i. halmazok, kombinatorika · 2015-03-27 · 4 tartalom a matematikai jelölésrendszer...

3

TARTALOM

Fontosabb jelölések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6A tankönyv használatáról . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1. A számok áttekintése – bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92. Halmazok, részhalmazok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153. Mûveletek halmazokkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234. Egyszerû összeszámolási feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285. Halmazok elemszáma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356. Ponthalmazok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417. Nevezetes ponthalmazok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Számokról és halmazokról (olvasmány) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Beszédes ábrák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56A geometriai szerkesztésekrõl (olvasmány) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

8–9. A háromszögekre vonatkozó ismeretek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6210–11. Pitagorasz-tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6412–13. A háromszögek nevezetes pontjai, vonalai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

A háromszög oldalait érintõ körök (olvasmány) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6914. A négyszögek áttekintése, osztályozása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7115. A sokszögekrõl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

16. Mûveletek racionális számkörben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7717. Összetett mûveletek racionális számkörben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8018. A hatványozás fogalmának kiterjesztése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8219. A hatványozás azonosságai, a permanenciaelv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8520. Számok normálalakja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

A számológépek számábrázolása (olvasmány) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Számítások pontossága (olvasmány) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

21. Egy- és többváltozós algebrai kifejezések, helyettesítési érték . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10022. Egynemû kifejezések szorzása, összevonása, polinomok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10223. Polinomok fokszáma, egyenlõsége, zérushelye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10524. Mûveletek polinomokkal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10825. Néhány nevezetes szorzat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11026. Az azonosságok alkalmazása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11427. Polinomok szorzattá alakításának módszerei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11728. Szorzattá alakítás nevezetes szorzatok felhasználásával . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12029. Algebrai törtkifejezések egyszerûsítése, szorzása, osztása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12330. Algebrai törtkifejezések összevonása, mûveletek törtkifejezésekkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

I. HALMAZOK, KOMBINATORIKA 8

II. GEOMETRIA – SOKSZÖGEK 54

III. ALGEBRA 76

17112_Matek9_00_cimnegyed_2012 2013.03.17. 10:11 Page 3

4

TARTALOM

A matematikai jelölésrendszer kialakulása (olvasmány) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13131. A maradékos osztás, az oszthatóság fogalma, tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13232. Oszthatósági szabályok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13633. Prímszámok, a számelmélet alaptétele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14034. Legnagyobb közös osztó, euklideszi algoritmus, legkisebb közös többszörös . . . . . . . . . . . 14435. Polinomok oszthatósága . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14736. Számrendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

37. Bevezetõ feladatok a függvényekhez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15338. Mit nevezünk függvénynek? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15739–40. Ponthalmazok és függvények ábrázolása derékszögû koordináta-rendszerben . . . . . . . . . . 16141. Lineáris függvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16742. Az abszolútérték-függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17343. A másodfokú függvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

A parabola (olvasmány) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17744. Racionális törtfüggvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Az egészrész-, törtrész- és az elõjelfüggvény (olvasmány) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

45–46. Adatok és ábrázolásuk. A statisztika tárgya, feladata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19547–48. Középértékek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

49. Geometriai transzformációk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20550–51. Tengelyes tükrözés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20652–53. A Thalész-tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21054–55. Középpontos tükrözés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21356. Középvonalak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21657–58. A háromszögek nevezetes pontjai, vonalai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

59. Az egyenlet, egyenlõtlenség fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22360. Egyenlet, egyenlõtlenség megoldási módszerei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22761. Egyenlet, egyenlõtlenség megoldása szorzattá alakítással . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23162. Egy általános módszer: a mérlegelv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23663. Abszolút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlõtlenségek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24064. Paraméteres egyenletek, egyenlõtlenségek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24465. Elsõfokú egyenletrendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24766. Szöveges feladatok, gyakorlati alkalmazások 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25267. Szöveges feladatok, gyakorlati alkalmazások 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

V. FÜGGVÉNYEK 152

VI. STATISZTIKA 194

VII. GEOMETRIA – TÜKRÖZÉSEK 204

VIII. EGYENLETEK, EGYENLÕTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK 222

IV. OSZTHATÓSÁG, A SZÁMELMÉLET ALAPJAI 130

17112_Matek9_00_cimnegyed_2012 2013.03.17. 10:14 Page 4

68. A pont körüli elforgatás származtatása és tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26169. A középponti szög és a hozzá tartozó körív . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26370. A körív hossza, a körcikk területe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26671–72. Eltolás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26873. A vektor fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27074. Vektorok összegzése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27275. Két vektor különbsége . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27476. Egybevágóság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

77. Egyenletek és egyenlõtlenségek grafikus megoldása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279Függvénytranszformációk (olvasmány) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

Fogalomtár . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

5

TARTALOM

IX. GEOMETRIA – TOVÁBBI EGYBEVÁGÓSÁGOK 260

X. FÜGGVÉNYEK – TRANSZFORMÁCIÓK 278

17112_Matek9_00_cimnegyed_2012 2013.03.17. 10:15 Page 5