gradivo za pripravo - dmfa

Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije Jadranska ulica 19 1000 Ljubljana

Gradivo za pripravo na tekmovanje iz finančne matematike in statistike za gimnazijce predstavljeno na

Strokovnem srečanju in občnem zboru DMFA,

Bled, 15. - 16. 11. 2013 Avtorji: Tomaž Košir, Klara Pugelj,

Aleš Toman

Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije dovoljuje shranitev v elektronski obliki, natis in uporabo gradiva v tem dokumentu izključno za potrebe dijakov in njihovih učiteljev pri pripravah na tekmovanje iz znanj finančne matematike in statistike. Vsakršno drugačno reprodu-ciranje ali distribuiranje gradiva v tem dokumentu, vključno s tiskanjem, kopiranjem ali shranitvijo v elektronski obliki je prepovedano.

Strokovno srecanje in 65. obcni zbor DMFA Slovenije

Predstavitev tekmovanja iz financne matematike

Tomaž Košir, Klara Pugelj, Aleš Toman

Strokovno srecanje in 65. obcni zbor DMFA Slovenije

Predstavitev tekmovanja iz financne matematike

Obresti in obveznice

Aleš Toman

ales.toman@ef.uni-lj.si

Tipi obrestovanja

cas

P

0

N

T

N = P · A(0, T )

P = N · D(0, T )

 P je sedanja vrednost zneska N .

 N je prihodnja vrednost zneska P.

 A(0, T ) obrestovalni faktor

 D(0, T ) diskontni faktor

Tip obrestovanja: obrestna mera R, cas T 7→ A(0, T ), D(0, T )

Navadno obrestovanje

 Obrestuje se samo zacetna glavnica.

A(0, T ) = 1+ R · T ; T ∈ R

D(0, t) = (1+ R · T )−1; T ∈ R

0.5 1.0 1.5 2.0

0.5

1.0

1.5

2.0

 kratkorocni vrednostni papirji, medbancna posojila

Diskretno (obrestno) obrestovanje

 Pripis obresti glavnici k-krat na leto.

A(0, hk) =

�

1+ Rk

�h; h ∈ N A(0, h

2) =

�

1+ R2

�h

D(0, hk) =

�

1+ Rk

�−h; h ∈ N D(0, h

2) =

�

1+ R2

�−h

0.5 1.0 1.5 2.0

0.5

1.0

1.5

2.0

 bancni racun, krediti, depoziti

Zvezno (obrestno) obrestovanje

 Neprestano pripisovanje obresti glavnici.

A(0, T ) = eY ·T = (1+ R)T ; T ∈ R

D(0, t) = e−Y ·T = (1+ R)−T ; T ∈ R

0.5 1.0 1.5 2.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

 izvedeni financni instrumenti

Casovna struktura obrestnih mer

Obrestna krivulja ali krivulja donosnosti

 obrestna mera kot funkcija casa do dospetja: T 7→ R(0, T )

http://www.euribor-ebf.eu/euribor-org/euribor-rates.html

Podatki za 11.11.2013

1w 2w 3w 1m 2m · · · 11m 12mEuribor 0.081 0.088 0.095 0.109 0.115 · · · 0.508 0.542

Kredit

 G glavnica

 a anuiteta

 R (nominalna) obrestna mera, diskretno obrestovanje

 r = Rk

obdobna obrestna mera

obdobja

G

0

a

1

a

2

a

3

· · ·a

n− 1

a

n

Kredit

obdobja

G

0

a

1

a

2

a

3

· · ·a

n− 1

a

n

 Nacelo ekvivalence glavnic v casu 0

G =a

1+ r+ · · ·+

a

(1+ r)n=

a

(1+ r)·1− ( 1

1+r)n

1− 11+r

= a ·(1+ r)n− 1

r(1+ r)n

a = G ·r(1+ r)n

(1+ r)n− 1

Kredit z narašcajocimi anuitetami

Podjetje pri delu uporablja stroj, ki ga želi zamenjati z novejšim inenergijsko bolj ucinkovitim. Nov stroj stane 100 000 EUR, podjetježeli zanj najeti 5-letni kredit s polletnimi anuitetami. Nominalnaobrestna mera za kredit znaša 6%.

Podjetje banko prosi za dve razlicni ponudbi.

a) V prvi ponudbi podjetje ves cas placuje konstantne anuitete.Dolocite anuiteto opisanega kredita.

b) Z novim strojem bodo povecali proizvodnjo in prihodke, zatobodo v prihodnosti zmožni odplacevati višje anuitete.

V drugi ponudbi je vsaka anuiteta za 2% višja od predhodne.Dolocite višino prve in zadnje anuitete.

Rešitev a)

 G = 100 000 EUR

 r = 0.062= 0.03

 n= 10 polletij

a = G ·r(1+ r)n

(1+ r)n− 1= 11 723.05 EUR

Rešitev b)

 s = 0.02 rast anuitet

 x = (1+ s) faktor rasti anuitet

obdobja

G

0

a

1

ax

2

ax2

3

· · ·

ax8

9

ax9

10

 Nacelo ekvivalence glavnic v casu 0

G =a

1+ r+

a(1+ s)(1+ r)2

+a(1+ s)2

(1+ r)3+ · · ·+

a(1+ s)9

(1+ r)10

Rešitev b)

G =a

1+ r+

a(1+ s)(1+ r)2

+a(1+ s)2

(1+ r)3+ · · ·+

a(1+ s)9

(1+ r)10 =

=a

1+ r·�

1+1+ s

1+ r+�1+ s

1+ r

�2

+ · · ·+�1+ s

1+ r

�9�

=

=a

1+ r·1−

�

1+s1+r

�10

1− 1+s1+r

= a ·(1+ r)10− (1+ s)10

(r − s)(1+ r)10

a = G ·(r − s)(1+ r)10

(1+ r)10− (1+ s)10 = 10 758.05 EUR

Zadnja anuiteta je a(1+ s)9 = 12 856.86 EUR.

Obveznice

Obveznica je vrednostni papir, s katerim se izdajatelj obveže,da vam bo ob dolocenem casu izplacal vnaprej znan znesek.

Brezkuponska obveznica

cas

P

0

N

2

Kuponska obveznica

cas

P

0

C

1

C

2

C

3

C

4

N + C

5

 N nominalna vrednost

 T dospetje

 C kupon

 t i kuponski datumi

 P cena

Zakladne menice

http://www.mf.gov.si/si/delovna_podrocja/vrednostni_papirji

cas

P

0

N

T

P = N · D(0, T )

P = N ·�

1+ T · R(0, T )�−1

Slovenija, 10.9.2013

 T = 14

 N = 100 P = 99.876

 T = 12

 N = 100 P = 99.272

Zakladne menice

http://www.mf.gov.si/si/delovna_podrocja/vrednostni_papirji

cas

P

0

N

T

P = N · D(0, T )

P = N ·�

1+ T · R(0, T )�−1

Slovenija, 10.9.2013

 T = 14

R(0, 14) = 0.50%

 N = 100 P = 99.876

 T = 12

R(0, 12) = 1.47%

 N = 100 P = 99.272

Kuponske obveznice

http://www.mtsindices.com/european-bond-spreads

Kuponske obveznice

 t = 0 (danes)

 T = 1056

(9.9.2024)

 N = 100 EUR

 C = 4.625 EUR

 P = 89.0863 EUR

cas

P

0

C

56

C

156

C

256

· · · C

956

N + C

1056

Donosnost do dospetja

cas

P

0

C

56

C

156

C

256

· · · C

956

N + C

956

Konstantna obrestna mera R(0, T )≡ R

P =C

(1+ R)56

+ · · ·+C

(1+ R)956

+C + N

(1+ R)1056

89.0863=4.625

(1+ R)56

+ · · ·+4.625

(1+ R)956

+104.625

(1+ R)1056

R= 6.1313%

Kuponske obveznice

Republika Slovenija želi danes izdati 5-letne kuponske obveznice znominalnimi vrednostmi 1000 EUR in letnimi kuponi po 5% kupon-ski obrestni meri.

Znane so naslednje obrestne mere pri zveznem obrestovanju.

t 1 2 3 4 5R(0, t) 3.15% 3.45% 4.10% 4.70% 5.20%

a) Dolocite ceno ene obveznice (apoen).

b) Koliko obveznic mora Slovenija izdati, ce želi danes z njimi zbratimilijardo EUR?

c) Koliko obresti bo vsako leto placala Slovenija?

Rešitev

 T = 5

 N = 1000 EUR

 C = 0.05 · 1000= 50 EUR

cas

P

0

C

1

C

2

C

3

C

4

N + C

5

P =C

1+ R(0, 1)+

C�

1+ R(0,2)�2+· · ·+

C�

1+ R(0,4)�4+

C + N�

1+ R(0, 5)�5

Rešitev

P =50

1.0315+

50

1.03452 +50

1.04103 +50

1.04704 +1050

1.05205

= 996.04 EUR

Slovenija mora izdati1 000 000 000

996.04= 1 003 980 obveznic.

Zato bo vsako leto za obresti namenila 50 199 000 EUR.