guia de robotica
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UNIVERSIDAD DE PAMPLONA Unidad de Ingeniería Mecatrónica
Facultad de Ingenierías. Programa de Ingeniería Mecatrónica. Taller de Repaso
Robótica II
VERSION 3 – Ph.D. César Augusto Peña C
CODIFICACIÓN Taller I Tema: Herramientas matemáticas, cinemática y dinámica
Recordar y afianzar los conocimientos básicos en robotica. OBJETIVOS ESPECIFICOS: 1.- Realizar ejercicios utilizando las herramientas matemáticas que permiten especificar la posición y orientación de un objeto en el espacio. 2.- Describir analiticamente el movimiento espacial de un robot enfatizando las relaciones entre la posición y la orientación del extremo final del robot con los valores que toman sus coordenadas articulares. 3.- Relacionar los movimientos del robot y las fuerzas implicadas en el mismo. REQUISITOS: Conocer los conceptos generales de: 1.- Herramientas matemáticas para la localización espacial 2.- Cinemática del robot 3.- Dinámica del Robot
1.- Calculadora (Opcional) PROCEDIMIENTO 1.- Teniendo en cuenta las dimensiones del objeto que se ilustra en la figura 1, obtener las matrices homogeneas correspondientes a los sistemas de coordenadas (solidarios al objeto), que se describen en la figura 2. Indicar los sistemas coordenados erroneos en caso que extistan (los sistemas deben ser dextrogiro). Nota: el ancho del objeto es de 25 mm y el sistema S1 = S0 , ubicados en la posición [0 , 0 , 0] .
Figura 1. Dimensiones del objeto
OBJETIVO:
EQUIPOS Y HERRAMIENTAS
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Robótica II
VERSION 3 – Ph.D. César Augusto Peña C
Figura 2. Sistemas de coordenadas ejercicio 1.
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S1 =
_____ _____ _____ 0_____ _____ _____ 0_____ _____ _____ 0_____ _____ _____ _____
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S2 =
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Robótica II
VERSION 3 – Ph.D. César Augusto Peña C
2. Hallar los matrices homogeneas correspondientes a los ejes coordenados de la figura 3.
Figura 3. Sistemas de coordenadas ejercicio 2.
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S1 =
_____ −1 _____ 101 _____ _____ −20
_____ _____ _____ −60_____ _____ _____ 1
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3. Hallar los matrices homogeneas correspondientes a los ejes coordenados de la figura 4.
Figura 4. Sistemas de coordenadas ejercicio 3.
€
S1 =
1 2 0 1 2 00 1 0 0
−1 2 0 1 2 −200 0 0 1
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S2 =
_____ _____ _____ __________ _____ _____ __________ _____ _____ __________ _____ _____ _____
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S3 =
_____ _____ _____ __________ _____ _____ __________ _____ _____ __________ _____ _____ _____
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S5 =
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4. Dibujar los ejes coordenados de acuerdo a la convención Denavit Hartenberg y obterner los parametros del mismo.
Figura 5. Robot de 4 GDL 5. Obtener la matriz homogénea T que indica la localización del sistema final con respecto al sistema de referencia de la base del robot.
€
T=0A4 =
_____________ _____________ _____________ __________________________ _____________ _____________ __________________________ _____________ _____________ __________________________ _____________ _____________ _____________
"
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6. Obtener el modelo de cinemática inversa del robot dado:
€
T=0A4 =
nx ox ax pxny oy ay pynz oz az pz0 0 0 0
"
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€
θ1 =
€
d2 =
€
d3 =
€
θ4 =
Eslabón θ i di ai α i 1 2 3 4
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7. Obtener la jacobiana geométrica correspondiente a los 3 primeros grados de libertad por
el método de propagación de velocidades.
€
˙ v x˙ v y˙ v z˙ w x˙ w y˙ w z
"
#
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=
_______________ _______________ ______________________________ _______________ ______________________________ _______________ ______________________________ _______________ ______________________________ _______________ ______________________________ _______________ _______________
"
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' ' ' ' ' ' '
˙ q 1˙ q 2˙ q 3
"
#
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8. Obtener el modelo dinámico, mediante la formulación de Euler-Lagrange, del robot
cartesiano de 2 GDL de la figura 6. Las masas de los eslabones 1 y 2 (m1, m2) se considera concentrada en los puntos indicados.
Figura 6. Robot Cartesiano de 2 GDL
€
F1 =
€
F2 =
Z0
X0
Z0
Z1
X1
Y2
Z2
d1
d2
Base
Eslabón 1
Eslabón 2
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Algoritmo Denavit – Hartenberg: •D-H 1.- Numerar los eslabones comenzando con 1 (primer eslabón móvil de la cadena) y acabando con n (último eslabón móvil). Se numerará como eslabón 0 a la base fija del robot. •D-H 2.- Numerar cada articulación comenzando por 1 (la correspondiente al primer grado de libertad) y acabando en n •D-H 3.- Localizar el eje de cada articulación. Si ésta es rotativa, el eje será su propio eje de giro. Si es prismática, será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento. •D-H 4.- Para i de 0 a n-1 situar el eje zi sobre el eje de la articulación i+1. •D-H 5.- Situar el origen del sistema de la base {S0} en cualquier punto del eje z0. Los ejes x0 e y0 se situarán de modo que formen un sistema dextrógiro con z0 •D-H 6.- Para i de 1 a n-1, situar el sistema {Si} (solidario al eslabón i) en la intersección del eje zi con la línea normal común a zi-1 y zi. Si ambos ejes se cortasen se situaría {Si} en el punto de corte. Si fuesen paralelos {Si} se situaría en la articulación i+1 •D-H 7.- Situar xi en la línea normal común a zi-1 y zi •D-H 8.- Situar yi de modo que forme un sistema dextrógiro con xi y zi . •D-H 9.- Situar el sistema {Sn} en el extremo del robot de modo que zn coincida con la dirección de zn-1 y xn sea normal a zn-1 y zn . •D-H 10.- Obtener θi como el ángulo que hay que girar en torno a zi-1 para que xi-1 y xi queden paralelos. •D-H 11.- Obtener di como la distancia, medida a lo largo de zi-1, que habría que desplazar {Si-1} para que xi y xi-1 quedasen alineados. •DH 12.- Obtener ai como la distancia medida a lo largo de xi (que ahora coincidiría con xi-
1) que habría que desplazar el nuevo {Si-1} para que su origen coincidiese con {Si}. •DH 13.- Obtener αi como el ángulo que habría que girar entorno a xi (que ahora coincidiría con xi-1), para que el nuevo {Si-1} coincidiese totalmente con {Si}. •DH 14.- Obtener las matrices de transformación i-1Ai •DH 15.- Obtener la matriz de transformación entre la base y el extremo del robot T = 0A1 1A2 ... n-1An. •DH 16.- La matriz T define la orientación (submatriz de rotación) y posición (submatriz de traslación) del extremo referido a la base en función de las n coordenadas articulares
MARCO TEORICO – FORMULAS UTILES
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€
i−1Ai = Rotz θi( )T(0,0,di)T(ai,0,0)Rotx α i( )
€
i−1Ai =
Cθi −Cα iSθi Sα iSθi aiCθiSθi Cα iCθi −Sα iCθi aiSθi0 Sα i Cα i di0 0 0 1
%
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(
)
* * * *
(Matriz D-H)
Obtención numérica de la Jacobiana geométrica por el método de propagación de velocidades:
€
0Ai =0ni
0oi0ai
0 pi0 0 0 1
"
# $
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€
0Zi=0Ai 1: 3,3( )
€
i pn=0An 1: 3,4( )−0Ai 1: 3,4( )
€
0Zi=0Ai 1: 3,3( )
€
Ji =
0Zi−1×i−1pn
0Zi−1
$
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'
( ) Rotación
0Zi−1
0$
% &
'
( ) Translación
*
+
, ,
-
, ,
€
J = J1 J2 … Jn[ ] Ecuaciones utilizadas para la obtención del modelo dinámico mediante la formulación de Euler-Lagrange:
Donde:
L : Función Lagrangiana.
L = Ec − Ep
τ i =ddt∂L∂ !qi
−∂L∂ qi
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Ec: energía cinética. Ep: energía potencial. τi: fuerza o pares aplicado sobre qi. qi: coordenadas generalizadas (articulares)
MÉTODO RECURSIVO EULER-LAGRANGE
1. Asignar a cada barra un sistema de referencia de acuerdo D-‐H. 2. Obtener las matrices de transformación 0Ai para cada barra i. 3. Obtener las matrices Uij definidas por:
€
U ij =∂ 0A i
∂qj
4. Obtener las matrices Uijk definidas por:
€
U ijk =∂U ij
∂qk
5. Obtener las matrices de PseudoInercias Ji para cada barra i.
€
J i =
xi2dm
i∫ xiyidmi∫ xizidmi∫ xidmi∫yixidmi∫ yi
2dmi∫ yizidmi∫ yidmi∫
zixidmi∫ ziyidmi∫ zi2dm
i∫ zidmi∫xidmi∫ yidmi∫ zidmi∫ dm
i∫
#
$
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( ( ( ( ( (
Expresión alternativa:
€
J i =
12−Ixxi
+ Iyyi+ Izzi( ) Ixiyi
I xizimix i
I xiyi
12
Ixxi− Iyyi
+ Izzi( ) Iyizimiy i
I xiziI yizi
12
Ixxi+ Iyyi
− Izzi( ) miz imix i miy i miz i mi
#
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( ( ( ( ( ( (
donde:
€
Ixxi = yi2 + zi
2( )dmi∫
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€
Iyyi = xi2 + zi
2( )dmi∫
€
Izzi = xi2 + yi
2( )dmi∫
€
Ipqi = pqdmi∫ p,q = xi ,yi ,zi
6. Obtener la matriz de Inercia D cuyos elementos vienen definidos por:
€
dij = Traza U kjJ kU kiT( )
k=(max i, j )
n
∑
con i, j =1,2,...,nn = número de grados de libertad
7. Obtener los término hikm definidos:
€
hikm = Traza U jkmJ jU jiT( )
j=(max i, k,m )
n
∑
con i,k,m =1,2,...,nn = número de grados de libertad
8. Obtener el vector columna H de fuerzas de Coriolis y Centrifugas, cuyos
elementos son:
€
hi = hikm ˙ q k ˙ q mm =1
n
∑k =1
n
∑con i =1,2,...,nn = número de grados de libertad
9. Obtener el vector columna C de Fuerzas de Gravedad, cuyos elementos
son:
€
ci = −mjgU jij rj( )
j=1
n
∑con i =1,2,...,nn = número de grados de libertad
Donde: g: es el vector de gravedad expresado en el sistema de la base {S0} y viene expresado por (gx0 , gy0 , gz0 , 0)
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irj: es el vector de coordenadas homogéneas del centro de masas del elemento j expresado en el sistema de referencia del elemento i.
10. La ecuación del modelo Dinámico es:
€
τ = D˙ ̇ q + H + C Adicionalmente se pueden incluir fuerzas adicionales, tal como la fuerza producto del rozamiento en las articulaciones. Un modelo típico de esta fuerza propone que es proporcional a la velocidad de la articulación.
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