halliday - capitolo 7 problema 11
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Una slitta col suo carico, di massa complessiva 85kg, al termine di una discesa imbocca una pista dritta e orizzontale con velocità di 37m/s. Rallenta fino a fermarsi con accelerazione costante di modulo 2,0m/s2. Calcolare: il modulo della forza F richiesta per ottenere questa accelerazione; la distanza d percorsa fino all’arresto; il lavoro L compiuto sulla slitta dalla forza frenante F. Ripetere i calcoli nel caso di rallentamento con accelerazione di modulo 4,0m/s2.
HALLIDAY - capitolo 7 problema 11
x0 d
F
Modulo della forza: 170NmaF
Lavoro compiuto dalla forza F: FdsFL
Variazione di energia cinetica:2
infin mv2
10KKΔK
340m2a
v
2F
mvdmv
2
1FdΔKL
222
58000Jmv2
1FdL 2
Se l’accelerazione raddoppia, raddoppia anche F e si dimezza d; il lavoro invece rimane invariato e pari alla variazione di energia cinetica della slitta (che è sempre la stessa)
HALLIDAY - capitolo 7 problema 34
Un blocco di massa 250g è lasciato cadere su una molla verticale avente costante elastica k=2,5N/cm. Il blocco rimane appoggiato sulla molla, che si comprime di 12cm prima di arrestarsi momentaneamente. Durante la compressione della molla, quale lavoro viene svolto dalla forza di gravità relativa al blocco e dalla molla? Quale era la velocità del blocco subito prima di toccare la molla? Trascurate l’attrito. Se si raddoppia la velocità di impatto, quale diventa la massima compressione della molla? y
Lavoro della forza peso:
0,29JmgymgymgyΔUL BBAgg
Lavoro della forza elastica:
1,8Jky2
1ky
2
1ky
2
1ΔUL 2
B2B
2Aelel
Teorema dell’energia cinetica:
3,5m/s)L(Lm
2vmv
2
10ΔKLL gel
2gel
0,23mk
kmvgmmgy0mv2mgyky
mv2
1mgyky
2
1ΔKLL
222
B2
B2B
2B
2Bgel
Posizione iniziale: yA=0, velocità del blocco = v (incognita)
Posizione finale: yB= -0,12m, velocità del blocco = 0
Se v=7,0m/s, calcoliamo yB (deve essere yB<0):
HALLIDAY - capitolo 7 problema 35
Un blocco di ghiaccio di massa 45kg scivola giù per un piano inclinato lungo 1,5m per un dislivello di 0,91m. Uno scaricatore preme dal basso contro il blocco con una forza parallela al piano inclinato in modo da obbligarlo a scendere con velocità costante. Trovate la forza esercitata dallo scaricatore. Trovate il lavoro sviluppato sul blocco di ghiaccio dallo scaricatore, dalla forza di gravità agente sul blocco, dalla forza normale esercitata dal piano sul blocco e dalla forza risultante applicata al blocco.
θ
h=0,91mL=1,5m
P
N F
θ
x
y
Applicando la prima legge di Newton:
0mgsinθF
0mgcosθN
270NL
hmgmgsinθF
Lavoro dello scaricatore:
400JmghLL
hmgFLsFLs
Lavoro della forza di gravità:400Jmghmgh)(0ΔULg
La reazione normale non compie lavoro perchè è diretta ortogonalmente allo spostamento:
0LLLL NgStot
0LN
Lavoro totale:
HALLIDAY - capitolo 7 problema 46
Una cassa di massa 230kg è sospesa all’estremità di una fune lunga 12,0m. Spingendo orizzontalmente sulla cassa con una forza variabile F, la spostiamo di 4,00m sul piano orizzontale. Qual è l’intensità di F quando la cassa raggiunge la posizione finale? Quali sono, durante lo spostamento della cassa, il lavoro totale fatto su di essa, il lavoro fatto dal peso proprio della cassa e il lavoro fatto sulla cassa dal tiro della fune? Quale è il lavoro da noi svolto sulla cassa? Perchè questo lavoro non è uguale al prodotto dello spostamento orizzontale per l’intensità di F trovata al primo punto?
L=12
,0m
d=4,00m
F
F
L=12
,0m
d=4,00m
F
Nella posizione finale, la cassa è in quiete, e vale la prima legge di Newton:
0PTF
P
Tθ
θ
x
y
0mgTcosθ
0TsinθF
tgθmg TsinθFcosθ
mgT
L
dsinθ
222 dL
d
θsin1
sinθtgθ
797NdL
mgdF
22
Dalla trigonometria:
Lavoro totale sulla cassa: 0KKΔKL infintot
(Kin=0 e Kfin=0 perchè la cassa sia all’inizio che alla fine è ferma)
L=12
,0m
d=4,00m
hin
hfin
)hmg(hUUΔUL fininfining
22infin dLLhh
1550JdLLmgL 22g
La tensione non compie lavoro perchè è sempre ortogonale allo spostamento: 0LT
Lavoro della forza peso:
Lavoro della forza F: 1550JLLLL TgtotF
HALLIDAY - capitolo 8 problema 13
Un’autocisterna di massa 1,2·104kg, fuori controllo per un guasto ai freni, sta scendendo a precipizio alla velocità di 130km/h. Fortunatamente, vicino alla fine della discesa c’è una rampa di emergenza in contropendenza (priva però di attrito) con inclinazione θ=15°. Quale deve essere la sua lunghezza minima per essere certi che riesca ad arrestare la cisterna? La lunghezza minima aumenta, diminuisce o resta uguale se l’autocisterna ha massa minore? e se la sua velocità è inferiore?
Conservazione dell’energia meccanica: 2211 KUKU
1. L’autocisterna è in fondo alla discesa con velocità v=36,1m/s
2. L’autocisterna arriva in cima alla rampa e si ferma (v=0)
21
1
mv2
1K
0U
0K
mgLsinθmghU
2
2
257m2gsinθ
vL0mgLsinθmv
2
10
22
La lunghezza di arresto non dipende dalla massa del camion
Diminuendo la velocità, la lunghezza di arresto diminuisce col quadrato della velocità (se la velocità si dimezza, la lunghezza di arresto diventa 1/4 di quella iniziale)
HALLIDAY - capitolo 8 problema 16
Un blocco di massa m=2,0kg cade da un’altezza h=40cm su una molla avente costante k=1960N/m. Trovare la massima lunghezza di compressione della molla.
h
x
1. il blocco è lasciato cadere da un’altezza h con velocità nulla2. la molla è alla massima compressione x: il blocco è fermo
y=0
y
Conservazione dell’energia meccanica:
2el2,g2,1el1,g1, KUUKUU
0K
0U
mghU
1
el1,
g1,
0K
kx2
1U
mgxU
2
2el2,
g2,
02mgh2mgxkx
0kx2
1mgx00mgh
2
2
0,08mx
0,10mx
k
2mgkgmmgx
2
122
1/2
La soluzione positiva è il valore di x richiesto dal problema
La soluzione negativa rappresenta l’allungamento della molla nella fase di risalita successiva alla compressione
HALLIDAY - capitolo 8 problema 18
Tarzan, che pesa 688N, salta da una roccia appeso a una provvidenziale liana lunga 18m. Dall’alto della roccia al punto più basso della sua oscillazione cala di 3,2m. La liana è soggetta a rompersi se la tensione su di essa supera 950N. Arriverà a rompersi? Se sì, indicare a quale angolo rispetto alla verticale si rompe. Se no, calcolare la massima tensione che deve sopportare.
θ0
L=18
m
h=3,2m
La posizione di Tarzan è individuata dall’angolo θ che la liana forma con la verticale.
L-h
y
0
Posizione iniziale (angolo θ0): mghU
0K
1
1
θL=
18m
y
0
Lcosθ
L(1-cosθ)
Posizione finale (angolo θ): ) cosθ-mgL(1U mv2
1K 2
22
Conservazione dell’energia meccanica:
) cosθ2gL(12ghv
) cosθ-mgL(1mv2
1mghKUKU
2
22211
θL=
18m
T
P
θ
Forza centripeta: L
vmPcosθT
2
Sostituendo il valore della velocità ricavato in precedenza:
2gLcosθ2gL2ghL
mPcosθT
1L
h23cosθPT
2Pcosθ2PL
2PhPcosθT
La liana si rompe se la tensione, in almeno un punto, supera il valore di rottura T0=950N
Il massimo valore della tensione viene raggiunto quando cosθ=1, cioè in corrispondenza della verticale (θ=0) ed è:
Poichè Tmax<T0 la liana non si romperà
Se fosse stato Tmax>T0, allora l’angolo di rottura della liana si sarebbe calcolato imponendo la condizione T(θ)=T0
933NL
h1P1
L
h23PTmax
HALLIDAY - capitolo 8 problema 21
Uno sciatore di massa 60kg parte da fermo da un’altezza H=20m rispetto al culmine del trampolino di salto. Allo stacco dal trampolino la sua direzione forma un angolo θ=28° con il piano orizzontale. Trascuriamo l’attrito e la resistenza dell’aria. Quanto varrà la massima altezza h raggiunta rispetto al punto di stacco? Aumenta, diminuisce o resta invariata se lo sciatore ripete il salto con un pesante zaino?
1. lo sciatore parte da fermo dall’altezza H
2. lo sciatore arriva alla base del trampolino con velocità v
3. lo sciatore è nel punto di altezza massima h con velocità vx
Conservazione dell’energia meccanica tra 1 e 2:
Componente orizzontale della velocità nel moto parabolico:
2gHvmv2
100mgHKUKU 2
2211
vcosθv x
Conservazione dell’energia meccanica tra 2 e 3:
4,4mθHsinhθmgHsinmghθcos-1mv2
1mgh
mv2
1mghmv
2
10KUKU
2222
2x
23322
Il valore di h non dipende dalla massa dello sciatore.
HALLIDAY - capitolo 8 problema 30
Un ragazzo è seduto sulla cima del blocco di ghiaccio semisferico di raggio R=13,8m della figura. Comincia a scivolare in giù con velocità trascurabile. Se il ghiaccio è privo di attrito, a che altezza dal suolo si staccherà dal ghiaccio?
Forza centripeta:
R
vmNmgcosθ
2
R
vmmgcosθN
2
Reazione normale:
N
P
θ
Il ragazzo si stacca dal ghiaccio quando N=0:
Rg
vcosθ0
R
vmmgcosθ
22
Conservazione dell’energia meccanica tra l’istante di partenza e l’istante in cui avviene il distacco:
cosθ12gRv
mv2
1mgRcosθ0mgRKUKU
2
22211
Sostituendo il valore di v2 nella prima equazione:
48,2θ3
2cosθcosθ12cosθ
Altezza a cui avviene il distacco:
9,2mR3
2Rcosθh
HALLIDAY - capitolo 8 problema 38
In figura vediamo un blocco che scivola lungo una pista da un livello a un altro livello più elevato, attraversando un avvallamento intermedio. La pista è priva di attrito fino a che si giunge al livello maggiore, dove invece esiste una forza di attrito che arresta il blocco dopo una distanza d. Trovate d sapendo che la velocità iniziale è v0=6,0m/s, la differenza di quota è h=1,1m e il coefficiente di attrito dinamico è μd=0,60.
1. Il blocco parte dalla posizione iniziale con velocità v0
2. Il blocco si arresta dopo il tratto orizzontale d
Variazione di energia meccanica: att1122 LKUKU
201
1
mv2
1K
0U
0K
mghU
2
2
Reazione normale nel tratto orizzontale: mgN0mgN
Forza di attrito dinamico: mgμNμf ddad
Lavoro della forza di attrito: mgdμdfsfL dadadatt
1,2mg2μ
2ghvdmgdμmv
2
100mgh
d
20
d20
HALLIDAY - capitolo 8 problema 42
Una scatola di biscotti si sta muovendo su un piano inclinato di 40°. In un punto del piano a 55cm dall’estremità inferiore ha una velocità di 1,4m/s. Il coefficiente di attrito dinamico tra scatola e piano è 0,15. Di quanto salirà ancora sul piano inclinato? Che velocità avrà la scatola quando sarà ridiscesa ai piedi del piano inclinato? Se il coefficiente di attrito fosse minore, i valori delle risposte precedenti aumenterebbero, diminuirebbero o resterebbero uguali?
θ
l0 =55cm
lmax =?
l0sinθ
lmaxsinθ
1. la scatola parte dall’altezza l0sinθ con velocità v0=1,4m/s
2. la scatola arriva all’altezza lmaxsinθ con velocità nulla
Variazione di energia meccanica: att1122 LKUKU
201
01
mv2
1K
sinθmglU
0K
sinθmglU
2
max2
θ P
N
fadθ
Reazione normale: mgcosθN0mgcosθN
Attrito dinamico: mgcosθμNμf ddad
Lavoro della forza di attrito: 0maxdadatt llmgcosθμsfL
Dall’equazione di variazione dell’energia meccanica si ha:
0maxd200max llmgcosθμmv
2
1sinθmgl0sinθmgl
0,68mcosθμsinθ2g
vll
mv2
1cosθμsinθllmg
d
20
0max
20d0max
Se il coefficiente d’attrito è minore, il valore di lmax è maggiore
2. la scatola parte dall’altezza lmaxsinθ con velocità nulla
3. la scatola arriva ad altezza nulla con velocità v
Variazione di energia meccanica: att2233 LKUKU
0K
sinθmglU
2
max2
23
3
mv2
1K
0U
La forza d’attrito durante la discesa è in modulo pari al caso precedente (N non cambia), ma diretta in verso opposto
maxdadatt l mgcosθμsfL
2,65m/scosθμsinθ2glv
cosθmglμ0sinθmglmv2
10
dmax
maxdmax2
Come varia v con μd ? La risposta non è banale...
Per rispondere occorre scrivere l’espressione esatta di v, sostituendo l’espressione di lmax in termini di μd
cosθμsinθ2g
vll
d
20
0max cosθμsinθ2glv dmax
cosθμsinθcosθμsinθ
v2glv d
d
20
0
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