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1
Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik Grundlagen der Nachrichtentechnik 1 WS 2003/2004
S. 1FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Grundlagen der Nachrichtentechnik 1
Communications 1Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik
Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik Grundlagen der Nachrichtentechnik 1 WS 2003/2004
S. 2FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
Nachrichtentechnik 1Organisatorisches
Vorlesung 2 SWS
Übung 2 SWS Betreuer: Dipl.-Ing. Thorsten Kempka
Folienkopien sind verfügbar
Prüfung: schriftlich
Neue Forschungsthemen im Fachgebiet Nachrichtentechnische Systeme
Studien- und Diplomarbeiten
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S. 3FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 1Literatur
Literatur zur Vorlesung:R. Unbehauen: Systemtheorie, Oldenbourg-Verlag
H. Marko: Methoden der Systemtheorie, Springer-Verlag
Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik Grundlagen der Nachrichtentechnik 1 WS 2003/2004
S. 4FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 1Inhalt1 Einführung2 Testsignale3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme4 Fourier-Transformation5 Laplace-Transformation6 Hilbert-Transformation7 Abtasttheorem8 z-Transformation 9 Lineare zeitdiskrete Systeme
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Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik Grundlagen der Nachrichtentechnik 1 WS 2003/2004
S. 5FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 11 Einführung
Inhalt: Theorie linearer SystemeBegründer der modernen Systemtherorie: Karl Küpfmüller
NT1: Deterministische Signale und Systeme
SystemEingangssignal Ausgangssignal
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S. 6FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 11 Einführung
BeispieleÜbertragungssysteme
Stabilitätsuntersuchungen in Regelkreisen
Mechanische Schwingungssysteme
Allgemein: lineare Systeme (beschrieben durch lineare Differentialgleichungen)
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S. 7FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 11 Einführung
Beispiel: digitales Mobilfunksystem
passivesFilter
Empfangs-filter
Aufwärts-Mischung
Abwärts-Mischung
Sende-filter
ZuordnungkomplexerSymbole
Ent-zerrungDetektion
Funk
kana
l
Synchronisation
Daten
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S. 8FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 11 Einführung
SignalFunktion der Zeit x(t)
Funktion des Ortes v(x)
Beispiele
Musiksignal
Zeitfunktion der Mikrofon-/Lautsprecherspannung
Zeitfunktion der Auslenkung der Mikrofon-/Lautsprechermembran
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S. 9FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 11 Einführung
Rauschen
Fernsehsignal
Zeitfunktion der Spannung am Ausgang eines RC-Gliedes beim Einschaltvorgang
n(t)
t
u(t)
t
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S. 10FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 11 Einführung
System
Allgemeiner Zusammenhang zwischen Eingang und Ausgang:yi(t) = f(x1(t), x2(t), x3(t) ... xn(t))
System
x2(t)
xn(t)
x1(t)
y2(t)
ym(t)
y1(t)
. . . .
. . . .
(1.1)
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S. 11FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 11 Einführung
Vektorielle Darstellung:Y(t) = f(X(t))
mit X(t) = (x1(t), x2(t), x3(t) ... xn(t))und Y(t) = (y1(t), y2(t), y3(t) ... ym(t))
Wichtiger Sonderfall: ein Eingang, ein Ausgang
(1.4)(1.3)(1.2)
y = f(x(t))x(t) y(t)
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S. 12FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 21 Einführung
Klassifizierung von Systemen
nichtlineare Differential-gleichung
nichtlineare Gleichungnichtlinear
Volterra-ReiheTaylor-Reiheschwach nichtlinear
lineare Differential-gleichung
lineare Gleichung (Gerade)
linear
gedächtnisbehaftetgedächtnislosSystem
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S. 13FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 11 Einführung
LinearitätGegeben: y1(t) und y2(t) seien Ausgangssignale für beliebige Eingangssignale x1(t) und x2(t)
Ein System heißt linear, wenn gilt:Aus x1(t) → y1(t) und x2(t) → y2(t) folgt:c1 x1(t) + c2 x2(t) → c1 y1(t) + c2 y2(t) mit beliebigen Koeffizienten c1 und c2 .
Lineare Systeme werden durch lineare Differentialgleichungen beschrieben.
(1.5)
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S. 14FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 11 Einführung
Beispiel: (1.6)xxyyy 5352 +=−+ &&&&
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S. 15FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 12 Testsignale
Sprungfunktion
Modellierung von Einschalt- und EinschwingvorgängenProblem: nicht differenzierbar!
(2.1) ≥
=sonst0
0für1)(s
tt
s(t)1
t
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S. 16FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 12 Testsignale
Begrenzte Rampenfunktion
Näherung der Sprungfunktion, da die begrenzte Rampenfunktion differenzierbar ist:
(2.2)
≥
≤≤−+
−≤
=
2für1
22für
21
2für0
)(s
ε
εεε
ε
ε
t
tt
t
t
)(slim)(s0
tt εε→
= (2.3)
sε(t)1
t2ε
2ε−
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S. 17FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 12 Testsignale
Rechteckfunktion
Darstellung durch Sprungfunktionen:
Rechteckfunktion der Dauer ∆T und mit der Verschiebung T0
(2.4)
(2.5)
≤≤−=
sonst0für1)(rect 2
121 tt
rect(t)
t21
21−
1
( ) ( )21
21 ss)(rect −−+= ttt
t
20TT ∆+20
TT ∆−
1
∆−
TTt 0rect
0T
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S. 18FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 12 Testsignale
Dreieckfunktion
Darstellung durch Sprungfunktionen:
(2.6)
≤≤−≤≤−+
= ≤−=∆
sonst010für1
01fürt1
sonst01für1)( tt
tttt
∆(t)
t
1
−1 1
)1()1(s)2()(s)1()1(s)( −⋅−+−⋅++⋅+=∆ ttttttt (2.7)
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S. 19FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 12 Testsignale
Gauß-Funktion
Fläche:
(2.8)2
0e)(G
−
= Tt
ts
-3 -2 -1 1 2 30Tt
1
2
0e
−
Tt
1e−
0G 2ded)(
2
0 Tttts Tt
π== ∫∫∞
∞−
−∞
∞−(2.9)
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S. 20FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 12 Testsignale
Diracsche Delta-Funktion
mit
Darstellung durch Rechteckfunktion:
(2.9) =∞
=sonst0
0für)(
ttδ
1d)(δ =∫∞
∞−tt
δ(t)1
t
(2.10)
=
→ εεδ
ε
tt rect1lim)(0
t2ε
2ε−
ε1
εεtrect1
(2.11)
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S. 21FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 12 Testsignale
Andere Definitionen der Delta-Funktion
Ausblendeigenschaft
(2.12)δ(t)
1
t(2.13)
∆=
→ εεδ
ε
tt 1lim)(0
(2.14)
2
e2lim)(0
−
→⋅= ε
ε επδ
t
t
)()()()( 000 TtTfTttf −⋅=−⋅ δδ
)(d)()( 00 TftTttf =−⋅∫∞
∞−δ (2.15)
f(t)
t
δ(t−T0)
T0
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S. 22FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 12 Testsignale
Zusammenhang der δ-Funktion mit der Sprungfunktion:
Ableitung der δ-Funktion:
Die δ-Funktion und ihre Ableitungen sind verallgemeinerte Funktionen
(2.16))(dds t
tδ=
)(d
(t)d tt
δδ ′= (2.17)
)(tδ′
t
12
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S. 23FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 12 Testsignale
Weitere Eigenschaften der δ-Funktion:
(2.18))()( tt −=δδ
)()( ttt δδ =′⋅−
)(1)( ta
at δδ =
ta2ε
a2ε−
ε1
εεtarect1
(2.19)
(2.20)
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S. 24FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 12 Testsignale
Harmonische Schwingungen
(2.21)
(2.22)
)cos()( ttx ω=
(2.23)
)sin()( ttx ω=
ttx ωje)( =
13
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S. 25FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 12 Testsignale
Signalparameter:Momentane Leistung eines Signals x(t)
P(t) = x2(t)
Mittlere Leistung
Energie
∫−∞→
=T
TTttx
TP d)(
21lim 2
∫−∞→
=T
TTttxE d)(lim 2
(2.24)
(2.25)
(2.26)
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S. 26FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 12 Testsignale
Komplexe Signale:
∫−∞→
=T
TTttx
TP d)(
21lim 2
∫−∞→
=T
TTttxE d)(lim 2
(2.27)
(2.28)
(2.29)
2)( xtP =
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S. 27FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
xtxˆ
)(
πω2
0t
Nachrichtentechnik 12 Testsignale
BeispieleSinusförmiges Signal (leistungsbegrenzt):
(2.30)txtx 0sinˆ)( ω⋅=
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S. 28FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Nachrichtentechnik 12 Testsignale
Momentane Leistung:
Mittlere Leistung:
2ˆ2sin
41
22ˆ
d)(sinˆ2
d)(21lim
20
0
2
0
02
2
00
2202
0
0
xttx
ttxttxT
PT
TT
=+⋅=
⋅==
∫∫−∞→
ωωπ
ω
ωπ
ω
ωπ
ωπ
(2.31)
(2.32)
txtxtP 0222 sinˆ)()( ω⋅==
2
2
ˆ)(
xtx
πω2
0t
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S. 29FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Nachrichtentechnik 12 Testsignale
Dreieck-Doppelimpuls (energiebegrenzt):
≤≤−⋅
≤≤
−⋅
≤≤⋅
=∆∆
sonst0
für 4
ˆ
für 4
2ˆ
0für 4
ˆ
)(
43
43
4
4
TtT
Ttx
tT
tx
tT
tx
tx
T
TT
T
(2.33)
xtx
ˆ)(∆∆
Tt
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S. 30FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
Nachrichtentechnik 12 Testsignale
Energie
Dreieckförmiges Signal
TxtT
xtT
txttxETT
24
0
3
2
2324
0
2 ˆ31
3ˆ4d
4ˆ4d)( =
=
⋅== ∫∫∞
∞−∆∆∆∆ (2.34)
(2.35)
∑∞
−∞=∆∆ −=
nnTtxtx )()(D
xtx
ˆ)(D
Tt
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S. 31FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
xtx
ˆ)(2
D
Tt
Nachrichtentechnik 12 Testsignale
Momentane Leistung des dreieckförmigen Signals:
Mittlere Leistung des dreieckförmigen Signals:
(2.36)3ˆ1d)(
21lim
22
DxE
Tttx
TP
T
TT=== ∆∆
−∞→ ∫
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S. 32FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 12 Testsignale
Gaußimpuls (energiebegrenzt):
Energie:
Rechteckimpuls:
Energie
(2.37)
0
22
2GG 8
deded)(
2
0
2
0 TttttsE Tt
Tt
π==
== ∫∫∫∞
∞−
−∞
∞−
−∞
∞−
TttTtE
T
T∆==
∆
= ∫∫∆−
∆−
∞
∞−
2
2
22rect d1drect (2.38)
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S. 33FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 13 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
Kausalität
Ausgangssignal y(t0) hängt nur von Werten x(t) ab mit t ∈ {−∞ ... t0}
Ein System heißt kausal, wenn gilt:Aus x1(t) → y1(t) und x2(t) → y2(t) sowiex1(t) = x2(t) für t ≤ t0 folgt:y1(t) = y2(t) für t ≤ t0 (3.1)
y = f(x(t))x(t) y(t)
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S. 34FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
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Nachrichtentechnik 13 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
ZeitinvarianzGegeben: System mit Eingangssignal x(t) und Ausgangssignal y(t)
Ein System ist zeitinvariant, wenn gilt:Aus x(t) → y(t) folgt x(t−t0) → y(t−t0). (3.2)
x(t) x(t−t0) y(t) y(t−t0)
t0 t t0 t
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S. 35FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 13 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
StabilitätEin begrenztes Eingangssignal x(t) führt zu einem begrenzten Ausgangssignal y(t) (bounded input bounded output – BIBO)
Für jedes zulässige Eingangssignal x(t)
mit |x(t)| ≤ A < ∞ für alle t gilt
auch |y(t)| ≤ B < ∞ für alle t. (3.3)
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S. 36FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 13 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
Gedächtnislose und gedächtnisbehaftete (dynamische) Systeme
Gedächtnislose Systeme: Das Ausgangssignal y(t0) zum Zeitpunkt t0 hängt nur vom Eingangssignal x(t0) zum gleichen Zeitpunkt t0ab.
Gedächtnislose Systeme werden durch eine Kennlinie y = f (x) beschrieben.
Gedächtnisbehaftete Systeme: Das Ausgangssignal y(t0) zum Zeitpunkt t0 hängt vom Eingangssignal x(t0) zum gleichen Zeitpunkt t0 und der Vorgeschichte x(t < t0) ab.
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S. 37FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 13 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
FaltungsintegralNäherung eines Eingangssignals x(t) durch schmale rechteckförmige Impulse
(3.4)x(t)
t
∆T
∑∞
−∞=
∆∆−⋅∆≈
n TTntTnxtx rect)()(
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S. 38FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 13 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
Grenzübergang: ∆T → 0
⇒ n∆T → τ ∆T → dτ
Antwort des Systems auf einen einzelnen Recheck-Impuls:(3.5)
)(rect1 tTt
Tδ→
∆∆
Lineares zeitinvariantes
Systemδ(t) h(t)
δ(t−τ) h(t−τ)
∆∆ Tt
Trect1 h∆T(t)
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S. 39FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 13 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
Allgemeines Eingangssignals x(t):
Ausgangssignal y(t):
Grenzübergang: ∆T → 0
Faltungsintegral, h(t) = Impulsantwort
(3.6)∑∞
−∞=
∆∆−⋅∆≈
n TTntTnxtx rect)()(
∑∞
−∞=∆ ∆−⋅∆⋅∆≈
nT TnthTTnxty )()()(
)()(d)()()( thtxthxty ∗=−⋅= ∫∞
∞−τττ
(3.7)
(3.8)
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S. 40FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 13 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
Eigenschaften des Faltungsprodukts:
Kommutativgesetz
Beweis durch Substitution: τ = t − u ⇒ dτ = −du
(3.9)
)()()()()( txththtxty ∗=∗=
ττττττ d)()(d)()()( ∫∫∞
∞−
∞
∞−−⋅=−⋅= txhthxty
(3.10)
(3.11)uutxuhuuhutxty d)()()d()()()( ∫∫∞
∞−
∞−
∞−⋅=−⋅−=
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S. 41FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 13 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
Kommutativgesetz als Blockschaltbild
Assoziativgesetz
≡
(3.12)
h(t)x(t) y(t)
x(t)h(t) y(t)
)()()()]()([)()()]()([)( 212121 ththtxththtxththtxty ∗∗=∗∗=∗∗=
≡h1(t)x(t) y(t)
h1(t) ∗ h2(t)x(t) y(t)
h2(t)
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S. 42FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 13 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
Reihenfolge von linearen Teilsystemen kann vertauscht werden:
Linearität
(3.13))()]()([)()]()([)( 1221 ththtxththtxty ∗∗=∗∗=
≡h1(t)x(t) y(t)
h2(t) h2(t)x(t) y(t)
h1(t)
≡h1(t)x(t) y(t)
h1(t) + h2(t)x(t) y(t)
h2(t)
(3.14))]()([)()]()([)]()([)( 2121 ththtxthtxthtxty +∗=∗+∗=
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S. 43FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
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Nachrichtentechnik 13 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
Faltung mit δ-Funktion:
)(d)()()()()( txtxttxty =−⋅=∗= ∫∞
∞−ττδτδ (3.15)
)(d)()()()()( 000 ttxttxtttxty −=−−⋅=−∗= ∫∞
∞−ττδτδ (3.16)
Prof. Dr.-Ing. Andreas Czylwik Grundlagen der Nachrichtentechnik 1 WS 2003/2004
S. 44FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
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Nachrichtentechnik 13 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
Impulsantwort
Ein lineares zeitinvariantes System wird vollständig durch seineImpulsantwort beschrieben.
Bedingung an die Impulsantwort für Stabilität:
Mit |x(t)| ≤ A < ∞ muss auch gelten: |y(t)| ≤ B < ∞
(3.17)
h(t)x(t) y(t)
∞<≤⋅≤−⋅≤−⋅= ∫∫∫∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−BAhtxhtxhty ττττττττ d)(d)()(d)()()(
∞<≤⇒ ∫∞
∞−Ch ττ d)(
23
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S. 45FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 13 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
Bedingung an die Impulsantwort für Kausalität:
Ausgangssignal y(t0) hängt nur von Werten x(t) ab mit t ∈ {−∞ ... t0}
⇒ h(t) = 0 für t < 0 (3.18)
δ(t)
t
h(t)
ττττττ d)()(d)()()(0∫∫∞
∞−−⋅=−⋅= txhthxty
t(3.19)
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S. 46FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 13 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
Faltung zweier „kausaler“ Funktionen:
h1(t) = 0 für t < 0 und h2(t) = 0 für t < 0
Dimension der Impulsantwort:
(3.20)ττττττ d)()(d)()()()(0
120
2121 ∫∫ −⋅=−⋅=∗tt
thhthhthth
s11)]([Dim :häufig
][Dim1
)]([Dim)]([Dim)]([Dim
⋅=
⋅=
th
ttxtyth
24
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Nachrichtentechnik 13 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
Beispiel 1: RC-Glied
Lineare Differentialgleichung:
Impulsantwort: U1(t) = δ(t)
Kausalität: h(t) = 0 für t < 0
(3.23)
U1 U2CR IC
tUCId
d 2C ⋅=
RUUI 21
C−=
tURCUUd
d 221 ⋅=−
(3.22)
(3.21)
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Nachrichtentechnik 13 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
Zeitnullpunkt: U1 >> U2
Impulsantwort für t > 0 (Ein-Speicher-Netzwerk):
(3.26)
U1 U2CR IC
tURCUd
d 21 ⋅=
(3.25)
(3.24)
RCtt
RCttU
RCU 1d)(1d)(1)0(
00
12 ===+⇒ ∫∫+
∞−
+
∞−δ
RCt
RCtU
−⋅= e1)(2
25
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Nachrichtentechnik 13 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
Impulsantwort eines RC-Tiefpass-Filters
h(t)
t
RC1
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Nachrichtentechnik 13 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
Berechnung des Ausgangssignals für eine Sprungfunktion als Eingangssignal:
U1(t) = U0 ⋅ s(t)
Praktische Berechnung am besten mit Skizze, die die beiden Faktoren im Integranden zeigt
τττ d)()()()()( 112 ∫∞
∞−−⋅=∗= tUhthtUtU
(3.27)
(3.28)
26
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Nachrichtentechnik 13 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
Berechnung des Faltungsintegrals
t < 0 :
t ≥ 0 :
h(τ)
τ
RC1
τt > 0t < 0
U1(t−τ)U0
t
RC
tRC
RCRCU
URC
tU
0
0
002
e
de1)(
⋅−⋅=
⋅=
−
−∫
τ
ττ
0)(2 =tU (3.29)
(3.30)
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Nachrichtentechnik 13 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
t ≥ 0 :
]e1[e)( 00
2 RCt
RCt
URCRCRCUtU
−−−⋅=
+⋅−⋅=
t
U2(t)
U0
(3.31)
27
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t/∆T−1,5 −0,5
U1(t)U0
−U0
0,5 1,5
Nachrichtentechnik 13 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
Beispiel 2: Berechnung des Ausgangssignals auf zwei Recheckimpulse:
τττ d)()()()()( 112 ∫∞
∞−−⋅=∗= tUhthtUtU
∆∆−⋅−
∆
⋅=T
TtUTtUtU rectrect)( 001 (3.32)
(3.33)
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τt t + 1,5∆T
U1(t-τ)
Nachrichtentechnik 13 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
Berechnung des Faltungsintegrals
t < −1,5 ∆T :
−1,5 ∆T ≤ t < −0,5 ∆T :
h(τ)
τ
RC1
Tt
RC
TtRC
RCRCU
URC
tU
∆+−
∆+ −
⋅−⋅=
⋅= ∫5,1
0
0
5,1
002
e
de1)(
τ
ττ
0)(2 =tU (3.34)
(3.35)
28
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τt t + 1,5∆T
U1(t-τ)
Nachrichtentechnik 13 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
−1,5 ∆T ≤ t < −0,5 ∆T :
−0,5 ∆T ≤ t < 0,5 ∆T :
]e1[)(5,1
02 RCTt
UtU∆+−
−⋅=
]ee[e
de1)(
5,15,0
0
5,1
5.0
0
5,1
5,002
RCT
RCTTt
Tt
RC
Tt
Tt
RC
URCRCU
URC
tU
∆+−∆+−∆+
∆+
−
∆+
∆+
−
−⋅=
⋅−⋅=
⋅= ∫
τττ
ττ
(3.36)
(3.37)
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τt t + 1,5∆T
U1(t-τ)
Nachrichtentechnik 13 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
0,5 ∆T ≤ t < 1,5 ∆T :
]1eee[
ee
d)(e1de1)(
5,05,15,0
0
5,0
0
0
5,1
5.0
0
5,0
00
5,1
5,002
−+−⋅=
⋅−⋅−
⋅−⋅=
−⋅+⋅=
∆−−∆+−∆+−
∆−−
∆+
∆+
−
∆− −∆+
∆+
−∫∫
RCT
RCT
RCT
Tt
RC
Tt
Tt
RC
TtRC
Tt
Tt
RC
U
RCRCURC
RCU
URC
URC
tU
τττ
ττ
ττττ
(3.38)
29
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τt
U1(t-τ)
Nachrichtentechnik 13 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
t ≥ 1,5 ∆T :
]eeee[
ee
d)(e1de1)(
5,15,05,15,0
0
5,0
5,1
0
5,1
5.0
0
5,0
5,10
5,1
5,002
RCT
RCT
RCT
RCT
Tt
Tt
RC
Tt
Tt
RC
Tt
Tt
RCTt
Tt
RC
U
RCRCURC
RCU
URC
URC
tU
∆−−∆−−∆+−∆+−
∆−
∆−
−∆+
∆+
−
∆−
∆−
−∆+
∆+
−
−+−⋅=
⋅−⋅−
⋅−⋅=
−⋅+⋅= ∫∫
ττττ
ττ
ττττ
(3.39)
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Nachrichtentechnik 13 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
t/∆T−1,5 −0,5
U1(t)U0
−U0
0,5 1,5
t/∆T−1,5 −0,5
U2(t)U0
−U0
0,5 1,5
t/∆T−1,5 −0,5
U2(t)U0
−U0
0,5 1,5
t/∆T−1,5 −0,5
10 U2(t)U0
−U0
0,5 1,5
RC = 0,1 ∆T
RC = 10 ∆TRC = ∆T
30
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S. 59FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 13 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
Integrator
Keine BIBO-Stabilität: x(t) = k ⇒ y(t) → ∞
Differenzierer
Keine BIBO-Stabilität: x(t) = s(t) ⇒ y(t) → δ(t)
)(s)(d)()( ttxxtyt
∗== ∫∞−
ττ
)(s)(I tth =
)()(d
)(d)( ttxttxty δ′∗==
)()(D tth δ′=
(3.40)
(3.41)
(3.42)
(3.43)
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S. 60FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 13 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
Sprungantwort
(3.44)
h(t)s(t) a(t)
s(t)δ(t) s(t)
h(t)a(t)
h(t)δ(t) h(t)
s(t)a(t)
)(s)(d)()( tthhtat
∗==⇒ ∫∞−
ττ
31
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S. 61FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 13 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
Beschreibung des Übertragungsverhaltens durch die Sprungantwort
Annahme: x(t) besitzt einen verschwindenden Anfangswert x(−∞) = 0
Zusammenhang ohne Einschränkung an x(t):
(3.45)
h(t)x(t) y(t)
δ′ (t)x(t) x′ (t)
s(t)
)()()()(d)()()()()( txtaaxtxaaxtyt
′∗+∞⋅−∞=−′⋅+∞⋅−∞= ∫∞−
τττ
x(t)h(t)
y(t)
a(t)
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S. 62FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
Ableitung: ÜbertragungsfunktionExponentialfunktionen sind Eigenfunktionen linearer zeitinvarianter Systeme (LTI − linear time-invariant systems)
Eingangssignal:
Ausgangssignal:
(4.1)
)(ede)(e
de)(d)()()(
jjj
)(j
ωττ
τττττ
ωωτω
τω
Hh
htxhty
tt
t
⋅=⋅⋅=
⋅=−⋅=
−∞
∞−
−∞
∞−
∞
∞−
∫
∫∫
)()()()( EigenEigen txHthtxty ⋅=∗=
ttx ωje)( =
(4.3)
(4.2)
32
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S. 63FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
Übertragungsfunktion:
Eingangssignal:
Ausgangssignal:
(4.5)
ττω ωτ de)()( j−∞
∞−⋅= ∫hH
(4.6)
(4.4)
( )ttttx ωωω jj21 eecos)( −+==
( )( )
{ } )))((cos()(e)(Re
e)(e)(
e)(e)()(
j
jj21
jj21
ωϕωωω
ωω
ωω
ω
ωω
ωω
HtHH
HH
HHty
t
tt
tt
+⋅=⋅=
⋅+⋅=
⋅−+⋅=∗
−
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S. 64FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
Anwendung von (4.4) auf beliebige Signale/Funktionen ⇒ Fourier-Transformation
FF(ω) = Fourier-Transformierte = Fourier-Spektrum
FF(ω) ist eine komplexwertige Funktion
Fourier-Rücktransformation:
)(de)()( jF tfttfF tωω −
∞
∞−⋅= ∫ (4.7)
)(de)(21)( F
jF ωωω
πω FFtf t+
∞
∞−⋅= ∫ (4.8)
33
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S. 65FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
Beispiel: Transformation der Rechteck-Funktion:
(4.10)
( ) ( ))2/(si)2/sin(21
eej1ee
j1
ej1de1)(
2/j2/j2/j2/j
2/
2/
j2/
2/
jF
TTT
tF
TTTT
T
T
tT
T
t
∆⋅∆=∆=
−=−−=
⋅−=⋅=
∆−∆∆∆−
∆
∆−
−∆
∆−
−∫
ωωω
ωω
ωω
ωωωω
ωω
(4.9)
∆
=Tttf rect)(
xxx )(sin)(simit = (4.11)
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S. 66FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
Beispiel: Transformation der Rechteck-Funktion:
KonvergenzDie Fourier-Transformation konvergiert nicht für konstante Funktionen oder für x → −∞ oder x → ∞ ansteigende Funktionen
1rect(t/∆T) ∆T si(ω∆T/2)
−∆T/2 ∆T/2 tω
2π /∆T
∆T
34
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S. 67FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
Beispiel: Transformation einer konstanten Funktion:
x1(t) = 1
⇒ Integral konvergiert nicht!
Hilfsfunktion: mit α > 0
Grenzwert:
(4.13)
(4.12)∞
∞−
−−∞
∞−
−=⋅= ∫ tt tX ωωω
ω jj1 e
j1de1)(
)(lim1)(0
1 txtx αα →
==
(4.14)ttx αα
−= e)(
(4.15)
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S. 68FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
Transformation der Hilfsfunktion:
⇒ Glockenkurve mit Maximum bei ω = 0!
(4.16)22
0
)j(0
)j(
0
j0
jj
2j
1j
1
ej
1ej
1
deedeede)()(
ωαα
ωαωα
ωαωα
ω
ωαωα
ωαωαωαα
+=
++
−=
−−
+
−
=
⋅+⋅=⋅=
∞−−
∞−
−
∞−−
∞−
−−∞
∞−∫∫∫
tt
ttttt ttttxX
35
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S. 69FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
-3 -2 -1 0 1 2 3
Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
Hilfsfunktion in Zeit- und Frequenzbereich:
0.5
1.0
1.5
-3 -2 -1 0 1 2 3 ω/α
2/α
)(ωαX
1/α
α⋅t
)(txα
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S. 70FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
Grenzübergang der Hilfsfunktion für α → 0:
⇒ Eigenschaften einer δ -Funktion!
⇒ 1 2π δ(ω)
(4.17)
(4.18)
=∞→=+
≠=+=
→→
→→ 0für2lim2lim
0für02lim)(lim
0220
2200 ω
αωαα
ωωα
α
ω
αα
αα
αX
πππαω
ααω
ωααωωα 2
222arctg12d2d)( 22 =
+=
=
+=
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−∫∫ X
(4.19)
36
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S. 71FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
Beispiel: Transformation der Sprungfunktion:
x2(t) = s(t)
⇒ Integral konvergiert nicht!
Hilfsfunktion: mit α > 0
Grenzwert: (4.23)
(4.20)∞
−−∞
−=⋅= ∫0
jj
02 e
j1de1)( tt tX ωωω
ω
)(lim)(s)(0
2 txttx αα →
==
(4.21)
tttx αα
−⋅= e)(s)( (4.22)
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S. 72FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
Transformation der Hilfsfunktion:
Unsymmetrie der Zeitfunktion
⇒ zwei Beiträge: Real- und Imaginärteil
(4.24)222222
0
)j(
0
jj
jjj
1
ej
1
deede)()(
ωαω
ωαα
ωαωα
ωα
ωα
ω
ωα
ωαωαα
+−
+=
+−=
+=
−−
=
⋅=⋅=
∞−−
∞−−−
∞
∞−∫∫
t
ttt tttxX
37
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S. 73FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
-3 -2 -1 1 2 3 ω/α
1/α{ })(Im ωαX
1/2α
−1/2α
−1/α
Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
0.5
1.0
1.5
-3 -2 -1 0 1 2 3 α⋅t
)(txα
-3 -2 -1 0 1 2 3ω/α
1/α
{ })(Re ωαX
1/2α
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S. 74FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
Grenzübergang der Hilfsfunktion für α → 0:
(4.25)
(4.26)
ωωδπωα
α j1)()(lim
0+=
→X
ωωδπ
j1)()(s +t
38
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S. 75FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
Eigenschaften
Gegeben: f(t) F(ω) , f1/2(t) F1/2(ω)
Linearität:
c1 ⋅ f1(t) + c2 ⋅ f2(t) c1 ⋅ F1(ω) + c2 ⋅ F2(ω)
Beweis:
)()(de)(de)(
de)(de)(de)]()([
2211j
22j
11
j22
j11
j2211
ωωωω
ωωω
FcFcttfcttfc
ttfcttfcttfctfc
tt
ttt
+=⋅+⋅=
⋅+⋅=⋅+
−∞
∞−
−∞
∞−
−∞
∞−
−∞
∞−
−∞
∞−
∫∫
∫∫∫
(4.27)
(4.28)
(4.29)
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S. 76FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
Negative Zeitachse:
f(−t) F(−ω)
Beweis:
Konjugiert komplexe Werte:
f*(t) F*(−ω)
Beweis:
(4.30)
(4.31)
(4.32)
)(de)()d(e)(de)( )(jjj ωωωω −=⋅=−⋅=⋅− −−∞
∞−
+∞−
∞
−∞
∞−∫∫∫ Fuufuufttf uut
ttfF t de)()( )(j ωω −+∞
∞−
∗∗ ⋅=− ∫ (4.33)
39
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S. 77FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
Gerade und ungerade Anteile des Real- und Imaginärteils
f(t) = fRg(t) + fRu(t) + j fIg(t) + j fiu(t)
F(ω) = FRg(ω) + FRu(ω) + j FIg(ω) + j Fiu(ω)
Beweis: reelle Funktion
(4.34)
(4.35)
(4.36)tttfttttfttf t d)cos()(d)]sin(j)[cos()(de)( RgRg
jRg ωωωω ⋅=−⋅=⋅ ∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
−∞
∞−
(4.37)tttfttttfttf t d)sin()(jd)]sin(j)[cos()(de)( RuRu
jRu ωωωω ⋅−=−⋅=⋅ ∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
−∞
∞−
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S. 78FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
Folgerung für reelle Funktionen f(t)
F*(ω) = F(−ω)
positive Funktionen: f(t) ≥ 0
⇒ |F(ω)| ≤ F(0)
Beweis:
(4.38)
(4.39)ttfttfttfF ttt de)(de)(de)()( 0jjj ∫∫∫∞
∞−
−∞
∞−
−−∞
∞−⋅=≤⋅= ωωω
40
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S. 79FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
Symmetrieeigenschaft:
F(t) 2π f(−ω)
Beweis:
Substitution ω → t , t → −ω :
(4.40)
(4.41)
(4.42)
ttfF t de)()( jωω −∞
∞−⋅= ∫
ωωππ
ωω ωω de)(221)d(e)()( jj tt fftF ⋅−=−⋅−= ∫∫
∞
∞−
∞−
∞
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S. 80FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
41
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S. 81FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
Maßstabsänderung (Ähnlichkeitssatz) (a ist reell):
Beweis von (4.43) mit a > 0:
Substitution: aω = u
(4.43)
(4.44)
(4.45)ωωπ
ω de)(21)( j atFatf +
∞
∞−⋅= ∫
aF
aatf ω1)(
atf
aaF 1)( ω
uaa
uFatf ut d1e21)( j+
∞
∞−⋅
= ∫π
(4.46)
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S. 82FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
Beweis von (4.43) mit a = −b < 0:
Substitution: −bω = u
(4.47)
(4.48)
ωωπ
ω de)(21)()( j btFbtfatf −
∞
∞−⋅=−= ∫
uaa
uFubb
uF
ubb
uFbtfatf
utut
ut
d1e21d1e
21
d1e21)()(
jj
j
−⋅
=⋅
−
=
−⋅
−
=−=
+∞
∞−
+∞
∞−
+∞−
∞
∫∫
∫
ππ
π
42
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S. 83FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
)(e)( 0j0 tfF tωωω −
Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
Zeitverschiebung:
Beweis:
Frequenzverschiebung:
Beweis:
(4.49)
(4.50)
(4.51)
ωωπ
ωωπ
ωωω dee)(21de)(
21)( jj)(j
0 00 tttt FFttf +−∞
∞−
−+∞
∞−⋅⋅=⋅=− ∫∫
)(e)( 0j0 ωω Fttf t−−
ttfttfF ttt dee)(de)()( jj)(j0 00 ωωωωωω −+
∞
∞−
−−∞
∞−⋅⋅=⋅=− ∫∫ (4.52)
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S. 84FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
Differentiation im Zeitbereich:
Beweis:
)()j()(dd ωω Ftft
nn
n⋅
Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
(4.53)
(4.54)ωωωπ
ωωπ
ωωπ
ω
ωω
de)j()(21
dedd)(
21de)(
21
dd)(
dd
j
jj
tn
tn
nt
n
n
n
n
F
tFF
ttf
t
+∞
∞−
+∞
∞−
+∞
∞−
⋅=
⋅=⋅=
∫
∫∫
43
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S. 85FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Differentiation im Frequenzbereich:
Beweis:
)()j()(dd tftF n
n
n⋅−ω
ω
Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
(4.55)
(4.56)tttf
ttfttfF
tn
tn
nt
n
n
n
n
de)j()(
dedd)(de)(
dd)(
dd
j
jj
ω
ωωωω
ωω
−∞
∞−
−∞
∞−
−∞
∞−
−⋅=
⋅=⋅=
∫
∫∫
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S. 86FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
Faltung von Zeitfunktionen:
Beweis:
)()(d)()()()( 212121 ωω FFuutfuftftf ⋅−⋅=∗ ∫∞
∞−
Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
(4.57)
(4.58)
)()(de)()(
ded)()()()(
21j
21
j2121
ωωω ω
ω
FFuFuf
tuutfuftftf
u
t
⋅=⋅=
⋅−⋅∗
∫
∫ ∫∞
∞−
−
∞
∞−
−∞
∞−
h(t)H(ω)
x(t) y(t) = x(t) * h(t)
X(ω) Y(ω) = X(ω) ⋅ H(ω)
44
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S. 87FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
Multiplikation von Zeitfunktionen:
Beweis:
∫∞
∞−−⋅=∗⋅ uuFuFFFtftf d)()()()()()( 21π2
121π2
121 ωωω
Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
(4.59)
(4.60))()(de)()(
21
ded)()(21
21)()(
21
21j
21
j2121
tftfutfuF
uuFuFFF
ut
t
⋅=⋅=
⋅−⋅⋅∗
∫
∫ ∫∞
∞−
+
∞
∞−
+∞
∞−
π
ωωππ
ωωπ
ω
)()()()( 21π21
21 ωω FFtftf ∗⋅
)()( 11 ωFtf
)()( 22 ωFtf
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S. 88FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
Integration im Zeitbereich:
Beweis:
Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
(4.61)
(4.62)
)(δ)0(πj
)(d)( ωωω FFuuf
t+∫
∞−
)(s)(d)(s)(d)( ttfuutufuuft
∗=−⋅= ∫∫∞
∞−∞−
)(δ)0(πj
)()(δπj1)( ω
ωωω
ωω FFF +=
+⋅ (4.63)
45
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S. 89FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
Parsevalsches Theorem für reelle Zeitsignale f(t) (Energiesatz)
Beweis: Multiplikation im Zeitbereich
ω = 0:
Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
(4.64)
(4.65)
∫∫∞
∞−
∞
∞−= ωω
πd)(
21d)( 22 Fttf
(4.66)
∫∫∞
∞−
∞
∞−
− −⋅=∗=⋅⋅ uuFuFFFttftf t d)()()()(de)()( 21π21
21π21j
21 ωωωω
∫∫∫∞
∞−
∗∞
∞−
∞
∞−⋅=−⋅=⋅ uuFuFuuFuFttftf d)()(d)()(d)()( 21π2
121π2
121
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S. 90FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
Wichtige Korrespondenzen
1)(δ t (4.67)
(4.68))(δ2π1 ω
)(δ2πe 0j 0 ωωω −t
)(δjπ)(δjπ)(sin 000 ωωωωω −−+t
)(δπ)(δπ)(cos 000 ωωωωω −++t
(4.69)
(4.70)
(4.71)
)(δπj1)(s ωω
+t
ωj2)(s21)(sgn tt +−=
(4.72)
(4.73)
46
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S. 91FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
[ ]
=−−+
0000
00 2
rectπ)(s)(sπ)(siωω
ωωωωω
ωω t
220
000j)(δ
2π)(δ
2π)(cos)(s
ωωωωωωωω−
+−++⋅ tt
220
0000 )(δ
2πj)(δ
2πj)(sin)(s
ωωωωωωωω−
+−−+⋅ tt
)(si2)(s)(s2
rect TTTtTtTt ω−−+=
(4.74)
(4.75)
(4.76)(4.77)
)(δjπ1)(s 2 ωω
′+−⋅ tt
(4.78)
(4.79))])((si))((si[)cos()](s)(s[ 000 TTTtTtTt ωωωωω −++⋅−−+
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S. 92FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
aa
ta 4π
22
eeω−−
ωa
taa −
+eπ22
222je)(sgn
ωω+
−⋅ −
at ta
222e
ω+−
aata
(4.80)
(4.81)
(4.82)
(4.83)
(4.84)
(4.85)
ωj1e)(s
+⋅ −
at ta
)sgn(jπ1 ω−t
47
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S. 93FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
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Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
>−
−
<−⋅
aa
aatat
ωω
ωω
fürj
für1
)(J)(s
22
220
<−
sonst 0
für2
)(J22
0
aata
ωω
(4.86)
(4.87)
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S. 94FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
Beispiele:Transformation der Dreieckfunktion
∆∗
∆∆=
∆∆
Tt
Tt
TTt rectrect1
∆∆=
∆∆⋅
∆∆⋅
∆ 2si
2si
2si1 2 TTTTTT
Tωωω
(4.89)
(4.88)
48
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S. 95FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
Transformation der Dreieckfunktion
∆∆
∆∆
2si2 TT
Tt ω
(4.90)
0.5
1.0
-3 -2 -1 0 1 2 3
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 t/∆T
∆(t/∆T)
ω∆T/2π
si2(ω∆T/2)
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S. 96FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
Beispiel zum Parsevalschen Theorem:
Berechnung im Zeitbereich:
Berechnung im Frequenzbereich:
ωω
j1)(e)(s)( 1 +
=⋅=−
T
Tt
Fttf (4.91)
(4.92)
(4.93)
2e
2ded)(
0
2
0
22 TTtttf T
tTt
=
−==
∞−∞ −∞
∞−∫∫
[ ]
2222
)(arctg21d1
21d)(
21
212
2
TT
TTF
T
=
+=
⋅=+
= ∞∞−
∞
∞−
∞
∞−∫∫
πππ
ωπ
ωωπ
ωωπ
49
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S. 97FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
Transformation einer periodischen Zeitfunktion: fP(t) = fP(t+T)
Darstellung als Fourier-Reihe:
mit den Koeffizienten:
und
Fourier-Transformierte:
∑∞
−∞=⋅=
n
tnnAtf 0j
P e)( ω (4.94)
∫+
−⋅=Tt
t
tnn ttf
TA
0
0
0 de)(1 jP
ω
Tπω 2
0 =
∑∞
−∞=−⋅⋅=
nn nAF )(2)( 0P ωωδπω
(4.95)
(4.96)
(4.97)
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S. 98FachgebietNachrichtentechnische Systeme
N T SUNIVERSITÄT
D U I S B U R GE S S E N
∑∑∞
−∞=
∞
−∞=−⋅=−⋅⋅=
nnn n
TnADtd )(2)(2)()( 00AA ωωδπωωδπω
Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
Beispiel: Transformation einer periodischen δ-Impulsfolge:
∑∞
−∞=−=
nnTttd )()(A δ (4.98)
Ttt
Tttd
TA
T
T
tnT
T
tnn
1de)(1de)(1 2/
2/
j2/
2/
jA 00 =⋅=⋅= ∫∫
−
−
−
− ωω δ (4.99)
(4.100)
50
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S. 99FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
Periodische δ-Impulsfolge
∑∑∞
−∞=
∞
−∞=−−
nnnnTt )()( 00 ωωδωδ
1
−3 −2 −1 1 2 3 t/T −3 −2 −1 1 2 3 ω/ω0
ω0
DΑ(ω)dΑ(t)
(4.101)
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S. 100FachgebietNachrichtentechnische Systeme
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D U I S B U R GE S S E N
Nachrichtentechnik 14 Fourier-Transformation
Ideales TiefpassfilterÜbertragungsfunktion:
Impulsantwort:
Anregung mit einer Sprungfunktion:
Mit der Integralsinusfunktion Si(x):
≤
=sonst0für 1
)( gTP
ωωωH
)(si2)(si)( gggg
TP tftth ωωπω
⋅=⋅=
)(Si121d)(si2d)()(s)()( gggTPTPTP ttfhtthta
t tω
πτωττ +=⋅==∗= ∫ ∫
∞− ∞−
∫=x
uux0
d)(si)(Si
(4.102)
(4.103)
(4.104)
(4.105)
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