hasan halilčević - osnove elektrotehnike modul 6
Post on 22-Oct-2015
387 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
1
Zanimanje:
TEHNIČAR RAČUNARSTVA
TEHNIČAR ELEKTRONIKE
Predmet:
OSNOVE
ELEKTROTEHNIKE
Modul 6:
ČETVOROPOLI I
ELEKTRIČNI FILTRI
Profesor:
Hasan Halilčević, dipl.ing.el.teh.
Tuzla, septembar 2011.godine
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
2
SADRŽAJ 3. Četvoropoli 3
3.1. Različiti sistemi jednačina četvoropola 3
3.2. Ulazne impedanse četvoropola 10
3.3. Konstanta prenosa četvoropola 11
3.4. Simetričan četvoropol 15
3.5. Ekvivalentne T i Pi šeme četvoropola 18
3.6. i obrnuti četvoropol 23
3.7. Vezivanje četvoropola 23
4. Električni filtri 26
4.1. Elementarna teorija električnih filtera 26
4.2. K-filtri niskih učestanosti 29
4.3. K-filtri visokih učestanosti 30
4.4. K-filtri propusnici opsega učestanosti 32
4.5. K-filtri nepropusnici opsega učestanosti 34
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
3
3.ČETVEROPOLI
3.1 RAZLIČITI SISTEMI JEDNAČINA ČETVOROPOLA
U različitim oblastima elektrotehnike primjenjuju se električna kola
sa dva para krajeva, preko kojih se ovo kolo povezuje sa drugim kolima
ostvarujući funkciju koja mu je namjenjena.
Električno kolo sa dva para krajeva nazivamo četveropol. Sve četveropole
možemo podijeliti u dvije grupe : pasivne i aktivne .
U pasivnim četveropolima nema izvora energije, generator energije je
priključen na jedan par njegovih krajeva. U pasivne četveropole spadaju
telekomunikacione prenosne linije, energetski dalekovodi, transformatori,
filtri i drugo.
Aktivni četveropoli sadrže izvor energije i tu spadaju pojačavači sa
elektronskim cijevima ili poluprovodničkim elementima, ispravljači,
emisioni uređaji i drugo.
U ovom slučaju razmatrat ćemo teoriju i proračun pasivnih četveropola, za
koje važi princip uzajamnosti.
Par krajeva između kojih se priključuje izvor energije obilježen je sa 1
i 1' i nazivamo ga ulaz četveropola, a par krajeva između kojih se priključuje
potrošač nazivamo izlaz četveropla i obilježavamo ga sa 2 i 2'. Šematski je
četveropol dat na slici 3.1, sa oznakama pozitivnih smijerova napona i struja
na ulaznom i izlaznom kraju.
Slika 3.1.
Četveropoli se mogu predstaviti sa šest različitih sistema jedačina, a to su:
Y, Z, a, b, g i h parametri.
Y-parametri:
Predstavljaju zavisnost struja od napona, i u matričnom obliku taj sistem
jednačina glasi:
2
1
I
I
2221
1211
YY
YY
2
1
U
U
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
4
ili napisan kao sistem jednačina:
2221212
2121111
UYUYI
UYUYI
0/ 2
1
111 U
U
IY Ulazna admitansa mjerena sa strane ulaza četveropola
kada je izlaz četveropola kratko spojen.
0/ 1
2
112
U
U
IY Prenosna admitansa četveropla ulaz-izlaz kada je ulaz
četveropola kratko spojen.
0/ 2
1
221 U
U
IY Prenosna admitansa četveropola izlaz-ulaz kada je izlaz
četveropola kratko spojen.
0/ 1
2
222
U
U
IY Ulazna admitansa četveropola mjerena sa strane izlaza
četveropla kada je ulaz četveropla kratko spojen.
Z-parametri:
Predstavljaju zavisnost napona od struje. U matričnom obliku taj sistem
jednačina glasi:
2
1
U
U
2221
1211
ZZ
ZZ
2
1
I
I
ili napisan kao sistem jednačina:
2221212
2121111
IZIZU
IZIZU
0/ 2
1
111 I
I
UZ Predstavlja ulaznu impedansu mjerenu sa strane ulaza
četveropla kada je izlaz četveropola otvoren.
0/ 1
2
112
I
I
UZ Predstavlja prenosnu impedansu četveropola ulaz-izlaz
kada je ulaz četveropola otvoren.
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
5
0/ 2
1
221 I
I
UZ Predstavlja prenosnu impedasu četveropola izlaz-ulaz
kada je izlaz četveropola otvoren.
0/ 1
2
222
I
I
UZ Predstavlja ulaznu impedansu četveropola mjerenu sa
strane izlaza četeropola kada je ulaz četveropola otvoren.
a-parametri:
Predstavljaju zavisnost ulaznih veličina od izlaznih veličina. U matričnom
obliku taj sistem jednačina glasi.
1
1
I
U
DC
BA
2
2
I
U
ili napisan kao sistem jednačina:
221
221
DICUI
BIAUU
0/ 2
2
1 IU
UA Predstavlja prenosni broj napona četveropola ulaz-izlaz
kada je izlaz četveropola otvoren.
0/ 2
2
1 UI
UB Predstavlja prensnu impedansu četveropola ulaz-izlaz
kada je izlaz četveropola kratko spojen.
0/ 2
2
1 IU
IC Predstavlja prenosnu admitansu četveropola ulaz-izlaz
kada je izlaz četveropola zatvoren.
0/ 2
2
1 UI
ID Predstavlja prenosni broj struje četveropola ulaz-izlaz
kada je izlaz četveropola kratko spojen.
Za navedene a-parametre takođe vrijedi i relacija da je : AD-BC=1
b-parametri:
Predstavljaju zavisnost izlaznih veličina od ulaznih.U matričnom obliku taj
sistem jednačina glasi.
2
2
I
U
2221
1211
bb
bb
1
1
I
U
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
6
ili napisan kao sistem jednačina:
1221212
1121112
IbUbI
IbUbU
0/ 1
1
211 I
U
Ub Predstavlja prenosni broj napona četveropola ulaz-izlaz,
kada je ulaz četveropola otvoren.
0/ 1
1
212 U
I
Ub Predstavlja prenosni broj napona četveropola ulaz-izlaz,
kada je ulaz četveropola otvoren.
0/2
1
1
21 IU
Ib Predstavlja prenosnu admitansu četveropola izlaz-ulaz,
kada je ulaz četveropola otvoren.
0/ 1
1
222 U
I
Ib Predstavlja prenosni broj struje četveropola izlaz-ulaz,
kada je ulaz četveropola kratko spojen.
g-parametri
Ako I1 i U2 izrazimo preko U1 i I2, dobićemo g-sistem jednačina i g-
parametre četveropola. U matričnom obliku taj sistem jdnačina glasi.
2
1
U
I
2221
1211
gg
gg
2
1
I
U
ili napisan kao sistem jednačina:
2221212
2121111
IgUgU
IgUgI
0/ 2
1
111 I
U
Ig Predstavlja ulaznu admitansu mjerenu sa strane ulaza
četveropola kada je izlaz četveropola otvoren.
0/ 1
2
112
U
I
Ig Predstavlja prenosni broj struje ulaz-izlaz kada je ulaz
četveropola kratko spojen.
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
7
0/ 2
1
221 I
U
Ug Predstavlja prenosni broj napona izlaz-ulaz kada je izlaz
četveropola otvoren.
0/ 1
2
222
U
I
Ug Predstavlja ulaznu impedansu četveropola mjerenu sa
strane izlaza četveropola kada je izlaz četveropola kratko
spojen.
h-parametri:
Ako U1 i I2 izrazimo pomoću I1 i U2 , dobijamo h-sistem jednačina i h-
parametre četvropola. U matričnom obliku taj sistem jednačina glasi.
2
1
I
U
2221
1211
hh
hh
2
1
U
I
ili napisan kao sistem jednačina:
2221212
2121111
UhIhI
UhIhU
0/ 2
1
111 U
I
Uh Predstavlja ulaznu impedansu mjerenu sa strane ulaza
kada je izlaz četveropola kratko spojen.
0/ 1
2
112
I
U
Uh Predstavlja prenosni broj napona ulaz-izlaz kada je ulaz
četveropola otvoren.
0/ 2
1
221 U
I
Ih Predstavlja prenosni broj struje izlaz-ulaz kada je izlaz
četvropola kratko spojen.
0/ 1
2
222
I
U
Ih Predstvlja ulaznu admitansu mejrenu sa strane izlaza
četveropola kada je ulaz četveropola otvoren.
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
8
Relacije između različitih parametara četveropola.
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
9
Primjer 3.1
Iz poznatih “Z” parametara postupnim rješavanjem izračunati “a”
parametre.
Z-parametri a-parametri
Iz Z-parametara imamo da je :
Uvrštavanjem dobivamo :
Pa je:
Parametre C i D tražimo na sledeći način:
Kako je :
Onda je:
Primjer 3.2.
2221212
2121111
IZIZU
IZIZU
221
221
DICUI
BIAUU
2
21
2
21
221
1U
ZI
Z
ZI
2
21
112
21
211222111
2
21
11212
21
22111
2122
21
112
21
22111
UZ
ZI
Z
ZZZZU
UZ
ZIZ
Z
ZZU
IZUZ
ZI
Z
ZZU
21
21
11
Z
ZB
Z
ZA
2
21
2
21
221
1U
ZI
Z
ZI
21
22
21
1
Z
ZD
ZC
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
10
Iz poznatih Y-parametara postupnim rješavanjem izračunati g-parametre.
Y-parametri g-parametri
Iz y-parametara imamo da je:
Pa je:
Iz ovoga slijedi da je:
Ostali g-parametri se dobiju na sledeći način:
Kako je:
Onda je:
3.2. ULAZNE IMPEDANSE ČETVEROPOLA
Ulazna impedansa četveropola mjerena sa strane ulaza može se dobiti
pomoću a-parametara u obliku:
22
22
1
1
DICU
BIAU
I
UZul
Ako je izlaz zatvoren impedansom Z2, tada je:
222 IZU
pa dobijamo:
2221212
2121111
UYUYI
UYUYI
2221212
2121111
IgUgU
IgUgI
2
22
1
22
212
1I
YU
Y
YU
2
22
121
22
211222111
2
22
121
22
21121111
IY
YU
Y
YYYYI
IY
YU
Y
YYUYI
22
12
22
11
1
Yg
Y
Yg
2
22
1
22
212
1I
YU
Y
YU
22
22
22
12
21
1
Yg
Y
Yg
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
11
DCZ
BAZZU
2
21 ulazna impedansa mjerena sa strane ulaza.
Ulazna impedansa mjerena sa strane izlaza se može dobiti kao:
11
11
122121
112111
2
22
IAUC
IBUD
IbUb
IbUb
I
UZu
,
a ako je ulaz zatvoren impedansom Z1, tada je:
111 IZU , pa slijedi
ACZ
BDZZU
2
22 ulazna impedansa mjerena sa strane izlaza.
3.3. KONSTANTE PRENOSA ČETVEREPOLA
Pod konstantom prenosa napona četveropola podrazumijevamo
prirodni logaritam odnosa fazora napona na ulazu i izlazu četveropola:
Pod konstantom prenosa struje četveropola podrazumijevamo
prirodni logaritam odnosa fazora struje na ulazu i izlazu četveropola:
Kompleksni brojevi M i N nazivaju se transmitansa napona, odnosno
transmitansa struja.
Konstanta prenosa četveropola definiše se kao aritmetička sredina
konstante prenosa napona i konstante prenosa struje:
a predstavlja prirodni logaritam transmitanse četveropola koja se definiše
kao geometrijska sredina transmitanse napona i transmitanse struja:
Konstante prenosa , i, u predstavljaju kompleksne brojeve, a za njihove
realne i imaginarne dijelove imamo:
22
2
2
1 lnlnlnlnZ
BA
U
IBA
U
UMu
DCZDI
UC
I
INi
2
2
2
2
1 lnlnlnln
iu 2
1
22
11lnlnlnIU
IUMNT
uuj
j
u jjU
U
eU
eU
21
2
1
2
1lnln
2
1
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
12
Veličina u naziva se konstanta slabljenja napona, a veličina u predstavlja
konstantu faznog zaostajanja napona.
Za konstantu prenosa struje imamo:
Veličina , naziva se konstanta slabljenja struje, a veličina
predstavlja konstantu faznog zaostajanja struje.
Za konstantu prenosa četveropola imamo:
Veličina
naziva se konstanta slabljenja četveropola, a veličina se naziva konstanta
faznog zaostajanja četveropola.
Slabljenje se mjeri u neperima (Np) ili u manjim jedinicama, decibelima
(dB).
Odnos između ove dvije jedinice je:
1 Np = (20 log e) dB = 8,686 dB.
Fazno zaostajanje se mjeri u radijanima ili u stepenima ugla.
Primjer 3.3.
Dati su “a” parametri (A=5,B=2,C=4S) izračunati preostale parametre i
konstantu prenosa napona, struje i četveropola. Izračunati i ulaznu
impedansu mjerenu sa strane ulaza i izlaza, ako su date impedanse Z1=4 i
Z2=2 kojom je zatvoren ulaz odnosno izlaz četverepola.
D=?,Zu1=?,Zu2=?,u=?,i=?,=?.
Na osnovu poznate relacije za a-parametre AD-BC=1 imamo da je:
iij
j
i jjI
I
eI
eI
)(lnln 21
2
1
2
1
2
1
jjI
I
U
Uiu
2121
2
1
2
1
2
1lnln
2
1)(
2
1
2
1
22
11ln
2
1ln
2
1
S
S
IU
IU
8,15
9
5
18
1
D
A
BCD
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
13
Pa je:
Za konstante imamo da je:
Primjer 3.4.
Dati su “a” (A=5,B=10,C=0,5S) parametri izračunati preostale parametre i
konstantu prenosa napona, struje i četveropola. Izračunati i ulaznu
impedansu mjerenu sa strane ulaza i izlaza.ako je četveropol zatvoren sa
impedansama Z1=10
i Z2=30 na ulazu i izlazu.
A=5,B=10,C=0,5S.
D=?,Zu1=?,Zu2=?,u=?,i=?,=?.
Na osnovu relacije AD-BC=1 slijedi
Ulazna impedansa mjerena sa strane ulaza i izlaza četveropola je data sa:
Za konstante četveropola imamo da je:
43,021
2,9
516
22,7
22,18,9
12
8,18
210
1
12
2
21
ACZ
BDZZ
DCZ
BAZZ
u
u
03,2)28.279,1(2
1
28,28,9ln)8,18ln(
791,16ln2
25ln
i
u
2,15
15,010
1
D
A
BCD
2,210
22
5105,0
10102,1
88,92,16
160
2,1305,0
10305
1
12
2
21
ACZ
BDZZ
DCZ
BAZZ
u
u
23,2)78,267,1(2
1
78,2)5,0302,1ln(ln
67,130
105lnln
2
2
CZD
Z
BA
i
u
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
14
Primjer 3.5.
Dati su neki “a” parametri izračunati preostale parametre i konstantu
prenosa napona, struje i četveropola. Izračunati i ulaznu impedansu
mjerenu sa strane ulaza i izlaza. I ako su date impedanse Z1=10 i Z2=20.
A=10,B=2,C=0,1S.
D=?,Zu1=?,Zu2=?,u=?,i=?,=?.
Imamo da je:
Pa je:
Za konstante imamo da je:
Primjer 3.6.
Izračunati Zu1, Zu2, u, i, ako su dati pojedini a-parametri i Z1, Z2.
A=4, C=5, D=2, Z1=2, Z2=3
4.15
71
C
ADB
38,014
4,5
410
4,14
78,017
4,13
215
4,112
2
1
u
u
Z
Z
16,22
32,4)83,249,1(
2
1
83,217ln)215ln(
49,146,4ln3
4,14ln
i
u
12,010
2,1
10
2,01
1
D
A
BCD
29,011
2,3
10101,0
21012,0
52,912,2
2,20
12,0201,0
22010
1
12
2
21
ACZ
BDZZ
DCZ
BAZZ
u
u
53,1)75,031,2(2
1
75,012,2ln)201,012,0ln(
31,21,10ln20
210ln
i
u
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
15
Primjer 3.7.
Dati su neki a-parametri izračunati preostale parametre i konstantu
prenosa napona, struje i četveropola.Izračunati i ulaznu impedansu mjerenu
sa strane ulaza i izlaza.I ako su date impedanse Z1=20 i Z2=10.
A=10,B=10,D=0,5.
C=?,Zu1=?,Zu2=?,u=?,i=?,=?.
Rješenje:
Pa je:
Za konstante imamo da je:
3.4. SIMETRIČAN ČETVOROPOL
Pod simetričnim četveropolom podrazumijevamo četveropol kod koga
je raspored impedansi simetričan u odnosu na ulazne i izlazne krajeve. U
tom slučaju su ulazne admitanse pri kratko spojenom izlazu, odnosno
kratko spojenom ulazu iste, odnosno parametri Y11 i Y22 su isti. To isto važi i
za parametre Z11 i Z22 koji predstavljaju ulazne impedanse na jednom kraju
kada je drugi kraj otvoren.
Prema tome, kod simetričnih četveropola imamo samo dva nezavisna
parametra. Zavisnosti kod različitih vrsta parametara su:
Y11 = Y22
Z11 = Z22
A = D
b11 = b22
SC
B
ADC
4,010
15,010
1
2,210
22
5105,0
10102,1
88,92,16
160
2,1305,0
10305
1
12
2
21
ACZ
BDZZ
DCZ
BAZZ
u
u
23,2)78,267,1(2
1
78,2)5,0302,1ln(ln
67,130
105lnln
2
2
CZD
Z
BA
i
u
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
16
g11g22 - g12g21 = 1
h11h22 - h12h21 = 1
U slučaju simetričnog četveropola definiše se karakteristična
impedansa kao impedansa kojom treba zatvoriti simetričan četveropol pa da
se ista takva impedansa dobije na ulazu četveropola.
Karakteristična konstanta prenosa četveropola
je prirodni logaritam odnosa fazora ulaznog i izlaznog napona, ili odnosa
fazora ulazne i izlazne struje, kada je simetričan četveropol zatvoren svojom
karakterističnom impedansom.
Primjer 3. 8.
Dati su neki a-parametri simetrčnog četveropola. Izračunati
karakterističnu impedansu i nepoznati parametar. Izračunati i
karakterističnu konstantu prenosa.
A=10, B=5
D=?, C=?,Zc=?, c =?
Rješenje:
D=A=10
)(8,195
110101
1
SB
ADC
BCAD
Primjer 3. 9.
Dati su neki a-parametri simetrčnog četveropola. Izračunati
karakterističnu impedansu i nepoznati parametar. Izračunati i
karakterističnu konstantu prenosa.
A=20, B=50,
D=?, Zc=?, c =?
C
BZc
)ln( BCAuic
39,245,10ln)ln(
5,08,19
5
BCA
C
BZ
c
c
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
17
Rješenje:
Primjer 3.10.
Dati su a-parametri simetričnog četveropola koji je sa izlazne strane
zatvoren sa svojom Zc a sa ulazne strane sa 2Zc. Izračunati preostale
parametre i konstantu prenosa napona, struje i četveropola, izračunati
ulaznu impedansu mjerenu sa strane ulaza i izlaza, ako su dati
A=10,B=20.
D=?,C=?,Zu1=?,Zu2=?,u=?,i=?,c=?,=?.
Rješenje:
1
10
BCAD
AD
01,295,4
20
C
BZC
Za konstante imamo da je:
Primjer 3.11.
Dati su a-parametri simetričnog četveropola koji je sa izlazne strane
zatvoren sa svojom 2Zc a sa ulazne strane sa Zc. Izračunati preostale
parametre i konstantu prenosa napona, struje i četveropola, izračunati
ulaznu impedansu mjerenu sa strane ulaza i izlaza, ako su dat A=5, B=50.
D=?,C=?,Zu1=?,Zu2=?,u=?,i=?,=?.
69,3)ln(
5,298,7
50
BCA
C
BZ
c
c
)(98,750
120201
1
SB
ADC
BCAD
SC
B
ADC
95,420
11010
1
013,28,29
2,60
1001,2295,4
2001,2210
2
2
01,295,19
1,40
1001,295,4
2001,210
1
12
2
21
AZC
BZD
ACZ
BDZZ
ZDZC
BZA
DCZ
BAZZ
c
cu
C
c
cu
99,295,42010lnln CBAciu
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
18
Rješenje:
1
5
BCAD
AD
2,1048,0
50
C
BZC
Za konstante imamo da je:
3.5. EKVIVALENTNE T i Pi ŠEME ČETVEROPOLA
Dva četveropola su ekvivalentna ako imaju iste parametre. Kako je
četveropol određen sa tri nezavisna parametra, to ekvivalentni četveropol
datom četveropolu mora imati najmanje tri grane. Zavisno od toga kako su
ove grane povezane, razlikujemo T četveropol, slika 3.2, i Pi četveropol, slika
3.3.
c
c
cu
c
cu
ZAZC
BZD
ACZ
BDZZ
DZC
BZA
DCZ
BAZZ
2,1089,9
101
52,1048,0
502,105
27,108,14
152
52,10248,0
502,1025
2
2
1
12
2
21
35,269,201,22
1
2
1
69,22,10248,05lnln
01,22,102
505lnln
2
2
iu
u
u
ZCD
Z
BA
SC
B
ADC
48,050
155
1
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
19
Z-parametri T četveropola su :
321
2
222
22
1
22112
212
1
111
/0/
/0/
/0/
ZZII
UZ
ZII
UZZ
ZZII
UZ
Ako su poznati Z-parametri složenog četveropola, impedanse grana T
četveropola ekvivalentnog složenom četveropolu su :
12223
122
12111
ZZZ
ZZ
ZZZ
Za T četveropol možemo postaviti sljedeće jednačine ravnoteže napona:
232122
223111
)( IZIIZU
UIZIZU
Odakle se poslije dobiva da je:
2
2
3
2
2
1
2
2
31312
2
11
)1(1
)()1(
IZ
ZU
ZI
IZ
ZZZZU
Z
ZU
pa za a-parametre T četveropola imamo:
2
2
1
1
1
ZC
Z
ZA
2
3
2
3131
1Z
ZD
Z
ZZZZB
Ako su poznati a-parametri složenog četveropola, tada su impedanse grana
T četveropola ekvivalentnog složenom četveropolu:
C
AZ
11
CZ
12
C
DZ
13
Uobičajeno je da se simetričan T četveropol predstavlja kao na slici 4,
odnosno da ukupna redna impedansa iznosi 1Z .
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
20
Na osnovu prethodnih relacija a-parametri simetričnog T četveropola iznose:
22
11
Z
ZDA
2
11
41
Z
ZZB
2
1
ZC
pa je njegova karakteristična impedansa:
2
121
41
Z
ZZZ
C
BZC
i karakteristična konstanta prenosa:
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
441ln2
41
21ln
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
ZC
Kako je s druge strane C to je i za simetrični Pi četveropol
2
1
21
Z
ZC .
Primjer 3.12.
Odrediti a parametre T šeme četveropola ako su date impedanse grana
Z1=10, Z2=4, Z3=4, zatim odrediti ulaznu impedansu mjerenu sa strane
ulaza ako je taj četveropol na izlazu zatvoren sa impedansom od 10.
Odrediti još u, i i .
Rješenje:
24
411
5,34
1011
2
3
2
1
Z
ZD
Z
ZA
2425,0
125,31
25,04
11
2
C
ADB
SZ
C
Za konstante imamo da je:
11,13
5,4
59
21025,0
24105,31
DCZ
BAZZ
p
p
u
64,15,178,12
1
2
1
5,11025,02lnln
78,110
245,3lnln
iu
pu
p
u
ZCD
Z
BA
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
21
Primjer 3.13.
Odrediti a parametre T šeme četveropola ako su date impedanse grana
Z1=20, Z2=2, Z3=40, zatim odrediti ulaznu impedansu mjerenu sa
strane ulaza ako je taj četveropol na izlazu zatvoren sa impedansom od 5.
Odrediti još u, i i .
Rješenje:
212
4011
112
2011
2
3
2
1
Z
ZD
Z
ZA
4605,0
111211
5,02
11
2
C
ADB
SZ
C
Za konstante imamo da je:
Primjer 3.14.
Odrediti a parametre šeme četveropola ako su date impedanse grana
Z1=5, Z2=10, Z3=20, zatim odrediti ulaznu impedansu mjerenu sa
strane ulaza ako je taj četveropol na izlazu zatvoren sa impedansom od
20. Odrediti u, i i .
Rješenje:
5,110
511
25,120
511
2
1
3
1
Z
ZD
Z
ZA
89,316,363,42
1
2
1
16,355,021lnln
63,45
46011lnln
iu
pu
p
u
ZCD
Z
BA
9,21
5,23
515
2155,0
4605111
DCZ
BAZZ
p
p
u
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
22
SB
ADC
ZB
175,05
15,125,11
51
Za konstante imamo da je:
Primjer 3.15.
Odrediti a parametre šeme četveropola ako su date impedanse grana
Z1=10, Z2=10, Z3=5, zatim odrediti ulaznu impedansu mjerenu sa
strane ulaza ako je taj četveropol na izlazu zatvoren sa impedansom od
30. Odrediti u, i i .
Rješenje:
210
1011
35
1011
2
1
3
1
Z
ZD
Z
ZA
SB
ADC
ZB
5,010
161
101
Za konstante imamo da je:
6
5
30
5,120175,0
52025,11
DCZ
BAZZ
p
p
u
161,14,02
1
2
1
61,1175,0205,1lnln
4,020
525,1lnln
iu
pu
p
u
ZCD
Z
BA
283,22,12
1
2
1
83,2305,02lnln
2,130
103lnln
iu
pu
p
u
ZCD
Z
BA
88,5
17
100
2305,0
103031
DCZ
BAZZ
p
p
u
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
23
3.6. I OBRNUTI ČETVEROPOL
Dijeljenjem simetričnog T četveropola na dva jednaka dijela dobijamo
četveropol, slika 3.5., a dijeljenjem simetričnog četveropola na dva
jednaka dijela dobijamo obrnuti četveropol, slika 3.6.
Za određivanje parametara ovih četveropola možemo se služiti relacijama
koje nam važe za nesimetričan T četveropol, uzimajući da je za
četveropol:
01 Z 22 2ZZ 2
13
ZZ
a za obrnuti četveropol:
2
11
ZZ 22 2ZZ 03 Z
a-parametri obrnutog četveropola iznose:
2
1
41
Z
ZA
2
1ZB
22
1
ZC 1D
a-parametri četveropola iznose:
1A 2
1ZB
22
1
ZC
2
1
41
Z
ZD
3.7.VEZIVANJE ČETVEROPOLA
Parametre složenog četveropola možemo u pojedinim slučajevima odrediti
na taj način što prvo razložimo četveropol na više prostijih četveropola čije
parametre odredimo, pa na osnovu njih i u skladu sa načinom njihovog
povezivanja, odredimo parametre složenog četveropola.
Razmotrit ćemo sljedeće veze, a to su:
1. Redna veza
2. Paralelna veza
3. Kaskadna veza
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
24
Redna veza, slika 3.7. je okarakterisana time da su struje na ulaznim i
izlaznim krajevima iste za jedan i drugi četveropol, kao i za njihovu rednu
vezu, što se može izraziti u matričnom obliku kao:
2
1
I
I
2
1
I
I
"
2
1
I
I
Pored toga, zbir ulaznih napona pojedinih četveropola jednak je ulaznom
naponu njihove redene veze, a zbir izlaznih napona pojedinih četveropola
jednak je izlaznom naponu njihove redne veze, što se može izraziti u
matričnom obliku kao:
2
1
U
U
2
1
U
U
2
1
U
U
Za svaki od četveropla u serijskoj vezi možemo pisati da je:
ZU
U
2
1
2
1
I
I , i da je Z
U
U
2
1
2
1
I
I
Sabiranjem matričnih jednačina dobijamo da je :
ZZU
U
2
1 Z
I
I
2
1
2
1
I
I
odnosno, Z-matrica serijske veze dva četveropla jednaka je zbiru Z-matrica
pojedinih četveropola:
ZZZ
Paralelna veza, slika 3.8., je okarakterisana time da su naponi na ulaznim
I izlaznim krajevima isti za jedan i drugi četveropol, kao i za njihovu
paralelnu vezu, što se može izrazit umatričnom obliku kao:
'
2
'
1
U
U
"
2
"
1
U
U
2
1
U
U
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
25
Pored toga, zbir ulaznih struja pojedinih četveropla jednak je ulaznoj stuji
njihove paralelene veze, a zbir izlaznih struja pojedinih četveropla jednak je
izlaznoj struji njihove paralelene veze, što se može izraziti u matričnom
obliku kao:
2
1
I
I
'
2
'
1
I
I
"
2
"
1
I
I
Za svaki od četveropol a u paralelenoj vezi možemo pisati
YI
I
'
2
'
1
'
2
'
1
U
U Y
I
I
"
2
"
1
"
2
"
1
U
U
Sabiranjem matričnih jednačina dobijamo:
YYI
I
2
1 YU
U
2
1
2
1
U
U
odnosno Y-matrica paralelene veze dva četveropola jednaka je zbiru
y-matrica pojedinih četveropla.
YYY
Kaskadna veza, slika 3.9., je okarakterisana time da su izlazne veličine
jednog četveropla jednake ulaznim veličinama drugog četveropla, ulazne
veličine prvog četveropola jednake su ulaznim veličinama kaskadne veze, a
izlazne drugog četveropola jednake su izlaznim veličinama kaskadne veze,
što se može izraziti u matričnom obliku kao:
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
26
'
2
'
2
I
U
"
1
"
1
I
U
'
1
'
1
I
U
1
1
I
U
"
2
"
2
I
U
2
2
I
U
za pojedine četveropole možemo pisati:
aI
U
'
1
'
1
'
2
'
2
I
U a
I
U
"
1
"
1
"
2
"
2
I
U
aaI
U
1
1 aI
U
2
2
2
2
I
U
odnosno, a-matrica kaskadne veze dva četveropola jednaka je proizvodu a-
matrica pojedinih četveropola:
aaa
4.ELEKTRIČNI FILTRI
4.1. ELEMENTARNA TEORIJA ELEKTRIČNIH FILTARA
U mnogim elektrotehničkim uređajima se vrlo često postavlja zadatak :
iz signala ( napona ili struje ) sa širokim spektrom učestanosti izdvojiti, bez
slabljenja ili sa što manjim slabljenjem, samo signale određenih učestanosti
( određenog opsega učestanosti ). U ovu svrhu koriste se specijalni
četveropoli, poznati pod imenom električni filtri.
Filtri se obično grade u obliku filtarskog lanca od niza identičnih
kaskadno vezanih simetričnih T ili Π četveropola, koji se u tom slučaju zovu
ćelije filtra. Impedanse ćelija su tako odabrane da je ulazna impedansa
mjerena sa jedne i druge strane na mjestu gdje sastaju dvije ćelije jednaka
karakterističnoj impedansi ćelije. Pri tome je ulaz i izlaz filtra takođe
zatvoren karakterističnom impedansom. Ovakav režim rada filtra naziva
se usaglašeni režim.
Na slici 4.1. prikazan je filtarski lanac Π ćelija, a na slici 4.2. filtarski
lanac T
ćelija :
Slika 4.1
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
27
Slika 4.2.
Za filtarski lanac od n ćelija u usaglašenom režimu rada imaćemo :
Između ulazne i izlazne struje lanca postoji relacija :
Konstanta prenosa jedne ćelije je :
te ćemo za konstantu prenosa cijelog filtra imati :
odnosno konstanta prenosa filtarskog lanca je n puta veća od konstante
prenosa jedne ćelije. Za analizu filtarskog lanca dovoljno je analizirati samo
jednu njegovu ćeliju.
Da bismo odredili propusni opseg filtra, potrebno je odrediti njegovu
konstantu prenosa. U opštem slučaju, kada se radi o bilo kome simetričnom
filtru, propusni opseg možemo izračunati polazeći od relacije :
ch = ch ( + j ) = A ,
i kako je :
ch ( a + jb ) = ch a cos b + jsh a sin b ,
, nI
Ilnn
I
Iln
2
1
1n
1
f
n
2
1
1n
n
3
2
2
1
1n
1
I
I
I
I.........
I
I
I
I
I
I
1n
n
4
3
3
2
2
1
I
I..........
I
I
I
I
I
I
1n
n
4
3
3
2
2
1
U
U..........
U
U
U
U
U
U
, I
Iln
2
1
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
28
dobijamo dvije realne jednačine za određivanje konstante slabljenja i
konstante faznog zaostajanja :
ch cos = Re ( A )
sh sin = Im ( A ).
Propusni opseg filtra je opseg učestanosti za koje je slabljenje filtra jednako
nuli : = 0 .
Filtar sa ovakvom karakteristikom slabljenja naziva se idealni filtar.
Kod realnih filtara, zbog gubitaka u kalemovima i nemogućnosti
usaglašenog režima rada, uslov = 0 se nemože postići. Upotrebom
kvalitetnih kondenzatora i kalemova ( Q- faktor kondenzatora veći od 1000 i
Q- faktor kalema veći od 50) može se postići da slabljenje u jednom opsegu
učestanosti bude zanemarljivo malo, praktično jednako nuli, pa taj opseg
učestanosti nazivamo propusni opseg. U našem slučaju proučavaćemo samo
simetrične reaktivne filtre, čiji je propusni opseg definisan relacijom = 0.
Prema vrsti propusnog opsega filtra razlikujemo sljedeće filtre :
- filtri niskih učestanosti koji propuštaju, bez slabljenja, signale ispod
jedne određene učestanosti, koja se naziva kritična učestanost filtra ωC :
0 ≤ ω ≤ ωC ;
- filtri visokih učestanosti koji propuštaju signale učestanosti :
ωC ≤ ω < ∞ ;
- filtri propusnici opsega učestanosti za koje je propusni opseg :
ωC 1 ≤ ω ≤ ωC 2 ;
- filtri nepropusnici opsega učestanosti za koje je propusni opseg u
itervalima :
0 ≤ ω ≤ ωC 1 ωC 2 ≤ ω < ∞ ;
Filtri koji imaju osobinu da im je proizvod između redne i paralelne
impedanse konstantan u odnosu na učestanost nazivaju se k - filtri .
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
29
L /21
L /21
C2
4.2.K- FILTRI NISKIH UČESTANOSTI
T i ćelije K-filtra niskih učestanosti prikazane su na slikama 4.5. i 4.6.
Slika 4.5. Slika 4.6.
Za rednu i paralelnu impedansu imamo:
Pa je:
Parametar A iznosi:
Pa slijedi
Desna strana nejednačine je zadovoljena za svako 0, a lijeva strana za
kružne učestanosti:
Propusni opseg filtra je:
a nepropusni opseg je:
11 LjZ 2
21
CjZ
2
2
121 R
C
LZZ
21
21
212
2
1 CL
Cj
LjA
04
121
2
CL
C
CL
21
2
21
20
CL
21
2
CL
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
30
Dijagram slabljenja i faznog zaostajanja prikazan je na slici 4.7.
Slika 4.7.
4.3. K-FILTRI VISOKIH UČESTANOSTI
T i ćelije K-filtra visokih učestanosti prikazane su na
slikama 11 i 12.
Slika 11. Slika 12.
Za rednu i paralelnu vezu imamo:
Parametar A iznosi: za
Pa slijedi
L1
2L 2 2L
2
1
11
CjZ
22 LjZ
2
1
221 R
C
LZZ
21
22
1
2
11
2
1
1LCLj
CjA
0
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
31
Desna strana nejednačine je zadovoljena za svako: 0 , a lijeva
strana za kružne učestanosti:
Propusni opseg filtra je:
a ne propusni opseg je:
Dijagrami slabljenja i faznog zaostajanja prikazani su na slici 13
Slika 13.
04
11
1
2
LC
C
CL
122
1
122
1
CL
122
10
CL
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
32
4.4. K - FILTRI PROPUSNICI OPSEGA UČESTANOSTI
T i Π ćelije K - filtara propusnika opsega učestanosti prikazane su na
slikama 17 i 18 , a dobijaju se iz odgovarajućih K - filtara niskih i visokih
učestanosti čije se redne grane vežu redno , paralelne - paralelno.
Za rednu i paralelnu impedansu imamo :
1L
L
C
1Lj
C
1L
Z2
22
2
2
2
2
2
2
Cj
jj
Da bi filtar imao osobinu K - filtra , neophodno je da se njegovi parametri
izaberu tako da bude zadovoljen uslov :
Slika 17 Slika 18
Uz uslov iz predhodnog izraza imamo :
i za parametar A :
1
2
11
1
11
1L1-Z
C
Cj
CLj
.L
1
L
1
L
221 1
0
221 1
CC
CLC
2
2
1
1
221 R
C
L
C
LZZ
.
2
11
12
2
22
11
CL
CLA
12C 12C 2L1
2L 2C 22L 22L
2
2C
2
2C
1L 1C2L1
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
33
Nejednačina :
ima oblik :
Desna strana ove nejednačine je zadovoljena za svako , a lijeva strana
se može napisati u obliku :
….. ( * )
Pozitivni koreni trinoma u nejednačini ( * ) su :
Nejednačina ( * ) je zadovoljena kada su oba trinoma pozitivna ili oba
negativna. Kako je c1 < c2 , oba trinoma za pozitivno mogu istovremeno
biti samo pozitivna, pa je ova nejednačina zadovoljena za opseg učestanosti :
c1 c2 ,
što ujedno predstavlja i propusni opseg filtara .
Uvođenjem u razmatranje kružnu učestanost 0 u relaciji :
lako je pokazati da postoje sljedeće jednakosti :
i za granične kružne učestanosti :
04
12
1 Z
Z
0
4
11
12
2
22
11
CL
CL
0 1 2 L1- 2L 12
2
1112
2
11 CLCCLC
11
111212
C2
11
111212
C1 L
L
-
C
CLCLCL
C
CLCLCL
221 1
0L
1
L
1
CC
2
2
C
C C1 C2
2
1C1 C2
1
20C2C1 0
L
L
1
2
1
20
2
1
2
10C2
1
2
1
20
2
1
2
10C1
L
L1
L
L
C
C1
C
C
L
L1
L
L-
C
C1
C
C-
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
34
Za kružne učestanosti manje od 0 , impedansa Z1 je kapacitivna , a
impedansa Z2 induktivna , te se filtar ponaša kao filtar visokih učestanosti ,
dok je za kružne učestanosti veće od 0 impedansa Z1 induktivna , a
impedansa Z2 kapacitivna , odnosno filtar se ponaša kao filtar niskih
učestanosti. Ove osobine ćemo uzeti u obzir pri određivanju slabljenja i
faznog zaostajanja filtara.
Dijagrami slabljenja i faznog zaostajanja dati su na slici 19 :
Slika 19
4.5. K- FILTRI NEPROPUSNICI OPSEGA UČESTANOSTI
T i Π ćelije K - filtara nepropusnika opsega učestanosti prikazane su na
slikama 22. i 23. , a dobijaju se iz odgovarajućih ćelija K- filtara niskih i
visokih učestanosti čije se redne grane vežu paralelno , a paralelne redno .
Za rednu i paralelnu impedansu imamo :
Da bi filtar imao osobinu K- filtra , neophodno je da se njegovi parametri
izaberu tako da bude zadovoljen uslov :
i uz ovaj uslov imamo :
2
22
2
2
11
2
11
1L Z
1L
L Z
C
Cj
Cj
221 1
0221 1L
1
L
1 L
CCCLC
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
35
Slika 22 Slika 23
a parametar A iznosi :
Nejednačina :
ima oblik :
Desna strana ove nejednačine je zadovoljena za svako a lijeva strana
se može napisati u obliku :
Pozitivni korijeni trinoma u zadnjoj nejednačini su :
Ova nejednačina je zadovoljena kada su oba trinoma pozitivna ili oba
trinoma negativna , a to je ispunjeno za :
0 c1 c2
što ujedno predstavlja i propusne opsege filtara .
,C
L
C
LZ 2
1
2
2
121 RZ
2L1
12C 12C
2L1
2L
2C
1L
1C22L 22L
2
2C
2
2C
22
11
21
2
121
CL
CLA
04
12
1 Z
Z
0
141
22
11
21
2
CL
CL
.02222 21
2
1121
2
11 CLCLCLCL
11
112121
C2
11
112121
C1 4L
16
4L
16-
C
CLCLCL
C
CLCLCL
Osnove elektrotehnike Tehničar računarstva i Tehničar elektronike Modul 6
36
Nepropusni opseg filtara je :
c1 c2
Uvodeći u razmatranje kružnu učestanost 0 , lako je pokazati da postoje
sljedeće jednakosti :
i , za granične kružne učestanosti :
Za kružne učestanosti manje od 0 , impedansa Z1 je induktivna , a
impedansa Z2 kapacitivna , te se filtar ponaša kao filtar niskih učestanosti ,
dok je za kružne učestanosti veće od 0 impedansa Z1 kapacitivna , a
impedansa Z2 induktivna , odnosno filtar se ponaša kao filtar visokih
učestanosti .
Dijagrami slabljenja i faznog zaostajanja prikazani su na slici 24 :
Slika 24.
12
2
112
2
10210 22 CCCCCC
L
L
C
C
2
1
2
10
1
2
1
202
2
1
2
10
1
2
1
201
161
16161
16
161
16161
16
L
L
L
L
C
C
C
C
L
L
L
L
C
C
C
C
C
C
top related