guias 3er aÑo
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COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Trigonometría 1
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
TEMA: R. T. DE UN ÁNGULO DOBLE
Ejemplos:
Sen80° = 2Sen40°Cos40° 2Sen3xCos3x = Sen6x Cos72° = Cos236° – Sen236° Cos10x = 2Cos25x – 1
Cos5x = 1 – 2Sen2
2Cos2 – 1 = Cos
1 – 2Sen225° = Cos50°
TRIÁNGULO RECTÁNGULO DEL ÁNGULO DOBLESi consideramos a 2 (agudo), en forma práctica se tiene:
2
2Tg1
Tg2 2Tg1
Del cual obtenemos:
Trigonometría 2
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Ejemplos:
Sen18° =
Cos8x =
OTRAS IDENTIDADES DEL ARCO DOBLE:
Trigonometría 3
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Ejemplos:
- 2Sen43x = 1 – Cos 6x
- 2Cos2 = 1 + Cos
- 1 – Cos60° = 2Sen230°- 1 + Cos74° = 2Cos237°- Cot15° + Tg15° = 2Csc30°- Cot3x – Tg3x = 2Cot6x
- Sen415° + Cos415° = Cos60°
- Sen6 + Cos6 =
IDENTIDADES DEL ARCO MITAD
NOTA: El signo del segundo miembro se elige según el cuadrante del arco
y de la razón trigonométrica que le afecta.
Otras Identidades del Arco Mitad
Trigonometría 4
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) Siendo: Senx – Cosx = ;
. Calcular: Cos2x
Rpta.:
02) Si Sen20° = a, hallar el equivalente de: Cos2140° + Cos240° – 2 en términos de a.
Rpta.:
03) Simplificar la expresión:
Rpta.:
04) Simplificar:
Rpta.:
05) Reducir:
Rpta.:
06) Reducir:
Rpta.:
07) Si: Sen6x+Cos6x = m + nCos4x
Calcular:
Rpta.:
08) Reducir:
Rpta.:
09) Reducir:
Rpta.:
10) Reducir:
M = 8SenxCosxCos2xCos4x
Rpta.:
Trigonometría 5
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
11) Reducir:
Rpta.:
12) Reducir:
Rpta.:
13) Reducir:
Rpta.:
14) Simplificar:
P = (Secx – Cosx)(Cscx – Senx)
Rpta.:
15) Simplificar:
Rpta.:
16) Sabiendo que:
¿A qué es igual:?
Rpta.:
17) Reducir:
Rpta.:
18) Si: Sen2x = Cos2x
Calcular: Cos4x
Rpta.:
19) Reducir:
E = (1 – 6Tg2a + Tg4a)Cos4a
Rpta.:
20) Si:
Reducir:E = mSen2 + nCos2
Rpta.:
Trigonometría 6
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
PROBLEMAS PARA LA CASA
01) Reducir:
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
02) Si:
Hallar: Sen2
a) -4/9 b) -3/9 c) -8/9d) -5/9 e) N.A.
03) Si:
Calcular: Sen2
a) 5/8 b) 6/8 c) 7/8d) 8/9 e) 9/8
04) Calcular: A . B, si:
1+Sen2 + Cos2 =ACosCos(B – )
a) b) c)
d) c)
05) Calcular:
a) 1/7 b) 3/7 c) 1/8d) 1/16 e) 1/4
06) Señale el mayor valor que puede tomar:
S = TgxCos2x + CotxSen2x
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
* En los siguientes ejercicios, señalar verdadero (V) o falso (F), según corresponda
07) Senx + Cosx = n
Sen2x = n2 – 1
a) F b) V
08) Cos4x – Sen4x = Cos2x
a) V b) F
09) Cot18° – Tg18° = 2Cot2x
x = 18°a) F b) V
Trigonometría 7
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
10) Reducir:
a) b) c)
d)
11) Sabiendo que:
Sen6x + Cos6x = A + BCos4xSen4x + Cos4x = C + DCos4x
Calcular:
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
12) Del gráfico, hallar: Tgx
6 3x
x
2
A
B C
D
a) b) c)
d) e)
Trigonometría 8
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
13) De la ecuación:
Calcular: Csc22
a) b) c)
d) e)
14) Siendo 2x e y las medidas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo.Calcular: 2Cos2x – Seny
a) 1 b) 2 c) 3d) -1 e) 0
15) Del gráfico mostrado, hallar Cot, sabiendo que: ,
45°
H
P
C
B
A
a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9
Trigonometría 9
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
TEMA: R. T. DE UN ÁNGULO TRIPLE
Fórmulas Especiales:
Fórmulas de Degradación:
Propiedades:
Observación:
Trigonometría 10
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) Simplificar:
Rpta.:
02) Simplificar:
R = 36Sen3x + 12Sen33x + 4Sen39x + Sen27x
Rpta.:
03) Reducir:
Rpta.:
04) Calcular el valor de:
Rpta.:
05) Reducir:
P = (4Cos211° – 1)Sen11°Cos33°
Rpta.:
06) Reducir:
Rpta.:
07) Reducir:
Rpta.:
08) Si se cumple:
Rpta.:
09) Reducir:
M = Cos10° – 2Sen10°Cos70°
Rpta.:
10) Siendo:
Calcular: Cot3x
Rpta.:
Trigonometría 11
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
11) Simplificar:
Rpta.:
12) Del gráfico, calcular la longitud de
2
B
A C
6
2
M
Rpta.:
13) Simplificar:
Rpta.:
14) Reducir:
Rpta.:
15) Hallar A y B, de la siguiente identidad:
SenAx = 3Senx –Bsen3x
Rpta.:
16) Simplificar:
Rpta.:
17) Simplificar:
Rpta.:
18) Si: Tg3 = x + 1 ; Tg = 2
Calcular: el valor de x.
Rpta.:
19) Hallar el valor de:
M = 8Cos340° – 6Cos40° + 1
Rpta.:
20) Hallar el valor de k en:
Cot18° = kCot36°
Trigonometría 12
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Rpta.:
Trigonometría 13
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
PROBLEMAS PARA LA CASA
01) Simplificar:
R = 36Sen3x + 12Sen33x + 4Sen39x + Sen27x
a) 27Senx b) 40Senxc) 30Senx d) 21Senxe) N.A.
02) Calcular el valor de:M = Cos5°Cos55°Sen25°
a) b)
c) d)
e)
03) Indicar el valor de M . N en la siguiente identidad:
SenxCos2x = MSenx + NSen3x
a) 1/2 b) 1/4c) 1/16 d) 1/8e) 2/19
04) Reducir:E = 16Sen18°Sen42°Sen78° – 1
a) b)
c) d)
e)
05) Hallar el valor de:
E = Sen9° + Cos9°
a) b)
c) d)
e) N.A.
06) Si: ,
Calcular: Sen3x
a) b)
c) d)
e) N.A.
07) Calcular:P = 8Cos320° – 6Cos20°
a) 0 b) 2
c) d) 1
e)
08) Simplificar:
Trigonometría 14
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
a)
b)
c)
d)
e) N.A.
09) Si: Cosx + Cosy + Coz = 0Calcular:
a) 6 b) 12c) -12 d) -6e) 9
10) Si: Sen3x = nSenxHallar: Cos2x
a) n – 1 b)
c) d)
e) n + 1
11) Calcular:
a) 1/4 b) 2/4c) 2/5 d) 3/4e) 3/7
12) Reducir:
a) Senx b) Cos
c) 2Senx d)
e)
13) Calcular:B = Cos20° + Cos40°Cos80°
a) b)
c) d)
e)
14) Simplificar:Y = Sen3Csc – Cos3Sec
a) 0 b) 1c) 2 d) 3e) 4
15) Hallar el valor de k, en la siguiente, igualdad:
a) 0 b) 1c) 2 d) 3e) 4
Trigonometría 15
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
TEMA: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
NOCIONES PREVIAS
Concepto de Función: Dados dos conjuntos numéricos A y B, diferentes del vacío, se llama función al conjunto de pares ordenados (x ; y) tales que para cada x A, existe uno y sólo un elemento y B.
Dominio de una Función: Es el conjunto conformado por todas las primeras componentes de los pares ordenados que define a la función, y se denota por:
Domf = {x A / (x ; y) f}
Rango de una Función: Es el conjunto conformado por todas las segundas componentes de los pares ordenados que definen la función, y se denota por:
Ranf = {y B / (x ; y) f}
A la notación y = f(x) se el llama regla de correspondencia; y se lee: “y igual a f de x”.
Función AcotadaSe dice que una funciones f, es acotada, si M R. tal que: |f(x)| M ; x Domf
Ejemplo:La función f(x) = Senx es acotada, ya que |Senx| 1, x R (M = 1)
InferioresCotasdeConjunto
SuperioresCotasdeConjunto-1 1
FUNCIÓN PARUna función f es par si:
Ejemplo de funciones pares:
Trigonometría 16
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
y = f(x) = x2 – 1, probando: f(-x) = (-x)2 – 1 = x2 - 1= f(x)
Graficando:
-1
-1 1
y
x
FUNCIÓN IMPAR
Una función f es impar si:
Ejemplos de funciones impares:
y = f(x) = x3, probando: f(-x) = (-x)3
= -x3
= -f(x)
Graficando:
Trigonometría 17
Observación: El gráfico de una función par es simétrica al eje y
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
y
x0
FUNCIÓN CRECIENTEUna función f es creciente en un intervalo I de su dominio, si para todo par de números x1 y x2 de dicho intervalo se cumple que:
Ejemplo:La función y = x2 – 1, es creciente x 0 ;
FUNCIÓN DECRECIENTEUna función f es decreciente en un intervalo I de su dominio, si para todo par de número x1 y x2 de dicho intervalo se cumple que:
Ejemplo:La función: y = x2 – 1, es decreciente x - ; 0
FUNCIÓN PERIÓDICAUna función f es periódica, si existe un número real T 0; tal que para cualquier x de su dominio se cumple:
Observación: El número T se denomina periodo principal, si es positivo y mínimo entre todos los periodos positivos.
Ejemplo: Sea: f(x) = Senx f(x + T) = Sen(x + t)Luego; Sen(x + T) = Senx
Trigonometría 18
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
SenxCosT + CosxSenT = SenxHacemos: CosT = 1 SenT = 0
T = 2k ; k Z+
T = 2 ; 4 ; 6 ; … El periodo principal de la función: y = Senx es 2.
ESTUDIO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
FUNCIÓN SENOf = {(x ; y) R2 / y = Senx ; x R}
y
x
y = Senx(Senoide)
-1
1
0 22
32
Luego: Ranf = [-1 ; 1], es decir: -1 Sen 1, periodo de f es 2
FUNCIÓN COSENO
f = {(x ; y) R2 / y = Cosx ; x R}
Trigonometría 19
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
y
x
y = Cosx
-1
1
0 22
32
Luego: Ranf = [-1 ; 1], es decir: -1 Cos 1, periodo de f es 2
Trigonometría 20
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
FUNCIÓN TANGENTE
f = {(x ; y) R2 / y = Tgx ; x R – ; n Z}
y
x
y = Tgx(tangentoide)
02
32
2
Luego: Ranf = RPeriodo de f es
FUNCIÓN COTANGENTEf = {(x ; y) R2 / y = Cotx ; x R – {n} ; n Z}
y
x
y = Cotx(cotangentoide)
02
32 2
Luego: Ranf = RPeriodo de f es
Trigonometría 21
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
FUNCIÓN SECANTE
y
x
y = Secx(Secantoide)
02
32 2
-1
1
Luego: Ranf = R – -1 ; 1Periodo de f: 2
FUNCIÓN COSECANTEf = {(x ; y) R2 / y = Cscx ; x R – {n} ; n Z}
y
x
y = Cscx(cosecantoide)
02
32 2
1
-1
Luego: Ranf = R – -1 ; 1Periodo de f: 2
PROBLEMAS PARA LA CLASE
Trigonometría 22
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
01) Hallar el dominio de la función:
02) Dada la función:f(x) = Cos2x – 2Cosx
Hallar su rango
03) Hallar el máximo, valor de:f(x) = Senx(Senx – 6) + 4
04) Hallar el rango de la función:
05) Hallar el dominio y rango de la función f definida por:
06) Dada la función:
Halle su dominio y su rango
* Hallar el periodo de las siguientes funciones:
07) f(x) = 2Sen3x + 1
08)
09) h(x) = 2Cos4x – 3
10) Hallar el rango de la siguiente función:
11) La función: f(x) = Csc2x ; tiene como dominio el intervalo:
. Determinar su rango
12) Hallar el rango de la siguiente función:
f(x) = Senx + CotxCosx – 1
13) Halla el rango de la siguiente función, si su dominio es:
h(x) = Tg2x + 2x + 2Secx + 2
14) Hallar el periodo de la siguiente función:
15) Si: f(Senx) = Cosx
Evaluar: f(Cos3480°)
16) Hallar el dominio y rango de la función:
17) Hallar el periodo de:
18) Halle el rango de la función:F(x) = Cot2x + Tg2x
Si:
19) Hallar el dominio de la siguiente función:
Trigonometría 23
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
20) Hallar el periodo de la siguiente función:
Trigonometría 24
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
PROBLEMAS PARA LA CASA
01) Hallar el rango de f, si:
Rpta.:
02) Hallar el dominio de la función g:
Rpta.:
03) Hallar el rango de la función f:
f(x) = Sec22x + |2Sec2x| + |Cot2x – Csc2x|
Rpta.:
04) Hallar el rango de la función:
Si:
Rpta.:
05) Hallar el rango de la siguiente función:f(x) = 2|Cosx| + 3 ; x R
a) [3 ; 5] b) 3 ; 5 c) 2 ; 5} d) 3 ; 6e) 3 ; 7
06) Si: y
Determine el conjunto de valores de “a”
a) 1 < a < 3 b) 2 < a < 4c) 2 < a < 3 d) 1 < a < 4e) N.A.
07) Hallar el rango de f si:
f() = Cos ;
a) b)
c) d)
e) N.A.
08) Hallar el rango de:
para
a)
Trigonometría 25
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
b)
c)
d)
e)
09) Hallar el rango de la siguiente función:
f(x) = |Senx + Cosx| + |Senx - Cosx|
a) [0 ; ] b) [ ; 2]c) [0 ; 2] d) [0; ]e) N.A.
10) Hallar el periodo de la siguiente función:
f(x) = (Tgx + Cotx)Sen2x
a) b) /3c) /2 d) 2
e)
11) Señalar el valor máximo de:f(x) = Tg(Senx + Cosx)
a) b) Tg1c) d) e) 1
12) Halle el dominio de la siguiente función:
g(x) = Sec(Cosx)
a) Z+ b) R
c)
d) e) N.A.
13) Del problema anterior, indicar el rango.
a) 1 ; Cos2 b) 1;Sen2c) 1 ; Sec1 d) 1;Cos2e) 1 ; Sec1
14) Halle el dominio de la función:
a)
b)
c)
15) Halle el periodo de:
a) b)
c) d)
e)
Trigonometría 26
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
TEMA: GRÁFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Uno de los conceptos más importantes en la trigonometría es el de “curva senoidal”. Esta curva se presenta en diversas partes de las ciencias matemáticas y ciencias naturales (Física). Esta curva es la grafica de la función: y = Asen (BX + C), siendo A, B y C constantes.
Iniciaremos el presente capítulo comparando las gráficas de:y = SenXy = ASenX A
-A
Y
X
1
-1
y=ASenX
y= SenX
2
Ambas gráficas se encuentran superpuestas sobre los mismos ejes y con las mismas escalas.
Como todos sabemos, el máximo valor que puede tener Sen X es 1, y se da
para: x = .
Análogamente, el máximo valor de es A.La constante “A” recibe el nombre de AMPLITUD DE LA CURVA SENO (curva senoidal)
El periodo (T) de: y = SenX; y = Asen X es T = 2
Ahora, vamos a comparar las graficas de: y = Sen X y = Sen BXAnalizando:
Trigonometría 27
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Por lo tanto, vemos que el periodo de y = Sen BX es ver figura.
Y
X
1
-1
y= BSen X
y= SenX
2
2B
Ahora veamos como seria la grafica de y = ASenBX, teniendo como base la grafica anterior.
Y
X
1
-1
y=ASen X
y =SenX
2
2B
-A
AB
Analicemos ahora la gráfica de: y = Sen(x + c). Cuando x + C = 0 x = - CCuando x + C= 2 x = 2 -C
Trigonometría 28
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Entonces, la gráfica que se muestra a continuación es por tanto, una curva senoidal desplazada a ala izquierda en C.
Y
X-C
1
-1
2
y=Sen(x+C)
y=Sen x
La constante C se llama CAMBIO DE FASE O ÁNGULO DE FASE.
Luego, en la curva: y = Sen (BX + C), vemos que:
Cuando BX + C = 0 x =
Cuando BX + C = 2 x = (2 - C)/B
Por eso decimos que el cambio de fase venga dado por el número
(ver figura)
Y
X-C/B
1
-1
2
y=Sen( x+c)
y=Sen x
B
Por último, representamos a la curva senoidal más general:
Trigonometría 29
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Donde:
Amplitud
Periodo
Cambio de fase
y=Sen( x+c)B
y=Sen x
Y
X-C/B
21
-1
-A
A
1
Nota:De manera análoga se procede para la construcción de la grafica de la función y = ACos (BX + C), que es una curva cosenoidal.
Reglas para la Construcción de Gráficas de Funciones
Desplazamiento Vertical.
Dada la gráfica de la función y = f(x), para construir la gráfica de la función y = f(x) + C es necesario desplazar la gráfica de f a lo largo del eje de ordenadas:
Si C > 0 la gráfica va hacia arriba en C
Trigonometría 30
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Si C < 0 la gráfica va hacia abajo en C
Ejemplo:
1
2
3
0
-1
2 32
2
Y
X
y=2+Senx
y=Senx
Desplazamiento Horizontal
Dada la gráfica de la función y = f(x), para construir la grafica de la función y = f(x-c) es necesario desplazar a la grafica de f a lo largo del eje de abscisas.
Si C > 0 La grafica se mueve hacia la derecha. Si C > 0 La grafica se mueve hacia la izquierda.
Ejemplo:
4
2
2
4
-1
1
0
y =SenX4
Sen(x- )y=
Y
X
Opuesto de una Función.
Dada la gráfica de la función y = f(x), para construir la gráfica de la función y = -f(x), se debe reflejar en forma simétrica a la gráfica de f con respecto al eje de abscisas.
Trigonometría 31
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
-1
1
Y
X
2
y=-Cosx y=Cosx
Valor Absoluto de una Función
Si tenemos la gráfica de la función y = f(x), para construir la gráfica de la función y = f(x)no debemos cambiar los tramos de la grafica de f que están por encima del eje x y debemos reflejar simétricamente a los tramos de la gráfica de f que están por debajo del eje X.
Ejemplo:
-1
1
Y
X2
y= Cosx //
0 2
y=Cosx
PROBLEMAS PARA LA CLASE
Trigonometría 32
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
01) Indicar la regla de correspondencia dado el siguiente gráfico:y
x
3;
3;2
02) Indicar la regla de correspondencia e la función “f” que genera la siguiente gráfica:
y
x
2
-3
23
03) En la siguiente grafica, se muestran un senoide y un cosenoide. Calcular el área del triángulo sombreado.
Senxg )x(
Coxf )x(
04) Indicar la gráfica de la función “f”, si:f(x) = Sen2xCotx + Cos2x Tgx
05) Indicar la grafica de la función “f”, si:f(x) = Sen2x(Tgx + Cotx)
06) Indicar la grafica de la función “f”, si:
07) ¿En cuantos puntos del intervalo 0 ; 4, la función:
, interseca al eje x?
08) En el siguiente gráfico se ha representado la curva: y = aCos(2x + ) + 2. Calcular el área de la región sombreada.
y
x
6
09) Si el periodo de: f(x) = 2|Sec4x| es la mitad del periodo de: g(x) =
Sen(nx)Csc . ¿Cuál es el
periodo de: h(x) = |Tg(3n + 1)x|?
10) Halle el periodo de: y = f(x) = Cos(Cosx)
11) Graficar la función:
12) Dada la grafica:y
2 2 O
Una regla de correspondencia de la curva mostrada, será:
13) Graficar la siguiente función:f(x) = 2Senx
Trigonometría 33
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
14) Graficar la función:
15) Graficar la función:
16) Del gráfico, calcular: a – b y
x
y = 2Sen2x
b;8
7Q
a;6
P
17) Calcular las coordenadas del punto P.
y
x
4
-1
1P
18) Hallar la suma de ordenadas de los puntos P y Q.
y = Senx
x
y
43
4
7
P
Q
19) Del gráfico mostrado, calcular el área de la región triangular AOB.
y
x
y = 2Senx
B A
O
20) Dada la gráfica, calcular el área de la región sombreada
y
x4
4
2
2
y = tgx
Trigonometría 34
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
PROBLEMAS PARA LA CASA
01) Al esbozar la gráfica de la función f, donde:
indicar el rango de
f.a) R – {0} b) Rc) Z+ d) R– e) N.A.
02) Hallar el área de la región sombreada en términos de r.
y
x
Circunferencia
2xrSeny
a) b)
c) r(1 – 2r) d) r(1 – 3r)e) N.A.
03) Dada la función:f(x) = |x| - |3senx| x [-2; 2]
a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 5
04) Calcular el área del rectángulo sombreado, si es paralelo al eje x y su longitud es 2
y y = Sen(-x)
M N-1
a) 2Cos1 b) Cos2c) 2Cos0 d) 2Cose) N.A.
05) De la figura mostrada, hallar x2 – x1
y
x
y = |Sen3x|
y = Cosx
2x1x
a) b)
c) d)
e)
Trigonometría 35
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
06) Construir el gráfico de la siguiente función:
a)
y
O
2
2
)x(f
x
b)
y
-2
)x(f
2
x
07) Graficar:
f(x) = Secx . Cosx
a)
y
Ox2
-1
b) y
Ox
2
23
2
1
08) Graficar:
f(x) = 1 – 2Cosx
a) y
x
-1
1
2
2
b) y
x
-1
1
2 2
Trigonometría 36
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
09) Graficar:
a)y
x2
O
b) y
2Ox
1
10) Hallar los valores de x para los cuales el valor de la función f no está definida.
a) 3 b) k–1; k Zc) k ; k Z d) k2 - 1 d) (n – 1) ; n N
11) Si: F(x) = 3Sen22x + 2
G(x) = 4Cos37x – 1Hallar los rangos de F y G. Dar como respuesta la intersección:
a) [2 ; 3] b) [1 ; 4]c) [2 ; 3 d) 2 ; 3e) 1 ; 2
12) De la figura, calcular el área de la región triangular UNI
y
x
O
y = Cot(bx) + 1
y = Cot(bx)
U
N I
2
a) b) c)
d) e)
13) Hallar el gráfico de:
a)
Trigonometría 37
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
y
Ox
3
2
6
b)
y
x
O 3 6
c) y
xO 62
14) Determinar el número de intersecciones de:
f(x) = Sen2x – Tgx
Con el eje de abscisas, si
a) 5 b) 6c) 7 d) 8e) 9
Trigonometría 38
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
15) Graficar:
f(x) = Sen(5x – 2|x|) ;
a)
4
4
b)
y
x
-1
1
4
6
c)
y
Ox
6
4
1
-1
Trigonometría 39
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
TEMA: TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS
CASO I
DE SUMA O DIFERENCIA A PRODUCTO
Ejemplos:
Transforme a producto las siguientes expresiones:
Sen40° + Sen20° = 2Sen30°Cos10° Sen8x – Sen4x = 2Cos6xSen2x Sen40° – Sen52° = 2Cos46°Sen(-6°) = -2Cos46°Sen6° Cos62° + Cos10° = 2Cos36°Cos26°
Cos7x – Cos2x = -2Sen Sen
Sen(20° + x) + Senx = 2Sen(10° + x)Cos10° Cos(40° + ) + Cos(40° – ) = 2Cos40°Cos
PROPIEDAD:
Trigonometría 40
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Si A + B + C = 180°, se cumple:
CASO II
DE PRODUCTO A SUMA O DIFERENCIA
Trigonometría 41
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) Simplificar:
Rpta.:
02) Hallar “x” en:
Rpta.:
03) Reducir la expresión:
Sen80° + Cos250° – Sen40°
Rpta.:
04) Calcule “k”, a partir de la identidad:
Sen20° +Cos50° + Cos10° = kCos10°
Rpta.:
05) Transformar a producto:
1 + Cos12° + Cos24° + Cos36°
Rpta.:
06) Calcular “k”, de la siguiente igualdad:
kCos50° = Csc50° – Csc10°
Rpta.:
07) Siendo: Cos110° = k, halle: Sen225° – Sen25°, en términos de k
Rpta.:
08) Calcule el valor de:
Rpta.:
09) Calcule el valor de:
Rpta.:
10) Calcule el valor de:
M = 4Sen290° + Sec280
Rpta.:
11) A partir de:
Sen7Sen5 – Sen3Sen =
Calcule: Cos4
Rpta.:
Trigonometría 42
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
12) Halle el mínimo valor de:
P = Sen(x + 20°)Cos(x – 10°)
Rpta.:
13) Reducir:
E = Sen7xSen2x – Sen6xSen3x + Cos6xCos3x
Rpta.:
14) Calcular:
E = Cos2x + Cos2(120° – x) + Cos2(120° + x)
Rpta.:
15) Simplificar:
E = 2(Cos5°+Cos3°)(Sen3°–Sen1°)
Rpta.:
16) Calcular:
para x = 5°
Rpta.:
17) Factorizar:
E = Sen1° + Sen3° – Sen5° + Sen9°
Rpta.:
18) Si A + B +C = , hallar “x”
SenA + SenB + SenC =
Rpta.:
19) Calcular:
M = Sen410° + Sen450° + Sen470°
Rpta.:
20) Calcular “x”
Rpta.:
Trigonometría 43
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
PROBLEMAS PARA LA CASA
01) Calcular:
P = Sen24° . Cos6º
a) b)
c)
02) Calcular:
E = Cos2 + Cos2 + Cos2
a) b)
c) d)
e)
03) Calcular:
M = Sec80° – 2Sen70°
a) 0 b) -1c) 2 d) 1e) 3
04) Calcular:
P = Cot20° – 4Cos20°
a) 1 b) 0c) -1 d) 2e) 3
05) Calcular:
E = Cos . Cos . Cos
a) b)
c) d) e) 0
06) Calcular:
E = Sen + Sen + Sen
a) b)
c) d) e) N.A.
07) Calcular:
P = Tg – Tg – Tg
a) b) 7c) d) e)
08) Simplificar:
Trigonometría 44
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
a) Sen3 b) Sec3
c) Csc3 d) Sen3
e) Csc
09) Calcular el valor de:
E = Cos81°Sec42° – Cos78°Sec9°
Si: Sen18° = y
Cos36° =
a) 0 b) 1c) -1 d) 2e) -2
10) Reducir la siguiente expresión:
M = 2Sen8Sen5-2Sen3Sen
a) Sen28Cos4b) Sen24Sec4c) Sen24Sec8d) Sen28Csc4e) N.A.
11) Reducir la expresión:
Csc10° – 2Cos20°
a) 0 b) -1c) 1 d) 2e) -2
12) Calcular:
P = Sec41°Sec4°(Cos37° + Sec45°Sen30°)
a) 0 b) -1c) 1 d) 2e) 3
13) Si se cumple:Cos10°Sen140° = a
Halle el valor de:4a – 2Sen130°
a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 0
14) Transformar a producto la siguiente expresión:
N = 1 – Sen20°
a) Tg40°Sen20°b) Cot40°Sen20°c) Tg40°Cot20°d) Cot40°Sen20°e) N.A.
15) Simplificar:
a) 2Sen b) Tgc) 2Cos d) 2Tge) Cos2
Trigonometría 45
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Trigonometría 46
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
TEMA: ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Definición: Son igualdades condicionales que presentan funciones trigonométricas ligadas a una variable angular y se cumplen para un conjunto de valores angulares que hace posible la igualdad original.
Ejemplos de ecuaciones trigonométricas:
Senx =
Cos3x –Senx = 1
Sen2 =
Cos2x + Tgx = Senx Tgx + Tg2x = 0 1 + Tgx + Sec2x = Cosx
Sec2x + Cos3x =
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS ELEMENTALES:Son ecuaciones de la forma:
Donde:F. T. : Funciones Trigonométricas x : Variable angular
Además : A, B, N son constantes y A 0 N : Valor Admisible
Ejemplos de ecuaciones trigonométricas elementales:
Senx =
Cos = 1
Trigonometría 47
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Tg =
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICAEs un número real (ángulo expresado en radianes) que satisface la ecuación trigonométrica dada.
VALOR PRINCIPAL DE UNA ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA ELEMENTAL (V.P.)
Sea la ecuación trigonométrica elemental:
F.T.(Ax + B) = N
Donde:
Expresiones generales de todos los arco que tiene una misma función trigonométrica
1) Para el SENO:
2) Para el COSENO:
3) Para la TANGENTE:
Donde: k Z
Trigonometría 48
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) Calcule la menor solución positiva de la ecuación:
Cscx – Senx = Cosx
Rpta.:
02) Hallar la menor solución positiva en:
Cos2 + Sen2 = 0
Rpta.:
03) Halle la menor solución positiva de la ecuación:
tgxTg3x = 1
Rpta.:
04) Calcule la menor solución de la ecuación:
Senx +Sen3x + Sen5x + Sen7x = 0
Rpta.:
05) Resolver:5 – 4Sen2x – 4Cosx = 0
Para x - ;
Rpta.:
06) Determine la solución general de la ecuación:
3 – 5Tgx = -5 +
Rpta.:
07) Resolver;
Rpta.:
08) Resolver:4Sen4x + 2Sen2xCos2x = 1
Rpta.:
09) Resolver:Cos6x + 2Sen3x + 3 = 0
Rpta.:
10) Calcule la suma de soluciones de la ecuación:
Sen2x – Cosx = 0Si x 0 ;
Rpta.:
11) Indicar una solución de:2Tg2xSecx = 1
Rpta.:
12) Resolver la ecuación:
Indicar la suma de soluciones
en el intervalo:
Rpta.:
Trigonometría 49
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
13) Hallar una solución de la ecuación:
Rpta.:
14) Hallar el valor principal de:
Rpta.:
15) Resolver:
Rpta.:
16) Resolver:
Rpta.:
17) Resolver:Cos3x = -1
Rpta.:
18) Resolver:
Rpta.:
19) Resolver:
Indicar el número de soluciones comprendidas en [-2 ; 5]
Rpta.:
20) Resolver: 2Cos2x– Cos – 1 = 0 e indicar las soluciones en 0 ; 2
Rpta.:
Trigonometría 50
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Trigonometría 51
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
PROBLEMAS PARA LA CASA
01) Resolver: Cotx = -1
a) b)
c) d) e) N.A.
02) Resolver: Cosx =
a)
b)
c)
d) 2k + 3/9
e)
03) Resolver:
a) b) n /6c) 2k /6 d) n + (-1)n/3e) N.A.
04) Resolver:
a)
b)
d) c) (2n – 1) ; n Ze) N.A.
05) Resolver:Sen + Cos =
a) k + /4 ; k Zb) k - /4 ; k Zc) 2k + /4 ; k Zd) 3k + (-1)k/4 ; k Ze) N.A.
06) Resolver:
a) b)
c) k /4 d) k /3e) N.A.
07) Resolver:
a) b)
c) e)
e) N.A.
08) Resolver: 3Senx = =2Cos2x
Trigonometría 52
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
a)
b)
c)
d) e) N.A.
09) Resolver:1 – Tgx = Cos2x(x k k Z)
a) b)
c) d)
e) N.A.
10) Resolver:
a) b)
c) d) k e) N.A.
11) Resolver
Cotx . Sen3x – 2Cosx =
Dar como respuesta la mayor solución negativa.
a) b) c)
d) e) N.A.
12) Calcular la suma de las 3 primeras soluciones positivas de la ecuación:
2Cos2x = -4Cosx – 3
a) 320° b) 460° c) 840°d) 480° e) 180°
13) En la ecuación:
Hallar la menor solución positiva.
a) b) d)
d) e)
14) Resolver:(Cot2x – Cot2x)2 + Sec2x = 3
a) b)
c) d)
e)
15) Resolver:
Senx + Sen3x + Sen5x = Cosx + Cos3x + Cos5x
Trigonometría 53
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
a) b)
c) d)
e)
Trigonometría 54
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
MISCELÁNEA
01) La medida de un ángulo en el sistema sexagesimal es (20 + x)° y en el sistema centesimal es (20 – x)g. Calcular la medida de dicho ángulo en radianes.
Rpta.:
02) Sabiendo que “S”, “C” y “R” son las medidas de los 3 sistemas para un ángulo, se cumple:
. Calcular la
medida del ángulo en radianes.
Rpta.:
03) Dos ángulos y son coterminales y además complementarios. Hallar la medida del ángulo , si: 200° < < 300°
Rpta.:
04) El número de grados sexagesimales que mide un ángulo más el número de grados centesimales que mide otro ángulo e 196. calcular la medida del menor ángulo en radianes, sabiendo que son complementarios.
Rpta.:
05) El perímetro de un triángulo es 330m. Si la tangente de uno de los ángulos agudos vale 2,4. ¿Cuánto mide el cateto menor?
Rpta.:
06) Si: Sec = Csc2. Hallar:
Rpta.:
07) De la figura, expresar h en términos de , y x
x
h
Rpta.:
08) En la figura, MNPQ es cuadrado. B es punto medio y AB = MN. Calcular: Sen
A
M
N
Q
B
P
Rpta.:09) El perímetro de un triángulo
rectángulo ABC (B = 90°) es 180. Calcular su área si la
Trigonometría 55
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
secante de su mayor ángulo agudo es 2 , 6.
Rpta.:
10) Se tiene un triángulo ABC, tal que AB = 6,5 y AC = 12. Calcular el área de dicho
triángulo si
Rpta.:
11) ¿A qué cuadrante pertenece ?
Rpta.:
12) ¿A que cuadrante pertenece ?
Rpta.:
13) Si es un ángulo en posición normal, tal que en un punto de su lado final es (-5 ; -12). Hallar la Csc
Rpta.:
14) Si: ; IVC.
Calcular: Sen – Cos
Rpta.:
15) Si , además:
IIIC. Hallar: N = Csc + Cot
Rpta.:
16) Sabiendo que:
Calcular: F() + F(2)
Rpta.:
17) Si y son ángulo positivos menores de una vuelta, tal que; IVC y IIC.¿A que cuadrante pertenece:
?
Rpta.:
18) Calcular el valor de “ + ”, sabiendo que se cumple: Sen – Cos2 = 0 …….. (1)SenCsc4 = 1 …….. (2)Además, y son ángulos agudos.
Rpta.:
19) Si . Calcular: Tg2x + Cot2x
Rpta.:
Trigonometría 56
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
20) Si: Sen2 + Sen = 1Calcular:
Rpta.:
21) Del gráfico mostrado calcular: “aTg”
y
x
3;2a
(-2 ; -a)
Rpta.:
22) En un triángulo ABC, se cumple:
TgC = 2TgB = 3TgA
Calcular: Cos2A
Rpta.:
23) Calcular: Sen2, si:
Rpta.:24) Calcular el valor de:
M = Cos40°Cos20° + Cos120°.Sen70°
Rpta.:
25) Hallar el valor de “k”, a partir de:
KSen40° = Sec40° + Sec100°
Rpta.:
26) Reducir:
Rpta.:
27) Si: = 72° y = 63°. Calcular:
Rpta.:
28) Sabiendo que se cumple la identidad:
Indicar un valor de: m – n
Rpta.:29) Simplificar:
Trigonometría 57
COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer Año
Rpta.:
30) Hallar el valor de: P = A + B, si además:
A = Sen210° + Sen250° + Sen280°B = Cos220° + Cos240° + Cos280°
Rpta.:
31) Hallar el mínimo valor de la expresión:
R = Sen2x + 9Cos2x + 6SenxCosx
Rpta.:
32) Hallar P:
Para:
Rpta.:
33) En un triángulo ABC, se tiene que: , mA = 135°, mC = 15°. Calcular la longitud del lado “C”.
Rpta.:
Trigonometría 58
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