di Clausius

• non è possibile realizzare un processo il cui unico risultato sia quello di far passare del calore da un corpo più freddo ad uno più caldo.

• Il passaggio di calore da un corpo più freddo ad uno più caldo deve essere sempre accompagnato da qualche altra modifica da qualche altra parte nell’universo

• Ossia c’è bisogno di un lavoro esterno

Verifica dell’equivalenza tra le due formulazioni

• Si può vedere che violando una formulazione è violata anche l’altra• Supponiamo che esiste una macchina termica che riesca a trasformare

tutto il calore estratto da un serbatoio a temperatura T1 in lavoro meccanico.

• Posso usare questa macchina accoppiandola ad una macchina di Carnot che facciamo lavorare come frigorifero

– Il lavoro prodotto dalla prima macchina viene utilizzato per far funzionare il frigorifero

• L’effetto cumulativo delle due macchine è un frigorifero ideale che preleva il calore Q2 dal serbatoio più freddo e lo trasferisce a quello più caldo senza richiedere alcun lavoro dall’esterno

• Questa macchina viola la seconda formulazione del II principio

Q'1= Q2+ Q1

W= Q1Q1

Irreversibilità e II principio

• Il secondo principio della termodinamica ci fa capire perché alcune trasformazioni sono irreversibili

• Prendiamo il passaggio di calore tra due corpi inizialmente a temperatura differente:

– Il secondo principio ci impedisce di realizzare la condizione di partenza perché bisogna trasferire del calore da un corpo più freddo ad uno più caldo è per fare questo occorre produrre qualche altra modifica da qualche altra parte nell’universo

• prendiamo un pendolo messo in oscillazione che dopo un po’ si ferma perdendo la sua energia meccanica in energia interna dell’aria e dei corpi interessati

– Per rispristinare la situazione iniziale occorrerebbe estrarre dall’aria e dai corpi questa energia interna e ritrasformala, tutta, in lavoro (energia meccanica)

– Il secondo principio ci impedisce di fare questo: una parte dell’energia non può essere trasformata in lavoro meccanico e deve essere ceduto ad un serbatoio a temperatura più bassa.

Il teorema di Carnot• Tutte le macchine che lavorano tra due termostati hanno

un rendimento che è minore, o al massimo uguale, a quello di una macchina di Carnot che lavori tra gli stessi due termostati.

• tutte le macchine reversibili (tutte le macchine di Carnot) che lavorano tra gli stessi termostati hanno, tutte, lo stesso rendimento.

• La dimostrazione si fa per assurdo:

• Supponiamo che esista una macchina X che lavora tra i due termostati a temperatura T1 e T2 che abbia un rendimento maggiore della macchina di Carnot operante tra gli stessi termostati

• Regolando il ciclo della macchina di Carnot facciamo in modo che il lavoro fatto dalle due macchine in un ciclo sia uguale

• Consideriamo positive tutte le quantità di calore, per distinguere il calore assorbito da quello ceduto useremo esplicitamente il segno

Il teorema di Carnot

ηC =WQ1

ηX =WQ'1

ηX >ηC ⇒WQ'1

⇒ Q1 >Q'1

W =Q'1−Q'2W =Q1 −Q2

⇒ Q'1−Q'2 =Q1 −Q2 ⇒ Q2 −Q'2 =Q1 −Q'1

Q1 −Q'1>0

Q2 −Q'2>0

Il teorema di Carnot• Se combiniamo le due macchine otteniamo una macchina che trasferisce il

calore Q=Q2-Q’2 (>0) dal serbatoio a temperatura più bassa a quello a temperatura più alta senza richiedere alcuna altra modificazione nell’universo.

• Contraddice il secondo Principio della Termodinamica

• L’ipotesi da cui siamo partiti è falsa. Quindi

• Dimostrazione della 2a parte

• Se la macchina X è reversibile allora il suo ciclo può essere invertito e si può scambiare il ruolo della macchina X con quello della macchina di Carnot

• Ripetendo lo stesso ragionamento a ruoli invertiti otterremo:

ηX ≤ηC cvd

ηC ≤ηXrev

• Le due relazioni precedenti devono essere vere contemporaneamente.

• Questo accade solo se ηXrev=ηC cvd

Conseguenze del teorema di Carnot

• Dati due termostati a temperatura diversa, la maniera più efficiente per trasformare calore in lavoro meccanico è quello di utilizzare una macchina di Carnot.

• il rendimento di una macchina di Carnot è indipendente dalla sostanza impiegata per percorre il ciclo, gas perfetto, gas reale, acqua e vapore d’acqua, freon. etc, dipende solo dalle temperature dei termostati tra cui opera:

– Abbiamo già calcolato il rendimento di una macchina di Carnot operante con un gas perfetto

η=1−T2

• Tutte le macchine di Carnot operanti tra questi due termostati avranno tutti lo stesso rendimento appena calcolato.

La temperatura termodinamica o assoluta

• Il teorema di Carnot ci permette di definire una ulteriore scala di temperatura

• Infatti se prendiamo una macchina di Carnot che opera tra il corpo di cui si vuole conoscere la temperatura e il sistema del punto triplo

• Dalla definizione di rendimento

• Il calore scambiato da una macchina di Carnot gioca il ruolo di caratteristica termometrica

• Questa nuova definizione della temperatura, è equivalente alla scala di temperatura del gas perfetto per tutte le temperature misurabili col gas perfetto

• Estende fino allo zero assoluto l’intervallo di temperature misurabili, perché all’interno della macchina di Carnot ci possiamo mettere qualunque sostanza.

ηdef =1−Qtr

ηC =1−Ttr

⇒Qtr

T⇒ T =273.16

Ttr1 2 3

Applicazio

• Un inventore sostiene di aver inventato cinque motori, ciascuno operante tra i serbatoi termici a 400 e 300 K. Per ogni ciclo, i dati di ogni motore sono i seguenti:

– Qa=200 J, Qc=-175 J, W=40 J

– Qa=200 J, Qc=-150 J, W=50 J

– Qa=600 J, Qc=-200 J, W=400 J

– Qa=100 J, Qc=-90 J, W=10 J

– Qa=500 J, Qc=-200 J, W=400 J

– Dire quali dei due principi della termodinamica (eventualmente entrambi) vengono violati da ciascun motore. Nel caso invece entrambi i principi della termodinamica risultino soddisfatti, stabilire se il ciclo è reversibile

• No primo

• Ok primo, ok secondo, reversibile

• Ok primo, no secondo

• Ok primo, ok secondo, non reversibile

• No primo

ηC =1−T2

=1−300400

=0.25 η≤ηC

η2 =W

=50200

η4 =W

=10100

η3 =W

=400600

Applicazio

• Una macchina termica a combustione interna, il motore dell'automobile a benzina, può essere approssimata con il ciclo mostrato in figura. Si supponga che la miscela aria-benzina possa essere considerato un gas perfetto e che venga utilizzato un rapporto di compressione 4 a 1 (V4 = 4V1). Si supponga inoltre che p2=3p1.

– Determinate la pressione e la temperatura in ognuno dei quattro vertici del diagramma p-V in funzione di p1 e T1, e del rapporto dei calori specifici del gas.

– Esprimere il rendimento del ciclo in funzione del rapporto di compressione.– Confrontare con il rendimento di una macchina di Carnot che lavora tra le temperature estreme.

• Questo ciclo è denominato “ciclo Otto” ed è il ciclo secondo cui funziona il motore benzina.

• Punto 2

1 Adiabatica

Adiabatica

Scoppio

V2 =V1

P2 =3P1

T2 =P2V2

• Punto 3

V3 =V4 =4V1

P3 =P2V2

V3γ =3P1

4γV1γ =3×4−γP1

T3 =P3V3

3×4−γP1 ×4×V1

=3×41−γT1

Applicazio

• Una macchina termica a combustione interna, il motore dell'automobile a benzina, può essere approssimata con il ciclo mostrato in figura. Si supponga che la miscela aria-benzina possa essere considerato un gas perfetto e che venga utilizzato un rapporto di compressione 4 a 1 (V4 = 4V1). Si supponga inoltre che p2=3p1.

– Determinate la pressione e la temperatura in ognuno dei quattro vertici del diagramma p-V in funzione di p1 e T1, e del rapporto dei calori specifici del gas.

– Esprimere il rendimento del ciclo in funzione del rapporto di compressione.– Confrontare con il rendimento di una macchina di Carnot che lavora tra le temperature estreme.

• Punto 4

1 Adiabatica

Adiabatica

Scoppio

V4 =4V1

P4 =P1V1

V4γ =P1

4γV1γ =4−γP1

T4 =P4V4

4−γP1 ×4×V1

=41−γT1

=1+Qced

=1+nCV T4 −T3( )nCV T2 −T1( )

=1+41−γ −3×41−γ

3−1( )T1

=1+41−γ 1−3( )

3−1( )=1−

14γ−1

ηC =1−T4

=1−41−γT1

=1−1

3×4γ−1

Applicazio

• In un ciclo di Carnot l'espansione isoterma di un gas ideale avviene a 412 K e la compressione isoterma a 297 K. Durante l'espansione il gas assorbe 2090 J di energia termica.

• Determinare:– Il lavoro fatto dal gas durante l'espansione isoterma– Il calore ceduto dal gas durante la compressione isoterma– Il lavoro fatto sul gas durante la compressione isoterma– Il rendimento del ciclo.

Applicazio

• Una macchina termica ciclica funziona tra due sorgenti costituite rispettivamente da una massa m di vapore d'acqua a 100°C e da una massa m1=1kg di ghiaccio a 0°C. la macchina preleva calore dalla sorgente calda e viene fatta funzionare finché tutto il ghiaccio si è fuso o il vapore si è liquefatto.

– la macchina termica sia irreversibile con rendimento *=0,2: quale deve essere il valore della massa del vapore m se si vuole fondere tutto il ghiaccio?

– Si dica quale tipo di macchina si deve usare per fondere il ghiaccio facendo liquefare• la massa minima di vapore,

• la massa di vapore più grande possibile (mmax).

– Si calcoli la variazione di entropia del sistema costituito dalle sorgenti e dalla macchina termica nei tre casi considerati. Si usino i seguenti valori approssimati: calore latente di fusione del ghiaccio f = 79,7 cal/g, calore di liquefazione del vapore di acqua e = 539 cal/g.

Applicazio

• Una mole di gas perfetto monoatomico viene utilizzata come sostanza di lavoro di una macchina termica che compie il ciclo mostrato in figura. Si calcoli:

• Il lavoro fatto dalla macchina in un ciclo.

• Il calore assorbito per ciclo

• Il rendimento di una macchina di carnot operante tra la più alta e la più bassa temperatura presenti nel ciclo

• Si ponga P1=3P0, V1=2V0, P0=1,01x105 Pa e V0=22,5 litri.

V1,P1b

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