guía 1 de cálculo diferencial
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Gua Unidad I Segundo Semestre 2014
Profesores: Benjamn Chacana Rossy Rivero Jorge Sabattin Mabel Vega
I. Nmeros Reales (Desigualdades)
(1) Demuestre las siguientes propiedades , si ,a b IR .
(i) 0 0a = . (iv) ( )( )a b ab =
(ii) ( 1) a a = (v) ( ) 11 1a b ab = (iii) ( )a a =
(2) Si 0a b> > demostrar que:
( ) 2
2
a b aba ab b
a b
+> > > >
+.
(3) Demuestre que si ,a b IR tal que 0, 0a b> > entonces se cumple :
2a b
b a+
(4) Sean , , ,a b c d IR . Si 2 2 1a b+ = 2 2 1c d+ = . Demuestre que 1.ac bd+
(5) Sean ,a b IR+ demostrar que:
3 3 2 2 .a b a b b a+ > +
(6) Sean ,x y IR con x y< demostrar que:
( )1 3 .5
x x y y< + <
(7) Demostrar 2 2 2a b c ab bc ca+ + > + + , ,a b c IR con ( )a b c . (8) Sean , , ,a b c d IR con ; ;a b b c a c demuestre que:
6a b a c b c
c b a
+ + ++ + >
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II. Inecuaciones
(1) Resuelva las siguientes inecuaciones lineales en , determinando conjunto solucin S .
(a) 2 1
3 1 4 5 63 2
x x x x+ + + (d) 7 1 3 5x x+ >
(b) 9 7 9 3x x+ + (e) 2 23 5 15
x x x < +
(c) ( ) 22 1 2 5x x x x+ > + (f) ( ) ( )( )3 2 3 1 2x x x x (2) Resuelva las siguientes Inecuaciones no lineales en , indicando la restriccin y conjunto
solucin.
(a) 7 4
02 1x x
(e) ( )( )3 5 3 5 0x x+ > (i) 2 5 5x x
(b) ( )5
02
x
x x
+ +
(f) ( ) ( )1 3 2 0x x+ < (j) 2 2 8x x< +
(c) ( )22
61
x
x x
(g)
2 40
x
x
(k) 4 24 12 9 0x x +
(d) 1
02
x
x
>+
(h) 2
3 1 5
2 2
x x
x x x x
+ +
(l) 3 22 3 0x x
(3) Resuelva las siguientes ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto.
(a) 1 3x = (f) ( )32 3 711
x x < (k) 2 5 7x x
(b) 2 5 3 0x = (g) 21 3x x < 5 8 4x >
(c) 5 4 7x = (h) 3 2 52 10 2
x
x
b) Los valores de IRk para que las races de la ecuacin ( ) ( )22 3 3 0x k x k+ + = estn comprendidas en el intervalo ( )2,3 . R: 176 5 3
3k k
c) Los valores de IRk de modo que 2( ) 3 2 12f x x kx= + sea siempre negativa IRestn comprendidas en el intervalo ( )2,3 . R: 6 6k < <
(5) Problemas de Aplicacin
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