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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA LABORATORIO DE FÍSICA No. 1
FUERZAS EN UN PLANO INCLINADO
1. OBJETIVO:
1. Describir la Descomposición de las fuerzas de un cuerpo sobre un plano inclinado.
2. Verificar la Tercera Ley de Newton como responsable de la Fuerza Normal, y
estudiar su naturaleza.
2. MONTAJE:
1. Monte el experimento según la Fig. 4
2. Coloque el dinamómetro de 1N justo en el centro del extremo superior del carril,
engánchelo al carrito.
3. Coloque el pasador en el carrito, y fije en él dinamómetro de 2N con un trozo
pequeño de sedal.
Fig. 1 Carrito en plano inclinado en equilibrio dinámico, los dinamómetros han sido colocados para
medir las componentes de las fuerzas de reacción al peso de móvil.
3. EQUIPO DE LABORATORIO:
1. Pie estático
2. Varilla de soporte de 600 mm
3. Varilla de soporte de 250 mm
4. Varilla de soporte con orificio, 100 mm
5. Nuez doble
6. Carro para medidas y experimentos
7. Dinamómetro de 1N
8. Dinamómetro de 2N
9. Soporte para dinamómetros
10. Pasador de sujeción
11. Masas de ranura
12. Cinta métrica de 2m
13. Sedal
14. Tijeras
15. Carril de 500 mm
4. TEORÍA
Debido a la masa de la Tierra, todos los cuerpos que la habitan sienten una fuerza dirigida
hacia el centro del planeta, conocida como fuerza gravitacional o peso (W ). Esta fuerza
produce una aceleración conocida como aceleración de la gravedad ( g ). La relación entre
el peso y la aceleración de la gravedad es:
gmW
(1)
donde m es la masa del cuerpo.
Al dejar rodar un cuerpo en un plano inclinado, con un ángulo de inclinación , es conocido
que este baja gracias a su peso, como lo indica la Fig. 2
mov
θ
Fig. 2 El carro de prueba experimental, al ser soltado sobre un plano inclinado baja debido a
la acción de la gravedad.
Dado que la dirección del movimiento no es vertical sino que es paralela al plano inclinado,
se deduce que existe una fuerza paralela al plano inclinado, componente vectorial del peso,
que provoca la bajada del carro. La otra componente resulta ser la que mantiene al carro en
contacto con el plano inclinado, en otras palabras es el peso que “siente” el plano inclinado,
y es perpendicular a la superficie del plano, como lo indica la Fig. 3.
Fig. 3 Descomposición del peso del cuerpo en dos fuerzas perpendiculares, la primera, hF es la que
impulsa al carrito a lo largo del plano inclinado, siendo paralela a éste. La otra fuerza resulta ser
perpendicular al plano y es la que ejerce el carro sobre este plano. Nótese que ambas fuerzas son
perpendiculares entre sí, por lo que el ángulo de inclinación del plano es el mismo que existe entre
el peso W y la fuerza perpendicular al plano nF .
Así, hF y nF se convierten en las componentes rectangulares del peso W . Analizando sus
magnitudes y gracias a las propiedades trigonométricas de los triángulos rectángulos se
puede afirmar que:
cos
sin
WFn
WFh
(2)
Debido a la Tercera Ley de Newton que afirma: “Toda fuerza de acción genera una fuerza
de reacción, de la misma magnitud, pero de sentido contrario, que se siente en cuerpos
diferentes”, al actuar el peso sobre el plano inclinado éste reacciona sobre el carrito
mediante una fuerza de igual magnitud pero de sentido contrario llamada Fuerza Normal,
que será denominada por nF .
Esta fuerza aparece siempre que existan dos cuerpos en contacto, y se la llama normal
debido a que siempre es perpendicular o normal a la superficie en contacto. Así el diagrama
de fuerzas que actúan sobre el carrito queda como se indica en la Fig. 4.
nF
hF
W
Fig. 4. Diagrama de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en un plano con un ángulo de
inclinación . El plano inclinado ofrece al carro una fuerza de reacción a su peso, llamada fuerza
normal, de igual magnitud que la componente Fn pero de sentido contrario.
5. PROCEDIMIENTO Y TABLA DE DATOS:
1. Antes de montar el experimento, mida con el dinamómetro el peso del carro solo,
denominándolo W. Repita el procedimiento cargando al carro con una masa de 50g
y 100g. Anote los valores en las Tablas 1 y 2.
2. Coloque el carril a una altura h de 20cm, mida con la cinta métrica las distancias b y
l, anote los valores en la Tabla 1.
3. Eleve perpendicularmente el carrito sin masa con el dinamómetro 2N justo hasta el
momento en que las ruedas no toquen el carril. Recuerde que siempre debe tirar
perpendicularmente al carril.
4. Lea los dos dinamómetros, anotando los valores como Fh´ y Fn´ en la Tabla 1.
5. Repita el procedimiento, agregando las masas m de 50g y 100g. Anote los valores
en la Tabla 1.
Tabla 1. h = 20 [cm]
L = ………. b= ……….
m [g] W [N] Fn´ [N] Fh´ [N]
0
50
100
nF
hF
W
nF
6. Ajuste la altura h a 30 cm y repita el procedimiento anotando los valores en la Tabla
2.
Tabla 2. h = 30 [cm]
l = ………. b= ……….
m [g] W [N] Fn´ [N] Fh´ [N]
0
50
100
6. TRABAJOS
1. Utilizando los datos de la Tabla 1, llene la Tabla 3:
Tabla 3.
h/l = ……... b/l= ..…….
m [g] Fh´/W Fn´/W
0
50
100
2. Utilizando los datos de la Tabla 2, llene la Tabla 4:
Tabla 4.
h/l = ……... b/l= ..…….
m [g] Fh´/W Fn´/W
0
50
100
3. En papel milimetrado sume por el método del paralelogramo las fuerzas nF y hF ,
con las tres distintas masas y para las dos alturas. (Adjunte los 6 gráficos). Anote en
la Tabla 5 los valores de los módulos de las fuerzas resultantes RF :
Tabla 5.
m [g] RF [N]
h = 20 [cm] 0
50
100
h = 30 [cm] 0
50
100
7. PREGUNTAS
1. Utilizando la Fig. 1, deduzca geométricamente las fórmulas (2)
2. Compare los cocientes Fh´/W y h/l de las Tablas 3 y 4 y anote sus conclusiones.
3. Compare los cocientes Fn´/W y b/l de las Tablas 3 y 4 y anote sus conclusiones.
4. ¿A qué deberían ser iguales los valores del módulo de la fuerza RF de la Tabla 5?
Explique.
5. ¿Qué fuerza mínima se debe aplicar para empujar un automóvil cuesta arriba?
6. ¿Por qué se producen las Fuerzas nF y hF , si no son las componentes del peso?
8. CONCLUSIONES
9. RECOMENDACIONES
10. BIBLIOGRAFÍA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA LABORATORIO DE FÍSICA N°1 (Parte 2)
DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS EN TRES DIMENSIONES
1. OBJETIVO:
1. Descomponer rectangularmente diferentes clases de fuerzas en tres dimensiones.
2. Construir un sistema dinámico en equilibrio estático, formado por Tensiones, Pesos
y Fuerzas elásticas y caracterizarlo completamente.
2. MÉTODO:
1. Tomar la longitud del resorte con el que se trabajará en la posición de equilibrio con
el calibrador.
2. Construir un sistema en Equilibrio estático con dos tensiones, una fuerza elástica
producto del uso de un resorte y un peso, utilizando los soportes universales, tal
como lo indica la Fig. 1
3. Caracterizar el sistema tomando los ángulos y las distancias principales del sistema,
comprobar los principales conceptos utilizados: ángulos directores, Ley de Hooke, y
las principales transformaciones trigonométricas.
3. EQUIPO UTILIZADO
1. Sistema de Referencia Rectangular
2. Soportes universales con nuez
3. Portamasas con gancho
4. Hilo
5. Diferentes masas
6. Resorte
7. Calibrador
8. Dinamómetros
9. Flexómetro
10. Tijeras
Fig. 1 Estructura dinámica de dos tensiones, una Fuerza Elástica y un Peso en equilibrio.
4. TEORÍA:
4.1 DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR DE LOS VECTORES EN TRES DIMENSIONES CON COSENOS DIRECTORES:
A diferencia de la descomposición vectorial en dos dimensiones, el trabajo en tres
dimensiones puede mostrar más dificultad, sin embargo, el método de los cosenos
directores nos permite facilitar mucho los procedimientos.
Todo vector puede presentarse en función de los cosenos directores, de la siguiente manera:
kjiFF
coscoscos (1)
Donde F a , , y se los llama ángulos directores, y se los define como “los menores
ángulos formado con los ejes positivos de x, y e z respectivamente”. Tal como muestra la
Fig. 2.
Fig. 2. Vector con sus componentes rectangulares y cosenos directores.
Es decir que cada componente rectangular del vector F será:
cos
cos
cos
FFz
FFy
FFx
(2)
4.2 EQUILIBRIO
Se conoce que cuando un sistema está en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme, es
decir que tiene una aceleración nula, está en equilibrio. Debido a la segunda ley de Newton
que afirma F = ma, si la aceleración neta sobre el sistema es cero, la fuerza neta, es decir la
suma vectorial de todas las fuerzas del sistema, también lo será:
n
i
F1
0
(3)
Al descomponer cada esta sumatoria en sus componentes rectangulares, la suma de cada
una de las componentes en x, y e z también deberá ser nula:
x
y
o
z
Fx
Fy
Fz
n
i
n
i
n
i
Fz
Fy
Fx
1
1
1
0
0
0
(4)
A estas fórmulas se las conoce como ecuaciones del equilibrio estático y al estar en dos
dimensiones se analizan únicamente las componentes x e y, la componente z se utiliza
cuando se trabaja en tres dimensiones.
4.3 LEY DE HOOKE:
Revisemos nuevamente los conceptos referentes a esta Ley: al estirar un resorte se genera
una fuerza llamada Fuerza Elástica, la Ley de Hooke es la que describe su comportamiento:
kxF (5)
Donde x es la elongación del resorte, k depende de las características de construcción del
resorte y F es la Fuerza Elástica, siempre en sentido contrario a la elongación, como
muestra la fig. 6
Fig. 6. Fuerza elástica sobre un resorte F, siempre es de sentido contrario a la elongación de éste.
Posición de equilibrio
Elongación negativa -x
Posición de equilibrio
Posición de equilibrio
Elongación positiva x
F = 0
F
F
5. PROCEDIMIENTO Y TABLA DE DATOS:
1. Tomar la longitud inicial del resorte (en su posición de equilibrio) con el flexómetro
y anotarlo en la Tabla 1.
2. Colocando un resorte en soporte universal, someta al primer resorte a un peso
conocido, utilizando una masa de 100g anote la longitud final del resorte producto
del peso, y la magnitud del peso utilizando el dinamómetro. Calcule la elongación.
Repita la operación con dos masas más de 150g y 200g. Anote los resultados en la
Tabla 1.
Tabla 1. Elongaciones del resorte producto de tres pesos diferentes.
POSICIÓN DE EQUILIBRIO =
PESO [N] LONGITUD [m] ELONGACIÓN [m]
W1 = x1= Δx1=
W2 = x2= Δx2=
W3 = x3= Δx3=
3. Se prepara el equipo de Laboratorio tal como se describe en la Fig. 1.
4. Coloque los dinamómetros en sus soportes asegurándose que estén a la misma
altura.
5. Prepare dos hilos de igual longitud (10cm) para unir los dinamómetros al
portamasas.
6. Utilice otro hilo más pequeño (5cm) para el resorte.
7. Utilice una masa de 200g. Determine su peso y anótelo en la Tabla 2.
8. Coloque el portamasas en el punto de unión entre el resorte y los dinamómetros.
9. Asegúrese que los hilos y la varilla de los dinamómetros estén en línea recta.
10. Mida la altura desde la mesa al punto de sujeción del portamasas.
11. Los dos hilos que forman el sistema de referencia deben formar un ángulo recto.
12. Mida la longitud final del resorte y calcule la elongación. Anote esos datos en la
Tabla 2.
Tabla 2. Elongación del resorte y el peso del sistema.
Elongación [m]
Peso: W [N]
13. Mida las fuerzas F1 y F2 en los dinamómetros y anote los valores obtenidos en la
Tabla 3.
Tabla 3. Magnitudes experimentales de las Fuerzas F1 y F2
F1= [N]
F2 = [N]
14. Fije el nombre de cada uno de los ejes coordenados.
15. Tome cuidadosamente los ángulos directores de cada fuerza con un graduador.
Recuerde que para medir el ángulo la fuerza y el eje respecto al cual hacemos la
medición deben formar un mismo plano. Se anotan los datos en la Tabla 4.
Tabla 4. Ángulos directores de las fuerzas
F1 1 = 1 = 1 =
F2 2 = 2 = 2 =
F3 3 = 3 = 3 =
W 4 = 4 = 4 =
6. TRABAJOS
1. Con los datos de la Tabla 1 realice una gráfica en papel milimetrado del peso vs. la
elongación. Determine la relación, grafíquela y halle la pendiente de la curva.
(Adjunte gráfico)
2. Con los gráficos anteriores y la Ley de Hooke Ec. (5). Calcule la constante del
resorte, y con el dato de la Elongación de la Tabla 2. determine la magnitud de
F3:
3. Con los datos de la Tabla 4 compruebe la relación que debe existir entre la suma de
los cosenos directores para cada fuerza.
4. Con las ecuaciones de equilibrio estático (4) y los datos de la Tabla 4, genere un
sistema de ecuaciones en x, y e z, donde se conoce la Fuerza Elástica F3, el peso y
los ángulos directores de cada fuerza y permanecen como incógnitas únicamente F1
y F2. Resuelva el sistema de ecuaciones y halle las magnitudes teóricas de F1 y F2 .
7. PREGUNTAS:
1. Compare los valores teóricos obtenidos en el trabajo 4 con los valores
experimentales obtenidos de la Tabla 4. ¿Deben ser iguales? Sí, no, por qué?
2. Indique un método alternativo al de los cosenos directores para descomponer
fuerzas en tres dimensiones que se pueda utilizar en el laboratorio.
8. CONCLUSIONES
9. RECOMENDACIONES
10. BIBLIOGRAFÍA
Constante del resorte [N/m] Fuerza Elástica F3
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA LABORATORIO DE FÍSICA N°2
DISTRIBUCIÓN DE FUERZAS EN UNA VIGA
1. OBJETIVO:
1. Obtener las reacciones en los apoyos de una viga sin carga, colgada simétrica y
asimétricamente.
2. Estudiar los efectos de una carga sobre las reacciones en los apoyos, en función de
la posición de la carga sobre la viga
2. MONTAJE:
1. Prepare dos trozos de sedal con lazos (aprox.10 cm) y páselos por los extremos de la
viga, (ver Fig. 1)
2. Montar el dispositivo como se muestra en la Fig. 1.
3. Desplace las dos mitades del pie estático de forma que los dos lazos con los
dinamómetros queden verticales en la marca “10” a la derecha e izquierda de la
viga.
4. Ajustar la altura de los dinamómetros para que la viga quede horizontal
Fig.1 Esquema del montaje para el análisis de una viga apoyada en sus extremos
3. EQUIPO DE LABORATORIO: 1. Pie estático
2. Varilla soporte, 600mm
3. Varilla soporte con orificio, 100mm
4. Nuez doble
5. Palanca
6. Dinamómetro 1N y 2N
7. Portamasas
8. Masas de ranura
9. Soporte para dinamómetros
10. Sedal
4. TEORÍA
4.1. FUERZA
Una fuerza F es una magnitud que nos indica la capacidad que tiene un cuerpo de cambiar
su estado de equilibrio (reposo o velocidad constante), que esta definido como:
amF (1)
Momento de una fuerza
El momento de una fuerza es una magnitud que nos indica la capacidad que tiene un cuerpo
a girar sobre un eje por acción de una fuerza esta definido como:
FRM
(2)
Donde R es la distancia que existe desde el eje hasta la fuerza. En magnitud el momento es:
RFsenM (3)
Si R es perpendicular a la fuerza entonces tenemos:
RFM (4)
Principio de Equilibrio
Cuando un cuerpo se encuentra en equilibrio se consideran dos principios básicos que
surgen de las leyes de Newton, estos son:
a. La fuerza neta en el sistema es cero.
0n
i
iN fF (5)
b. El Momento neto del sistema es cero.
0n
i
iN mM (6)
Análisis de la dinámica de una viga apoyada sobre dos soportes.
La viga sujeta a los dos dinamómetros en el experimento, representa el mismo problema de
y una viga apoyada sobre dos soportes como se muestra en la figura 2.
Fig. 2 Esquema de una viga apoyada sobre dos soportes
El sistema mostrado en la figura 2 se encuentra en equilibrio, así, la sumatoria de los
momentos es igual a cero, tomando como eje el apoyo 1 entonces se tiene que el momento
neto es:
02
2
axFa
LwbaLRmM m
n
i
iN (7)
R1 y R2 son las reacciones de los apoyos, observe que en la práctica vienen a ser las fuerzas
que soportan la viga y que se puede ver en los dinamómetros. De la ecuación 7, podemos
encontrar R2:
baL
axFaL
w
Rm
2
2 (8)
Para hallar R1 se analizara los momentos tomando como eje el apoyo 2, entonces
02
1
byFb
LwbaLRmM m
n
i
iN (9)
Despejando R1:
baL
byFbL
w
Rm
2
1 (10)
Para observar la relación que existe entre las reacciones de los dos apoyos, miremos la
razón de R1/R2:
axFaL
w
byFbL
w
R
R
m
m
2
2
2
1 (11)
De esta relación se puede observar que R1 y R2 son iguales cuando, a = b y x = y.
5. PROCEDIMIENTO Y TABLA DE DATOS:
1. Monte el experimento como se muestra en la Fig. 1.
2. Mida el peso de la viga FB
FB= [N]
3. Verifique que la viga se encuentre en posición horizontal
4. Introduzca la viga por los lazos, hasta que queden junto a las espigas que se vaya a
utilizar. Verifique que los lazos y los dinamómetros queden verticales.
5. Lea los dos dinamómetros y anote estos valores en la Tabla 1.
6. Repita el procedimiento colocando los lazos en las marcas 6 y 3 sucesivamente, lea
los dinamómetros y anote estos valores en la Tabla 1.
7. Coloque la viga nuevamente en posición inicial (marca “10”), y coloque
sucesivamente el dinamómetro de la derecha sobre las marcas 8, 6, 4, 2 y 0. Lea los
dinamómetros en cada una de las posiciones, y anote los valores en la Tabla 2.
Tabla 1
marcaiz marcader F1 [N] F2 [N]
10 10
6 6
3 3
Tabla 2
marcaiz marcader F1 [N] F2 [N]
10 8
10 6
10 4
10 2
10 0
8. En la Tabla 3 anote los valores F1 y F2 medidos con la viga sin masa extra y con los
lazos en la marca 10. Mida el peso de la masa Fm que se va a colocar en la viga y
anote este valor.
Fm= [N]
9. Coloque el platillo para masas con 20 g en la marca 9, a la derecha. Lea F1 y F2 y
anote los valores en la Tabla 3.
10. Repita el procedimiento colocando la masa en las marcas 9, 7, 5, 3, y 1, y otra vez
hacia la izquierda, a las marcas 1, 3, 5, 7 y 9. Anote los valores F1 y F2 en la tabla 3.
Tabla 3
marca F1 [N] F2 [N]
sin carga
derecha
9
7
5
3
1
izquierda
1
3
5
7
9
6. TRABAJOS
1. Con los datos de la Tabla 1 encuentre la Ftot además calcule los cocientes F1/F2.
Anote los resultados en la tabla 4. (Adjunte ejemplo de cálculo)
Tabla 4
marcaiz marcader Ftot [N] F1/F2
10 10
6 6
3 3
2. Con los datos de la Tabla 2 encuentre la Ftot además calcule los cocientes F1/F2.
Anote los resultados en la tabla 5. (Adjunte ejemplo de cálculo)
Tabla 5
marcaiz marcader Ftot [N] F1/F2
10 8
10 6
10 4
10 2
10 0
3. Con los datos de la Tabla 3 calcule Ftot y anote los datos en la tabla 6.
Tabla 6
marcader Ftot [N] marcaiz Ftot [N]
9 1
7 3
5 5
3 7
1 9
4. Con los datos de la Tabla 3 realice una gráfica de marca vs F1 y marca vs F2 en un
solo diagrama de manera que las gráficas se sobrepongan, use una hoja de papel
milimetrado.
7. PREGUNTAS:
1. ¿Qué representa el centro de la viga?. Responda desde el punto de vista físico
2. Dibuje a escala las fuerzas que actúan sobre la viga, tomando una unidad apropiada
(ej: 1N = 2cm). Realice un diagrama para cada caso.
3. Compare los cocientes F1/F2 de las Tablas 4 y 5 con las cifras de las marcas de la
izquierda y de la derecha. ¿Qué puede concluir de los resultados?
4. A partir de los resultados de los trabajos 3 y 4 explique la relación entre las
reacciones en los apoyos obtenidas en el punto de aplicación de la masa. ¿Qué papel
desempeña aquí el centro de gravedad de la viga?
5. ¿Qué significado tiene el punto de intersección que se visualiza en el trabajo 4?
8. CONCLUSIONES
9. RECOMENDACIONES
10. BIBLIOGRAFÍA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA LABORATORIO DE FÍSICA No. 3
SUMATORIA DE FUERZAS Y TORQUES
1. OBJETIVO:
1. Encontrar el Torque neto que actúa sobre una barra rígida.
2. Encontrar la relación que existe entre el torque, la fuerza aplicada y el radio de giro.
3. Entender y visualizar la condición de equilibrio rotacional.
2. MÉTODO:
1. En una barra de palanca se colocarán, a diferentes distancias del centro, masas
iguales de manera que se alcance el equilibrio.
2. Se colocan en la barra de palanca diferentes masas con distintos radios.
3. Variar el centro de giro y ubicar las masas de manera que el sistema se encuentre en
equilibrio.
4. Calcular el torque para cada uno de los casos y encontrar la relación entre este, la
masa y el radio.
3. EQUIPO UTILIZADO
1. Barra de palanca
2. Soporte universal con nuez
3. Flexómetro
4. Barrilla de sujeción
5. Portamasas de 10 gramos.
6. Diferentes masas.
Fig. 1. Equipo armado y listo para la medición de radios de giro.
4. TEORÍA:
4.1 TORQUE DE UNA FUERZA La tendencia de una fuerza a hacer girar un objeto alrededor del mismo eje se mide por una
cantidad denominada Torque (). La magnitud del Torque debida a la fuerza F está dada
por:
(1)
En esta ecuación, representa el torque y la distancia r es el radio de giro o brazo de
palanca de la fuerza F (Ver Figura 2). La forma escalar de para calcular el Torque es:
(2)
donde es el ángulo entre el radio de giro y la fuerza. Si mide 90º entonces el torque
será:
(3)
Fig 2. Barra rígida donde se señala el eje de rotación (O), radio de giro (r), fuerza aplicada (F) y
punto de aplicación de la Fuerza (B)
El radio de giro es la distancia perpendicular desde el eje de rotación hasta una línea
trazada a lo largo de la dirección de la fuerza. Note que el valor de depende del eje de
rotación.
Recuerde que F=ma por tanto la relación entre el Torque y la masa será:
(4)
Se sabe que la aceleración a=αr, si reemplazamos este valor en la ecuación 4 se tendrá la
relación existente entre el Torque y la aceleración angular α:
(5)
Se debe recordar que el Torque es un vector perpendicular al plano determinado por el
radio de giro y la fuerza. Si los giros se realizan en el plano del papel entonces el Torque
saldrá y entrará del plano del papel. Se utiliza la tendencia de una fuerza aplicada a girar en
sentido de las manecillas del reloj, o contrario a este giro, para determinar si el Torque es
negativo o positivo respectivamente.
O
B
F
r
4.2 TORQUE Y EQUILIBRIO Para entender el efecto de una fuerza o un grupo de fuerzas sobre un objeto, debemos
conocer no sólo la magnitud y dirección de la(s) fuerza(s) si no también su(s) puntos(s) de
aplicación. Esto es, se debe considerar el Torque neto que actúa sobre un objeto.
Se determina como primera condición de equilibrio al requisito de que ∑ . La
segunda condición de equilibrio se expresa de la siguiente manera, “Si un objeto está en
equilibrio rotacional, el Torque neto que actúa sobre él alrededor de cualquier eje debe ser
cero. Esto es,
∑ (2)
La primera condición es un enunciado de equilibrio de traslación; la segunda es un
enunciado de equilibrio rotacional. Así como un objeto en equilibrio de traslación tiene
a=0, un objeto en equilibrio rotacional tiene =0, lo cual significa que no existe aceleración
rotacional.
4.3 UBICACIÓN DEL EJE DE ROTACIÓN
Cuando se desea resolver un problema de rotación, es necesario especificar un eje de
rotación, La opción es arbitraria, pero una vez tomada se la debe conservar de manera
permanente en todo el problema. A veces la naturaleza del problema sugiere una ubicación
cómoda para el eje, pero en ocasiones no existe un lugar que sea mejor que otro, por lo cual
se debe escoger el eje para calcular el Toque neto de la siguiente manera. Si el objeto está
en equilibrio, no importa dónde se coloque el eje de rotación, esta ubicación es
completamente arbitraria. Si el objeto no se encuentra en equilibrio se toma como eje de
rotación a un punto del objeto que se encuentre apoyado sobre un lugar fijo.
No hay un valor único para el torque sino, que ese valor depende de la elección del eje de
rotación.
5. PROCEDIMIENTO Y TABLA DE DATOS:
1. Armar el equipo tal como se muestra en la figura 1 colocando como centro de giro
el centro de la barra de palanca.
2. Colocar masas iguales en diferentes radios de giro medidos a partir del centro de
torsión, hasta que el sistema se encuentre en equilibrio, repetir este procedimiento 5
veces y anotar los resultados en la tabla 1.
Tabla 1
m = (Kg)
Nº r1 (m) r2 (m) r3 (m) r4 (m)
1
2
3
4
5
3. Seleccionar dos radios de giro, los cuales se mantendrán fijos, colocar en cada uno
de ellos diferentes masas hasta alcanzar el equilibrio, repetir este procedimiento 5
veces y anotar los resultados en la tabla 2.
Tabla 2
Nº r1 (m) r2 (m) m1(Kg) m2(Kg)
1
2
3
4
5
4. Ahora cambie en centro de giro de la barra de palanca, coloque el extremo más
alejado del centro de giro del brazo de palanca acoplado a un dinamómetro mismo
que medirá F3 y distribuya las dos masas en el otro brazo de manera que alcance el
equilibrio, repita este procedimiento 3 veces y anote los resultados en la tabla 3.
Tabla 3
Nº r1 (m) r2 (m) r3 (m) F1 (kg) F2 (kg) F3 (N)
1
2
3
6. TRABAJOS
1. Dibuje un diagrama de cuerpo libre el sistema armados en el numeral 1 del
procedimiento de este informe de laboratorio, coloque todos los elementos.
2. Con los datos de la Tabla 1 calcule la fuerza aplicada en cada radio y el torque
ejercido por cada fuerza y anótelos en la Tabla 4. Calcule la sumatoria de los
torques.
Tabla 4
Nº F1 (N)
F2 (N)
F3 (N)
F4 (N)
1
(Nm)
2
(Nm)
3
(Nm)
4
(Nm)
∑i
(Nm)
1
2
3
4
5
3. Dibuje el diagrama de cuerpo libre del sistema armado en el numeral 3 del
procedimiento de este informe de laboratorio, coloque todos los elementos.
4. Con los datos de la Tabla 2 calcule los torques correspondientes a cada masa en los
radios determinados y anote los resultados en la Tabla 5
Tabla 5
r1= (m)
r2= (m)
Nº m1 (Kg) m2 (Kg) 1 (Nm) 2 (Nm) ∑i (Nm)
1
2
3
4
5
5. Dibuje el diagrama de cuerpo libre del sistema utilizado en el numeral 4 del
procedimiento de este informe de laboratorio, coloque todos los elementos.
6. Con los datos de la Tabla 3 calcule el torque ejercido por estas y por la fuerza
medida en el dinamómetro y realice la sumatoria de toques. Anote estos resultados
en la Tabla 6.
Tabla 6
Nº 1 (Nm) 2 (Nm) 3 (Nm) ∑i (Nm)
1
2
3
7. PREGUNTAS:
1. ¿Qué puede concluir de el trabajo 2?. Justifique su respuesta.
2. ¿Qué puede concluir del trabajo 4?. Justifique su respuesta
3. ¿Qué puede concluir del trabajo 6?. Justifique su respuesta
4. Explique porque se usa una llave de ruedas para aflojar las tuercas de un neumático
en lugar de una llave de pico si ambas podrían ajustarse a los lados de las tuercas.
8. CONCLUSIONES
9. RECOMENDACIONES
10. BIBLIOGRAFÍA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA LABORATORIO DE FÍSICA No. 4
FUERZA DE ROZAMIENTO
1. OBJETIVO: 1. Experimentar cómo distintas superficies dan lugar a diferentes coeficientes de
rozamiento, con especial importancia a las propiedades de deslizamiento de dos
superficies en contacto.
2. Determinar la proporcionalidad que existe entre la fuerza de rozamiento y el peso
del cuerpo.
3. Determinar el coeficiente de rozamiento en la superficie de contacto entre dos
cuerpos sólidos.
4. Estudiar si la fuerza de rozamiento tiene relación con el área de la superficie en
contacto y con la masa del cuerpo de prueba.
2. MONTAJE:
Monte el equipo como está descrito en la Fig. 1
Fig. 1 Montaje del experimento
3. EQUIPO DE LABORATORIO:
1. Taco de rozamiento (cuerpo de prueba)
2. Dinamómetros de 1N y 2N
3. Masas de ranura de 50g
4. Plano horizontal
5. Sedal
6. Pasador de sujeción
4. TEORÍA
Al arrastrar un cuerpo sobre una superficie aparecen determinadas fuerzas, las mismas que
se generan debido a las rugosidades que presentan todas las superficies de los cuerpos en
contacto, esto a pesar de a que simple vista estas no puedan ser observadas, pero si se los
observa bajo microscopio presentarán esta apariencia:
Fig. 2. Vista microscópica de dos superficies en contacto
El rozamiento seco o de Coulomb se presenta cuando dos superficies que no hayan sido
lubricadas están en contacto deslizándose una sobre la otra o con tendencia a hacerlo. La
Fuerza de Rozamiento es una fuerza tangencial que actúa en la superficie de contacto entre
dos cuerpos y que se opone al movimiento relativo de uno de ellos con respecto al otro, las
fuerzas tangenciales son paralelas a las superficies en contacto.
Al aplicar progresivamente una fuerza F a un cuerpo sólido de peso W sobre una superficie
horizontal (Fig. 3) y si esta fuerza F varía desde cero hasta un valor que haga que el sólido
se mueva con cierta velocidad, tendremos que la fuerza de oposición al movimiento del
cuerpo (Fuerza de rozamiento) también variará.
Esta fuerza de oposición inicialmente tendrá un valor que impedirá que el bloque se mueva,
pero hasta cierto límite, tiempo en el cual la Fuerza de Rozamiento Estático actuará y en el
instante de su movimiento inminente esta adquirirá su valor máximo:
fre = µeN (valor máximo de la fuerza de rozamiento estático) (1)
µe : coeficiente de rozamiento estático, adimensional y que toma valores entre 0 y 1
m F
fr
Fig. 3. Esquema de la Fuerza de Rozamiento fr, que aparece al ejercerse una fuerza F sobre
un cuerpo que descansa sobre una superficie horizontal, la misma que hará que el cuerpo se
mueva o tenga la tendencia a moverse.
N : fuerza normal
A partir de ese momento actuará sobre el cuerpo la Fuerza de Rozamiento Cinético, la
misma que se opone al movimiento del cuerpo, pero que tiene un valor ligeramente menor
que la anterior, que está dada por:
frc = µcN (2)
µc : coeficiente de rozamiento cinético, adimensional y que toma valores entre 0 y 1
Al analizar la fr en función de la fuerza F se obtiene el siguiente gráfico, donde se puede
observar la diferencia entre la fre y frc:
Recuerde que el concepto de fricción o rozamiento en realidad es un concepto estadístico,
porque la Fuerza de Rozamiento es en realidad el promedio de un gran número de fuerzas e
interacciones mecánicas y moleculares que se presentan entre dos cuerpos en contacto.
Por lo expuesto anteriormente tenemos:
El Coeficiente de Rozamiento Estático (µe) es la relación entre la fuerza máxima de
rozamiento estático y la fuerza que tiende a mantener unidas ambas superficies, que es
numéricamente igual a la normal:
Fig. 4. Fuerza de Rozamiento en función de la Fuerza F, donde se puede observar el
cambio que existe en la Fuerza de Rozamiento al momento de ponerse en movimiento
el cuerpo.
µcN
µeN
fr
F
Movimiento Reposo
N
f
normalfuerza
estáticorozamientodefuerzamáxima s
e (3)
El Coeficiente de Rozamiento Cinético (µc) entre dos superficies sólidas es el cociente
entre la fuerza necesaria para desplazar el cuerpo de prueba con velocidad uniforme y la
fuerza normal:
N
f
normalfuerza
cinéticorozamientodefuerza c
c (4)
5. PROCEDIMIENTO Y TABLA DE DATOS:
1. Coloque el taco de rozamiento con la parte de madera sobre el plano horizontal y
enganche al dinamómetro de 2N, Fig. 1.
2. Mida la fuerza F1 justo con la que empieza a moverse el taco y anote el valor en la
Tabla 1.
3. Mida la fuerza F2 con la que el taco se mueve de manera uniforme, anote el valor en
la Tabla 1, repita el procedimiento dos veces más.
4. De la vuelta al taco de rozamiento, para que quede sobre la superficie horizontal la
cara de goma o lija y repita el procedimiento anterior, anote los resultados en la
Tabla 1.
Tabla 1.
Superficie de
Rozamiento Madera Goma o Lija
F1 [N]
F2 [N]
5. Coloque el taco de rozamiento con la parte ancha sobre la superficie horizontal, con
la superficie de goma o lija hacia arriba (Fig. 5).
6. Mida con el pie de rey su longitud y ancho, anótelo en la Tabla 2.
7. Tire con el dinamómetro y lea la fuerza de rozamiento cinético (F2), repita el
procedimiento dos veces más, anote los valores en la Tabla 2.
8. De la vuelta al taco y póngalo sobre su superficie más estrecha, determine su
superficie con el pie de rey, y mida nuevamente la fuerza de rozamiento cinético,
anótelo en la Tabla 2.
Tabla 2.
Largo [cm] Ancho [cm] F2 [N]
9. Determine con el dinamómetro el peso (W) del taco de rozamiento, incluido el
pasador, anótelo en la Tabla 3.
Fig.5. Montaje del experimento
10. Colocar sobre la superficie horizontal el taco con la cara de goma o lija hacia arriba
(Fig. 5).
11. Tire del taco con el dinamómetro y lea la fuerza F2 con movimiento uniforme.
12. Ponga en el taco una masa de 50g y lea nuevamente la fuerza de rozamiento F2,
anótelo en la Tabla 3.
13. Repite el procedimiento para masas de 100g y 150g, midiendo cada vez la fuerza de
rozamiento F2 y anótelo en la Tabla 3.
Tabla 3.
F2 [N] W [N]
Taco con pasador
+ 50g
+ 100g
+ 150g
6. TRABAJOS
1. Utilizando los datos de la Tabla 1 encuentre los promedios de las fuerzas de
rozamiento y anótelos en la Tabla 4.
Tabla 4.
Superficie de
rozamiento Madera Goma o Lija
1F [N]
2F [N]
2. Con los datos de la tabla 2 calcule el área de la superficie en contacto y los
promedios de la fuerza F2. Anote sus resultados en la tabla 5.
Tabla 5.
Área [cm2]
2F [N]
3. Usando los datos de la tabla 3, realice un diagrama en una hoja aparte (papel
milimetrado) de la fuerza F2 en función de W y calcule su pendiente.
7. PREGUNTAS
1. ¿Existen diferencias entre los valores de F1 y F2, qué explicación se puede dar a esta
posible diferencia?
2. ¿Qué representa la fuerza F2?
3. ¿Varía la fuerza F2 cuando el área del cuerpo de prueba cambia? ¿Por qué?
4. ¿Depende la fuerza F2 del peso del cuerpo de prueba?
5. A partir del resultado del trabajo 3, ¿qué tipo de relación existe entre F2 y W? ¿La
pendiente obtenida es el coeficiente de rozamiento (µc)? Explique.
8. CONCLUSIONES
9. RECOMENDACIONES
10. BIBLIOGRAFÍA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA LABORATORIO DE FÍSICA No. 5
FRICCIÓN EN BANDAS PLANAS
1. OBJETIVO:
1. Caracterizar el fenómeno físico de la fricción de una banda plana sometida a una
Tensión inminente y a otra que la soporta, sobre un tambor cilíndrico.
2. Determinar experimentalmente cuál es el ángulo de contacto más óptimo para
soportar una Tensión.
3. Determinar experimentalmente el coeficiente de fricción entre una banda y un
tambor.
2. MÉTODO:
1. Armar el equipo de laboratorio tal como muestra la Fig. 1.
2. Determinar cómo varía la fuerza que soporta el peso T2, en función del ángulo de
contacto entre la banda (cuerda) y el tambor (tubo), tomando T1 para diferentes
ángulos y cuerdas.
3. EQUIPO UTILIZADO:
1. Tres soportes universales con nuez
2. Tambor (Tubo o varilla)
3. Banda (Cuerda)
4. Portamasas
5. Diferentes masas
6. Calibrador
7. Dinamómetro
Fig. 1. Banda (cuerda) sobre un tambor (cilindro) sujetando un peso inminente con una tensión
, la fuerza de rozamiento entre el tambor y la banda determinada por el ángulo de contacto , frena el
movimiento inminente del sistema hacia .
mov.
inminente
4. TEORÍA
4.1 ANÁLISIS DE FRICCIÓN SOBRE UN TAMBOR.
Existen varias aplicaciones en las que es necesario determinar la fricción entre una banda y
un tambor, como en las bandas motrices o los frenos de banda. Para realizar este análisis
tomaremos una sección del tambor y la banda, como lo muestra la Fig. 2:
Fig. 2 Sección del sistema formado por el tambor y la banda, 2T
es la tensión que produce el
movimiento, y que deseamos contrarrestar con 1T
y la fuerza de rozamiento producto del la
superficie en contacto entre la banda y el tambor. La superficie en contacto está determinada por el
ángulo radial .
Conocemos que la fuerza de rozamiento se opone siempre al movimiento, y es paralela a
las superficies en contacto, por lo tanto en cada uno de los puntos de contacto de la
circunferencia existirá una fuerza de rozamiento tangente a la superficie y con dirección
opuesta al movimiento. Para ver lo que sucede punto por punto necesitamos un análisis
diferencial en donde se recorre un ángulo infinitesimal, la Fig 3 muestra un diagrama de
cuerpo libre en un elemento de longitud ds:
Fig. 3 Diagrama de fuerzas en equilibrio de una sección infinitesimal ds del tambor, la tensión T2 se
representa por T+dT, T1 por T (ya que conocemos que T2>T1), la Fuerza de Rozamiento
.
mov.
inminente
x
y
ds dN
T+dT T
dF
mov.
inminente
infinitesimal es dF, siempre opuesta al movimiento inminente y tangente a las superficies en
contacto y la fuerza normal es dN, siempre perpendicular a las superficies en contacto.
Analizaremos las fuerzas que actúan sobre ds, descomponiéndolas rectangularmente. Dado
que la sumatoria de fuerzas en x es 0, y tomando en cuenta que las fuerzas que se dirijan a
la derecha son positivas y hacia la izquierda sean negativas:
0 dTTdFTx
Aplicando las propiedades trigonométricas, y conociendo que dF = μdN:
02
cos2
cos
ddTTdN
dT
Dada la pequeñez infinitesimal del ángulo, se cumple que 12
cos
d y así:
0 dTTdNT
Eliminando las Tensiones T:
dTdN (1)
Ahora analicemos las fuerzas sobre y:
0 TyydTTdN
Trigonométricamente,
022
dTsen
dsendTTdN
Y aplicando el límite 22
ddsen
022
dT
ddTTdN
0222
dT
ddT
dTdN
En esta ecuación se puede despreciar el producto de dos diferenciales por su pequeñez,
quedando únicamente:
TddN (2)
Quedan así dos ecuaciones (1) y (2), si despejamos dN de cada una de ellas y después las
igualamos tenemos:
dTdN (1) TddN
TddT
(3)
Separando (3) en variables:
dT
dT
La integración de esta ecuación se toma sobre todos los puntos en contacto, es decir que
varía de 0 hasta , y la Tensión varía desde su mínimo valor posible (el mínimo que
deseamos aplicar para soportan T2 ) T1, hasta su máximo T2, es una constante:
0
2
1
dT
dTT
T
0
2
1
ln T
TT
Aplicando los límites de integración,
12 lnln TT (4)
y las propiedades de los logaritmos:
1
2lnT
T
Elevando cada uno de los miembros de la ecuación a la potencia e y por propiedades de los
logaritmos:
eTT 12 (5)
Es decir que el peso T2 que puede soportar una fuerza T1 depende exponencialmente del
ángulo de la superficie en contacto. Visto de otra manera:
eTT 21 (6)
Lo cual quiere decir que la tensión T1 disminuye exponencialmente con el ángulo de
contacto sobre el tambor.
4.2 CÁLCULO DEL ÁNGULO RADIAL DE CONTACTO CONOCIENDO LA SECANTE:
En el laboratorio se utilizará el calibrador para “medir” , esta será una medición lineal de
longitud, que se denominará a que corresponde a la secante del arco, tal como ilustra la
figura 4:
Fig. 4 Sección del tambor, mostrando el ángulo de contacto el arco AB es la superficie en
contacto, mientras que a es la distancia secante que medirá el calibrador experimentalmente.
Se tiene entonces un triángulo ABC que es isósceles dado que dos de sus lados son iguales
al radio R. el tercer lado es a, y el ángulo opuesto a éste es . Dado que se desea conocer ,
se aplica la ley de cosenos sobre el triángulo ABC:
cos2 2222 RRRa (7)
Despejando el coseno de :
2
2
21cos
R
a (8)
Dado que el radio también se puede medir, el valor de queda determinado con esta
ecuación.
.
A B
C
R
a
R
5. PROCEDIMIENTO Y TABLA DE DATOS:
1. Pesar el portamasa y su contenido T2 con el dinamómetro y anotarlo en la Tabla1.
2. Medir el radio del tambor R con el calibrador y anotarlo en la Tabla 1.
3. Armar el equipo como indica la Fig. 1.
4. Con un área de contacto mínima, tomar la longitud de la secante del área en
contacto a dos veces con un calibrador para evitar errores. Leer la medida T1 que
indica el dinamómetro, y anotar ambos datos en la Tabla 1.
5. Repetir el procedimiento anterior aumentando el área en contacto. Anotar todos
estos datos en la Tabla 1.
Tabla 1. Medida de la secante a y de la Tensión T1
T2 = [N]
R = [mm]
Primera toma de la
secante a [mm]
Primera toma de la
secante a [mm] T1 [N]
6. Cuando el ángulo se acerque a 360º, continuar enrollando la banda sobre el tambor,
contabilizando el número de vueltas y así obtener ángulos mayores a 360º hasta
valores indefinidos. Siguiendo el mismo procedimiento anterior llenar la Tabla 2
hasta que la tensión T1 tienda a cero.
Tabla 2. Número de vueltas, secante y tensión sobre una banda enrollada en un tambor
Número de vueltas Primera toma de la
secante a [mm]
Primera toma de la
secante a [mm] T1 [N]
6. TRABAJOS
1. Con los datos de la Tabla 1 y Tabla 2 determine las secantes promedios con el
número de vueltas, con este dato y la ecuación (8) determine el ángulo de contacto
(Recuerde que el ángulo puede ser mayor que 360º) Anote estos datos en la Tabla 3,
incluyendo también los valores de la tensión obtenidos experimentalmente.
Tabla 3. Ángulos de contacto y tensión sobre una banda enrollada en un Tambor
Número de vueltas a promedio [mm] [rad] T1 [N]
2. Con los datos de la Tabla 3, realice una gráfica en papel milimetrado de la Tensión
T1 y el ángulo de contacto . Determine qué tipo de relación se describe (Adjunte
gráfico)
3. Calculando los logaritmos naturales de cada uno de los valores de T1, llene la Tabla
4. Anote también el logaritmo de T2
Tabla 4. Logaritmos naturales de la tensión T1 y del ángulo de contacto
Ln T1 [rad]
4. Con los datos de la Tabla 4, grafique en papel milimetrado el ln T1 vs. el ángulo de
contacto . Determine la relación, grafíquela y halle la pendiente de la curva.
(Adjunte gráfico)
7. PREGUNTAS:
1. Explique cómo se relaciona el gráfico obtenido del Trabajo 2 con la ecuación (6).
¿Cuántas vueltas fueron necesarias para que T1 tienda a cero?
2. ¿Puede T1 ser cero? Explique.
3. Con la ayuda del gráfico obtenido del Trabajo 4, y con la ecuación (4), indique si la
pendiente del gráfico será el coeficiente de rozamiento. Determine el valor del
coeficiente de rozamiento en este experimento.
8. CONCLUSIONES
9. RECOMENDACIONES
10. BIBLIOGRAFÍA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA SALESIANA LABORATORIO DE FÍSICA No.6
CENTRO DE GRAVEDAD DE CUERPOS PLANOS
1. OBJETIVOS:
1. Entender el concepto de centro de gravedad, centro de masa y centro geométrico
2. Aprender un método analítico y experimental para encontrar el centro de gravedad
de cuerpos planos.
2. MÉTODO:
1. Tomar varios cuerpos planos perforados en al menos dos de sus extremos de forma
asimétrica.
2. Colgar los cuerpos planos por las perforaciones y con una masa atada a una cuerda
encontrar la línea de acción del peso para cada perforación (ver Fig. 1).
3. Determinar el centro de masa mediante la ubicación del lugar donde las líneas de
acción del peso se cruzan.
4. Medir la masa de los cuerpos geométricos y determinar analíticamente el centro de
gravedad.
Fig. 1 Equipo para experimento del centro de gravedad en figuras planas.
3. EQUIPO UTILIZADO
1. Un soporte universal con nuez.
2. Balanza de brazos
3. Juego de masas.
4. Diferentes cuerpos planos de prueba.
5. Flexómetro.
6. Un pasador de sujeción.
7. Un soporte para masas
8. Una masa de 10g.
4. TEORÍA:
4.1. CENTRO DE GRAVEDAD
Cada partícula que forma parte de un cuerpo está influenciada por la gravedad, por lo tanto
tiene peso, estas partículas están distribuidas por toda la geometría del sistema y pueden ser
remplazadas por un solo punto, al que se le conoce como centro de gravedad (G). El centro
de gravedad G es aquel punto donde se ubica el peso resultante de un sistema de partículas
o peso equivalente, se puede pensar en él como un punto en el cual se conserva todas las
características que la gravedad a otorgado a ese cuerpo.
El peso resultante de un conjunto de partículas es la suma de todos los pesos individuales
de cada partícula.
wWT (1)
La magnitud física que relaciona una fuerza con la distancia es el momento de torsión o
torque que está definido en modulo como:
rF (2)
Así el momento total de un cuerpo esta determinado también por la suma de los momentos
de cada una de sus partículas así:
wrrW gTt (3)
El r es el punto geométrico que esta relacionado con el peso total del cuerpo, éste
representa el centro de gravedad, y se calcula mediante la ecuación:
w
wr
W
wrr
T
g (4)
La ecuación 4 es válida cuando nos enfrentamos a un conjunto discreto de partículas. Para
resolver un conjunto continuo de partículas se debe que recurrir al cálculo integral, los
sumatorios se convierten en integrales y el diferencial será la variable sobre la cual se han
efectuando las sumatorias, por tanto el centro de gravedad se encuentra mediante:
dw
rdw
W
rdwr
T
g (5)
De la misma manera se puede encontrar el centro de masa y centro geométrico o centroide.
4.2 CENTRO DE MASA
Es el punto geométrico donde se considera que la masa de un cuerpo está concentrada, el
análisis es el mismo que para el centro de gravedad pero en este caso se simplifica la
gravedad al ser considerada una constante. El centro de masa se calcula mediante la
ecuación:
m
mr
m
mrr
T
m (6)
Para un conjunto continuo de partículas, se tiene que:
v
vm
dV
dVr
r
(7)
donde :
ρ representa la densidad
v
representa la integral de volumen.
dV representa el diferencial de volumen
4.3 CENTRO GEOMÉTRICO O CENTROIDE Es un punto que define el centro geométrico de un cuerpo. La ecuación que representa el
centroide es:
v
vc
dV
rdV
r (8)
4.4 FUNCIÓN DE CARGA PARA UN RECTANGULO HOMOGENEO
Considerando un rectángulo homogéneo como se muestra en la Fig. 2, donde el peso es
directamente proporcional a la distancia, como se representa en la ecuación 9:
kxxW )( (9)
Fig. 2 Grafico de la distribución de carga en una figura rectangular.
Si se analiza este sistema como una figura geométrica cuyas dimensiones serían el peso y la
distancia x. En un rectángulo la ubicación del centroide coincide con el centro de gravedad
en x (ecuación 10):
2
argx (10)
4.5 FUNCIÓN DE CARGA PARA UN TRIANGULO HOMOGENEO
Consideremos un triangulo homogéneo como se muestra en la Fig. 3:
Fig. 3 Grafico de la distribución de carga en una figura triangular.
En la Fig 3 se puede ver que: en el punto 1 se tiene una distancia 0 en x pero un peso Wy
diferente de cero (0,Wy), y en el punto 2 de la Fig. 3 se tiene una distancia a y peso cero
(a,0) porque no existe masa en ese punto.
Si se conoce la masa del cuerpo se tiene que la pendiente de la función de distribución de
carga lineal es:
a
Wy
x
WyWP
0 (11)
De aquí se tiene que la función de distribución de carga será:
xa
WyWyxWW )( (12)
Considerando que esta es una figura geométrica cuyas dimensiones son el peso y una
magnitud longitudinal se puede encontrar el centro de gravedad en x de este triangulo
ubicando el centroide. Para este caso entonces se tiene que el centro de gravedad en x esta
dado por:
3
argx (13)
5. PROCEDIMIENTO Y TABLA DE DATOS:
1. Utilizando la balanza de brazos medir la masa de cada uno de los cuerpos que se
indican en la Tabla 1 y anótelos.
2. Con el flexómetro mida la altura y la base de cada cuerpo, anote estos valores en la
Tabla 1.
3. Cuelgue uno de los cuerpos planos en el pedestal como se muestra en la Fig 1.
Trace una línea sobre el cuerpo siguiendo la guía dada por una masa pendulada del
mismo pedestal, repita este procedimiento para cada uno de los orificios del cuerpo.
4. Repita este procedimiento para cada una de los cuerpos planos.
5. Seleccione un sistema de referencia adecuado para cada cuerpo y respecto a este
medir el punto donde se cruzan las líneas trazadas en los pasos 3 y 4 de este
procedimiento.
6. Mida rgx y rgy , anote estos valores en la tabla 1.
Tabla 1. Datos de figuras geométricas simples.
Figura Masa [Kg] Altura [m] Base [m] rgx [m] rgy [m]
Rectángulo
Triangulo
Trapecio
7. Encuentre el centro de gravedad de las figuras indicadas en la tabla 2 y compruebe
si el cuerpo se mantiene en equilibrio cuando se lo sujeta por debajo con una aguja
o con un lápiz en el punto de intersección de las líneas marcadas, anote lo que
observa en la tabla2.
Tabla 2.
Figura si no
Rectángulo
Triangulo
Trapecio
Circulo
Irregular
6. TRABAJOS:
1. Con los datos de la tabla 1, y con ayuda de las ecuaciones (11) y (12) encuentre la
función de distribución del peso para cada cuerpo, anote las funciones en la Tabla 3.
La deducción de la ecuación del trapecio tiene que adjuntarse en una hoja
(descomponga geométricamente el trapecio).
2. Con los datos de la tabla 1 y las ecuaciones (11) y (13) encuentre analíticamente el
centro de gravedad para cada caso, tomando en cuenta el sistema de referencia en la
toma de datos, y anótelos en la Tabla 3.
3. Con los datos de la Tabla 3 y los valores experimentales encontrados en la práctica
encuentre el error en el cálculo del centro de gravedad para cada una de las figuras y
anótelas en la Tabla 3.
Tabla 3.
Figura Ec. distribución del peso rgx [m] rgy [m] %
Rectángulo
Triangulo
Trapecio
7. PREGUNTAS:
1. ¿Se puede decir que el método experimental usado para determinar el centro de
gravedad es exacto comparado con el analítico?
2. Cuándo se determinaba el punto por donde se cruzan las líneas marcadas en cada
figura se determina que este es el centro de gravedad. ¿Por qué?
3. ¿Se puede decir que el centro geométrico es el mismo que el centro de gravedad?, o
¿son iguales únicamente para un rectángulo hecho de cartón?. Justifique su respuesta.
4. Ubicar en un gráfico cuales son los centroides para :
Trapecio.
Segmento de área circular.
Áreas de un cuarto y medio círculo.
Área exparabólica.
Área parabólica
8. CONCLUSIONES
9. RECOMENDACIONES
10. BIBLIOGRAFÍA
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