idő- költség- és erőforrás tervezési technikák...speciális ütemezési technikák prt, onte...

Mályusz Levente

Hagyományos ütemezési technikák

Hagyományos: CPM és MPM technika

Előny: egyszerűen kezelhető, számolható

Hátrány: nem kezeli a

- tevékenységi idők bizonytalanságait

- nincs elágazás

- sorrendszámolás nincs

- erőforrás kezelés nincs

- a rosszul struktúrált feladatok megoldását nemsegíti

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

Speciális ütemezési technikák PERT, Monte Carlo szimuláció

Idő- és költség együtt tervezése, költségtervezési feladat, „Time-cost trade-off”,

Erőforrás allokálás (időkorlátos, erőforráskorlátos)

Kritikus láncok CCPM 1997

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

PERT Program Evaluation and Review Technique

1958 Polaris rakétarendszer

A tevékenység idők béta eloszlást követnek

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

A béta eloszlás.

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató

modellek

PERT /kiinduló adatok Adott minden tevékenységre

Pesszimista érték „b”, optimista érték „a”, legvalószínűbb érték „m”

A tevékenység idő várható értéke t, és szórása s

6

4 bmat

2

2

6

abs

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató

modellek

Feltételezések a tevékenység idők béta eloszlást követnek a tevékenység idők egymástól függetlenek várható értékük és szórásuk számítása egyszerűsített képlettel

történik az átfutási idő várható értéke a kritikus úton lévő tevékenységek

várható értékének összege az átfutási idő szórásnégyzete, a kritikus úton lévő tevékenységek

szórásnégyzeteinek összege a kritikus úton lévő tevékenységek száma „gyakorlati szempontból”

elég nagy ahhoz, hogy az átfutási idő eloszlásfüggvényére feltehessük, hogy normális eloszlást követ. (A centrális határeloszlást tételt használjuk, habár az elméleti feltételek nem állnak fenn.)

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

PERT /feltevések Egy darab kritikus utat kell csak vizsgálni

Az átfutási idő várható értéke az egy darab kritikus út hosszának várható értéke,

A kritikus út hossza normális eloszlású, a kritikus út hosszának várható értéke az úton lévő tevékenységek várható értékének összege. (Központi határeloszlás tétel)

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

„Központi határeloszlás tétel” N darab független, tetszőleges eloszlású – akár

különböző ! – valószínűségi változó összegének várható értéke normális eloszlású, ha n tart a végtelenhez. (Hahn Shapiro, 1967)

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

Példa a PERT hálóra Tevékenyég a m b t s2

A - acélszerkezetek előregyártása2 0 2 2 2 5 - 2 2 , 2 0 , 6 9

B - F e l v o n u l á s 5 1 0 1 5 - 1 0 , 0 2 , 7 8

C - A l a p o z á s 5 1 0 2 1 B 1 1 , 0 7 , 1 1

D - S z e r k e z e t é p í t é s 8 1 0 2 0 A , C 1 1 , 3 4 , 0 0

E - B e f e j e z ő m u n k á k 6 9 1 8 D 1 0 , 0 4 , 0 0

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

PERT háló

A 22,2; 0,69 D 10; 4 E 11,3; 4

B 10; 2,78 C 11; 7,11

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

Eredmények 1. Utak (az utak hossza normális eloszlású)

A-D-E ,

Hossz várható értéke: 43,5;

Szórásnégyzet 2,9

B-C-D-E

A hossz várható értéke: 42,3

Szórásnégyzet: 4,2

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

Eredmények 2. (A-D-E út, a kritikus út)

Átfutási időn a p o k s z á m a

z-score valósz.

35 vagy kevesebb 35 -2,883 0,2%

40,6 vagy kevesebb 40,6 -1,000 15,9%

41 vagy kevesebb 41,0 -0,848 19,8%

42 vagy kevesebb 42,0 -0,509 30,5%

43,5 vagy kevesebb 43,5 0,000 50,0%

49,4 vagy kevesebb 49,4 2,000 97,7%

50 vagy kevesebb 50,0 2,205 98,6%

55 vagy kevesebb 55,0 3,901 100,0%

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

Eredmények 3. (B-C-D-E út) Átfutási idő

n a p o k s z á m a

z-score valósz.

35 vagy kevesebb 35 -1,734 4,1%

40,6 vagy kevesebb 40,6 -0,421 33,7%

41 vagy kevesebb 41,0 -0,315 37,6%

42 vagy kevesebb 42,0 -0,079 46,9%

43,5 vagy kevesebb 43,5 0,276 60,9%

49,4 vagy kevesebb 49,4 1,670 95,3%

50 vagy kevesebb 50,0 1,813 96,5%

55 vagy kevesebb 55,0 2,995 99,9%

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

Feltételezések vizsgálata 1. A tevékenység idő béta eloszlású A tevékenységidőre vonatkozó természetesnek tűnő

feltétel, hogy a pesszimista és az optimista idő is pozitív, az eloszlás unimodális. Technikai oldalról feltehetjük, hogy az eloszlás folytonos. Ebből a szempontból a béta eloszlás korrekt és ugyanezen szempontból például a normális eloszlás feltételezése nem helyénvaló. A béta eloszlás 4 paraméterrel rendelkezik, ezért a hármas időbecslés mellett negyedik feltételként általában az egyszerűsített számítást használjuk fel.

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

2. A tevékenységidők függetlenek egymástól (időjárás, a beszállító, a kivitelező)

Jelenleg csak kutatási eredmények léteznek a tevékenységek közötti függőségek feltárásáról

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

3. A centrális határeloszlás tétele alkalmazható (a kritikus úton a tevékenységek száma tart a végtelenhez)

A tapasztalat szerint 30 független béta eloszlású valószínűségi változó összegének eloszlása gyakorlati szempontból már nagyon közel van a normális eloszláshoz

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

Monte Carlo Szimuláció Felhasználói szempontból egyszerű

Minden utat számításba vesz, nem csak a leghosszabbat

A tevékenységek lehetnek függők is

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

Idő- és költségek együttes kezelése „Time-cost trade-off” Költségtervezési feladat

Kelley J.E. és Walker M.R. 1959

Fulkerson R.D. 1961

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

Time-cost trade-off (ez az eredeti modell)

költség

tevékenység idő

a b t

Ka

c c=-tg

Kb

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

Költségtervezési feladat (MPM)

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

Eredmény költség

átfutási idő pa pb

Kmax

Kmin

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

+ Közvetett költségek költség

átfutási idő pa pb

Kmax

Kmin

Közvetett költség

Közvetlen költség

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

Project direct cost

CPM least cost scheduling PDM least cost scheduling

project duration vs. project cost project duration vs. project cost

Ccrash max

Ccrash opt

Cnormal max

Cnormal opt

Least cost ie.

optimal curve

pmin pmax

pcrash pnormal

Project

Dur. (p)

Project direct cost

Project

Duration (p)

pcrash pnormal

Ccrash max

Ccrash opt

Cnormal max

Cnormal opt

Least cost ie.

optimal curve

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

Erőforrás allokálás/elrendezés Időkorlátos

Cél: egy előre meghatározott profilhoz illeszkedjen az erőforrás görbe (Az átfutási idő fix)

Erőforrás korlátos

Cél: az erőforrás egy előre meghatározott értéket nem haladhat meg. (Az átfutási idő nőhet)

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

Erőforrás allokálás / időkorlátos

BB1

A

3

B C

10 10

KK0

BK0 BK2 0 3 3 7 9 12

0 3 3 7 9 12

BB0

D

2

E F

2 2 BB1

KK1 0 2 1 3 14 16

13 15 14 16 14 16

Erőforrások (munkaerő)

A, 10 ; B, 8 ;C,9; D,9;E,9;F,10.

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

napok

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

tev. 5

A

3

B

4

C

4

D

4

E

4

F

14

13

12

11 E

10

9

8 D E

7

6

5

4

3 A

2 B C F

1 Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

napok

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

tev. 5

A

3

B

4

C

4

D

4

E

4

F

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3 A D

2 B C E F

1

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató

modellek

Erőforrás allokálás / erőforrás korlátos

A

2

B D

2 3

KK0

BK0 BK0 0 2 2 5 5 7

0 2 3 6 6 8

BK0

C

2E

2

BB0 2 4 8 10

4 6

8 10

KK0 BK0

BK0

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

napok

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

tev. 3

A

3

B

1

C

4

D

3

E

5

4 C

3

2 A B D E

1 Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató

modellek

napok

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

tev 3

A

3

B

2

C

4

D

3

E

5

4

3

2 A B D E

1 C

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató

modellek

Kritikus láncok / Történeti háttér 1958 CPM, MPM

1997 Eliyahu M. Goldratt “Theory of Constraints” Critical Chain

Miért? Mi a cél ?

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

Felhasznált elvek

a tevékenység idő becslése a hagyományos PERT eljárásban biztonsággal terhelt (átlag idő+- 2 szórás= 95%)

A tevékenység idő becslése legyen az átlag (50%)

hallgató szindróma, Parkinson törvénye

M(x+z)=M(x)+M(y)

D2(x+z)=D2(x)+D2(y) (ha függetlenek)

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

Várható érték Valószínűségi változók várható értékének az összege a

változók összegének várható értéke

M(út a hálóban)=

=M(tev1+tev2)=M(tev1)+M(tev2)

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

Szórás (kockázat) Független valószínűségi változók szórásnégyzetének

az összege a változók összegének szórásnégyzete

D2(út a hálóban)=D2(tev1)+D2(tev2)

72=52+52

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

Standard normális eloszlás Várható érték és

szórás

-3szórás -2szórás -1szórás +1szórás +2szórás +3szórás

2.28% 13.59% 34.13% 34.13% 13.59% 2.28%

~ 68%

~ 95%

~ 99.7%

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató

modellek

Mályusz Levente

Matematikai előzmények 1800-es évek lineáris egyenletrendszerek megoldása

1900-as évek eleje lineáris egyenlőtlenségrendszerek megoldhatósága

1943 lineáris egyenlőtlenségrendszerek megoldása, lineáris programozás

1960-as évek nemlineáris programozási feladatok …

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

Farkas Gyula

1847 - 1930

Farkas Lemma

There is a solution to

Ax = b; x ≥ 0

if and only if

for every y ≥ 0

with yT b ≥ 0, we have yTA ≥ 0.

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

A szállítási feladat Adott n darab termelő és termelési mennyiségük

egyenként illetve m darab fogyasztó és fogyasztási mennyiségük egyenként.

Adott cij fajlagos szállítási költség, amelybe az egységnyi termék szállítása kerül, ha azt az i-edik termelőtől a j-edik fogyasztóhoz szállítjuk. A cél a fogyasztók igényét úgy kielégíteni, hogy a szállítás összes költsége minimális legyen.

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

Kantorovich “I want to emphasize again that the

greater part of the problems of which I shall

speak, relating to the organization and

planning of production, are connected

specifically with the Soviet system of economy

and in the majority of cases do not arise in the

economy of a capitalist society.”

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

Lineáris programozás előzménye Leonid Kantorovich 1912-1984

1939 funérlemezek gyártásával kapcsolatos optimalizálási feladatok

munkák elosztása az egyes munkagépek között

rendelések elosztása gyárak között

Szállítási feladatok

1975-ben közgazdasági Nobel díjat kapott „Mathematical Methods in the Organization and Planning of Production” 1939 oroszul

(1960 Management Science)

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

Lineáris programozás/szimplex

George Bernard Dantzig 1914-2005

operációkutatás

1946 szimplex algoritmus (1947)

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

Consider the problem of assigning 70 men to 70 jobs. Suppose a value or benefit vij would result if the ith man is assigned to the jth job. An activity consists in assigning the ith man to the jth job.

The restriction are: (i) each man must be assigned a job (there are 70 such), and (ii) each job must be filled (also 70). The level of an activity is either 1, meaning it will be used, or 0, meaning it will not. Thus there are 2×70 or 140 restrictions, 70×70 or 4900 activities with 4900 corresponding 0-1 decision variables xij .

Unfortunately there are 70! Different possible solutions or ways to make the assignments xij .

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

The major influences of the pre-1947 era were Leontief’s work on the Input-Output Model of the Economy (1933),

an important paper by von Neumann on Game Theory (1928),

and another by him on steady economic growth (1937).

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

Gráfelmélet Leonhard Euler 1707-1783

Königsbergi hidak 1736

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

Shortest Path (legrövidebb út probléma)

Algoritmus

Ford 1956

Bellman 1958

Dantzig 1958

Dijkstra 1959

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

Gráf, hálózat, tervütemháló 1847 Kirchoff gráfelmélet és alkalmazása elektromos

hálózatokban.

1852 F. Guthrie: Négy szín probléma.

1930 Kuratowski síkba teríthetőség.

1956-61 Ford-Fulkerson maximális folyam, minimális költségű folyam

1956-tól Polaris projekt, DuPont, Rand Corporation, CPM, PERT, MPM, PDM

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

Time-cost trade-off Kelley 1959

Walker 1961

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

Felhasznált irodalom Mályusz, Hajdu:

How would you like it: cheaper or shorter.

ORGANIZATION TECHNOLOGY & MANAGEMENT IN CONSTRUCTION

1:(2) pp. 59-63. (2009)

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató

modellek