hukum newton kedua
Post on 01-Mar-2016
10 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Hukum Newton kedua (Newtons Second Law)Dalam pembahasan ini yang akan dijadikan pengamatan adalah partikel bergerak dalam medan gaya (force field) . Secara matematis, hanya merupakan suatu medan vektor dalam (bentuk) ruang partikel, dalam kasus ini adalah . Dari sudut pandang secara fisika, adalah gaya yang digunakan pada suatu lokasi partikel yang terletak pada posisi . Contoh dari medan gaya yang paling terkait adalah medan gravitasi matahari: adalah gaya pada partikel yang terletak pada yang menarik partikel ke matahari. Penjelasan lebih lanjut tentang sistem ini adalah di subbagian 13.3.Keterkaitan antara konsep fisika dari medan gaya dan konsep matematika dari persamaan Differensial adalah Hukum Newton kedua : . Hukum ini menyatakan bahwa suatu partikel dalam suatu medan gaya bergerak sedemikian sehingga vektor gaya pada lokasi dari suatu partikel, pada saat tertentu, sama dengan vektor percepatan pada partikel dikali massa . Untuk itu, persamaan hukum Newton memberikan persamaan persamaan differensial orde kedua
Sebagai sistem, persamaan tersebut menjadi
Dengan adalah kecepatan partikel. Ini merupakan sistem dari persamaan pada . Sistem seperti ini sering disebut sebagai sistem mekanik dengan derajat kebebasan .Solusi dari persamaan order kedua dikatakan terletak pada ruang konfigurasi (configuration field). Solusi dari sistem terletak dalam ruang fase (phase space) atau ruang dasar (state space) dari sistem.
Contoh 1Perhatikan osilator harmonik tidak teredam sederhana dari Bab 2. Pada kasus ini masa bergerak di satu dimensi dan posisinya pada waktu diberikan oleh fungsi , dimana . Saat diperhatikan, persamaan diferensial yang mengatur gerakan ini adalah
Untuk suatu dan . Untuk itu, medan gaya pada titik diberikan oleh . Sedangkan untuk menentukan solusi dari x(t) dengan menerapkan materi pada bab dua, maka dapat dilakukan proses sebagai berikut.1. Ubah persamaan differensial ke dalam sistem persamaanPerhatikan bahwa
Misalkan dan
Maka diperoleh sistem persamaan yaitu
2. Menentukan nilai eigenMisal
Maka
3. Menentukan vektor eigenPerhatikan bahwa
dan untuk diperoleh
Sehingga diperoleh persamaan(i) (ii) Untuk itu diperoleh
Jadi eigenvektor yang diperoleh adalah
Pilih maka
4. Menentukan solusiKarena
Maka berdasarkan Zill dan Cullen (2009:322) diperoleh
Jadi
Sehingga karena diperoleh
Contoh 2Osilator harmonik versi dua dimensi mengijinkan masa bergerak pada bidang, sehingga posisi saat ini diberikan oleh vektor . Pada kasus satu dimensi, medan gaya adalah sehingga persamaan gerak adalah sama dengan
Dengan solusi dalam ruang konfigurasi adalah
Untuk suatu nilai .Solusi tersebut dapat diperoleh melalui proses berikut seperti pada Hirsch, dkk (2004:114)1. Perhatikan bahwa dan 2. Karena
Maka pada bidang diperoleh
Sehingga diperoleh sistem persamaan yaitu
3. Menentukan nilai eigenMisal
Menentukan nilai eigen melalui dengan menggunakan maple diperoleh> >
>
>
>
Sehingga dapat disimpulkan bahwa sistem memiliki nilai eigen yaitu dan 4. Menentukan eigenvektorPerhatikan bahwa
dan untuk diperoleh
Sehingga diperoleh Untuk itu diperoleh dan Jadi eigenvektor yang diperoleh adalah
Pilih dan 0 maka
Dengan cara yang sama untuk dan memililih dan 1 akan diperoleh
5. Menentukan solusiUntuk
Maka berdasarkan Zill dan Cullen (2009:322) diperoleh
Jadi
Untuk dengan proses yang sama diperoleh
Sehingga karena diperoleh = Sebelum berhadapan dengan kasus yang rumit dari Hukum Newton, harus diingat beberapa konsep dari kalkulus multivariable. Ingat bahwa hasil kali titik (atau hasil kali dalam) dari dua vektor dinotasikan dengan dan didefinisikan dengan
Dimana dan . Untuk itu, . Jika merupakan fungsi halus, maka versi dari aturan perkalian memenuhi
Secara lebih mudah dapat diperiksa menggunakan fungsi koordinat dan .Ingat juga bahwa jika , gradien dari , dinotasikan sebagai , yang didefinisikan yaitu
Seperti pada bab 9, adalah medan vektor pada .Selanjutnya, perhatikan komposisi dari dua fungsi halus dengan dan . Dengan menerapkan aturan rantai pada diperoleh
Dalam pembahasan ini juga akan digunakan hasil hali silang (atau hasil kali vektor) pada vektor-vektor . Dengan definisi
Mengingat kembali kalkulus multivariabel yaitu
Dengan merupakan satuan vektor yang tegak lurus dengan dan dengan orientasi vektor , dan diberikan dengan aturan tangan kanan. Dalam hal ini, merupakan sudut antara dan .Catat bahwa jika dan hanya jika salah satu vektor merupakan kelipatan skalar dari yang lain. Sedangkan, jika , maka tegak lurus dengan bidang yang memuat dan . Jika dan merupakan fungsi pada dalam , maka versi lain dari aturan perkalian menyatakan bahwa
salah satunya dapat diperiksa dengan menggunakan koordinat.SoalSuatu pegas dengan konstanta sebesar 700 N/m diletakkan horizontal dengan ujung kiri pegas dikaitkan pada dinding dan sebuah massa 7 kg dikaitkan di ujung kanan pegas. Dalam keadaan setimbang, benda ditarik ke kanan sejauh 0,05m kemudian dilepaskan. Tentukan persamaan differensial yang memenuhi permasalahan tersebut dan persamaan getaran benda yang memenuhi.JawabPerhatikan bahwa dan Sehingga dari contoh 1 diperoleh persamaan diferensial yang mengatur gerakan ini adalah
Selain itu, diperoleh dan sistem yang memenuhi adalah
Karena , maka . Sehingga persamaan differensial memenuhi permasalahan tersebut adalah
Karena dalam keadaan setimbang, benda ditarik ke kanan sejauh 0,05m maka diperoleh masalah nilai awal adalah dan Sehingga diperoleh,
Jadi persamaan getaran benda yang memenuhi adalah
DAFTAR RUJUKAN
Zill, D.G & Cullen, M.R. 2009. Differential Equations with Boundary-Value Problems, Seventh Edition. USA: Brooks/Cole
Hirsch, M.W, Smale, S., & Devaney, R.L.2004. Differential equations, dynamical systems, and an introduction to chaos. USA: Elsevier
top related