ﻢﻴﺣﺮﻟﺍ ﻦﻤﺣﺮﻟﺍ ﷲﺍ ﻢﺴﺑ -...

بسم اهللا الرحمن الرحيم والصالة والسالم على أشرف المخلوقين محمد سيد المرسلين وعلى آله وصحبه أجمعين

ملخصات مع تقنيات أما بعد ٬ يسرني أن أقدم لكم هذا العمل المتواضع وهو عبارة على

مجمعة في كتاب واحد ي م لجذع المشترك عل الرياضيات لمستوى ا

بوعيون وهي لألستاذ حميد

sefroumaths.site.voila.fr

تجميع وترتيب

ALMOHANNAD

تـــــــــ بــــ دئ اــــ

I( 0,1,2,3, 4,5.......IN =

* 1, 2,3, 4,5.......IN =

II( – (1 a

2a k= k IN∈. (2 a

2 1a k= + 2 1a k= − k IN∈ .

3( (a ! "# $ !%& $ . (b ! "# $ !%& $. (c (* $ !%&a b $) $a b+ . (* $ !%&a b $) $ a b+ . (* $ !%&a $ b $) a b+ . (d (* $ !%&a b $) $ ab . (* $ !%&a b $) $ ab . (* $ !%&a $ b $) ab .

(e $ !%& a b *+! , $) $ $ .

III( 1(!" $- a b $ $ .

-! $& . a - /0 b $ !%& a a b k= k IN∈.

2( (* 0 /0 . (* 0 , ! /0 - 0. (* $ !%&a /0 b b /0 c $)

a - /0 b .

3( # $"% ! !" $- a b $ 1 $ $ .

$- 23! 4-! /0-!a b, /0 2 5 4 " 1 . - ( , )PPCM a b

a b∨ .

4( (* -! $ !%&a - /0 b $) ( , )PPCM a b a= (*( , )PPCM a a a=

IV( &' 1(!" $-a b $ $ .

-! $& . a 6.- # b -! $& 7 b ". a $ !%& a /0 b a

a b k= k IN∈ . /b a.

2( (* ". 6 -! !3! 0 . (* 0 , ! ". 0. (* $ !%&b ".a c ".b $)c ". a. (* -!1 6 -! !3! 8 ". . (* 9 ". . (* -1 , ! "# 1.

3( () &* + 2,3,4,5,9,11,25 a( "

$-0α7 1α 7 2α 7 3α 7 ..... 7rα $ #

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

6-1 0...r rα α α− %-! -! -&

! "# 0α ! "# 7 1α 7 ............

b( - -! 1 0...r ra α α α−= -:

(*a 6.-! . 2 $ !%& 0 0,2,4,6,8α ∈

(*a 6.-! . 3 $ !%& 0 1 23/ rα α α α+ + + +

(*a 6.-! . 4 $ !%& 0 14 /α α

(*a 6.-! . 5 $ !%& 0 0,5α ∈

(*a 6.-! .9 $ !%& 0 1 29 / rα α α α+ + + +

(*a 6.-! . 3 $ !%&

0 2 4 1 3 5......) ( .....)11 / (α α α α α α−+ + + + + +

(*a 6.-! . 25 $ !%& 1 0 00, 25,50,75α α ∈

4( . $"% &* !" $- a b $ 1 $ $ .

3! 4-! ".-! $- a b"# , " 1 5 4 . - ( , )PGCD a b a b∧ .

5( /)'0 - . $-a b $ *IN a b≥ .

$( , )PGCD a b# ;# 6- 6: 6. a b ".-! < ". "=

$ " # !%, #-!( , )PGCD a b " 1 # *> , .

?-! @%, A* $ :

... ... ... 2r 1r b a

3q 2q 1q

0 nr ... ... 2r 1r 1r

V ( 1(!" - ! a -

. $#1 a.

2( (a -! , B. -a 8 - .

3! !3! 8 6-p B. -! 2p a≤ ". !3! @%, $ !%&a $) a - 1 .

". C !3! @%, 8 ; !%&a $) a - . (b $ 23! 6-3! !3! 100,

2 ,3 ,5 ,7 ,11 ,13 ,17 ,19 ,23 ,29 ,31 ,37 ,41 ,43, 47 7 53 ,59 ,61 ,67 ,71 ,73 ,79 ,83 ,89 ,97.

(c - 2p ≠ , (d -!1 - E- .

3 ( $." 2 3 (4 0 -: 2a ≥ < 6.

31 21 2 3. . ...... r

ra p p p pαα α α=

1p 7 2p 7 3p 7 ..... 7rp ! 6- .

1α 7 2α 7 3α 7 ..... 7rα 6 1 6 ! . -! 49 6-! @%,a 6- ! F! -& .

25 49--! 54:- $%& $%&354 2 3= ×

4( +" . (a $- 23! 4-! /0-! a b F! ,

9 $ 6-! 1 6-! 6-3! !-! a b E -& 6 .

(b $- 3! 4-! ".-! a b !-! F! , 9 $ 6-! 6-3!a b E 2 -& 6 .

25 - :76 632 76 ∨و632 ∧

$-

$%&3632 2 .79= 276 2 .19= 276 632 2 4∧ = = 376 632 2 .19.79 12008∨ = =

(c $- 2a ≥

31 21 2 3. . ...... r

ra p p p pαα α α= -! 49 a ! F! -& 6-.

-! "!# a , 1 2(1 )(1 ) (1 )rα α α+ + +

2 54 3 27 3 9 3 3

1

2 632 2 76 2 316 2 38 2 158 19 19 79 79 1 1

ب اا

(A 1 vوu

) (

!" . 2 AB BA= −

3 AB BC AC+ = )$% &'((.

4 0AB =

) A B=. 5 ** $+ u v+

, u

v $-.

/0+ 1 . 6 (23 ( )ABCD/0+ 1

45* & 3% :

(a AB DC=

(b AD BC=

(c AC AB AD= +

(d 3 [ ]AC [ ]BD7- .

7 I& 7- [ ]AB

(* AI IB=

(* IA IB= −

(* 1

2AI AB=

(* 1

2BI BA=

(*0IA IB+ =

:

a ( I7- [ ]AB$ 1

2AI AB=

b (+ 2 I7- [ ]AB+ 2 +

0IA IB+ =

8 ( )ABC89 9I7- [ ]BC

* ( )1

2AI AB AC= + .

9 ( )ABC989 .

I7- [ ]AB J7- [ ]AC

* 1

2IJ BC=

10 (a vوu

.

(b vوu

v uα= + u vα=

.

(c CوBوA4 & AC ABو

AB ACα=

+ AC ABα=

(d ( )AB ( )CD 4 CDوAB

.

: a ( + 2 IKوIJ

&'(

)9IJ IKα=

+ 0IJ IKα β+ =

+ .(...

:2 !IKوIJ

3; &*2

&8-. ACوAB

9 .

9 * 2IJ AB AC= −

6 3IK AB AC= −

< =

+ 3 6 3IJ AB DC IK= − =

3IK IJ= .

b (( )ABC 989 M>2 & 3MA MB=

73 3?M8 @* & 8 :

3MA MB=

( )3MA MA AB= +

3 3MA MA AB− =

2 3MA AB− =

2 3AM AB=

3

2AM AB= .

u

u

v

v

u v+

A B

CDI

A B I

A

B C I

A

B C

I J

u

v

((((I I I I .

( )D ( )L O M ( )P

'M ( )L M ( )D .

'M M ( )L ( )D.

(a M ( )L !" #$ % #& '. (b M ( )D ' O. (c ( ( )L ( )D ) ' p ( )P* ( )P .

+ ,$ 'M ' M -( ) 'p M M=. (d ,$ ( ) ( )D L⊥ . p ! (

( )L.

(II ! .

(1 /0 1* ( :

,$G /0 ( , ), ( , )A Bα β

( ) 'p A A= ( ) 'p B B= ( ) 'p G G=

. G' /0 ( ', ), ( ', )A Bα β

(2 ( 3" 1* : ,$I 3" [ ]AB . I' /0 [ ]' 'A B

4* ( ) 'p A A= ( ) 'p B B=

(3 ( #0 1* :

,$AB kCD=

. ' ' ' 'A B kC D=

A' B' C' 'D " ' A B C D

.

(III

(1 1( )L 2( )L 3( )L 4( )L + 5

( )D ( ')D # 6 A B C D A' B' C' 'D . ! :

' '

' '

AB A B

CD C D=

' '

' '

CA C A

BD B D= ......

(2 1( )L 2( )L 3( )L

3+ ( )D ( ')D # 6 A B C

A' B' C' . ! :

' '

' '

AB A B

AC A C=

' '

' '

CB C B

AB A B= ......

(3 ( )ABC 77 .( )D ( )BC ( )AB M ( )AC N

! :AM AN MN

AB AC BC= =

AB AC BC

AM AN MN= =

" MA NA MN

MB NC BC= ≠

(4 ( )ABCD 3* 89 I 86 .

! :IA IB AB

IC ID CD= =

IC ID AB

IA IB CD= =

" BI AI AB

BD AC CD= ≠

5( "# "! : (a 1( )L 2( )L 3( )L 3+

( )D ( ')D # 6 A B C

A' B' C' .

,$1 2( ) //( )

' '

' '

L L

AB A B

AC A C

=

. 1 2 3( ) //( ) //( )L L L

(b ( )ABC 77 .M ( )AB N ( )AC

,$AM AN

AB AC= . ( ) //( )MN BC

" : (1 +": 1;2;3;4 < +":

0 < = 9 . ":(5) > !# .

(2 + ,$ A B C D.

AB kCD= ? AB kCD=

A

B C

M N

A B

C D

I

A

B

C

'A

'B

'C

1( )L

2( )L

3( )L

A

B

C

'A

'B

'C

1( )L

2( )L

3( )L

'A

'B

'C

'D

A

B

C

D

( )L

( )D

'M

M

با - IR ا

اب IR . 1( ا اب IR.

aو b و c و d IR .

(a a b= a یـــــــ c b c+ = +

(b a b= . یـــــــ .a c b c= ( 0)c ≠

(c نإذا آ a b

وc d

= =

ـــــن . .

a c b dو

a c b d

+ = + =

(d . 0a b = 0a یـــــــ 0b أو = =.

(e . 0a b ≠ 0a یـــــــ 0b و ≠ ≠.

(g a c

b d= . یـــــــ .a d b c= ( 0 0)a ≠bو ≠

(h a c ad bc

b d bd

++ . و =a c ac

b d bd=

(i

aa db

c b cd

= و ⋅

aab

c bc و =

1 ba ab

=

2( IR اى a( 0 ∗) "ی 1a = ( 0)a ≠ (∗ 1 1a =

(∗ . . .....n

n fois

a a a a a=

*( 1 )n IN∈ −

(∗ 1n

na

a− =

b( خ%ـــــــت (a aو b *IR و m و n Z.

(∗ .m n m na a a += (∗ 1n

na

a− =

(∗ ( )m n mna a= (∗ ( ) .n n nab a b=

(∗

nn m

m

aa

a−= (∗ ( )

nn

n

a a

b b=

(b نإذا آa b= ن 2 2a b=

(c ن2إذا آ 2a b= و aو b ن ارة a b=.

(d 2 2a b= a یـــــــ b= أو a b= −.

أن *ح)ـــــ' : a b= أن ی "! أن

2 2a b= و aو bرةا

-,ـــــت ه' )3(a 2 2 2( ) 2a b a ab b+ = + +

(b2 2 2( ) 2a b a ab b− = − +

(c 2 2 ( )( )a b a b a b− = − +

(d 3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b+ = + + +

(e 3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b− = − + −

(f 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b− = − + +

(g 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b+ = + − +

. ا01ور ا.,"' )4a "ی IR ا*ي b ه. ا%$د ا.ج, aا+*ر ا(ب' &%$د . ∋+

2b: ی123 a=. ,4و a b= .

. خ%ــــــت (a aو b IR + .

(∗ 0a ≥ (∗ 2 2( )a a a= =

(∗ ab a b= (∗ ( )n na a=

(∗ a a

b b=

(b x IR∈ . 2x x=.

(c ن0 إذا آab ن < :ab a b= و aa

b b=

(d a IR +∈ 2x a= x یـــــــ a= أو x a= −.

. ا4ـــــــــس2' )5(a 2.ل إن ا%$دی aو b ' ' ن674 c و d ن82 إذا آ : إذا و

a b

c d=

(b ن1: إذا آ 2

1 2

n

n

a a a

b b b= = ن = :

1 2 1 1 2 2

1 2 1 1 2 2

n n n

n n n

a a a k a k a k a

b b b k b k b k b

+ + += = = =+ + +

6( 5 . ا81ئ ا6a( : "ی آ; :$د ح22x %ب44 و k 3=.ر ب :$دی >1k 1k: ی7% + x k≤ < +

) وx ,4 ی>A ا+@ئ ا=3< &%$د kا%$د ا7> )E x k= أو

[ ]x k=

: *ح)' ; x &%$د ا+@ئ ا=3<∗)B ة) .x ه. ا%$د ا7> ا*ي ی.ج$

(∗ ( ) ( ) 1E x x E x≤ < + ; x IR.

(IIاــــــــ .IRـــــــ خ%ـــــــت )1(a (∗ a b≥ 0a یـــــــ b− ≥

(∗ a b≤ 0a یـــــــ b− ≤

(b (∗ a b> 0a یـــــــ b− >

(∗ a b< 0a یـــــــ b− <

(c (∗a b≤ 7%ی a b< أو a b=.

a إذا آن ∗) b< ن a b≤ >3ص )D %وا .

(d (∗ a b≥ a یـــــــ c b c+ ≥ +

(∗ a b> a یـــــــ c b c+ > +

(e(∗ نإذا آ a b

وb c

≤ ≤

ن a c≤ .

إذا آن ∗) a b

وb c

≤ <

ن a c<.

(f (∗ نإذا آ a b

وc d

≤ ≤

ن a c b d+ ≤ . < وا% D( ص3+

إذا آن ∗) a b

وc d

≤ <

ن a c b d+ < +

(g (∗ نإذا آ 0

a bو

c

≤ ≥

ن ac bc≤

إذا آن ∗) 0

a bو

c

≤ ≤

ن ac bc≥ .

(f (∗ نإذا آ 0

0

a bو

c d

≤ ≤ ≤ ≤

ن ac bd≤ >3ص )D %وا .

إذا آن ∗) 0

0

a bو

c d

≤ ≤ < <

ن ac bd<

(i 0a 0b و < > . (∗ a b≤ یـــــــ1 1

a b≥

(j 0a 0b و > < . (∗ a b≤ یـــــــ1 1

a b≥

(k 0a 0b و ≤ ≥ (∗ a b≤یـــــ 2ــ 2a b≤

(∗ a b≤ a یـــــــ b≤

(l 0a 0b و ≥ ≤ (∗ a b≤ 2 یـــــــ 2a b≥

(m aو b IR a b≤ 2 یـــــــ 2a b≤

(n ن ـإذا آ a و b رة و0 اa b+ ن = 0a 0b و = =

*ح)' ی43.ین :&A ا+*ور ا(ب%F ، 2رن b و a إذا آن ا%$دی

a و b رن"! أن 2 2 یa 2 وb رةو1234 إ a و bGث %4; اIص4 <(k و (l .

. اــــــــــ.' ا.-' )2K ه ا%$د ا*ي (@ xا2F اF2&J &%$د. x IR :"ی

: وا%(ف ب ی& xب ; 0

; 0

x xx

x x

≥= − ≤

0x إذا آن ∗): ی7% ن ا2F اF2&J &%$د ≤ x K< ه .

0xن إذا آ∗) ن ا2F اF2&J &%$د ≥ x K&ب2 ه .

خ%ـــــــــــت (a (∗ x x− = (∗ 0x ≥

(∗ xy x y= (∗nnx x= (∗

xx

y y=

(b (∗ x r=x یـــــــ r= أو x r= −.

(∗ x y= x یـــــــ y= أو x y= −.

(c (∗ x r≤ r یـــــــ x r− ≤ ≤

(∗ x r≥ x یـــــــ r≥ أو x r≤ −

ا.1ــــــــ9ت )3(a [ ] , /a b x IR a x b= ∈ ≤ ≤

(a [ [ , /a b x IR a x b= ∈ ≤ <

(a ] ] , /a b x IR a x b= ∈ < ≤

(a ] [ , /a b x IR a x b= ∈ < <

(a [ [ , /a x IR x a+∞ = ∈ ≥

(a ] [ , /a x IR x a+∞ = ∈ >

(a ] ] , /a x IR x a−∞ = ∈ ≤

(a ] [ , /a x IR x a−∞ = ∈ <

ا;:ـــــــــــ)4a: آ; 4وتF ا4وتت : "ی x b< a و > x b≤ و >

a x b< a و ≥ x b≤ x K4%6 b ت>A تPQ(ا &%$د ≥ a− .

. ,ــــــــ' ا.' ا.)5(a (i أن F 2(بF ب4(ی0x 8إذا أرد أن B د$%&x FB$ب r 2.م ،

)PQ40بx x− $+76 00 و x x r≤ − ≤

(iiأن إذا F 2(بF ب(اط0x أرد أن B د$%& x FB$ب r 2.م ،

)PQ40بx x− $+76 0 و 0r x x− ≤ − ≤ .

(iii أن F 2(بF &%$د0x إذا أرد أن B x FB$ب r 2.م ،

)PQ40بx x− $+76 0 وr x x r− ≤ − ≤

0x ی7% x r− ≤ .

(b د$%& Fب)2 FB أن 3$د إذا أرد x ا%$د )PQ42.م ب x $+76 و a x b≤ : و ه7 T474< أن ی& : ≥

(i a ی8 ه)ب4 F2(بr ب$x FB &%$دا2F ا b a= −

(ii b اط ه)r ب$x FB &%$دا2F ا2(بF ب b a= −

(iii 2

a b+ ب$x FB &%$دا2F ا2(بF ه

2

b ar

−=

c( 'ح)ــــــ* F 2(بF &%$د B $ت3$ی (ة إذا آV $ی7 إح$ى اPQ4(ات ا4x Fی :

(i 00 x x r≤ − F 2(بF ب0x 4 و46.ن ≥B8د(ی$%& x FB$ب r

(ii 0 0r x x− ≤ − F 2(بF ب(اط 0x و46.ن≥Bد$%& x FB$ب r

(iii 0r x x r− ≤ − 0x أو ≥ x r− ≤

F 2(بF &%$د0x و46.ن B x FB$ب r

d( ی ا"=يا . x IR .

(i ي ا%$د)W%ا(10 )

10

n

n

E x A x &%$د ا2F ا%W(یF ا2(بF ب4(ی8 ی>

FB$10ب n− .

(i ي)W%ا%$د ا (10 )

110

n

n

E x + A &%$د (اطا2F ا%W(یF ا2(بF ب ی>

x FB$10 ب n− .

I 1 ( ),i j

i

j

. 2 ( ),B i j=

. u

!"u xi y j= +

# ( ),x y # $#%

u

& B ( ),u x y

xu

y

.

!": # '$#% #(% u

& .

( ),B i j=

# ) u

* i

j

. #(%

u xi y j= +

$#% +, u

- ( ),x y ( ),u x y

. 3 ( ),B i j=

.

(a ( )1,0i

( )0,1j

b ( # /( ),u x y

( ),v x y′ ′

( ),u v x x y y′ ′+ + +

( ),u v x x y y′ ′− − −

( ),u x yα α α

c ( # /( ),u x y

( ),v x y′ ′

(* # u

v

& B . /# 1 2(#( )det ,u v

! 3/# :

( )det ,x x

u v xy yxy y

′′ ′= = −

′

(* # u

v

#(% , #(% ( )det , 0u v ≠

!": 1 ( i

j

. (* #(%0i jα β+ =

+, 0α β= = (* #(%i j i jα β α β′ ′+ = +

+, α α ′= β β ′=. 2 ( ' #(%A B C5$ # +, 6

AB

AC

. ! .

II$ 1 6!$ !/ ( ), ,o i j

6 o i

j

. 2 )!/# / ( ), ,R o i j=

M # 7# OM

!"OM xi y j= +

# ( ),x y # $#%

M )!/! R ( ),M x y xM

y

!": '$#% #(% M!/! )( ), ,o i j

)OM

* i

j

. #(%OM xi y j= +

+, ( ),M x y. 3 )!/# / ( ), ,R o i j=

.

# / ( ),A AA x y ( ),B BB x y (* ( ),B A B AAB x x y y− −

. (* #(%I 38 [ ]AB # '$#% +, I- :

,2 2

A B A BI I

y y x xy x

+ += =

!": # ' #(% A B C +, 6!$#( ), ,A AB AC

)!/ .

III

1 3/ : A u

/ # )#A 1# u

# " -M! #

AM

u

1 ( ),D A u

( )D.

!" : (a ( ),M D A u∈

/ AM

u

.

(b ( )D) . #( )∆ ( )D.

(c )# ( )AB A 1AB

. 2 % &'.

($: ( )D # )# ( )0 0,A x y 1# ( ),u a b

)! 2# $( )D - ( )t IR∈ 0

0

x x at

y y bt

= + = +

: ( )D

/ 2## $# #(-( )D # # " -

!" $## ( )1 3 , 2 4t t+ − 6 t IR∈. 9" ! /t IR# !" 8 '$#

( )D. "' 1t = 2 4y x= − = (% ( ) ( )4, 2M D− ∈.

3 ) $. (a ( )D # )# ( )0 0,A x y 1#

( ),u a b

/ !" 8! ( )D! : : ( ) ( ),M x y D∈ / ( )det , 0AM u =

/ 0

0

0x x a

y y b

−=

−

/ ( ) ( )0 0b x x a y y− − − !" / !" 8 )0Ax By C+ + = :

( ) ( ), 0,0A B ≠ / - ( )D ( ) : 0D Ax By C+ + =.

(b "# / ( ) : 0D a x b y c+ + = ( )D 1 ) ( ),u b a−

. (c (* #(%( )D#

# +, 8,;# ( )1,0i

!" 1/ 1 y c=.

(* #(% ( )D#

# +, #;# ( )0,1j

!" 1/ 1 x c=.

(* # )# - 8,;# ( )0,0o 1# ( )1,0i

1/ 0y =.

u

i A

( )D

i A B

( )D

O i

j

c ( )D

O i

j

c

( )D

(* # )# - #;# ( )0,0o 1# ( )0,1j

1/ 0x =. 4 )$ % &' *+ ) $ .

',: (a )# / ( ) : 2 1 0x y∆ + − = 2# $ !" 8! ( )∆ < ( )∆ :y t= x t=

<=#. "': :9 y t= (% 2 1 0x t+ − = / 1 2x t= − (%

( ) 1 2x t

y t

= −∆ =

.

(b )# / ( ) ( )( )

1 2 1:

3 2

x t

y t

= +∆ = + / !" 8!

( )∆ < t , ( )1 ( )27<;# , >/ . 5$ : ( )2 3t y= − − , >/ ( )1

1 2 6x y= − − (% ( ) : 2 5 0x y∆ + + =.

5 - .: (a # : # ( )∆ ( )′∆ ?# !:

(i #(% ( ) 0

0

:x x at

y y bt

= +∆ = +

@( ) 1

1

:x x a t

y y b t

′ ′= +′∆ ′ ′= +

A# )( ) 0 1

0 1

x at x a tS

y bt y b t

′ ′+ = + ′ ′+ = +

(* #(%( )S # 5 .t = .t′ = +, ( )∆ ( )′∆ >/ $#% !" 8 , /t $ ,

( )∆. (* A! #(%( )S +, !# 1 * ( ) ( )′∆ = ∆.

(ii #(% ( ) 1:

1 2

x t

y t

= +∆ = − +

( ) : 2 3 1 0x y′∆ − + =

A# )( )( )( )( )

1 1

1 2 2

2 3 1 0 3

x t

S y t

x y

= + = − + − + =

>/x y, ( )3# / !" 8 (*, /# B( #(%( )∆ ( )′∆ , / .

>/t , ( )1 ( )2!" 8 . (* +, * /# ' #(%( )∆ ( )′∆/C . (* +, !# 1 * /# ' #(%

( ) ( )′∆ = ∆. (iii #(% ( ) : 2 1 0x y∆ + − = ( ) : 2 1 0x y′∆ − + = A# )

( ) 2 1 0

2 1 0

x yS

x y

− + = + − =

'* D (i.

(b # / ( )( )

: 0

: 0

ax by c

a x b y c

∆ + + = ′ ′ ′ ′∆ + + =

(i #(% 0a b

a b≠

′ ′ +, ( )∆ ( )′∆ A# /

:# !" 8!.

(ii #(% 0a b

a b=

′ ′ +, ( ) ( )//′∆ ∆

(* #(%0a c

a c≠

′ ′ 0

b c

b c≠

′ ′ +, ( ) ( )// ′∆ ∆C /.

(* #(%0a c

a c=

′ ′ 0

b c

b c=

′ ′ +, ( ) ( )′∆ = ∆.

(c #(% ( )∆ ( )′∆ # <u

( )∆ v

( )′∆

( )det ,u v

(i #(% ( )det , 0u v =

+, ( ) ( )// ′∆ ∆

(ii #(% ( )det , 0u v ≠

+, ( )∆ ( )′∆ / .

(d #(% ( ) ( )// ′∆ ∆ -; 2 +, <E.

6 /0 $ (a #(% ( )∆ 1/ +, #=# 2# !" y mx p= + /# /# B(-

8<#. )# 1# /# /#( )∆.

(b ( )∆ 1 ) ( ),u a b

: 0a ≠ ) /

( )y yο′//( )∆ ( 1# /#( )∆ - bm

a.

(c # / ( ) : y mx p∆ = + ( ) : y m x p′ ′ ′∆ = + ( ) ( )// ′∆ ∆

, #(%m m′=

ات-اودت ادت واات م ار ان

(I ودت ا 1 تx ا ( ) 1

1 1 0....n nn nP x a x a x a x a−

−= + + + +

1 0,...., ,na a a 0 أاد وna ≠ (*( )P xأو Pودی ار deg و n ت P n=.

1ا!اد*) 0,...., ,na a a ت ا"ودی$% .P ت(b& %'ت$% ( . ت0ن ودی & إذا و.- إذا آ%( (cدر %' ) & . ا"ودی ا(d ت ا"ود$% )%%ن إذا و.- إذا آوی% ت0ن ودی%ن

.ر %وی 12 ا(e 1 آ3 ودی ار :( )P x ax b= ا+ . ت

(f 2 آ3 ودی ار :( ) 2P x ax bx c= + + 7$7 ت

.ا"ود 2 (a ( )deg sup(deg ,deg )P Q P Q+ ≤

(b ( )deg sup(deg ,deg )P Q P Q− ≤

(c ( )deg deg degP Q P Q⋅ = +

xا$# "! 3 α− (a ( )P x0ل إن اد. ودیαر 9"ودی: P 2; أو

)%ن إذا و.- إذا آ9P"ودی ) 0P α =

(b ( )P xودی .

( )P x9 x ت3 ا α−إذا و.- إذا آ%ن ( ) 0P α =.

:م&ح(a3"= هإذا أرد% أن ( )P x9 ت3 ا x α− 0م

)ب"%ب )P α.

)إذا آ%ن*) ) 0P α ) .Aن= )P x9 x ت3 ا α−.

)إذا آ%ن*) ) 0P α ) .Aن≠ )P x9 B x ت3 ا α−.

(b3"= هإذا أرد% أن ( )P x9 x ت3 ا α+ 0م

)ب"%ب )P α−.

II ( ر .IIادت واات م ا

ح* اد 12 0ax bx c+ + =

) ا%د ) 2: 0E ax bx c+ + = 0a ≠

) أ3 3 ا%د )Eب اد%2 0م ب" 4b ac∆ = −

Cا %د∆اد*) ) ی )E.

∆0إذا آ%ن*) ) .Aن ا%د⟨ )E% . تD 9 329 ه

2 12 2

b bx x

a a

− + ∆ − − ∆= =

∆0إذا آ%ن*) ) .Aن ا%د= )Eت3 $ وا 2

bx

a

−=

∆0إذا آ%ن*) ) .Aن ا%د⟩ )E3 ت3 أي B .

:م&ح(aد%) ا ) 2: 2 0E ax b x c′+ + = ) G&2یb b′=(

HDC ا3 ا′∆C2bوی&% . ∆ 0ض ا ac′ ′∆ = − ∆′0إذا آ%ن*) ) .Aن ا%د⟨ )E% . تD 9 329 ه

2 1

b bx x

a a

′ ′ ′ ′− + ∆ − − ∆= =

∆′0إذا آ%ن*) ) .Aن ا%د= )Eت3 $ وا bx

a

′−=

∆′0إذا آ%ن*) ) .Aن ا%د⟩ )E3 ت3 أي B .

(b 2 إذا آ%نα∆ .Aن ا%د ت3 9 =

2 12 2

b bx x

a a

α α− + − −= =

اودت* ث&ث 2

) 7$7 ا"ود ) 2P x ax bx c= + + ( 0a ≠

3) أ3 ت )P xد%) 0م ب"3 ا ) 2 0E ax bx c+ + =

∆0إذا آ%ن*) وی0ن ت2x 3 و1xتA. E9 3ن ا%د⟨

( )P x 0ه ( ) ( )( )1 2P x a x x x x= − −

∆0إذا آ%ن*) ) .Aن ا%د= )E0 ت3 $ واx وی0ن

3)ت )P x 0ه ( ) ( )2

0P x a x x= −

∆0إذا آ%ن*) ) .Aن ا%د⟩ )E1 '% 3 وا"ودی ( )P x

3 .1 '% ت :م&ح∆0 إذا آ%ن )ودی .Aن ا"= )P x%ب ه%J رة% .

.إ-رة ث&ث اود 3 ) ا"ودة ) ( ) 20a P x ax bx c≠ = + +

) أ3 دراس إL%رة )P x 3"0م ب

)ا%د ) 2: 0E ax bx c+ + =

∆0إذا آ%ن*) ).Aن ا%د ⟨ )E29D 9 32 ت 1x xو

)وت0ن إL%رة )P x Gه

∆0إذا آ%ن*) ) .Aن ا%د= )E0 ت3 $ واxت0ن و

)إL%رة )P xGه :

∆0إذا آ%ن*) ) .Aن ا%د⟩ )Eرة%L1 '% 3 وت0ن إ ( )P x

Gه:

2x

2ax bx c+ + a a a

0 0

1x 2x x

2ax bx c+ + a a

0x x

0

2ax bx c+ + a

x −∞ +∞

.IIم12ع واء ري مد م ار 4 (aد%) ا ) 2: 0E ax bx c+ + =

)إذا أرد% أن أن ا%د*) )Eب% ∆ ت3 9 0م ب"

N0و∆ ≥. 0ع واء ه%ذی ا"9 بون 3 ا%د *) N ب% ی

ب%س%ل اQH ا% 1 2

1 2

bx x

ac

x xa

− + = ⋅ =

(b إذا أرد% ت"ی %د ار IIو ی0نβ α%' 9 . α0م ب"%ب β+ و αβ N Sα β+ Pα و = β⋅ =

Gد ه%2وت0ن ه:R ا 0x Sx P− + =

(cS&إذا أرد% 3 ا x y S

x y P

+ = ⋅ =

0م ب"3

2ا%د 0t St P− + =

1 ه% ا"A. 9ن2x و1xإذا آ%ن

2

x x

y x

≡ =

2 أو

1

x x

y x

= =

( ) ( ) 1 2 2 1, , ,S x x x x=

: م&حβو 1) αد%G9 2 ا 0ax bx c+ + = .

T9 أن

b

ac

a

α β

αβ

+ = − =

βوإذا أرد% %ب ی"0ي 9 α Uα'%رإ "%ول β+ و αβ.

9Vأ (* :( )22 2 2α β α β αβ+ = + −

(*

( )( )( ) ( )

( ) ( )

3 3 2 2

2

2

2

α β α β α β αβ

α β α β αβ αβ

α β α β αβ

+ = + + +

= + + − +

= + + −

(*( )

( )

22 2

2 2 2 2 2

21 1 α β αβα βα β α β αβ

+ −++ = =.

2 (1x2 وx%Vد ار ا% G9 . أ3 دراس 1 0م ب"%ب 2x و1xإL%رة 2x x+ 1 و 2x x⋅.

1إذا آ%ن*) 2 0x x . 0 واXخ س%2x وA. 1xن أ اد⟩1إذا آ%ن*) 2 0x x % 12 اLY%رة وه2x G وA. 1xن⟨' 1إL%رة 2x x+.

III (ت ا45ــــا :I1627 ادت م ار 1

) ا%د )1 0ax by c+ + Z b أوaدی أ ا=

) أ3 3 ا%د. &م )1" xBب y0 إذا آ%نa أو ≠

"yب Bx0 إذا آ%نb V0a$ إذا آ%ن. ≠ ≠

Nby cx

a

− , إذن =− /by c

S y ya

− − = ∈

.ن مد م ار ا8و 1627 2

S&ا ( ) ax by cS

a x b y c

+ = ′ ′ ′+ =

ا!اد aو bو a′و b′

( آ9'% &. S&أ3 3 ا ( )S%دات ا" . 0م ب"%ب ا

a b

ab a ba b

′ ′∆ = = −′ ′

x

y

c bcb c b

c b

a cac a c

a c

′ ′∆ = = −′ ′

′ ′∆ = = −′ ′

(a0 إذا آ%ن∆ ت3 $ وا: ≠S&ن اA..

( ) , y xS x y y x∆ ∆

= = =∆ ∆

b (0إذا آ%ن∆ =: ∆0xإذا آ%ن*) ∆0y أو ≠ ≠S&ن اA. ( )S3 %' 1 s = ∅

0إذا آ%ن*) 0y xو∆ = ∆ =S&ن اA. ( )S ت%.\ إى

.ا%دaxرة ـــــــــ إ- 3 by c+ +

ax أ3 دراس إL%رة by c+ م بA[%ء 0+T)ا ) : 0D ax by c+ + =

T)ا )D0ى) یT ا )P0ى G2H إ ( ) ( )2 1P .Pو

yإذا 0^&% ) بAا7%ت أي x Jو )1P %&A. 9 3H"

.إL%رة 7%بyوإذا 0^&% ) بAا7%ت أي x Jو )2P 9 3H" %&A.

yو. ه:R اLY%رة 0ض. إL%رة 1 اLY%رة ا%ب xو J ا7%تAب( )1Pأو ( )2Pخ: %دة إا7%ت_ θ

G0ه 0y =xو =.

ا ب ا

(I 1(

( ), ,o i j

U

o 1.

( ) ( ) ( )1,0 , 0,1 , 1,0A B C − a ( M U . α ! " AM

(* $ !"% AOM

rad α) α (

(* $ '( !α )* + "% ,( "% .

b (: "% +AOB AOC

( - +2 2 .1 2Rπ π π= =

+ *$22π π=

" ! *$AC

π "% . AOC

π

" !AB

2π*$ "%AOC

radπ " ! AB

2

π "% *$ AOB

2π.

c ( / 0(u , , , , ,S R Q P N M1+ :

6AOM

π= 3

4AON

π= 3

3AOP

π= 3 23

AOQπ=

3

4AOR

π= 3 5

6AOS

π=.

2( . %4 5 " 6( + 7

:180 200x y z

π= =

1+x " 5 . y " . z " .

:

8 "% 200 ,180 ,gra radο

π.

3( . ( )C o R

,B A )* . (* % /8 9 6 :5. (* α "% AOB

l " ! AB

S, ; +8

l Rα= 212

S Rα=

II ! " #$$ % & ' ( 0 π 1()% :

x 1+ + 0 x π≤ ≤ M

U 1+ " ! AM

x

AOM xrad=. a !<( M b( .

cosx a= sinx b= sin

tancos

xx

x=

2x

π ≠

2( "*: (a 2 2cos sin 1 (*x x+ =

22

11 tan (*

cosx

x+ = !

2x

π≠

sin

tan (*cos

xx

x= !

2x

π≠

(b 1 cos 1x− ≤ ≤ 0 sin 1x≤ ≤

(c (∗ sin 0x ≥ ! 0 x π≤ ≤

(∗ *$02

xπ≤ ≤ =< cos 0x ≥

(∗ *$2x

π π≤ ≤ =< cos 0x ≥

(∗ tanx cosx

(d

A

B

C

M

O1

1

-1

A

M

1

1

-10

xa

b

2

π

π

x

− + cosx

0

0 2

π π

x

− +

+

tanx 0 2

π π

x

+ +

sinx 0

π

0

0

A

B

O

l

Rα

0

6

π 4

π

2

π

3

π

π

2

3

π

5

6

π

3

4

π

1

2 1

2−

1

2

3( %& & ' ( ! %x xπ −

( )cos cos (x x aπ − = −

( )sin sin (x x bπ − =

( )tan tan (x x cπ − = −

4( %& & ' ( ! %x 2x

π −

cos sin (2

x x aπ − =

sin cos (2

x x bπ − =

1tan (

2 tanx c

x

π − =

5( +, ' (

6( - .& #/ %

(a ( )ABC < -% >> B

ABCosA

ACBC

SinAAC

=

= BC

TanAAB

=

b( +Sinus.& #/

( )ABC >> R. + ;

2

AB AC BCR

SinC SinB SinA= = =

0

x

2

π

xπ −

π

00

x 2

xπ − 2

π

π

A B

C

A

A

B C

10-1

1

0 π 1

2

2

2

2

π

1

2

4

π

2

3

π

2

2

1

2

3

2

6

π

2

2

3

2

3

2

3

π

3

4

π

5

6

π

π 5

6

π

3

4

π

2

3

π

2

π

3

π

4

π

6

π 0 x

3

2

−

22

−

1

2

− 0

1

2

2

2

3

2 1 cosx

0 1

2

2

2

3

2 1

3

2

2

2

1

2 0 sinx

0 1

3− 1− 3− 3 1

1

3 0 tanx

1−

×

اوال اد

(I ا

1( f

fD

2( : ( )

( )( )

p xf x

Q x=

( )f x ! "# $%& "# & ( ) 0Q x ≠ . ( )* +%

( ) 0Q x = , ( -./fD = −R

3( :( ) ( )f x P x=

( )f x ! "# $%& "# & ( ) 0P x ≥ 0# 1 +%

( )P x, ) 23& 456 7(( ) 0P x ≥ fD =

(II دا زوج دا د .

1( f 89 +% fD ) : ;%89

x <fD , fx D− ∈ =>* +% ? ( )f x− .

(∗ @ "# ( ) ( )f x f x− = A&f 3@B .

(∗ @ "# ( ) ( )f x f x− = − A& f & .

C/D (a & 5 3@B 5 5 : < E .

(b ( )n

n

n

x nزوجx

x nدي

− =

− x x− =

2( f F8,( ! "# $%& "# fC G H>, )I 9

J3.

(3 f F8,( ! "# $%& "# fC ) H>, )I 9

K.(.

(III دا . ت!ات دا أو رت

1(! f - L. I M9 x y <I N3*

x y< % ( )f x ( )f y.

(∗ @ "# ( ) ( )f x f y≤ A& f L. I.

(∗ @ "# ( ) ( )f x f y< A& f L. OP I .

(∗ @ "# ( ) ( )f x f y≥ A& f L. 3QP, I.

(∗ @ "# ( ) ( )f x f y> A& f L. OP 3QP, I.

(∗ @ "# ( ) ( )f x f y= A& f L. 9I I.

2( ! f - L. I M9 x y <I

N3*x y≠ RS9 - =>* +% ( ) ( )

( , )f x f y

T x yx y

−=−

T0# U.

(∗ @ "# ( , ) 0T x y ≥ A& f L. I.

(∗ @ "# ( , ) 0T x y > A& f L. OP I .

(∗ @ "# ( , ) 0T x y ≤ A& f L. 3QP, I.

(∗ @ "# ( , ) 0T x y < A& f L. OP 3QP, I.

(∗ @ "# ( , ) 0T x y = A& f L. 9I I.

3( " #$% f& -V L. I L. 3QP, : W! "# I .

'()

(a f L. I X fC Y ZQ I < [89 ,

\ 3 ] >3

(b f L. 3QP, I X fC -V Y ^B, I [89 ,

\ 3 ] >3 <

(c f L. 9II X fC G ZB K3%9> < H

-V Y )3&I.

#!* , f < )! L. [ ]1,3 [ ]5,9 L. 3QP,

[ ]3,5 4RS9 -@ L > -@ Y _ `a. .

4( ! ( )f x ax b= +

(a! "# 0a >A& fL. R

(b! "# 0a > A&fL. R

(c! "# 0a =A& fL. 9I R

(d F8, f 3%9> .

5 ( !

(a < 9f 3@B .

(∗ W! "# f L. I A& f L. 3QP, –I.

(∗ W! "# f L. 3QP, I A& f L. –I.

(b < 9f & .

(∗ W! "# f L. I A& f L. –I.

(∗ W! "# f L. 3QP, I A& f L. 3QP, –I.

(c ! "# [ ],I a b= A& [ ],I b a− = − − .

(IV رف دا# . (1 : \H : : "# f Y QP 3P )H% 0x : \H b

0( ) ( )f x f x≤ - Y I L. Z9c 0x 3% d_ Q%

0( )f x .

(2 : \H : : "# f Y 3P )H% 0x : \H b

0( ) ( )f x f x≥ - Y I L. Z9c 0x 3% d_

0( )f x .

(3 (a : \H α . QP 3P f : \H b ( )f x α≤ Y

-I< N8H 0x < I N3* 0( )f x α= .

(b : \H α . 3P f : \H b ( )f x α≥ Y

-I< N8H 0x < I N3* 0( )f x α= .

(4 4RS -@ ! "# f ) 0 L.

A&α . QP 3P f Y 0x

β 3P . f Y 1x .

(5 F8, ! "# f ) 0 L.

A&α . QP 3P f Y 0x

β . 3P f Y 1x .

(V اوال اج .

1( 2( 0) ( )a f x ax≠ =

a(! "# 0a > 4RS -@ A& f

fC de K.( ): T1: f.0

L. ] T@ d% J3 e.

b( ! "# 0a < 4RS -@ A& f

fC0 de K.( ): T1: f.

)g1 ] T@ d% J3 e .

2( ( 0) ( )a

a f xx

≠ = *fD = R

a(! "# 0a > 4RS -@ A& f

fC K.( ): d! 5_

K.( Ze d%.

b( ! "# 0a < 4RS -@ A& f

fC K.( ): d! 5_

K.( Ze d%.

3( 2( 0) ( )a f x ax bx c≠ = + +

hi# )@: <fC - Q9j ] fC. J9 _( )f x

) 0L.2( ) ( )f x a x α β= − + < %.O, ? ( )y f x= X

2( )y a x α β= − + X 2( )y a xβ α− = − kl ? X x

Y y

αβ

= − = −

mHQ ( "#2Y aX= K. Y ( , , )i jΩ

k ( , )α βΩ

4( ( )ax b

f xcx d

+=+

)@: < hi#fC Q9j ] fC. J9 _( )f x

) 0 L.( )f xx

γβα

= +−

< ;.O, ? ( )y f x= X

yx

γβα

− =−

kl ? X x

Y y

αβ

= − = −

mHQ ( "# YX

γ=

K. Y( , , )i jΩ

k ( , )α βΩ.

5( +,- . / 0 123 04!$ .

(a kn% fC O%, J3 e k (0, (0))A f.

(b (∗ F8,( kn% ] fC ( )* +% )3& e k

( ) 0f x = -.o d_ W! "# 2 1x ، x… kn%9 $% A&

1( ,0)A x b2( ,0)B x ….

(∗ ( -./ ( ) 0f x = kn% $% )3&: fC e k

)3&.

6( 5323 04!$ .

(∗ F8,( kn% ]fC

gC ( )* +%

( ) ( )f x g x= -.o d_ W! "# 2 1x ، x… kn%9 $% A&

1 1( , ( ))A x f x b 2 2( , ( ))B x f x ….

(∗ ( -./ ( ) ( )f x g x= kn% $% )3&: fC k gC

7( 5323- 673 08 .

(a \3,8, . p>, kq U fC

gC 0# 1 +%

( ) ( )f x g x−

(∗ ! "# ( ) ( ) 0f x g x− ≥ A& fC r& @

gC.

(∗ ! "# ( ) ( ) 0f x g x− ≤ A& fC W7 @

gC.

(b 8@9( -./ ( ) ( )f x g x≤ 45V 7

23&fCW7 gC

8( !- (( ) : ( )E f x m=

( -./( )E kn% $% )3&: fC K3%9>( ( ) : y m∆ =

9( 123 9!:%" ( ) ( )g x f x= !;)<% fC.

! "#( ) 0f x ≥ X fC A& )3& e r& ( ) ( )g x f x=

"#gC k ;HO,

fC.

! "#( ) 0f x ≤ X fC A& )3& e W7

( ) ( )g x f x= − "# gC )Is

fC)3& G H> .

^9gC h@ < fC& e r& @( h@ )Is )3

fC )3& G H>, )3& e W7 @( .

10( 123 9!:%" ( ) ( )g x f x= !;)<% fC.

,( ) ( ) ( ) ( )g x f x f x g x− = − = = "# g 3@B

J3 G H>, )I 9 ,8, ^9 . ) ,[ [0,x ∈ +∞ :

x x=

"# ( ) ( )g x f x= T,gC k ;HO,

fC.

^9gC h@ < fC Y @( [ [0,+∞ G H>, T.Is

J3.

0

0 f x

ــت ا ــدـــــا

(Iـــــــ اـــ ــــــآ ـــA(!"#ت

Ω و k م M' . د ه$ ا!#k و"! Ωاآ اي آ

) اي بـ , )h kΩ(ي یب وا

) M آ* )P M ب+M' ب

" 'M k MΩ = Ω

. Ω B( &ةا'' ( ا

12 ا$ا N و 0M$رت ا N' و M'ت$ن ان

1k إذا و6) إذا و3 د hبآ ب+ ≠

' 'M N k MN=

.

C( ت خ)ــــ h آ آ .k و"! Ω ت

(1 ( ) 'h M M= 76M' ت k MΩ = Ω

) إذا آن 2) ) 'h M M= و ( ) 'h N N= 86ن

' 'M N k MN=

(3 (a ( )h Ω = Ω ) ل إن$Ω آ0ة ب h (

(b ( )h M M= 76M ت = Ω

آ Ω ی أن ها( ) h ه ا ا$ة ا<ة ب

) إذا آن 4) ) 'h M M= 86ن Ω و M و 'M ?" .

(5 (a ا آ یA6 12 ا?3@ ی :

G @3إذا آن ( , ), ( , )A Bα β 86ن G' @3

( ', ), ( ', )A Bα β

(b : اآ یA6 12 ا?<C ی

] <I Cإذا آن ]AB 86ن I' @3 [ ]' 'A B

(c * اس DE ی 12 A6 : اآ ی

ABإذا آن CDα=

' 86ن ' ' 'A B C Dα=

(d ) ی 3اآ یA6 12 اس : H ا) . "? 'C و 'B و '8Aن 0$ره "? C6 و B و Aإذا آ

(6 .اآ I یA6 12 ا?"6 ی

)إذا آن ) 'h A A= و ( ) 'h B B= 86ن ' 'A B k AB=

(7 س اوای اDس یK * A6'اآ ی ' 'BAC B A C∧ ∧

= (a (8 ]0$رة ا ]AB آ] ه ا h ب ]' 'A B

(b L"?0$رة ا( )AB آ) ه ا?"h L ب ' ')A B.

(c L" 0$رة( )D L" $ه ( ')D ی$ازي ( )D.

(d یأ3* ت L" 0$رة( )D بـ h یN تی 0$رة

A و B ( )D وس$ن ( ) ( ' ')h D A B= أو تی 0$رة

) وس$ن Aواة )h D رL وا?$ازي A"?2' ه$ ا?"L ا?

( )D ) . ( ) 'h A A=(

(e ن)إذا آ )D را ?" Ω 86ن ( ) ( )h D D=.

$ل إن ( ( )D 0 إ3? . (

)0$رة ااOة 9) , )C O r آ)'ه ااOة hب ', )C O k r .

P' ( )O h O= .

(10 (a E و F ا?"$ى O3 .

( ) ( ) ( )h E F h E h F=∩ ∩ (b HM إذا آ E F∈ ) 86ن ∩ ) ( ) ( )h M h E h F∈ ∩

(11 وا$ازي ی :اآ یA6 12 اان ن ?" ی ه? 0$رة "?

ن $ازین ?" .و 0$رة "? $ازی ه?آ ا+* ا)12 .

L2 Nض أن ا?"$ى "$ب إ1 ( , , )O i j

.

a(ل- 1 : h آ آ2k و"! Ω(1,2) ت = .

یh 2 أ3* تی ا<T ا22 2 P! : ( , )M x y و ( ', ')M x y +ب ( ) 'h M M= م$ و

. y و x بy I' و x'ب"ب

)ی ) 'h M M= ' ی 2M MΩ = Ω

)'وی ' 1, ' 2)M x yΩ − −

2 و (2 2,2 4)M x yΩ − −

إذن ' 1 2 2

' 2 2 4

x x

y y

− = − − = −

ی' 2 1

' 2 2

x x

y y

= − = −

: ه hإذن ا<T ا22 ـ ' 2 1

:' 2 2

x xh

y y

= − = −

تی 0$رة : ح/ $ض h بـ Aإذا أرد x و y تVب8ا

A12 إ *>ت وVا( )h A .

b( ل- 2 .

! ا!# f 22 ها T0 ي: ا' 3 2

:' 3 4

x xf

y y

= + = −

!W یأ3* ت f ?X* اة ب!+ ا) ا< '

'

x x

y y

= =

ی3 2

3 4

x x

y y

+ = − =

ی1

2

x

y

= − =

0ة وة f إذن ت!*

)ه 1,2)Ω − .

YZ LV( , )M x y و ( ', ')M x y +ب ( ) 'h M M=

إذن ی' 3 2

' 3 4

x x

y y

= + = −

. )'وی 1, ' 2)M x yΩ + −

ی

'(3 2 1,3 4 2)M x yΩ + + − −

3)' ی 3,3 6)M x yΩ + −

3وی (3 3,3 6)M x yΩ + −

' إذن 3M MΩ = Ω

) تآ آ fوب 1,2)Ω − !"3k و = .

#4 ا23ت )13 . (a آد آ ت h . ?"Ω +!A و B

)ی . 'B و 'Aو0$رته? ) 'h A A= إذن Ω و Aو A' ?"

)و ')AAΩ∈ . )وی ) 'h B B= إذن Ω و B و B'

)"? و ')BBΩ∈) ه تΩ PW وب ')AA و

( ')BB

(b آ"? h أ3* تی " تk ن و : هك إ

!+ ا?آ *)Ω A وDو0$رت A' .

)ی ) 'h A A= إذن 'A k AΩ = Ω

AΩ' ، و$م ب"ب

Iب

AΩ

]^ E 'A AαΩ = Ω

k و"_ أن α= سأو ? إ1 ا

A'اE!ي k MΩ = Ω ی'A

kM

Ω=Ω

.

(* +! A و B ی .'B و 'A و0$رته?

' 'A B k AB=

N` ای ا"ب P! . و

(c أن ! أن ] <I C'إذا أرد ]' 'A B +! I و A و B

)ب+ ) 'h A A= و( ) 'h B B= و ( ) 'h I I= 0aا *? " و

(5b . ] <I Cی ]AB إذن 'I C> [ ]' 'A B .

(d أن ! Ω وI و J أن ! "? یN أن

( , ) ( )kh I JΩ =.

(e د 0$رة M Dق بW ك ة : ه

(* Cی ?* ا" 'M k MΩ = Ω

<M C إذا آن *)K[ ]AB *? " (5b).

H إذا*)AM آ ABα=

*? " (5c) .

(* H ?* M إذا آ" O3 PW .(10) ت

) Mی E F∈ ) إذن ∩ ) ( ) ( )h M h E h F∈ ∩ (

(* H إذا آD2? " .ی ا<T ا22

(II ث6 ا'"آـــ&ي ا'ـــــــA( !"#ت . 'M

Ω Ω ا?V* ا?آي اي آ

Sي بـ ه$ ا!# ا Ω(ي یب Ω وا

) M آ* )P ب+M' ب

" 'M MΩ = −Ω

] <Ω C ی ]'MM . M

B( &ةا'' ( ا 12 ا$ا N و Mت ا 0$رN' و M'ت$ن ان

Sب?V* آي Ω ) إذان إذا و6'آ 'M N MN= −

.

C( ت خ)ــــV* ا?آي ?2 !"آ ت!1 0 ب0ت ا? 2 بaا P?3 P

cب$ . + ت<!@ (9) و (6) ، ا -1 بـ kت

(6 .ا?V* ا?آي یA6 12 ا?"6 ی

) إذا آن ) 'h A A= و ( ) 'h B B= 86ن ' 'A B AB=

)0$رة ااOة 9) , )C O r ا?آي *V?S ب Ω ةOه اا

'( ', )C O r . P' ( )O S OΩ=. ح/

(a ( ) 'S M MΩ = 76] <Ω C ت ]'MM.

(b ن إذا آ( ) 'S M MΩ ) و = ) 'S N NΩ 86ن =

' 'M N MN= −

.

(IIIـــــــــــــــ ازاحـــ A(!"#ت .

u

DE . DDE زا اfاu

u ه

ut ا!# اي بـ M' واي یب)

) M آ* )P M' ب

MM'"ب+ u=

M

B( &ةا'' ( ا 12 ا$ا N و M 0$رت ا N' و M'ت$ن ان

utبfزا ' إذا و6) إذا آن 'M N MN=

.

C( ت خ)ــــآ ت!1 0 ب"! gزا ، 0ت ا? 2 بaا P?3 ا (1)

: وی (13abd)و (12)و (9) و (8cde) و (6) و (4) و(3) و (2)و

A6 12 ا?"6 اfزا ت 6). (8eإذا آ )ن )D *u ی$ازي

) uی

) D3$ ـ )D ( 86ن

( ) ( )ut D D=.

)0$رة ااOة 9) , )C O r زاfutب )'ه ااOة ', )C O r .

P' ( )uO t O= .

ح/

(a ( ) 'ut M M= 76MM' ت u=

.

(b ن) إذا آ ) 'ut M M= و ( ) 'ut N N= 86ن

' 'M N MN=

.

(III'ث6 ا ري ـــــ ا'ــــ

A( !"#ت . ( ا?V* ا?$ري اي $ر ∆(?" ( )∆ ( )∆

) ه$ ا!# اي بـ )S واي یب)∆

) M آ* )P M 'M ب+M' ب

) ی$ن )∆ ]واس) ا ]'MM .

B( ت خ)ــــV* ا?$ري ، ?2 !"آ ت!1 0 ب0ت ا? 2 بaا P?3

: وی (13abd)و (9) و (8e) و (6) 5) و (4) و(3) و (2) و (1)ا

(6 6 .ا?V* ا?$ري یA6 12 ا?"(8e (* ن) إذا آ ) ( )D ⊥ ) 86ن ∆ ) ( ) ( )t D D∆ =.

)إذا آن *) ) //( )D ) 86ن ∆ ) ( ) //( )t D D∆.

)0$رة ااOة 9) , )C O r $ريا? *V?) ب )S ه ااOة ∆

'( ', )C O r . P( )' ( )O S O∆=.

ح/ (a ( ) ( ) 'S M M∆ = 76) ت )∆ ]واس) ا ]'MM .

(b ن) إذا آ ) ( )S M M∆ = 76) ت )M ∈ ∆

L"?ا( ب ∆( 0 .

ا اء ا

I (

(1 AB

AC

. C

H C ( )AB

K B ( )AC K

! "AB

AC

# $ %&" ' () .AB AC

* +, -& :B H A

. .

.

. .cos( )

AB AC AB AH

AC AK

AB AC BAC∧

=

=

=

(2 /01 2"+3 41 AB

5 AC

678 . 0AB AC =

(II

(1 AB

CD

. D

'C C ( )AB

'D D ( )AB C

+*. . ' 'AB CD AB C D=

B A

:

9+0 :; .AB CD

<1 =+ &> /&?@ /01 "

+AB+, +C+AD5 E F" G + +AD5 E +# H+(0I JG K! L+.

(2 (a&" %.AB AB

%&+# 2

AB

J#& * .

(b +* 2 2AB AB=

(3 (a 6+ 2"+3 41AB

CD

678 M N(" +O :

. .AB CD AB CD=

(b 6+ 2"+3 41 AB

CD

678 6+3+ 6+M +O :

. .AB CD AB CD= −

(4 (a 61 P" AB

CD

6+ 3 6+3 41 8 41 6+Q+

( )AB ( )CD *+ . R"AB CD⊥

(b +* AB CD⊥

S8+Q . 0AB CD =

(5 2"+3 41 A B C D 678 T

. .AB CD AB CD=

D C B A

(6 (a u

v

A B C 3 UV "

AB u=

AC v=

+* :. .u v AB AC=

C v

(b u

v

: v

+*. . cos( , )u v u v u v∧

=

B u

A

(c 22u u=

u

(d 2"+3 41 u

v

678 M N(" +O :. .u v u v=

(e 6+ 2"+3 41u

v

678 6+3+ 6+M +O :

. .u v u v= −

(f u v⊥

S8+Q . 0u v =

(g. . (u v v u= ∗

.( ) . . (u v w u v u w+ = + ∗

.( ) . . (u v w u v u w− = − ∗

( ). .( ) ( . ) (u v u v u vα α α= = ∗

2 2 2( ) 2 . (u v u v u v+ = + + ∗

2 2 2( ) 2 . (u v u v u v− = + − ∗

2 2( ).( ) (u v u v u v+ − = − ∗

(III !"#

1($% & . A

( )ABC +* +WW :

2 2 2 ˆ2 . .cosBC AB AC AB AC A= + − 2 2 2 ˆ2 . .cosAC BA BC BA BC B= + − C B 2 2 2 ˆ2 . .cosAB CA CB CA CB C= + −

2('()* +,-

( )ABC +WW I TA XY [ ]AB A

+* :

22 2 22

2

BCAB AC AI+ = +

5

22 2 21

( )2 2

BCAI AB AC= + − C I B

3( ./ 01& 23 4 )* & .

(a ( )ABC Z T*% [\+B +WW A 'A XY [ ]BC H

A ( )BC . +*: 2 2 2 (AB AC BC+ = ∗ ) L^ +8 TB_ (

2 . . (BA BH BC BH BC= = ∗ A

2 . . (CA CH CB CH CB= = ∗

2 . . (AH HB HC HB HC= − = ∗ C I H B

1' (

2AA BC= ∗

(b ( )ABC*% [\+B +WW Z TA . +*: C

ˆcosBA

BBC

= ˆcosAC

BBC

=

ˆtanAC

BAB

= A B

(c ( )ABC +WW . +* : A

ˆ ˆˆsin sin sinA B C

BC AC AB= = C B

(I ! I ( #$ %.

( )D ( )D′ . . (*( )D ( )D′

(*( )D ( )D′ ! .

(*( )D ( )D′" .

(*( )D ( )D′# ! #

$ # % # &' " ()* .

II (& %$ #

( )D ( )P + . ,-. (* /( )D +( )P

(* /( )D ( )P " θ

(* /( )D +( )P01 $

" ()* ' ( )D ( )P ! .

III ( %$ #. ( )P ( )Q .. ,- (*( )P ( )Q .

(*( )P ( )Q &' $ -1

!.

(*( )P ( )Q 2 /( )D.

IV ( ' 1 / ( )D + 3! ( )P

( )D 3! ( )D′ ( )P. 2 + ( )P + 3! ( )Q

(* ( )P ! Q (* ( )P !

( )Q. 3 & 2 45 6* ! :

a (%$( )*+# ) 9-: 3!– –< => (...

b (,'$ %'. ( )ABC I <1 [ ]AB

J <1 [ ]AC

( ) ( )IJ BC.

c (, %$- * :

(* )' :

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

P Q

P

Q

= ∆

′∆ ⊂ ′′∆ ⊂ ′ ′′∆ ∆

∩

? ( ) ( ) ( )′ ′′∆ ∆ ∆

(* )' :( ) ( ) ( )

( ') ( )

( ') //( )

P Q

P

Q

= ∆ ∆ ⊂ ∆

∩

? ( ) ( )′∆ ∆

(* )' :( ) ( ) ( )

( ') //( )

( ') //( )

P Q

P

Q

= ∆ ∆ ∆

∩

? ( ) ( )′∆ ∆

(d .

)'( ) //( ')

( ') //( '')

∆ ∆ ∆ ∆

? ( ) ( )// ′∆ ∆

e ( )'( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

//P Q

H P

H Q

= ∆ ′= ∆

∩

∩

? ( ) ( )// ′∆ ∆

4 ( )D + @ ( )P

: (* A B ( )D A' ( )P.

(* ( ) ( )//D P"> " & . 5 ( )D + ( )P

( )D ( )P "> " & A ( )D P⊄. "> " 5 ,0( )D ( )P5 , /

( )D′ ( )P ( )D. 6 ( )P ( )Q

( )P ( )Q "> " & ( ) ( )P Q≠ . A05 $10 /:

(* > 5 ,A B ( )P ( )Q ( )P ( )Q / * ( )AB.

(* "> " 5 ,A ( )′∆ ( )′′∆ ,( ) ( )P′∆ ⊂ ( ) Q′′∆ ⊂ ( ) ( )//′ ′′∆ ∆.

( )P ( )Q / * ( )∆ A $ 3!( )′∆ ( )′′∆.

7 ,-. I J K "

0B "> & ( )P ( )Q " & = & / A' .

(D)(D')

(D)

(D')

(D)(D')

P (D)

P

(D)

O

P

(D)

p q

q

p (D)

A

B C

I J

(II .

1 (a )' ( )∆ + A05 35 ( )P ( )∆ A05 35

( )P. (b / )' ( )∆ + A05 5 ( )P ?

( )∆ / 3 A05 5 ( )P. 2 + ( )P + A05 35 ( )Q

( )∆ @ ( )P A05 35 ( )Q. 3 6* & 2 45:

(a "& $>: ) – $ – – – /% ,0.

"!(...

(b ( ) * 4% [ ]AB ( )M ∈

( ) ( )AM BM⊥

(c ( )ABC3 ,0. AI <1 [ ]BC

( ) ( )AI BC⊥.

(d )' ( ) ( )( ) ( )

′∆ ⊥ ∆ ′ ′′∆ ⊥ ∆

? ( ) ( )′∆ ⊥ ∆

(e )' ( ) ( )( ) ( )

P

P

∆ ⊥ ′∆ ⊂

? ( ) ( )′∆ ⊥ ∆

%/01: / )'( )∆ / A05 35 ( )′∆

5 , +( )P ( )′∆ ( )∆=05 35 . 4 A B .

5 " " "5@A B + "0 + A[ ]AB + *

<1 [ ]AB A05 3 [ )AB. 5 ( )∆ / ( )P ( )Q

)'( ) ( )( ) ( )//

P

P Q

∆ ⊥

? ( ) ( )Q∆ ⊥

6 ( )∆ ( )′∆ ( )P+

)' ( ) ( )( ) ( )

//

P

′∆ ∆ ∆ ⊥

? ( ) ( )P′∆ ⊥

A

CB I

A A B

M