ikg3f3 pemodelan stokastik distribusi … pemodelan stokastik distribusi multivariat dosen: aniq a....

IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIKDistribusi Multivariat

Dosen:Aniq A. Rohmawati, M.Si

TELKOM UNIVERSITY

JALAN TELEKOMUNIKASI 1, BANDUNG, INDONESIA

Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Distribusi Multivariat

Review: Fungsi Distribusi

Fungsi distribusi kumulatif (cdf) dari peubah acak X,

F(x) = P(X ≤ x), −∞ < x <∞

F(x) fungsi tidak turun

limb→∞ F(b) = F(∞) = 1

limb→−∞ F(b) = F(−∞) = 0

Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Distribusi Multivariat

Demo Matlab

clc;x = exprnd(0.1,100)hist(x)

Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Distribusi Multivariat

Latihan 1

Setiap ’item’ yang diproduksi oleh suatu mesin, memiliki peluangrusak sebesar 0.1 yang saling bebas terhadap ’item’ lainnya. Dari tigasampel ’item’ yang diambil secara acak, berapa peluang palingbanyak satu ’item’ rusak?

Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Distribusi Multivariat

Sebuah mesin ’kroket’ akan rusak dengan peluang 1− p, saling bebasantara mesin satu yang lain. Sebuah ’kroket’ akan melakukanperjalanan sukses jika setidaknya 50% mesin bekerja dengan baik(tidak rusak). Untuk p berapa, sebuah ’kroket’ dengan 4 mesin akanlebih disukai (terbang lebih baik) dibandingkan ’kroket’ dengan 2mesin?

Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Distribusi Multivariat

If the density function of X equals

f (x) = ce−2x, 0 < x <∞f (x) = 0, x < 0

Find c? What is P(X > 2)?

Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Distribusi Multivariat

The random variable X has the following probability mass function

p(1) =12, p(2) =

13, p(24) =

16

Calculate E(X)?

Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Distribusi Multivariat

c = 2

P(X > 2) = e−4

E(X) =316

Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Distribusi Multivariat

Kejadian Diskrit

pmf bersama dari X dan Y

pXY(x, y) = P(X = x,Y = y)

Distribusi bersama dari X dan Y

FXY(x, y) = Σa≤xΣb≤ypXY(a, b)

Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Distribusi Multivariat

pmf marginal dari X

pX(x) = ΣypXY(x, y)

pmf marginal dari Y

pY(y) = ΣxpXY(x, y)

Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Distribusi Multivariat

pmf bersyarat dari X diberikan Y = y

pX|Y(x|y) =pXY(x, y)

pY(y), pY(y) > 0

Distribusi bersyarat dari X diberikan Y = y

FX|Y(x|y) = Σa≤xpXY(a, y)

pY(y), pY(y) > 0

Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Distribusi Multivariat

Ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y = y

E[X|Y = y] = ΣxxpX|Y(x|y)

Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Distribusi Multivariat

Kejadian Kontinu

pdf bersama dari X dan Y

fXY(x, y) =∂2F(x, y)

∂y∂x

Distribusi bersama dari X dan Y

FXY(x, y) =

∫ y

−∞

∫ x

−∞fXY(s, t)dsdt

Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Distribusi Multivariat

pdf marginal dari X

fX(x) =

∫y

fXY(x, y)dy

pdf marginal dari Y

fY(y) =

∫x

fXY(x, y)dx

Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Distribusi Multivariat

pdf bersyarat dari X diberikan Y = y

fX|Y(x|y) =fXY(x, y)

fY(y), fY(y) > 0

Distribusi bersyarat dari X diberikan Y = y

FX|Y(x|y) =

∫ x

−∞

fXY(t, y)

fY(y)dx, fY(y) > 0

Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Distribusi Multivariat

Ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y = y

E[X|Y = y] =

∫ ∞−∞

xfX|Y(x|y)dx

Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Distribusi Multivariat

KOVARIANSI X DAN Y

Cov(X,Y) = E(XY)− E(X)E(Y)

KOEFISIEN KORELASI X DAN Y

ρ(X,Y) =Cov(X,Y)√

Var(X) Var(Y)

Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Distribusi Multivariat

Latihan 2

Suppose that the joint probability density of X and Y is

fX,Y(x, y) = λ2e−λy, 0 < x < y <∞

Find the density of X?Find the density of Y?

Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Distribusi Multivariat

fX(x) =

∫ ∞x

λ2e−λydy

= λe−λx

fY(y) =

∫ y

0λ2e−λydx

= λ2ye−λy

Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Distribusi Multivariat

Latihan 2

Suppose that the joint probability density of X and Y is

f (x, y) =12

ye−xy, 0 < x <∞, 0 < y < 2

Find E(ex2 |y = 1)?

Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Distribusi Multivariat

PD=Pekerjaan Dirumah

Jika X variabel acak non-negatif dengan distribusi F(x). AsumsikanF(0) = 0. Tunjukkan,

E(X) =

∫ ∞0

(1− F(x))dx

E(Xn) =

∫ ∞0

nxn−1(1− F(x))dx

Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Distribusi Multivariat

Untuk∫∞

x f (t)dt = 1−∫ x

0 f (t)dt

E(X) =

∫ ∞0

xf (x)dx =

∫ ∞0

tf (t)dt

=

∫ ∞0

f (t)(∫ t

01dx)

dt =

∫ ∞0

∫ t

0f (t)dxdt

=

∫ ∞0

∫ ∞x

f (t)dtdx

=

∫ ∞0

[1−

∫ x

0f (t)dt

]dx

=

∫ ∞0

[1− F(x)] dx

Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Distribusi Multivariat

Teorema Fubini:∫X

(∫Y

f (x, y)dy)

dx =

∫Y

(∫X

f (x, y)dx)

dy

=

∫X x Y

f (x, y)d(x, y)

Dosen: Aniq A. Rohmawati, M.Si IKG3F3 PEMODELAN STOKASTIK Distribusi Multivariat