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GUÍA DE MATLAB – SISTEMA DE ECUACIONES Y ÁLGEBRA DE MATRICES - 2019 | Margarita Patiño Jaramillo
INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO
Por: Margarita Patiño Jaramillo
GUÍA DE MATLAB – SISTEMA DE ECUACIONES Y ÁLGEBRA DE
MATRICES - 2019
1
GUÍA DE MATLAB – SISTEMA DE ECUACIONES Y ÁLGEBRA DE MATRICES - 2019 | Margarita Patiño Jaramillo
1 GUÍA DE MATLAB
1.1 PRESENTACIÓN
Esta guía está dirigida a los estudiantes de los cursos de álgebra lineal en el ITM,
en el que se desarrollan los temas de operaciones con matrices: solución de
sistemas de ecuaciones lineales, suma, multiplicación por un escalar, multiplicación
entre matrices, cálculo del determinante de una matriz, e inversa de una matriz, así
mismo, se incluye el tema de factorización LU
QUÉ ES MATLAB
Antes de iniciarla solución de ecuaciones lineales con MATLAB veamos qué
es el MATLAB.
MATLAB es el nombre abreviado de “MATrix LABoratory”. MATLAB es un
programa para realizar cálculos numéricos con vectores y matrices. Como caso
particular puede también trabajar con números escalares −tanto reales como
complejos−, con cadenas de caracteres y con otras estructuras de información más
complejas. Una de las capacidades más atractivas es la de realizar una amplia
variedad de gráficos
Una de las librerías de MATLAB es La MATLAB C Math Library proporciona
una amplia gama de funciones clásicas del programa MATLAB, proporcionadas
como librería as objeto, incluyendo básicamente las siguientes categorías de
funciones presentes en MATLAB y ficheros M compilados, algunos de ellos son:
Álgebra lineal.
Funciones matemáticas elementales y especializadas.
Operadores lógicos y aritméticos.
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Matrices elementales y manipulación de vectores.
Los algoritmos utilizados en la MATLAB C Math Library han sido
desarrollados por un grupo de renombrados expertos en programación algorítmica
de funciones de tipo matemático (álgebra lineal y cálculo numérico). Las funciones
de álgebra lineal han sido obtenidas de las librerias mundialmente reconocidas
LINPACK y EISPACK. La MATLAB C Math Library contiene más de 300 funciones
numéricas, lógicas y de utilidad. Todas estas funciones le permitirán operar en datos
de tipo escalar, vectorial o matricial con la misma facilidad sintáctica (Casado
Fernández, s.f).
La lista defunciones a utilizar más usuales en álgebra lineal son:
Álgebra lineal exacta: Inversas, determinantes, auto valores y formas
canónicas de matrices simbólicas.
Funciones generales de evaluación de matrices.
Funciones generales de evaluación de matrices.
Matrices inversas y factorización de matrices.
Álgebra lineal exacta: Inversas, Matriz traspuesta
Valores propios y descomposición de matrices.
Determinantes, normas, rangos, etc.
Matriz exponencial, logarítmica y raíces cuadradas.
1.2 ¿CÓMO USAR LOS COMANDOS?
1.2.1 INICIO DE MATLAB
Después de ejecutar el programa MatLab desde el sistema operativo
empleado, por ejemplo, haciendo doble click sobre el icono de MatLab en ambientes
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Windows, aparece el indicador de comandos el cual está listo para recibir
instrucciones en lenguaje Matlab. Este indicador es de la siguiente forma:
Figura 2. Pantalla inicial de MatLab
Al iniciar el uso de MatLab están disponibles dos comandos de ayuda y
demostración. Para ejecutarlos se escribe el comando en la línea de comandos
después del símbolo >> y se presiona la tecla Enter. Por ejemplo:
>>help
Permite obtener una ayuda sobre los diferentes comandos de MatLab.
>>demo
Hace una demostración de las diferentes aplicaciones de MatLab.
Para cerrar o finalizar el uso de MatLab se usa el comando quit.
>>quit
Para borrar lo que hay en la pantalla del MatLab, digite clc:
>>clc
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Nota: Tenga en cuenta que Matlab diferencia entre letras mayúsculas y
minúsculas.
Para tener en cuenta:
La primera forma de interactuar con MatLab es a través de la línea de comandos.
Puede ejecutarse un comando si este está escrito después del símbolo >> y se
presiona la tecla Enter.
MATLAB trabaja esencialmente con matrices numéricas rectangulares. La manera
más fácil de entrar matrices pequeñas es enumerando los elementos de ésta de tal
manera que:
los elementos estén separados por espacios en blanco o por coma (,).
Los elementos estén cerrados entre corchetes, [ ].
Muestre el final de cada fila con: (punto y coma).
Por ejemplo, se va a trabajar con el sistema de ecuaciones dedos variables del
ejemplo que anteriormente se ha resuelto algebraicamente.
2x - 3y = 2 (1)
3x - 2y = 8 (2)
Se entran las dos ecuaciones después del símbolo, >>, que aparece en la plantilla
de Matlab:
>> A = [2,-3;3,-2]; enter ( sin espacios)
>> B = [2;8]; enter
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El punto y coma (;) que se coloca al final de cada corchete es con el objetivo de
que el programa almacene la matriz pero no la muestre en la pantalla (Arboleda
Quintero, Dairon; Álvarez Jiménez, Rafael, 2006)
La solución que se obtiene es:
X = A\B enter
4.0000
2.0000
Significa que X = 4 e Y = 2
En MatLab se entran las dos ecuaciones después del símbolo, >>, que aparece en
la plantilla de Matlab:
Los elementos dentro de un renglón de la matriz pueden ser separados por comas
como también por espacios en blanco.
* Los elementos de una matriz son definidos dentro de los corchetes;
* Una matriz es definida en el orden de los renglones [ie todos los del primer
renglón, entonces todos los del segundo renglón, etc];
* Los renglones son separados por punto y coma [o por una nueva línea],y los
elementos del renglón pueden estar separados ya sea por una coma o por un
espacio. [Precaución: ¡Cuidado con los espacios extras!]
Así se observa en la pantalla de MatLab:
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Figura 3. Entrando un sistema de dos ecuaciones lineales al área de trabajo de MatLab
1.3 PARA UN SISTEMA DE LINEAL DE TRES ECUACIONES, PROCESDA
DE LA SIGUIENTE FORMA:
Para dar solución a un sistema de tres ecuaciones lineales se procede de igual
manera que para el sistema con dos ecuaciones.
El sistema de ecuaciones a resolver es el mismo de la página 9:
X – 2Y + 3Z = 4
2X + Y - 4Z = 3
- 3X + 4Y - Z = - 2
Observe que cada ecuación se separa con punto y coma y luego los valores
después de la igualdad forman otro vector al que se le debe dar un nombre y
deben estar separados con punto y coma.
Solución para X, Y, Z usando Matlab:
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Solución: x = 4, y = 3, z = 2
1.4 OPERACIONES CON MATRICES
Las siguientes operaciones con matrices están disponibles en MATLAB: Operador Descripción Operador Descripción
=============================================
+ adición ' traspuesta - substracción \ división izquierda * multiplicación / división derecha ^ potencia =============================================
Estas operaciones se aplican, por supuesto, para escalares (matrices de 1-por-1)
Si los tamaños de las matrices no son compatibles para las operaciones de
matrices, un mensaje de error será el resultado, con la excepción en el caso de
operaciones con matrices escalares (para adición, substracción, y división como
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también para la multiplicación) en cada caso cada entrada es operado como un
escalar.
1.4.1 MATRIZ TRASPUESTA O TRANSPUESTA
La traspuesta de una matriz es el resultado de intercambiar los renglones y las
columnas. MATLAB denota la transpuesta con un apóstrofe. Por ejemplo: A’
Sea la Matriz: T
2 1 4 2 1 4
A = 1 0 3 su traspuesta es : A = 1 0 1
4 1 2 4 3 2
Veamos cómo serán los comandos en MatLab:
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1.4.2 ADICIÓN y SUSTRACCIÓN DE MATRICES
Sea "A" una matriz que tiene m renglones y n columnas, y "B" una matriz que tiene
p renglones y q columnas. La matriz suma "A + B" está definida solamente cuando
m es igual a p y n = q, es decir, que ambas matrices tienen igual número de filas y
columnas. El resultado es una matriz de igual dimensión que las matrices que
intervienen en la operación de suma o resta.
Sumar la matriz A con la matriz B: A + B
2 1 0 2 1 5
Sean lasmatrices :A = 3 1 4 , B= 2 0 3
2 6 5 4 3 1
2+2 1+1 0+5 4 2 5
A + B= 3+2 1+0 4+3 = 5 1 7
2+4 6+3 5+1 6 9 6
2-2 1-1 0-5 0 0 -5
A - B= 3-2 1-0 4-3 = 1 1 1
2-4 6-3 5-1 -2 3 4
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ADICIÓN Y SUBTRACCIÓN EN MATLAB
1.4.3 PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN NÚMERO REAL (UN ESCALAR)
Es una operación de las llamadas externas, pues combina elementos de naturaleza
distinta, es decir, números reales (escalares) y matrices.
Si t y A = ija es decir A es una matriz, definimos ijt A t a .
Así,
a b c
td e f
=
ta tb tc
td te tf
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Las propiedades más interesantes de este producto son
t × A +B = t × A + t ×B Distributiva
t × h× A = th × A
t +h × A = t × A +h× A
EJEMPLO1: 3 :Sit ysedefinelamatrizAcomo
A =
1 4 2 5
2 3 7 4,t * A,secalculacomosigue :
5 2 4 2
3 0 3 5
3x1 3x4 3x2 3x5 3 12 6 15
3x2 3x3 3x7 3x4 6 9 21 12t * A = =
3x5 3x2 3x4 3x2 15 6 12 6
3x3 3x0 3x3 3x5 9 0 9 15
EJEMPLO2: Multiplicar la matriz 2 3
B =4 5
por 3:
2 3 6 93 =
4 5 12 15
Realizando el producto anterior, usando Matlab:
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PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN NÚMERO REAL
1.4.4 PRODUCTO DE MATRICES
El producto de la matriz A =(aij) por B= (bij) de dimensiones m x n y n x p
respectivamente es otra matriz P de dimensión m x p tal que cada elemento pij se
obtiene multiplicando escalarmente la fila i de la primera matriz por la columna j de
la segunda matriz.
Para poder multiplicar dos matrices es necesario que el número de columnas de la
primera sea igual que el número de filas de la segunda.
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Si,i j m x n
A = a = y
i j n x p
B = b
11 12 13 1p
21 22 23 2p
31 32 33 3p
n1 n2 n3 np
b b b ..... b
b b b ..... b
b b b ..... b=
' ' ' ..... '
' ' ' ..... '
b b b ..... b
, Entonces la matriz
i j m xpC = A × B = c =
11 12 13 1p
21 22 23 2p
31 32 33 3p
m1 m2 m3 mp
c c c ..... c
c c c ..... c
c c c ..... c
' ' ' ..... '
' ' ' ..... '
c c c ..... c
,
por lo que los términos de A B que corresponden a los de la matriz c, se describen
a continuación, mediante la multiplicación de los términos de a11b11, y así
sucesivamente con cata uno de los términos de las matrices A y B:
11 12 13 1n
21 22 23 2n
31 32 33 3n
m1 m2 m3 mn
a a a ..... a
a a a ..... a
a a a ..... a
' ' ' ..... '
' ' ' ..... '
a a a ..... a
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11 11 11 12 21 13 31 1n n1
12 11 12 12 22 13 32 1n n2
13 11 13 12 23 13 33 1n n3
1p 11 1p 12 2p 13 3p 1n np
21 21 11 22 21 23 31 2n n1
22 21 12
c a b a b a b ..... a b
c a b a b a b ..... a b
c a b a b a b ..... a b
...c a b a b a b ..... a b
c a b a b a b ..... a b
c a b a
22 22 23 32 2n n2
23 21 13 22 23 23 33 2n n3
2p 21 1p 22 2p 23 3p 2n np
31 31 11 32 21 33 31 3n n1
3 2 31 12 32 22 33 32 3n n2
33 31 13 32 23 33 33
b a b .... a b
c a b a b a b ..... a b
...c a b a b a b ..... a b
c a b a b a b ..... a b
c a b a b a b ..... a b
c a b a b a b 3n n3..... a b
EJEMPLO1; multiplicar la matriz A =
a b c
d e f por la matriz B =
g h i
j k l
m n o
:
a b c
d e f x
g h i
j k l
m n o
=
ag+bj+cm ah+bk +cm ai+bl+co
dg+ej+ fm dh+ek + fn di+el+ fo
EJEMPLO1: Multiplicar la matriz A por la matriz B
4. Si A = 2x2
2 1
0 -2
y B = 2x3
1 - 2 3
0 4 -5 la matriz producto A B es
A B =
2×1+1×0 2× -2 +1×4 2×3+1× -5
0×1+ -2 ×0 0× -2 +-2×4 0×3+ -2 × -5 =
=
2+0 - 4+ 4 6 -5
0+0 0 -8 0+10 =
2 0 1
0 -8 10
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EJEMPLO2: Observe el siguiente producto:
2 3 6 33x =
4 5 7 59
, se ha obtenido del siguiente modo:
(2x6) + (3x7) = 33 y por otro lado (4x6)+ (5x7) = 59.
2 3 0 1 3 14x =
5 0 1 4 0 5
1 32 3 4
A ; B 4 51 0 2
6 7
1 32 3 4 38 49
A B 4 51 0 2 13 17
6 7
EJEMPLO1; multiplicar la matriz A =
a b c
d e f por la matriz B =
g h i
j k l
m n o
:
a b c
d e f x
g h i
j k l
m n o
=
ag+bj+cm ah+bk +cm ai+bl+co
dg+ej+ fm dh+ek + fn di+el+ fo
EJEMPLO2: Multiplicar la matriz A por la matriz B
4. Si A = 2x2
2 1
0 -2
y B = 2x3
1 - 2 3
0 4 -5 la matriz producto A B es
A B =
2×1+1×0 2× -2 +1×4 2×3+1× -5
0×1+ -2 ×0 0× -2 +-2×4 0×3+ -2 × -5 =
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=
2+0 - 4+ 4 6 -5
0+0 0 -8 0+10 =
2 0 1
0 -8 10
EJEMPLO3: Observe el siguiente producto:
2 3 6 33x =
4 5 7 59
, se ha obtenido del siguiente modo:
(2x6) + (3x7) = 33 y por otro lado (4 x 6) + (5 x 7) = 59.
2 3 0 1 3 14x =
5 0 1 4 0 5
1 32 3 4
A ; B 4 51 0 2
6 7
1 32 3 4 38 49
A B 4 51 0 2 13 17
6 7
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REALIZANDO LA MULTIPLICACIÓN DE MATRICES A B, USANDO MATLAB
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1.4.6 INVERSA DE UNA MATRIZ
Si A es una matriz cuadrada de orden n. Si existe una matriz B tal que
AB = In = BA, es decir, A . A-1 = I
entonces B se llama inversa de A y se denota con 1A . (Se lee “A inversa”)
Si A es una matriz cuadrada tiene una inversa y decimos que A es invertible. Si
A no es una matriz cuadrada no es posible invertirla.
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Calcular la inversa de la matriz A con MatLab:
-1
3 4 1-26 13 392 4 22 1 1
A = 4 1 1 , su A = -13 13 13
0 6 -34 2 7
- -13 13 39
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1.4.7 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
El determinante de una matriz es un escalar (un número real), obtenido a partir de
los elementos de una matriz por operaciones especificadas, y que es característico
de la matriz. Los determinantes están definidos solamente para matrices cuadradas
(Moore, 2014).
El determinante de una matriz 2×2 .
11 12
21 22
a aA =
a a
está dado por
det 11 22 12 21A = A =a a -a a
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EJEMPLO
Si 3 -6
A =4 1
entonces 3 -6
A = = 3 - -24 = 274 1
Si -1 -0
A =6 10
entonces -1 0
A = = -10 -0 = -106 10
Análogamente, el determinante de una matriz 3 3 ,
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A = a a a
a a a
está dado por
11 22 33 12 23 31 13 32 21 13 22 31 23 32 11 33 21 12A =a a a +a a a +a a a -a a a -a a a -a a a
Para la matriz 3 x 3, su determinante es:
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 31
22 23 21 23 21 22
11 12 13
32 33 31 33 31 32
a a a
A = a a a =
a a a
A = a a a -a a -a a a -a a +a a a -a a
a a a a a a= a -a +a
a a a a a a
Observamos que cada determinante en la suma es el determinante de una
submatriz de A que se obtiene omitiendo una fila y una columna particulares de
A. Estos determinantes se llaman menores.
DEFINICIÓN: Sea
Mi j la matriz n-1 × n -1 obtenida al omitir la i-ésima
fila y la j-ésima columna de
Ann .
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El determinante
M i j es un menor de la matriz A. El escalar
Ci j 1 i j
Mi j
se denomina cofactor del elemento
ai j de la matriz A. La matriz n x n
Ci j se
denomina adjunta de A y se representa por adj A.
Como se señaló antes, el determinante de una matriz se puede obtener por un
procedimiento conocido como desarrollo por cofactores. El determinante de A
puede desarrollarse en términos de la fila i por la fórmula:
A ai j Ci j
j1
n
para cualquier fila i = 1, 2, …, n,
y en términos de la columna j por la fórmula:
n
i j i j
i=1
A = a C para cualquier columna j = 1, 2, …, n
Por tanto el determinante de
A33 expresado antes como
22 23 21 23 21 22
11 12 13
32 33 31 33 31 32
a a a a a aA = a - a + a
a a a a a a
se puede escribir
3
11 11 12 12 13 13 1j 1j
j=1
A = a C + a C + a C = a C
LEY DE SARRUS:
Para calcular el determinante de una matriz de orden 3, se repiten las dos primeras
columnas (o filas) a continuación de la tercera, se multiplican los números que hay
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en las diagonales principales y luego se suman los resultados de las
multiplicaciones. Repetimos, el mismo proceso con las diagonales secundarias y
después hacemos la diferencia entre el resultado obtenido con las diagonales
principales y el total obtenido con las diagonales secundarias; este resultado es el
determinante de la matriz ijA
Si tenemos:
11 12 13 11 12 13 11 12
21 22 23 ij 21 22 23 21 22
31 32 33 31 32 33 31 32
a a a a a a a a
A a a a entonces A a a a a a ,porlo tanto,
a a a a a a a a
ij 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 23 11 33 21 12A = a a a +a a a +a a a - a a a +a a a +a a a
REGLA DE CARMER:
Este método de solución se puede utilizar en un sistema lineal de ecuaciones de
orden 2 como en uno de orden superior. De la siguiente manera:
a. DE ORDEN 2.
Consideremos el sistema de ecuaciones 11 12 1
21 22 2
a x + a y = b
a x + a y = b
con dos
incógnitas x e y
El denominador de x y de y, en la solución, es el determinante formado con los
coeficientes de la x y de la y, en forma ordenada. Este determinante se llama el
determinante principal del sistema.
El numerador de x, en la solución, se obtiene al sustituir, en el determinante
principal, la primera columna por la columna de términos independientes:
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Determinante principal Numerador de x
11 12
21 22
a a
a a
1 12
2 22
b a
b a
De forma similar, El numerador de y, en la solución, se obtiene al sustituir, en el
determinante principal, la segunda columna por la columna de términos
independientes:
Determinante principal Numerador de y
11 12
21 22
a a
a a
11 1
21 2
a b
a b
Por lo que:
1 12 11 1
11 122 22 21 2
11 12 11 12 21 22
21 22 21 22
b a a b
a ab a a bx = y ,con 0
a a a a a a
a a a a
Cómo calcular el determinante de una matriz con MatLab
Sea:
1 3A =
-2 -1
Para calcular su determinante se procede así:
A=[1,3;-2,-1]; enter
Det(A) enter
Ans = 5
25
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1 3 5
B = 2 1 0 = -15
1 1 4
Bibliografía
Arboleda Quintero, Dairon; Álvarez Jiménez, Rafael. (2006). Aplicaciones
Matemáticas del programa Matlab. Medellin: Universidad de Medellín.
Casado Fernández, M. C. (s.f). Manual básico de MaTLab. Obtenido de
http://webs.ucm.es/centros/cont/descargas/documento11541.pdf
Moore, H. (2014). Matlab Para Ingenieros. México: Pearson-prentice Hall.
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