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Guerino MazzolaGuerino MazzolaU & ETH Zürich U & ETH Zürich
guerino@mazzola.chwww.encyclospace.org www.encyclospace.org
La logique des diagrammes : La logique des diagrammes : médiatrice entre geste et formule?médiatrice entre geste et formule?
• L‘idée de l‘adjonctionL‘idée de l‘adjonctionmusique - mathématiquemusique - mathématique
• Carquois de Gabriel et gestesCarquois de Gabriel et gestes
• Spectroides et formulesSpectroides et formules
• Esquisse de l‘adjonctionEsquisse de l‘adjonction
• LogiqueLogique
• L‘idée de l‘adjonctionL‘idée de l‘adjonctionmusique - mathématiquemusique - mathématique
• Carquois de Gabriel et gestesCarquois de Gabriel et gestes
• Spectroides et formulesSpectroides et formules
• Esquisse de l‘adjonctionEsquisse de l‘adjonction
• LogiqueLogique
gestegestegestegesteformuleformuleformuleformule
harmonieharmoniede gestesde gestes
~
compositioncompositionde formulesde formules
~musiquemusique
mathématique
mathématique
• L‘idée de l‘adjonctionL‘idée de l‘adjonctionmusique - mathématiquemusique - mathématique
• Carquois de Gabriel et gestesCarquois de Gabriel et gestes
• Spectroides et formulesSpectroides et formules
• Esquisse de l‘adjonctionEsquisse de l‘adjonction
• LogiqueLogique
vv
xx
ww
yy
gg
ff
hh
kk
Catégorie Catégorie CarquoisCarquois des carquois des carquois(= graphes orientés, schémas de diagrammes, etc.) (= graphes orientés, schémas de diagrammes, etc.)
DD = F V = F Vhh
tt
x = t(f) x = t(f)
y = h(f)y = h(f)
ff
EE = G W = G Wh‘h‘
t‘t‘
u q
DD
CarquoisCarquois((DD,, E E))
: : TopTop CarquoisCarquois: X ~> : X ~> XX
XX : : TopTop((II,, X X) ) X: X: ~> ~> (0), (0), (1)(1)
——00
11
II
positionposition
touchetouche
tempstemps
XX
XX = carquois spatial de X
TopTop((XX,,YY) ) CarquoisCarquois(( ,, ): f~> ): f~> XX
YY
ff
„„morphisme continu“morphisme continu“
Un Un morphisem de gestesmorphisem de gestes est un couple de morphismes est un couple de morphismes(u, ), dont le second est continu qui définit un(u, ), dont le second est continu qui définit undiagramme commutatif: diagramme commutatif:
ff
ff
DD
EE
XX
YY
gg
hh
uu
positionposition
touchetouche
tempstemps
XX
gg
GestesGestes((gg, , hh))catégorie des gestescatégorie des gestes
Un Un gestegeste = = morphisme g: morphisme g: D D de carquoisde carquoisà valeurs dans un carquois spatialà valeurs dans un carquois spatial
XX
Existence de Existence de gestes naturels?gestes naturels?
f(u)f(u)
DD
EE X(X(EE))
g(g(DD))
g(g(EE))
uu
X(X(DD))
Idée: position générale des vertexes, morphismes affinesIdée: position générale des vertexes, morphismes affinesdans dans ——nn
• L‘idée de l‘adjonctionL‘idée de l‘adjonctionmusique - mathématiquemusique - mathématique
• Carquois de Gabriel et gestesCarquois de Gabriel et gestes
• Spectroides et formulesSpectroides et formules
• Esquisse de l‘adjonctionEsquisse de l‘adjonction
• LogiqueLogique
Spectroides: passage du gestuel aux formulesSpectroides: passage du gestuel aux formules(P. Gabriel, théorie des représentations d‘algèbres, Springer: Enc. of Math. Sci.)(P. Gabriel, théorie des représentations d‘algèbres, Springer: Enc. of Math. Sci.)
k = corps commutatif (pour nous ici k = k = corps commutatif (pour nous ici k = ——) ) k-k-spectroidespectroide SS = catégorie, = catégorie, • k-linéaire: k-linéaire: SS(x,y) = k-vectoriel (x,y) = k-vectoriel
composition de morphismes = k-bilinéairecomposition de morphismes = k-bilinéaire• objets deux-à-deux non-isomorphesobjets deux-à-deux non-isomorphes• k-algèbres A des endomorphismes toutes k-algèbres A des endomorphismes toutes
locales, i.e., non-inversibles = idéal = Rad(A)locales, i.e., non-inversibles = idéal = Rad(A)• conditions de finitude: (dimconditions de finitude: (dimkkSS(x,y) fini)(x,y) fini)
dimdimkkRad(Rad(SS)/Rad)/Rad22((SS) fini) fini
Catégorie des k-spectroides: k-Catégorie des k-spectroides: k-SpSp
ExampleExample typique: B = k-algèbre. typique: B = k-algèbre.
ModModBB : B-modules de k-dimension finie, : B-modules de k-dimension finie,
SpSp(Mod(ModBB) )
Sous-catégorie pleine de ModSous-catégorie pleine de ModBB,,
ObjetsObjets = modules indecomposables injectifs, = modules indecomposables injectifs,unun pour chacque classe d‘isomorphism. pour chacque classe d‘isomorphism.
PropositionProposition (P. Gabriel, „Des catégories abeliennes“) (P. Gabriel, „Des catégories abeliennes“)
Si tout idéal à droite de B est bilatère, alorsSi tout idéal à droite de B est bilatère, alorsSpSp(Mod(ModBB) est en bijection avec le ) est en bijection avec le spectre despectre de B B
SpecSpec(B) = {idéaux bilatères premiers}(B) = {idéaux bilatères premiers}(a.I.b (a.I.b I implique a ou b I implique a ou b I)I)
PropositionProposition (P. Gabriel, „Des catégories abeliennes“) (P. Gabriel, „Des catégories abeliennes“)
Si tout idéal à droite de B est bilatère, alorsSi tout idéal à droite de B est bilatère, alorsSpSp(Mod(ModBB) est en bijection avec le ) est en bijection avec le spectre despectre de B B
SpecSpec(B) = {idéaux bilatères premiers}(B) = {idéaux bilatères premiers}(a.I.b (a.I.b I implique a ou b I implique a ou b I)I)
• L‘idée de l‘adjonctionL‘idée de l‘adjonctionmusique - mathématiquemusique - mathématique
• Carquois de Gabriel et gestesCarquois de Gabriel et gestes
• Spectroides et formulesSpectroides et formules
• Esquisse de l‘adjonctionEsquisse de l‘adjonction
• LogiqueLogique
AdjonctionAdjonction
k-k-SpSp CarquoisCarquoisk?k?
CC??
k-k-SpSp(k(kDD, , SS)) CarquoisCarquois((DD, , CCSS))
formulesformules diagrammesdiagrammes
Le foncteur Le foncteur k? k? k-catégorie d‘un carquoisk-catégorie d‘un carquois
DD = F V = F Vhh
tt
Catégorie Ch(Catégorie Ch(DD) des ) des cheminschemins de de DD. .
xx
vv
yy
ww
La La catégorie du carquoiscatégorie du carquois k kDD a les mêmes objets que a les mêmes objets que Ch(Ch(DD), i.e., les vertexes dans V. Elle a comme morphismes ), i.e., les vertexes dans V. Elle a comme morphismes kkDD(x,y)(x,y) les combinaisons k-linéaires de chemins de x à y. les combinaisons k-linéaires de chemins de x à y.
Un morphisme de carquoisUn morphisme de carquois f: f: D D E E définit foncteurdéfinit foncteurCh(f): Ch(f): Ch(Ch(DD)) Ch(Ch(EE),), d‘où d‘où
kf: kf: kkD D kkEE
La La catégorie du carquoiscatégorie du carquois k kDD donne en fait aussi lieu à une k- donne en fait aussi lieu à une k-algèbrealgèbre du carquoisdu carquois, dont l‘espace sous-jacent est, dont l‘espace sous-jacent est
x,yx,y k kDD(x,y)(x,y)
tandis que l‘unité est la somme des identités des objetstandis que l‘unité est la somme des identités des objets
1 = 1 = xx e exx
kkDD//J J définit une catégorie/algèbre quotient, oùdéfinit une catégorie/algèbre quotient, oùJJ est un idéal engendré par des est un idéal engendré par des relations = formules =relations = formules = diagrammes de chemins commutatifsdiagrammes de chemins commutatifs généralisés généralisés, , e.g., Xe.g., X22 = 3 Y = 3 Y33 + 2 X + 2 X
Example: Example: DD ==
kkD D = k= kX,YX,Y = polynômes à coéfficients dans k et les = polynômes à coéfficients dans k et les indéterminées non-commutantes X, Yindéterminées non-commutantes X, Y
XX
YY
Le foncteur Le foncteur CC?? Carquois d‘un spectroideCarquois d‘un spectroide
spectroide spectroide SS
CCSSvv
xx
yy
ww
Objets de Objets de SS
dimdimkk(Rad(x,y)/Rad(Rad(x,y)/Rad22(x,y))(x,y))
Le foncteur „display“ de Gabriel (adjonction)Le foncteur „display“ de Gabriel (adjonction)
k-k-SpSp(k(kDD, , SS) ) CarquoisCarquois((DD, , CCSS))
k-k-SpSp(k(kCCSS, , SS)) CarquoisCarquois((CCSS, ,
CCSS))Id:Id: C CSS CCSSSS:: kkCCSS SS
kkDD k kCCS S SSkfkf SS f:f: DD CCSS
Foncteur displayFoncteur display
Adjonction au niveau des gestes?Adjonction au niveau des gestes?
k-k-SpSp(k(kDD, , SS) ) CarquoisCarquois((DD, , CCSS))
formulesformules
gestesgestes
gg
GestesGestes((g(g(DD)), , g(g(CCSS))))
GG
ForGesForGes(G( k(G( kD)D), , G(G(S)S)))
• L‘idée de l‘adjonctionL‘idée de l‘adjonctionmusique - mathématiquemusique - mathématique
• Carquois de Gabriel et gestesCarquois de Gabriel et gestes
• Spectroides et formulesSpectroides et formules
• Esquisse de l‘adjonctionEsquisse de l‘adjonction
• LogiqueLogique
La catégorie La catégorie CarquoisCarquois est un topos est un topos
DD = F V = F Vhh
tt= foncteur = foncteur DD:: SetSet
CarquoisCarquois = = @ @ (= ^)(= ^)
D D E E
D D ++ E E
1 1 = =
0 0 = Ø = Ø
CarquoisCarquois(( ,, D DEE)) CarquoisCarquois(( ,, D DEE)) DDEE
= = CarquoisCarquois(V(VEE,, D D))
= = CarquoisCarquois((E E ,, D D))
=
TT
vv
xx
ww
yy
En particulier:Un recouvrementd‘un carquoisest un fait CarquoisCarquois-logique
K-nets,RNA,réseaux globauxsont des constructionsCarquoisCarquois-logique
En particulier:Un recouvrementd‘un carquoisest un fait CarquoisCarquois-logique
K-nets,RNA,réseaux globauxsont des constructionsCarquoisCarquois-logique
classifieur de sous-objetsclassifieur de sous-objets
Sous-carquois et formulesSous-carquois et formules
k-k-SpSp(k(kDD, , ) ) CarquoisCarquois((DD, , ))
SubSub((DD))
= k= k2
CC Les valeurs de vérité diagrammatique Les valeurs de vérité diagrammatique correspondent aux formules définiescorrespondent aux formules définiespar les noyeaux des flèches de spectroides associéspar les noyeaux des flèches de spectroides associés
Les valeurs de vérité diagrammatique Les valeurs de vérité diagrammatique correspondent aux formules définiescorrespondent aux formules définiespar les noyeaux des flèches de spectroides associéspar les noyeaux des flèches de spectroides associés
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