ii i. t epelné fluktuace: line ární oscilátor
Post on 16-Jan-2016
47 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
III.Tepelné fluktuace: lineární
oscilátor
KOTLÁŘSKÁ 14. BŘEZNA 2012
F4110 Kvantová fyzika atomárních soustav
letní semestr 2011 - 2012
Úvodem
• Podruhé bez Planckovy konstanty• Molekulární chaos: Fluktuace a stochastická dynamika• Dvě cesty: výpočet středních hodnot přímá simulace jednotlivých realizací náhodných procesů most: ergodické chování systému v termostatu• Hlavní formální prostředek dnes: Langevinova rovnice -- prototyp stochastických diferenciálních rovnic
3
Poslední folie před týdnem – Kapplerův pokus
torzní zrcátko
4
Poslední folie před týdnem – Kapplerův pokus
Ekvipartiční zákon
torzní zrcátko
5
Ergodičnost
Rovnovážné systémy jsou zvláštní. Jsou na konci cesty, všechna
vnitřní napětí v systému se vyrovnají a nastane zdánlivý klid. Pod ním
však kolotá věčný molekulární chaos. Jeho nahodilost se řídí přísnými
zákony. Ať se děje co děje, globální rovnováha nakonec nesmí být
porušena.
6
Bližší pohled na odvození z minulé přednášky
1. Zrcátko pokládáme za " N + 1" molekulu, která má také své Boltzmannovo rozdělení pravděpodobnosti
2. Použijeme ekvipartičního zákona na zobecněnou souřadnici (úhel )
3. Je tu ovšem skrytá záměna středovacích procedur:
7
Bližší pohled na odvození z minulé přednášky
1. Zrcátko pokládáme za " N + 1" molekulu, která má také své Boltzmannovo rozdělení pravděpodobnosti
2. Použijeme ekvipartičního zákona na zobecněnou souřadnici (úhel )
3. Je tu ovšem skrytá záměna středovacích procedur:
rovnovážná střední hodnota,
pomocí distribuční funkce
8
Bližší pohled na odvození z minulé přednášky
1. Zrcátko pokládáme za " N + 1" molekulu, která má také své Boltzmannovo rozdělení pravděpodobnosti
2. Použijeme ekvipartičního zákona na zobecněnou souřadnici (úhel )
3. Je tu ovšem skrytá záměna středovacích procedur:
t
Kappler počítalčasovou střední
hodnotu
rovnovážná střední hodnota,
pomocí distribuční funkce
9
Bližší pohled na odvození z minulé přednášky
1. Zrcátko pokládáme za " N + 1" molekulu, která má také své Boltzmannovo rozdělení pravděpodobnosti
2. Použijeme ekvipartičního zákona na zobecněnou souřadnici (úhel )
3. Je tu ovšem skrytá záměna středovacích procedur:
t
ERGODICKÝ PŘEDPOKLAD
Kappler počítalčasovou střední
hodnotu
rovnovážná střední hodnota,
pomocí distribuční funkce
2
2
/ 2e A
F
f
0
0
d1
d ( )t
t
Ft FF ft
T
T
T
10
Bližší pohled na odvození z minulé přednášky
1. Zrcátko pokládáme za " N + 1" molekulu, která má také své Boltzmannovo rozdělení pravděpodobnosti
2. Použijeme ekvipartičního zákona na zobecněnou souřadnici (úhel )
3. Je tu ovšem skrytá záměna středovacích procedur:
t
ERGODICKÝ PŘEDPOKLAD
Kappler počítalčasovou střední
hodnotu
rovnovážná střední hodnota,
pomocí distribuční funkce
2
2
/ 2e A
F
f
B
1
k T
0
0
d1
d ( )t
t
Ft FF ft
T
T
T
11
Bližší pohled na odvození z minulé přednášky
1. Zrcátko pokládáme za " N + 1" molekulu, která má také své Boltzmannovo rozdělení pravděpodobnosti
2. Použijeme ekvipartičního zákona na zobecněnou souřadnici (úhel )
3. Je tu ovšem skrytá záměna středovacích procedur:
t
ERGODICKÝ PŘEDPOKLAD
Kappler počítalčasovou střední
hodnotu
rovnovážná střední hodnota,
pomocí distribuční funkce
0
0
1d ( ) d
t
t
t F t F F f
T
T
T
2
2
/ 2e A
F
f
12
0
0
1d ( ) d
t
t
t F t F F f
T
T
T
Bližší pohled na odvození z minulé přednášky
1. Zrcátko pokládáme za " N + 1" molekulu, která má také své Boltzmannovo rozdělení pravděpodobnosti
2. Použijeme ekvipartičního zákona na zobecněnou souřadnici (úhel )
3. Je tu ovšem skrytá záměna středovacích procedur:
t
ERGODICKÝ PŘEDPOKLAD
Kappler počítalčasovou střední
hodnotu
rovnovážná střední hodnota,
pomocí distribuční funkce
2
2
/ 2e A
F
f
13
Ergodičnost a molekulární chaos
1. Zrcátko pokládáme za " N + 1" molekulu, která má také své Boltzmannovo rozdělení pravděpodobnosti
2. Použijeme ekvipartičního zákona na zobecněnou souřadnici (úhel )
3. Je tu ovšem skrytá záměna středovacích procedur:
t
ERGODICKÁ VĚTA
Kappler počítalčasovou střední
hodnotu
rovnovážná,pomocí
distribučnífunkce
• Molekulární chaos mění každý dynamický proces na stochastický• Při opakování vznikají náhodné realisace procesu• Nejčastěji se objeví "typické" realisace• Pro ně systém bloudí všemi hodnotami uvažované dynamické veličiny a to tak, že u různých hodnot pobývá zhruba podle ter
mické rozdělovací funkce• Z chaotického chování se tak vynořuje pravidelnost
ČASOVÉ STŘEDNÍ HODNOTY
TERMICKÉ STŘEDNÍ HODNOTY
0
0
1d ( ) d
t
t
t F t F F f
T
T
T
14
Tlak v plynu a jeho fluktuace
V elementární kinetické teorii se odvozuje výraz pro tlak plynu, který
vede ke stavové rovnici.Na malou plošku působí tlaková síla,
která však kolísá – podléhá fluktuacím. Ta bude hnací silou pro chaotický pohyb mesoskopických
objektů.
15
Tři příklady mesoskopických systémů
globální stupně volnosti• translační mohou být exaktně odděleny od vnitřních SV• rotační
1) Brownova částice volný translační (+ volný rotační) pohyb
2) pérové váhy mezipřípad: translační pohyb s vratnou silou
3) Kapplerovo zrcátko těžiště pevné, rotace okolo osy s vratnou silou
rotacem
H2
2p
221
2
2Ax
m
pH
221
2
2A
IL
H
16
Naše volba pro konkrétnost představy
globální stupně volnosti• translační mohou být exaktně odděleny od vnitřních SV• rotační
1) Brownova částice volný translační (+ volný rotační) pohyb
2) pérové váhy mezipřípad: translační pohyb s vratnou silou
3) Kapplerovo zrcátko těžiště pevné, rotace okolo osy s vratnou silou
rotacem
H2
2p
221
2
2Ax
m
pH
221
2
2A
IL
H
17
Naše volba pro konkrétnost představy
globální stupně volnosti• translační mohou být exaktně odděleny od vnitřních SV• rotační
1) Brownova částice volný translační pohyb v jedné dimensi
2) pérové váhy mezipřípad: translační pohyb s vratnou silou
3) Kapplerovo zrcátko těžiště pevné, rotace okolo osy s vratnou silou
221
2
2Ax
m
pH
221
2
2A
IL
H
212
2
2
pH
mAx
18
Naše volba pro konkrétnost představy
globální stupně volnosti• translační mohou být exaktně odděleny od vnitřních SV• rotační
1) Brownova částice volný translační pohyb v jedné dimensi
2) pérové váhy mezipřípad: translační pohyb s vratnou silou
3) Kapplerovo zrcátko těžiště pevné, rotace okolo osy s vratnou silou
221
2
2Ax
m
pH
221
2
2A
IL
H
212
2
2
pH
mAx
NÁHODNÉ SÍLY
19
Náhodná síla na destičku působená nárazy molekul plynu
Odhady pro destičku 1mm x 1mmVzduch za normálních podmínek 1atm, 0 C
obdobně s druhé strany
krátké silové impulsy
Síla na stojící destičku )()( tFtF
Impuls síly za dobu makroskopicky krátkou, pro molekuly dlouhou
213d ( ) 2 ( )x x x
t
tt F t n m Sm p S
v v vv
( ) ( )F t F t
( )
( )
F t
F t
t
20
Náhodná síla na destičku působená nárazy molekul plynu
Odhady pro destičku 1mm x 1mmVzduch za normálních podmínek 1atm, 0 C
obdobně s druhé strany
krátké silové impulsy
Síla na stojící destičku )()( tFtF
Impuls síly za dobu makroskopicky krátkou, pro molekuly dlouhou
n = 2.691025
mezimol. vzdálenost= 3.3 nmnárazů za sec.= 1.301022
v = 493 m/s dusíkv = 461 m/s kyslík
( ) ( )F t F t
( )
( )
F t
F t
t
213d ( ) 2 ( )x x x
t
tt F t n m Sm p S
v v vv
21
Náhodná síla na destičku působená nárazy molekul plynu
Odhady pro destičku 1mm x 1mmVzduch za normálních podmínek 1atm, 0 C
obdobně s druhé strany
krátké silové impulsy
Síla na stojící destičku )()( tFtF
Impuls síly za dobu makroskopicky krátkou, pro molekuly dlouhou
n = 2.691025
mezimol. vzdálenost= 3.3 nmnárazů za sec.= 1.301022
v = 493 m/s dusíkv = 461 m/s kyslík
( ) ( )F t F t
( )
( )
F t
F t
t
1016 nárazů/s
213d ( ) 2 ( )x x x
t
tt F t n m Sm p S
v v vv
22
Náhodná síla na destičku působená nárazy molekul plynu
Odhady pro destičku 1mm x 1mmVzduch za normálních podmínek 1atm, 0 C
obdobně s druhé strany
krátké silové impulsy
Síla na stojící destičku )()( tFtF
n = 2.691025
mezimol. vzdálenost= 3.3 nmnárazů za sec.= 1.301022
v = 493 m/s dusíkv = 461 m/s kyslík
( ) ( )F t F t
( )
( )
F t
F t
t
1016 nárazů/s
Impuls síly za dobu makroskopicky krátkou, pro molekuly dlouhou
213d ( ) 2 ( )x x x
t
tt F t m n m S p S
v v v v
23
Náhodná síla na destičku působená nárazy molekul plynu
Odhady pro destičku 1mm x 1mmVzduch za normálních podmínek 1atm, 0 C
obdobně s druhé strany
krátké silové impulsy
Síla na stojící destičku )()( tFtF
n = 2.691025
mezimol. vzdálenost= 3.3 nmnárazů za sec.= 1.301022
v = 493 m/s dusíkv = 461 m/s kyslík
( ) ( )F t F t
( )
( )
F t
F t
t
1016 nárazů/s
Impuls síly za dobu makroskopicky krátkou, pro molekuly dlouhou
213d ( ) 2 ( )x x x
t
tt F t m n m S p S
v v v v
2 2 31 2 1 23 3 2 3 2
Elementární odvození stavové rovnice ideálního plynu
B Bp n m n m n k T n k T v v
KONTROLA
24
Náhodná síla na destičku působená nárazy molekul plynu
Odhady pro destičku 1mm x 1mmVzduch za normálních podmínek 1atm, 0 C
obdobně s druhé strany
krátké silové impulsy
Síla na stojící destičku )()( tFtF
Střední síla na stojící destičku
0)()( pSpStFtF
n = 2.691025
mezimol. vzdálenost= 3.3 nmnárazů za sec.= 1.301022
v = 493 m/s dusíkv = 461 m/s kyslík
( ) ( )F t F t
( )
( )
F t
F t
t
1016 nárazů/s
Impuls síly za dobu makroskopicky krátkou, pro molekuly dlouhou
213d ( ) 2 ( )x x x
t
tt F t m n m S p S
v v v v
25
Náhodná síla na destičku působená nárazy molekul plynu
Střední síla na pomalu se pohybující destičku
( ) ( ) pS pS uF t F t
v u
2 2
2 ( )
( ) ( )
x x x
x x x
u m u u
n m u u S p S nm u nmO u
v v v
v v v
brzdná sílaxv
uv
26
Náhodná síla na destičku působená nárazy molekul plynu
Střední síla na pomalu se pohybující destičku
( ) ( )F t F t pS pS u
v u
2 2
2 ( )
( ) ( )
x x x
x x x
u m u u
n m u u S p S nm u nmO u
v v v
v v v
brzdná sílaxv
uv
27
Náhodná síla na destičku působená nárazy molekul plynu
upSpStFtF )()(
v u
Objevila se disipativní síla úměrná rychlosti !!Je to důsledek molekulárního chaosu (termostat nereaguje na pohyb systému)
xv
Střední síla na pomalu se pohybující destičku u v
2 2
2 ( )
( ) ( )
x x x
x x x
u m u u
n m u u S p S nm u nmO u
v v v
v v v
brzdná síla
2 2
2 ( )
( ) ( )
x x x
x x x
u m u u
n m u u S p S nm u nmO u
v v v
v v v
28
Náhodná síla na destičku působená nárazy molekul plynu
upSpStFtF )()(
v u
Objevila se disipativní síla úměrná rychlosti !!Je to důsledek molekulárního chaosu (termostat nereaguje na pohyb systému)
Náhodná složka síly
( ) ( ') const ( ')F t F t t t nulová střední síla
bodová korelační funkce (bílý šum)
PROČ
xv
Střední síla na pomalu se pohybující destičku u v
( )F F F F F F F u
( ) 0F t
brzdná síla
29
Langevinova rovnice
Jednoduchá myšlenka: Na mesoskopickou částici působí
fluktuující síla ze strany molekul termostatu.
Pro chaotický pohyb mesoskopických částic můžeme napsat pohybovou
rovnici. Vypadá jako mikroskopická, ale není – náhodná Langevinova síla je zavedena
fenomenologicky.
30
Langevinova rovnicePaul Langevin (1872 -- 1946) 1907 navrhl pohybovou rovnici pro
částici propojenou s termostatem
ext ( )mx x F F t
tření
vtištěná síla(nenáhodná)
NÁHODNÁ LANGEVINOVA
SÍLA
31
Langevinova rovnicePaul Langevin (1872 -- 1946) 1907 navrhl pohybovou rovnici pro
částici propojenou s termostatem
ext ( )mx x F F t
tření
vtištěná síla(nenáhodná)
NÁHODNÁ LANGEVINOVA
SÍLA
Náhodná síla spolu s třením odrážejí účinek termostatu na systém
32
Langevinova rovnicePaul Langevin (1872 -- 1946) 1907 navrhl pohybovou rovnici pro
částici propojenou s termostatem
S ( )mx x F F t
tření
působící síla(nenáhodná)
NÁHODNÁ LANGEVINOVA
SÍLA
Náhodná síla spolu s třením odrážejí účinek termostatu na systém
DVĚ ZÁKLADNÍ STRATEGIE provedeme pro
středování … LR jako stochastická DR 1D Brownovu částici
simulace … řešení LR pro konkrétní lineární oscilátor realizaci Langevinovy síly „pérové váhy“ jako náhodného procesu simulace Kapplerových dat
33
Langevinova rovnice I.
Původně použita na volnou Brownovu
částici. Významné pokroky v pochopení. Difusní řešení je správné v limitě dlouhých časů. Pro
krátké časy se projeví inerciální efekty
34
Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici
S( ) 0mx x F t F
tření NÁHODNÁ LANGEVINOVA
SÍLA
35
Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici
S( ) 0mx x F t F
tření
působící síla=0(volná částice) Kdyby
dostaneme
S ( )m x x F F t
S constF NÁHODNÁ LANGEVINOVA
SÍLA
36
Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici
S( ) 0mx x F t F
tření
působící síla=0(volná částice) Kdyby
dostaneme
S ( )m x x F F t
S constF NÁHODNÁ LANGEVINOVA
SÍLA
37
Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici
S( ) 0mx x F t F
tření
působící síla=0(volná částice) Kdyby
dostaneme
ustálený stavS ( )m x x F F t
S constF
NÁHODNÁ
LANGEVINOVA SÍLA
38
Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici
S( ) 0mx x F t F
tření
působící síla=0(volná částice) Kdyby
dostaneme
S constF
S
S
1/
x F
x BF
B
NÁHODNÁ LANGEVINOVA
SÍLA
39
Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici
S( ) 0mx x F t F
tření
působící síla=0(volná částice) Kdyby
dostaneme
S constF
S
S
1/
x F
x BF
B
NÁHODNÁ LANGEVINOVA
SÍLA
40
Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici
S( ) 0mx x F t F
tření
působící síla=0(volná částice) Kdyby
dostaneme
( )x x f t
dělíme m
S constF
S
S
1/
x F
x BF
B m
NÁHODNÁ LANGEVINOVA
SÍLA
41
Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici
S( ) 0mx x F t F
tření
( )x x f t
dělíme m
Původní Langevinův postup
NÁHODNÁ LANGEVINOVA
SÍLA
42
Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici
Původní Langevinův postup
Středovat … ale co
( )
( )
xx xx xx
xx xx xx xf t
( )x x f t
43
Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici
Původní Langevinův postup
Středovat … ale co
( )
( )
xx xx xx
xx xx xx xf t
Použít ekvipartičního teorému Zbavit se náhodné síly !!!
( )x x f t
( )Bk T
mxx xx xf t
44
Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici
Původní Langevinův postup
Středovat … ale co
( )
( )
xx xx xx
xx xx xx xf t
( )x x f t
( )Bk T
mxx xx xf t
Použít ekvipartičního teorému
Zbavit se náhodné síly !!!
0Bk T
mxx xx
45
Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici
Původní Langevinův postup
Středovat … ale co
( )
( )
xx xx xx
xx xx xx xf t
( )x x f t
( )Bk T
mxx xx xf t
Použít ekvipartičního teorému
Zbavit se náhodné síly !!!
0Bk T
mxx xx
( ) 0
( ) ( ') const ( '
Mot
)
( ) ( )
ivac
0
e
f t
f t f t t t
xf t x f t
46
Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici
Výsledná LODR 1. řádu (nenáhodná)
eB tk T
mxx C
Pokračování
Počáteční podmínka
212(1 e )B t xx x
kx
Tx
m
0x
neznámá Bk T
mxx xx xx
Obecné řešení LODR 1. řádu partikulární řešení + obecné řešení homogenní rovnice
47
Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici
Výsledná LODR 1. řádu (nenáhodná)
eB tk T
mxx C
Pokračování
Počáteční podmínka
212(1 e )B t xx x
kx
Tx
m
0x
neznámá Bk T
mxx xx xx
Obecné řešení LODR 1. řádu partikulární řešení + obecné řešení homogenní rovnice
48
Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici
Výsledná LODR 1. řádu (nenáhodná)
eB tk T
mxx C
Pokračování
Počáteční podmínka
212(1 e )B t xx x
kx
Tx
m
0x
neznámá Bk T
mxx xx xx
Obecné řešení LODR 1. řádu partikulární řešení + obecné řešení homogenní rovnice
Poslední integrace
2 12 (1 e )B txk T
mt
Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici
2 /1 12 (1 e ) 2 (1 e )B Bt tx tk T k T
mt
m
relax
1
ač
ní
doba
VÝSLEDEK
Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici
2 /1 12 (1 e ) 2 (1 e )B Bt tx tk T k T
mt
m
relax
1
ač
ní
doba
VÝSLEDEK
difusní limita
Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici
2 /12 (1 e ) 2 (1 e )B Bt tk T
tk
tT
xm m
relax
1
ač
ní
doba
Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici
2 /12 (1 e ) 2 (1 e )B Bt tk T
tk
tT
xm m
relax
1
ač
ní
doba
52
Pro t
2 2
2
identifikace .... EINSTEINŮV VZTAH
B
B
BB
k T
m
k T
m
k TD
mk T B
x t
t
D
Pro 0t
2 2 2 212
2( )
BALISTICKÝ
12 (1 1 )
ROZLET
B Bk Tk T
mxtx t t t t
m
t
Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici
2 /12 (1 e ) 2 (1 e )B Bt tk T
tk
tT
xm m
relax
1
ač
ní
doba
53
Pro t
2 2
2
identifikace .... EINSTEINŮV VZTAH
B
B
BB
k T
m
k T
m
k TD
mk T B
x t
t
D
Pro 0t
2 2 2 212
2( )
BALISTICKÝ
12 (1 1 )
ROZLET
B Bk Tk T
mxtx t t t t
m
t
t
Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici
2 /12 (1 e ) 2 (1 e )B Bt tk T
tk
tT
xm m
relax
1
ač
ní
doba
54
Pro t
2 2
2
identifikace .... EINSTEINŮV VZTAH
B
B
BB
k T
m
k T
m
k TD
mk T B
x t
t
D
Pro 0t
2 2 2 212
2( )
BALISTICKÝ
12 (1 1 )
ROZLET
B Bk Tk T
mxtx t t t t
m
t
t
Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici
2 /12 (1 e ) 2 (1 e )B Bt tk T
tk
tT
xm m
relax
1
ač
ní
doba
55
Pro t
2 2
2
identifikace .... EINSTEINŮV VZTAH
B
B
BB
k T
m
k T
m
k TD
mk T B
x t
t
D
Pro 0t
2 2 2 212
2( )
BALISTICKÝ
12 (1 1 )
ROZLET
B Bk Tk T
mxtx t t t t
m
t
t
Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici
2 /12 (1 e ) 2 (1 e )B Bt tk T
tk
tT
xm m
relax
1
ač
ní
doba
56
Pro t
2 2
2
identifikace .... EINSTEINŮV VZTAH
B
B
BB
k T
m
k T
m
k TD
mk T B
x t
t
D
Pro 0t
2 2 2 212
2( )
BALISTICKÝ
12 (1 1 )
ROZLET
B Bk Tk T
mxtx t t t t
m
t
t 0t
2 2 212
2( )
BALISTICKÝ ROZLET
12 (1 1 )B xx t t t tk T
m
Pro
Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici
2 /12 (1 e ) 2 (1 e )B Bt tk T
tk
tT
xm m
relax
1
ač
ní
doba
57
Pro t
2 2
2
identifikace .... EINSTEINŮV VZTAH
B
B
BB
k T
m
k T
m
k TD
mk T B
x t
t
D
Pro 0t
2 2 2 212
2( )
BALISTICKÝ
12 (1 1 )
ROZLET
B Bk Tk T
mxtx t t t t
m
t
t 0t
2 2 212
2( )
BALISTICKÝ ROZLET
12 (1 1 )B xx t t t tk T
m
Pro 0t t
Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici
2 /12 (1 e ) 2 (1 e )B Bt tk T
tk
tT
xm m
relax
1
ač
ní
doba
58
Pro t
2 2
2
identifikace .... EINSTEINŮV VZTAH
B
B
BB
k T
m
k T
m
k TD
mk T B
x t
t
D
Pro 0t
2 2 2 212
2( )
BALISTICKÝ
12 (1 1 )
ROZLET
B Bk Tk T
mxtx t t t t
m
t
t 0t Pro 0t t
2 2 212
2( )
BALISTICKÝ ROZLET
12 (1 1 )B xx t t t tk T
m
59
Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici
difusní aproximace
balistická limita
úplné řešení
Langevinova rovnice pro 1D Brownovu částici
difusní aproximace
balistická limita
úplné řešení
Balistický rozlet je zpočátku pomalejší, pak ovšem roste kvadraticky i nadále a od je už mnohem rychlejší.
Crossover u odpovídá první srážce
2
Zpozdí se zrovna o
2 Bk T
mx t
2 2
Nezávisí na , je na n
B
T
xk
tT
m
/t
61
Langevinova rovnice II.
Pro lineární oscilátor je řešení pomocí
středovacích procedur také možné.My se soustředíme na přímou simulaci, abychom napodobili Kapplerovy časové průběhy.
62
Langevinova rovnice pro lineární oscilátor
( )mx x Ax F t
tření
vratná sílaNÁHODNÁ SÍLA
Náhodná síla spolu s třením
odrážejí účinek termostatu na systém
)(20 tfxxx
tlumený lineární oscilátorparametry empiricky dostupné
hnán vtištěnou silousíla náhodná, Gaussovský bílý šum
středování
,
20
20
( )
0
x x x f t
x x x x
x x x
středovaný pohyb
je za chvíli utlumen
63
Langevinova rovnice pro lineární oscilátor – řešení
LODR 2. řádu s pravou stranou
obecné řešení= obecné ř. homog. rovnice+ partikulární řešení nehomog. rovnice
)(~)exp()exp()( 2211 txtCtCtx
sekulární rovnice02
02
20
241
21
2,1
021
kritická hodnota
podtlumené kmity přetlumené kmity
64
Kořeny charakteristické rovnice
02
02
bezrozměrný parametr
0
2,1Re
0
2,1Im
asymptoty
1,2
0 0 0
2
12 2
65
Langevinova rovnice – Greenova funkce
)'()',()',(dd)',(
dd 2
02
2
ttttGttGt
ttGt
pulsní excitace
partikulární řešení nehomog. rovnice
hledáme pomocí Greenovy funkce
66
Langevinova rovnice – Greenova funkce
partikulární řešení nehomog. rovnice
hledáme pomocí Greenovy funkce
)'()',()',(dd)',(
dd 2
02
2
ttttGttGt
ttGt
akustickáměření
Greenovyfunkcepodle
definices kladívkem
67
Langevinova rovnice – Greenova funkce
)'()',()',(dd)',(
dd 2
02
2
ttttGttGt
ttGt
PAK
( ) d ' ( , ') ( ')x t t G t t f t pulsní excitace
partikulární řešení nehomog. rovnice
hledáme pomocí Greenovy funkce
68
Langevinova rovnice – Greenova funkce
partikulární řešení nehomog. rovnice
hledáme pomocí Greenovy funkce
)'()',()',(dd)',(
dd 2
02
2
ttttGttGt
ttGt
PAK
( ) d ' ( , ') ( ')x t t G t t f t
Ověření: Definujeme
Symbolicky LG
d ' d 'L x t LG f t f f
22
2 0(dif. operátor)d d
d dL
t t
69
Langevinova rovnice – stanovení Greenovy funkce
hledáme Greenovu funkci
A kausalita
B
C d ( ' 0) 1 ( ' 0) 0dG t t G t tt
okrajové podmínky (sešití při rovných časech)
dostaneme integrací po malém okolí bodu t = t´
)'()',()',(dd)',(
dd 2
02
2
ttttGttGt
ttGt
'pro0)',()',(dd)',(
dd 2
02
2
ttttGttGt
ttGt
( , ) 0 pro G t t t t
70
Langevinova rovnice – odvození sešívacích podmínek
hledáme Greenovu funkci
A ( , ') 0 pro 'G t t t t kausalita
B
C d ( ' 0) 1 ( ' 0) 0dG t t G t tt
okrajové podmínky (sešití při rovných časech)
dostaneme integrací po malém okolí bodu t = t´
)'()',()',(dd)',(
dd 2
02
2
ttttGttGt
ttGt
'pro0)',()',(dd)',(
dd 2
02
2
ttttGttGt
ttGt
2202
20
d ( , ')d
d ( , ') ( , ')d
d ( , ') ( , ') ( ')d
( , ') 1tt
tt
t
t
t t t t
t t t t
G t tt
G t t G t tt
dt G t t dt dt G t t dt t tt
dt G t t
71
Langevinova rovnice – odvození sešívacích podmínek
hledáme Greenovu funkci
A ( , ') 0 pro 'G t t t t kausalita
B
d ( ' 0) 1 ( ' 0) 0dG t t G t tt
okrajové podmínky (sešití při rovných časech)
dostaneme integrací po malém okolí bodu t = t´
)'()',()',(dd)',(
dd 2
02
2
ttttGttGt
ttGt
'pro0)',()',(dd)',(
dd 2
02
2
ttttGttGt
ttGt
2202
20
d ( , ')d
d ( , ') ( , ')d
d ( , ') ( , ') ( ')d
( , ') 1tt
tt
t
t
t t t t
t t t t
G t tt
G t t G t tt
dt G t t dt dt G t t dt t tt
dt G t t
0
C
72
Langevinova rovnice – stanovení Greenovy funkce
hledáme Greenovu funkci
A ( , ') 0 pro 'G t t t t kausalita
B
C d ( ' 0) 1 ( ' 0) 0dG t t G t tt
okrajové podmínky (sešití při rovných časech)
dostaneme integrací po malém okolí bodu t = t´
'
)()exp()exp(1
)( 2121
tt
G
)'()',()',(dd)',(
dd 2
02
2
ttttGttGt
ttGt
'pro0)',()',(dd)',(
dd 2
02
2
ttttGttGt
ttGt
73
Langevinova rovnice – ukázka Greenovy funkce
'
)()exp()exp(1
)( 2121
tt
G
G
74
Langevinova rovnice – náhodná síla
Velikost náhodné síly ( ) ( ') 2 ( ')f t f t D t t konvenční, ale matoucí
označení
75
Langevinova rovnice – náhodná síla
Velikost náhodné síly ( ) ( ') 2 ( ')f t f t t t naše konvenční označení
76
Langevinova rovnice – náhodná síla
Velikost náhodné síly
???( ) ( ') 2 ( ')f t f t t t
77
Langevinova rovnice – náhodná síla
Velikost náhodné síly
Musíme se opřít o ekvipartiční teorém
2
220
210 B2
( ) d 'd '' ( ') ( '') ( ') ( '')
12 d ' ( ') přímý výpočet
x t t t G t t G t t f t f t
t G t
m k T
t
???( ) ( ') 2 ( ')f t f t t t
78
Langevinova rovnice – náhodná síla
Velikost náhodné síly
Musíme se opřít o ekvipartiční teorém
2 2102
1B
2
220
B22
0
( ) d 'd '' ( ') ( '') ( ') ( '')
12 d ' ( ')
)
(
=
x t t t G t t G t t f t f t
t G t t
k T
m
m
x t
k T
???( ) ( ') 2 ( ')f t f t t t
79
Langevinova rovnice – náhodná síla
Velikost náhodné síly
Musíme se opřít o ekvipartiční teorém
2 2102
1B
2
220
B22
0
( ) d 'd '' ( ') ( '') ( ') ( '')
12 d ' ( ')
)
(
=
x t t t G t t G t t f t f t
t G t t
k T
m
m
x t
k T
Bk T
m
???( ) ( ') 2 ( ')f t f t t t
Výsledek
připomíná Einsteinův vztah
nezávisí na .
80
Langevinova rovnice – náhodná síla
Velikost náhodné síly
Musíme se opřít o ekvipartiční teorém
2 2102
1B
2
220
B22
0
( ) d 'd '' ( ') ( '') ( ') ( '')
12 d ' ( ')
)
(
=
x t t t G t t G t t f t f t
t G t t
k T
m
m
x t
k T
Bk T
m
???
Výsledek
připomíná Einsteinův vztah
nezávisí na .
( ) ( ') 2 ( ')f t f t t t
stejný jako pro volnou Brownovu částici
0
81
Shrnutí: výsledné formální řešení
0
(0) 0, (0) 0
( ) 0 0 d ' ( ') ( ')
t
x x
x t t G t t f t
formální řešení
1 21 2
2 21 11,2 02 4
1( ') exp( ( ')) exp( ( ')) ( ')G t t t t t t t t
B( ) ( ') 2 ( ')k T
f t f t t tm
82
Shrnutí: výsledné formální řešení
0
(0) 0, (0) 0
( ) 0 0 d ' ( ') ( ')
t
x x
x t t G t t f t
formální řešení
1 21 2
2 21 11,2 02 4
1( ') exp( ( ')) exp( ( ')) ( ')G t t t t t t t t
B( ) ( ') 2 ( ')k T
f t f t t tm
( )
AP
( ) d ' ( ') ( ') ( )
d ' ( ') ( ') ( )
LIKACE: ověření Langevinova Ansat
d
z
' ( ') ( ') (0
u
0) 0
x t f t t G t t f t f t
t G t t f t f t
t G t t t t G
83
Shrnutí: výsledné formální řešení
0
(0) 0, (0) 0
( ) 0 0 d ' ( ') ( ')
t
x x
x t t G t t f t
formální řešení
1 21 2
2 21 11,2 02 4
1( ') exp( ( ')) exp( ( ')) ( ')G t t t t t t t t
B( ) ( ') 2 ( ')k T
f t f t t tm
( )
AP
( ) d ' ( ') ( ') ( )
d ' ( ') ( ') ( )
LIKACE: ověření Langevinova Ansat
d
z
' ( ') ( ') (0
u
0) 0
x t f t t G t t f t f t
t G t t f t f t
t G t t t t G
84
Shrnutí: výsledné formální řešení
0
(0) 0, (0) 0
( ) 0 0 d ' ( ') ( ')
t
x x
x t t G t t f t
formální řešení
1 21 2
2 21 11,2 02 4
1( ') exp( ( ')) exp( ( ')) ( ')G t t t t t t t t
B( ) ( ') 2 ( ')k T
f t f t t tm
( d ' ( ') ( ') ( )
d ' ( ') ( ') ( )
d ' ( ') ( ')
APLIKACE: ově
) ( )
0
ření Langevinova Ansatzu
(0 0)
t G t t f t f t
t G t t f t f t
t G t t t t G
x t f t
85
Numerická integrace
( ) d ' ( ') ( ')
d ' ( ') ( ')
( ) d ' ( ')
( )
n
n
n
nn
n nn
x t t G t t f t
t G t t f t
G t t t f t
G t t f
formální řešení
86
Numerická integrace
( ) d ' ( ') ( ')
d ' ( ') ( ')
( ) d ' ( ')
( )
n
n
n
nn
n nn
x t t G t t f t
t G t t f t
G t t t f t
G t t f
formální řešení
rovnoměrné dělení intervalu času
87
Numerická integrace
( ) d ' ( ') ( ')
d ' ( ') ( ')
( ) d ' ( ')
( )
n
n
n
nn
n nn
x t t G t t f t
t G t t f t
G t t t f t
G t t f
formální řešení
rovnoměrné dělení intervalu času
aproximace – věta o stř. hodnotě (Greenova funkce je plavná)
88
Numerická integrace
( ) d ' ( ') ( ')
d ' ( ') ( ')
( ) d ' ( ')
( )
n
n
n
nn
n nn
x t t G t t f t
t G t t f t
G t t t f t
G t t f
formální řešení
rovnoměrné dělení intervalu času
aproximace – věta o stř. hodnotě (Greenova funkce je plavná)
diskretizovaný tvar vhodný pro výpočet … rychlejší přímé num. řešení diferenciální rovnice
89
2 d ' ( ') d '' ( '')
d ' d '' ( ') ( '')
d ' d ''2 ( ' '') 2
f t f t t f t
t t f t f t
t t t t t
Numerická integrace
( ) d ' ( ') ( ')
d ' ( ') ( ')
( ) d ' ( ')
( )
n
n
n
nn
n nn
x t t G t t f t
t G t t f t
G t t t f t
G t t f
diskrétní Gaussův náhodný proces
2 d ' ( ') d '' ( '')
d ' d '' ( ') ( '')
d ' d ''2 ( ' '') 2
f t f t t f t
t t f t f t
t t t t t
90
Numerická integrace
( ) d ' ( ') ( ')
d ' ( ') ( ')
( ) d ' ( ')
( )
n
n
n
nn
n nn
x t t G t t f t
t G t t f t
G t t t f t
G t t f
diskrétní Gaussův náhodný proces
2 2
2
1( ) exp / 2
2
2
p X X
t
rozdělení pravděpodobnosti
2 d ' ( ') d '' ( '')
d ' d '' ( ') ( '')
d ' d ''2 ( ' '') 2
f t f t t f t
t t f t f t
t t t t t
91
Numerická integrace
( ) d ' ( ') ( ')
d ' ( ') ( ')
( ) d ' ( ')
( )
n
n
n
nn
n nn
x t t G t t f t
t G t t f t
G t t t f t
G t t f
diskrétní Gaussův náhodný proces
2 2
2
1( ) exp / 2
2
2
p X X
t
generuji na počítačirozdělení pravděpodobnosti
2 d ' ( ') d '' ( '')
d ' d '' ( ') ( '')
d ' d ''2 ( ' '') 2
f t f t t f t
t t f t f t
t t t t t
92
Numerická integrace
( ) d ' ( ') ( ')
d ' ( ') ( ')
( ) d ' ( ')
( )
n
n
n
nn
n nn
x t t G t t f t
t G t t f t
G t t t f t
G t t f
diskrétní Gaussův náhodný proces
2 2
2
1( ) exp / 2
2
2
p X X
t
generuji na počítačirozdělení pravděpodobnosti
pseudonáhodnáčísla
93
Ukázka Kapplerových měření
94
Ukázka Kapplerových měření
vysoký tlak, přetlumený oscilátor
snížený tlak, podtlumený oscilátor
95
nf
G tx
čas
2500 bodů
txrozmazáno s oknem 2t
96
nf
G tx
čas
2500 bodů
txrozmazáno s oknem 2t
The end
98
Systematický popis termických fluktuací
termické fluktuace || kvantové fluktuace
současnostšum
noise
MAKROSKOPICKÁ APARATURA
S
T termostat makroskopický " nekonečný " . . mnoho nezávislých vnitřních stupňů volnosti
systém mesoskopický
interakce T -- S
HH
UHHH
T
STSTTOT
měřicí bloknení
součástí systému
?ST
vnitřS
TTTT
U
HHH
UHH "silné slabé" molekulární chaos
mikroskopické globálnístupně volnosti
99
Termostat z ideálního plynu
UVm
UHH
21
2
2 C
TTTT
pobecný tvar hamiltoniánu
pro (téměř) ideální plyn
srážky vedou k chaotisaci
podmínky pro dobrý termostat z ideálního plynu
doba chaotisace (srážková doba)
doba termalisace (relaxační doba)
charakteristická doba systému
TERMOSTAT:
definuje a fixuje teplotu
je robustní, nedá se vychýlit
je rychlý při návratu do rovnováhy
S termostatem pracujeme tak, jakoby po dobu zkoumaného procesu setrval v rovnováze
Sa
v v
100
Dynamický systém v rovnováze s termostatem
Naše malé systémy si můžeme myslet jako "N + 1" molekulu, trochu sice větší, ale jinak zapadající do Boltzmannovy konstrukce kinetické teorie
Předpokládáme totiž
Škrtnutý člen vyvolá nevratnou dynamiku. Jsou dvě cesty:
• Počítáme střední hodnoty s rozdělovací funkcí
Tímto vnucením rovnováhy jsme rovnocenně dosáhli nevratnosti.
• Začneme dynamické výpočty pro systém S pod dynamickým vlivem T. To je možné např. za použití Langevinovy rovnice ( … Příště)
STTTOT UHHH "N + 1" molekul
)),(exp(),( qpHqpf
101
Ekvipartiční teorém
Ekvipartiční teorém
je obecně platný za následujících předpokladů:
• Systém je klasický ( fatálně důležité … viz Planckova funkce)
• Uvažovaný stupeň volnosti (p nebo q) vystupuje v celkovém hamiltoniánu jen jako aditivní kvadratická funkce, typicky
Pak
221 Ax
TkAxx
AxAxxAx B2
12
21
2212
21
221
)exp(d
)exp(d
Tento výsledek pokrývá mimo jiné Kapplerovský výpočet. Na kinetické energii vůbec nezáleží, ani na rozdílném dynamickém chování pro různé podmínky (tla vzduchu v "termostatu")
top related