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Sapienza Universita’ di Roma
Dispensa per il corso di Segnali Deterministici e Stocastici
Corso di Laurea in Ingegneria Clinica
Impulso e funzioni generalizzate
Lorenzo Piazzo
AA 2016/17
Versione del 5/10/2016
Indice
1 Introduzione e notazioni 2
2 Limiti generalizzati 2
3 Funzioni generalizzate e impulso 4
4 Delta successioni e integrali generalizzati 9
5 Impulso discreto 11
6 Esempi e applicazioni 12
Riferimenti bibliografici
[1] A. Papoulis, The Fourier integral and its applications. McGraw-Hill, 1987.
1
1 Introduzione e notazioni
In questa dispensa introduciamo il concetto di funzione generalizzata e ne studiamo le proprieta’ princi-
pali. Ci concentriamo sulla funzione generalizzata piu’ importante per il nostro corso, e cioe’ l’ impulso,
introdotto, verso il 1930, dal fisico inglese Paul Dirac. Ci limitiamo agli aspetti utili per gli scopi del
corso senza pretese di completezza e rigore. Nella trattazione seguiamo da vicino quella del Papoulis [1],
a cui si rimanda il lettore per una panoramica piu’ ampia.
Notazioni. Nella dispensa indichiamo le funzioni (reali o complesse) di una variabile reale continua con
la notazione a parentesi tonde, es. f(t). In particolare, consideriamo funzioni definite per t che va da
−∞ a +∞ e continue su tutto l’asse tranne che, al piu’, in un insieme discreto di punti. Per concretezza,
si puo’ pensare la variabile indipendente t un tempo e la funzione un segnale, ma la trattazione e’ del
tutto generale. Indichiamo le funzioni (reali o complesse) di una variabile intera (successioni o sequenze)
con la notazione a pedice o a parentesi quadre, es. fn, f [n], dove n e’ una variabile intera che va da −∞
a +∞. In alcune definizioni, usiamo il simbolo a.= b per indicare che l’espressione di sinistra e’ definita
da e va’ sostituita con quella di destra. Per sommatorie od integrali estesi da −∞ a +∞, omettiamo gli
estremi, cioe’ poniamo
∫
f(t)dt.=
∫ ∞
−∞
f(t)dt∑
n
fn.=
∞∑
n=−∞
fn.
Infine, usiamo la funzione rettangolare, definita dalla seguente espressione
rect(t) =
1 |t| < 1/2
1/2 |t| = 1/2
0 |t| > 1/2.
Altre notazioni e funzioni verranno introdotte quando serviranno.
2 Limiti generalizzati
Sia assegnato un insieme di funzioni del tempo, indicizzate con un parametro T reale positivo e indicate
con fT (t). Consideriamo la seguente espressione
∫
limT→0
fT (t)dt
dove viene valutato l’integrale di un limite di una successione di funzioni appertenenti all’ insieme. Come
e’ noto dall’ analisi, sotto opportune ipotesi, e’ possibile scambiare l’operazione di limite con quella di
integrale e valutare l’espressione anche come
limT→0
∫
fT (t)dt.
D’ altra parte esistono casi in cui le due espressioni danno risultati diversi. Facciamo un esempio.
Supponiamo che l’ insieme fT (t) sia dato da
fT (t) =1
Trect(t/T ). (1)
Come e’ facile verificare, si tratta di rettangoli con base T e altezza 1/T , centrati sull’origine. Studiamo
la funzione a cui tende fT (t) quando T → 0. La situazione e’ quella mostrata in figura 1. Dalla figura si
vede che, per t 6= 0, la successione tende a zero, mentre per t = 0 la successione diverge verso infinito. La
2
Figura 1: Le funzioni rettangolari per tre valori di T , con T3 > T2 > T1.
funzione limite ha quindi una singolarita’ in zero, che e’ pero’ eliminabile visto che sia il limite da destra
che quello da sinistra sono pari a zero. In conclusione abbiamo
limT→0
fT (t) = 0.
A questo punto valutiamo le due espressioni che abbiamo introdotto prima. Per la prima abbiamo∫
limT→0
fT (t)dt = 0
dato che, come abbiamo appena visto, la funzione integranda tende a zero. Per la seconda abbiamo
limT→0
∫
fT (t)dt = 1
dove il risultato segue per il fatto che le fT (t) hanno tutte area unitaria. Come si vede le due espressioni
hanno valore diverso.
Consideriamo un altro esempio, con lo stesso insieme di funzioni. Valutiamo l’espressione∫
limT→0
fT (t)x(t)dt (2)
dove x(t) e’ una generica funzione, continua in 0. Passando al limite si ottiene ancora un risultato nullo,
visto che la funzione integranda si annulla. Invece, scambiando limite e integrale otteniamo
limT→0
∫
fT (t)x(t)dt = x(0) (3)
come si verifica facilmente1.1Visto che la funzione rect(t/T ) e’ pari a zero al di fuori dell’ intervallo [−T/2, T/2] e unitaria in questo intervallo, risulta
limT→0
∫fT (t)x(t)dt = lim
T→0
1
T
∫ T/2
−T/2x(t)rect(t/T )dt = lim
T→0
1
T
∫ T/2
−T/2x(t)dt.
Se x(t) e’ continua in 0, per il teorema della media abbiamo∫ T/2
−T/2x(t)dt = Tx(θ)
dove θ e’ un punto opportuno dell’ intervallo [−T/2, T/2]. Sostituendo nell’ultima esprsssione risulta
limT→0
∫fT (t)x(t)dt = lim
T→0
1
TTx(θ) = lim
T→0
x(θ) = x(0).
3
Gli esempi precedenti mostrano che in alcuni casi l’ordine con cui vengono eseguite le operazioni di
limite e integrale cambia il risultato dell’espressione. Siamo in presenza di una ambiguita’ matematica.
D’ altra parte valutare il limite dentro l’integrale porta a un risultato identicamente nullo, di nessuna
utilita’. Invece il risultato che si ottiene portando il limite fuori dall’integrale e’ utile per i nostri scopi.
Allora, d’ora in poi, in presenza di una ambiguita’ del tipo visto prima, decidiamo, per convenzione, di
usare il risultato che si ottiene portando il limite fuori dall’ integrale. Possiamo formalizzare questo fatto
introducendo il concetto di limite generalizzato. In particolare, un limite generalizzato, indicato con lim∗,
e’ un operatore che viene usato solo sotto il segno di integrale, in espressioni del tipo (2), e viene valutato
secondo la seguente definizione∫
∗
limT→0
fT (t)x(t)dt.= lim
T→0
∫
fT (t)x(t)dt. (4)
Il concetto di limite generalizzato e’ utile per i nostri scopi ma risulta scomodo da maneggiare nei calcoli.
Per questo motivo conviene introdurre un ulteriore concetto, quello di funzione generalizzata, il che viene
fatto nella sezione successiva. Come vedremo meglio in seguito, limiti e funzioni generalizzate sono legati
strettamente.
3 Funzioni generalizzate e impulso
Si consideri la seguente espressione∫
G(t)x(t)dt. (5)
Nel caso in cui sia G(t) che x(t) sono funzioni, l’ espressione precedente, pari all’ integrale del loro prodot-
to, puo’ valutarsi con metodi analitici o numerici. Integrali di questo tipo sono utili nelle applicazioni e si
incontrano spesso. D’ altra parte, se ci si limita a considerare G(t) e x(t) come funzioni, esistono alcune
situazioni di interesse che non e’ possibile catturare. Per questo motivo risulta conveniente estendere
il campo di applicazione della espressione precedente, ammettendo che G(t) possa essere un ente mate-
matico diverso da una funzione. In particolare vogliamo considerare il caso in cui G(t) e’ una funzione
generalizzata (o distribuzione), che e’ un ente matematico definito nel prossimo paragrafo. Nel seguito
del capitolo indicheremo le funzioni generalizzate con lettere maiuscole o lettere greche, riservando quelle
minuscole alle funzioni in senso proprio.
Una funzione generalizzata, indicata con G(t), e’ un ente che si applica a una funzione x(t) e produce
un numero come risultato. In particolare, viene definita specificando il valore che l’espressione (5) assume.
Normalmente, nella definizione, viene anche specificato un insieme di funzioni al quale la funzione x(t)
deve appartenere perche’ la definizione abbia significato. Per fare un esempio e fissare le idee conviene
introdurre subito una funzione generalizzata. Questa funzione e’ l’ impulso matematico o di Dirac,
indicato con il simbolo δ(t), e definito, per tutte le funzioni x(t) continue nell’ origine, come segue∫
δ(t)x(t)dt = x(0). (6)
Come si vede l’ impulso di Dirac applicato a una funzione x(t) restituisce il valore della funzione stessa nell’
origine. E’ utile notare che non esiste nessuna funzione che, sostituita a δ(t) nell’ espressione precedente,
la renda vera quando valutata con le normali regle di integrazione: e’ quindi chiaro che l’impulso non e’
una funzione in senso proprio, ma una funzione generalizzata. Considerando il caso particolare di una
funzione costante, x(t) = 1, dall’ultima equazione deriva∫
δ(t)dt = 1. (7)
L’ integrale a sinistra dell’uguale si puo’ interpretare come l’area dell’impulso e quindi diremo che l’
impulso ha area unitaria. E’ utile introdurre un simbolo grafico per rappresentare l’impulso. Questo e’
mostrato in figura 2 ed e’ una freccia centrata nell’ origine e di altezza unitaria.
4
Figura 2: Rappresentazione grafica dell’ impulso.
Facciamo alcune osservazioni. Nonostante una funzione generalizzata sia indicata con una notazione
simile a quella di una funzione, e cioe’ G(t), in generale non e’ una funzione. In particolare, non ha senso
valutarla per valori di t assegnati, cioe’ chiedersi quanto vale, per esempio, G(0) o G(1). Puo’ essere solo
valutata usando la sua definizione quando la si incontra in espressioni del tipo (5). La stessa espressione
(5), quando G(t) e’ una funzione generalizzata, non puo’ essere considerata un integrale in senso proprio,
infatti la sua valutazione viene fatta come prescritto dalla definizione della funzione generalizzata, e non
applicando le regole di integrazione. D’ altra parte, come vediamo nel seguito, e’ possibile sviluppare
la teoria in modo che G(t) e l’integrale si comportino, formalmente, come una normale funzione e un
normale integrale, e questo fatto giustifica la notazione usata.
Un’altra osservazione utile e’ che, data una funzione, la si puo’ considerare, se serve, anche una funzione
generalizzata. In particolare, la sua definizione si ottiene sostituendola a G(t) nella (5) e valutando
l’espressione con le normali regole di integrazione.
Operazioni sulle funzioni generalizzate. Visto che le funzioni generalizzate non sono funzioni in
senso proprio, occorre specificare quali sono le operazioni che e’ possibile utilizzare su questi enti e
darne le definizioni, cose che facciamo nel seguito di questa sezione. Inoltre, visto che le espressioni che
coinvolgono le funzioni generalizzate assumono un valore numerico solo quando sono integrate, si desidera
che le funzioni generalizzate si possano manipolare e trattare sotto il segno di integrale come se fossero
normali funzioni. Quindi, come vedremo, le definizioni si ricavano applicando formalmente le regole di
integrazione, il che aiuta anche a ricordarle.
Prodotto con una costante. Data una funzione generalizzata G(t) ed una costante a reale o complessa,
il loro prodotto e’ una funzione generalizzata indicata con aG(t) (oppure G(t)a) e definita da
∫
[aG(t)]x(t)dt.= a
∫
G(t)x(t)dt. (8)
La funzione generalizzata aG(t) si dice ottenuta scalando G(t).
Impulso scalato. Come esempio, consideriamo la funzione generalizzata aδ(t), ottenuta moltiplican-
do l’impulso per a. Applicando la definizione appena data e la (6) e’ facile ricavare il risultato dell’
applicazione di questa funzione a x(t). Infatti
∫
[aδ(t)]x(t)dt = a
∫
δ(t)x(t)dt = ax(0). (9)
5
Figura 3: Rappresentazione grafica dell’ impulso di area a.
La funzione generalizzata aδ(t) e’ detta un impulso scalato. Applicando l’equazione precedente nel caso
della funzione costante x(t) = 1 si ottiene
∫
aδ(t)dt = a,
che, a parole, dice che l’area di un impulso scalato per a e’ pari ad a. In questo senso, la funzione aδ(t)
viene anche detta un impoulso di area a. Il simbolo grafico usato per indicarla e’ una freccia centrata in
zero e di altezza pari all’ area, come mostrato in figura 3.
Traslazione. Data una funzione generalizzata G(t) ed un numero reale t0, la traslazione della funzione
generalizzata e’ una funzione generalizzata indicata con G(t− t0) e definita da
∫
G(t− t0)x(t)dt.=
∫
G(t)x(t+ t0)dt. (10)
Impulso traslato. Proprieta’ di campionamento. Come esempio, consideriamo la funzione genera-
lizzata δ(t− t0) che si ottiene traslando l’impulso e che viene detta un impulso centrato in t0. Usando la
(10) e la (6) si ricava∫
δ(t− t0)x(t)dt = x(t0) (11)
che specifica il risultato dell’impulso traslato quando applicato a x(t). L’ equazione precedente esprime
la cosi’ detta proprieta’ di campionamento dell’ impulso che, a parole, afferma che integrando il prodotto
fra una funzione e un impulso centrato in un istante t0 si ottiene il valore della funzione nello stesso
istante. Notiamo che affinche’ l’ equazione precedente abbia significato e’ necessario che la funzione x(t)
sia continua nell’ istante t0. In altre parole un impulso centrato in t0 e’ una funzione generalizzata che si
applica solo a funzioni continue in t0. Il simbolo grafico usato per indicare un impulso centrato in t0 e’
una freccia centrata in t0 e di altezza unitaria, come mostrato in figura 4.
Somma. Date due funzioni generalizzate G(t) e F (t), la loro somma e’ una funzione generalizzata
indicata con [G(t) + F (t)] e definita da
∫
[G(t) + F (t)]x(t)dt.=
∫
G(t)x(t)dt+
∫
F (t)x(t)dt. (12)
6
Figura 4: Rappresentazione grafica dell’ impulso centrato in t0.
Ricordando che una funzione e’ anche una funzione generalizzata, l’ espressione precedente definisce anche
la somma fra una funzione generalizzata ed una funzione.
Integrale su un intervallo finito. Data una funzione generalizzata G(t), e’ utile dare una definizione
per un integrale del tipo (5) ma esteso ad un intervallo finito [a, b]. A questo fine introduciamo la funzione
w(t) =
{
1 a ≤ t ≤ b
0 altrove
e poniamo, per definizione,∫ b
a
G(t)x(t)dt.=
∫
G(t)w(t)x(t)dt. (13)
Integrale dell’impulso su un intervallo finito. Applicando la (13) ad un impulso traslato δ(t− t0)
si ricava∫ b
a
δ(t− t0)x(t)dt =
{
x(t0) t0 ∈ (a, b)
0 t0 /∈ [a, b](14)
Si noti che l’espressione precdente non e’ definita quando t0 = a, b, perche’ in questo caso, applicando la
(13), l’impulso cade in un punto di discontinuita’ della funzione w(t)x(t) a cui e’ applicato.
Linearita’. Una funzione generalizzata G(t) si dice lineare se la sua definizione e’ tale da rendere vera
la seguente identita’ per tutte le costanti a e b e per tutte le funzioni x e y alle quali G e’ applicabile
∫
G(t)[ax(t) + by(t)]dt = a
∫
G(t)x(t)dt+ b
∫
G(t)y(t)dt. (15)
Si noti che la proprieta’ si estende facilmente al caso di una combinazione lineare di tre o piu’ funzioni.
E’ facile controllare che la definizione dell’ impulso soddisfa questa condizione. Infatti, usando la (6),
possiamo scrivere∫
δ(t)[ax(t) + by(t)]dt = ax(0) + by(0)
e, sempre usando la (6), risulta
a
∫
δ(t)x(t)dt+ b
∫
δ(t)y(t)dt = ax(0) + by(0).
7
Uguaglianza fra funzioni generalizzate. Date due funzioni generalizzate G(t) e F (t), diciamo che
queste sono uguali e scriviamo che G(t) = F (t) se queste si applicano alle stesse funzioni e se per ogni
funzione a cui si applicano risulta
∫
G(t)x(t)dt =
∫
F (t)x(t)dt ∀x(t). (16)
Si noti che il simbolo usato per indicare l’uguaglianza fra funzioni generalizzate e’ lo stesso usato per
indicare l’uguaglianza fra funzioni in senso proprio. Questo e’ comodo e non genera confusione. Quando
serve, possiamo chiamare l’uguglianza definita dalla (16) una uguaglianza in senso generalizzato.
Moltiplicazione con una funzione. Data una funzione generalizzata G(t) ed una funzione f(t) reale
o complessa, il loro prodotto e’ una funzione generalizzata indicata con G(t)f(t) (oppure f(t)G(t)) e
definita da∫
[G(t)f(t)]x(t)dt.=
∫
G(t)[f(t)x(t)]dt. (17)
Moltiplicazione dell’impulso con una funzione. Consideriamo la funzione generalizzata f(t)δ(t−t0).
Usando la (17) e la (11) si ricava
∫
[f(t)δ(t− t0)]x(t)dt =
∫
δ(t− t0)[f(t)x(t)]dt = f(t0)x(t0).
Si noti che si ottiene lo stesso risultato sostituendo la funzione f(t) con la costante f(t0). Infatti, usando
la (8) e la (11),∫
[f(t0)δ(t− t0)]x(t)dt = f(t0)
∫
δ(t− t0)x(t)dt = f(t0)x(t0).
Le ultime due equazioni mostrano che la funzione generalizzata f(t)δ(t − t0) coincide con la funzione
generalizzata f(t0)δ(t− t0) nel senso della (16) e quindi vale la seguente equazione (in cui l’uguaglianza
e’ in senso generalizzato)
f(t)δ(t− t0) = f(t0)δ(t− t0) (18)
che da’ una proprieta’ dell’impulso spesso utile nei calcoli.
Scalatura. Data una funzione generalizzata G(t) ed un numero reale a 6= 0, la scalatura sull’ asse della
variabile indipendente della funzione generalizzata e’ una funzione generalizzata indicata con G(ta) e
definita da∫
G(ta)x(t)dt.=
1
|a|
∫
G(t)x(t/a)dt (19)
Scalatura dell’impulso. Come esempio, consideriamo la funzione generalizzata δ(ta). Usando la (19)
e la (6) si ricava∫
δ(ta)x(t)dt =1
|a|
∫
δ(t)x(t/a)dt =1
|a|x(0).
E’ facile verificare che applicando 1
|a|δ(t) ad x(t) si ottiene lo stesso risultato, e cioe’ 1
|a|x(0). Dunque,
vale la seguente equazione (in cui l’uguaglianza e’ in senso generalizzato)
δ(ta) =1
|a|δ(t) (20)
che da’ un’altra utile proprieta’ dell’impulso.
Simmetria dell’impulso. Consideriamo la funzione generalizzata δ(−t), ottenuta dall’ impulso scalando
l’ asse delle ascisse per la costante a = −1. Dall’equazione precedente si ricava
δ(t) = δ(−t) (21)
8
che fornisce un’altra proprieta’ utile e mostra che l’ impulso e’ una funzione a simmetria pari. Analo-
gamente, consideriamo la funzione generalizzata G(t− t0) = δ(t0 − t), ottenuta traslando G(t) = δ(−t).
Risulta∫
G(t− t0)x(t)dt =
∫
G(t)x(t+ t0)dt =
∫
δ(−t)x(t+ t0)dt =
∫
δ(t)x(t+ t0) = x(t0)
in cui abbiamo applicato la (10) e la (21). Questo e’ lo stsesso risultato che si ottiene applicando δ(t− t0)
a x(t), come si vede dalla (11). Quindi
δ(t− t0) = δ(t0 − t) (22)
che fornisce un’altra proprieta’ e mostra che l’ impulso centrato in t0 e’ una funzione simmetrica rispetto
a t0.
Convoluzione. Date due funzioni generalizzate G(t) e F (t), la loro convoluzione e’ una funzione
generalizzata indicata con G(t) ∗ F (t) e definita da∫
[G(t) ∗ F (t)]x(t)dt.=
∫
G(τ)[
∫
F (t− τ)x(t)dt]dτ. (23)
Espansione di una funzione in somma di impulsi. Se nella (11) si sostituisce t con τ , t0 con t e si
sfrutta la simmetria dell’impulso, e cioe’ l’ equazione δ(t− τ) = δ(τ − t), si ricava
x(t) =
∫
x(τ)δ(t− τ)dτ. (24)
L’ ultima relazione non dice niente di piu’ della (11) ma, mentre nella (11) il valore di t0 e’ pensato
come un numero (qualsiasi ma assegnato), nell’ ultima espressione t e’ invece pensato come una variabile.
Come conseguenza, l’ ultima espressione si chiama l’espansione di una funzione in una somma (integrale)
di impulsi e si presta alla seguente interpretazione: una funzione x(t) e’ ottenibile a partire da una somma
(integrale) di una infinita’ continua di impulsi, centrati in tutti gli istanti τ e ciascuno di area pari al
valore che la funzione assume in τ , e cioe’ x(τ). Per comprendere meglio questa interpretazione e per dare
una giustificazione intuitiva dell’espansione appena presentata, assegnata una durata T , consideriamo la
funzione
x̄(t) =∑
k
x(kT )fT (t− kT )T
dove la funzione fT (t) e’ il rettangolo di durata T e altezza 1/T dato dalla (1). La funzione x̄(t) e’ mostrata
in figura 5 ed e’ una funzione costante a tratti, ottenuta sommando una serie infinita di rettangoli di
durata T , centrati in kT e di altezza x(kT ). Questa funzione fornisce una approssimazione di x(t) che e’
tanto migliore quanto piu’ T e’ piccolo. Quando T → 0, l’approssimazione diviene esatta e x̄(t) → x(t).
Inoltre i rettangoli tendono a degli impulsi (come vedremo meglio nel prossimo paragrafo) e la sommatoria
a secondo membro tende all’integrale della formula di espansione che abbiamo dato.
Commenti. In questa sezione abbiamo esteso alcune delle operazioni sulle funzioni alle funzioni ge-
neralizzate. Altre operazioni si estendono in modo ovvio. Ma notiamo anche, senza approfondire la
questione, che non e’ possibile estendere tutte le operazioni sulle funzioni alle funzioni generalizzate. Per
esempio non abbiamo definito il prodotto fra due funzioni generalizzate o il quadrato di una funzione
generalizzata.
4 Delta successioni e integrali generalizzati
Consideriamo ancora il limite generalizzato della famiglia di funzioni rettangolari date dalla (1). Usando
la definizione (4) e poi la (3) possiamo scrivere∫
∗
limT→0
1
Trect(t/T )x(t)dt = x(0). (25)
9
Figura 5: Approssimazione di una funzione x(t) con una funzione costante a tratti x̄(t).
Ora riscriviamo qui sotto la definizione di impulso come funzione generalizzata∫
δ(t)x(t)dt = x(0).
Confrontando le due espressioni ci si rende conto che il limite generalizzato si comporta esattamente come
l’ impulso. In altre parole, queste sono due maniere di esprimere la stessa operazione, solo formalmente
diverse. Per indicare questo fatto possiamo scrivere
∗
limT→0
1
Trect(t/T ) = δ(t)
e dire che il limite generalizzato delle funzioni rettangolari e’ l’impulso. Naturalmente, l’uguaglianza
nell’equazione qui sopra e’ da intendersi in senso generalizzato, come nelle future equazioni che coinvolgono
l’impulso.
L’ equivalenza fra il limite generalizzato delle funzioni rettangolari e l’impulso ha implicazioni utili.
In primo luogo, se durante un calcolo o un ragionamento, si incontra questo limite generalizzato, lo
si puo’ sostituire con l’impulso, che ha il vantaggio di poter essere manipolato come una funzione. In
secondo luogo, fornisce una maniera alternativa e piu’ concreta di pensare l’impulso, e cioe’ non piu’
come un ente matematico astratto, ma come un limite generalizzato che, grazie alla definizione (4), si
riduce a un normale limite. Questa circostanza indica anche un modo per realizzare una approssimazione
dell’ impulso in un sistema fisico. In particolare, l’ impulso puo’ essere approssimato come una funzione
rettangolare, con precisione sempre maggiore quanto piu’ il rettangolo e’ stretto e alto.
Una successione di funzioni che converge all’ impulso viene detta una δ-successione. E quella delle fun-
zioni rettangolari non e’ l’unica δ-successione esistente. Per esempio, consideriamo la funzione triangolare,
data da
tri(t) =
{
1− |t| |t| ≤ 1
0 |t| > 1,(26)
e la funzione seno cardinale, data da
sinc(t) =sen(πt)
πt. (27)
Anche queste funzioni possono essere usate per costruire una delta successione. In particolare, sono noti
i seguenti limiti generalizzati∗
limT→0
1
Ttri(t/T ) = δ(t). (28)
10
∗
limT→0
1
Tsinc(t/T ) =
∗
limD→∞
Dsinc(tD) = δ(t). (29)
E’ anche utile notare che, data una funzione generalizzata G(t) ottenuta a partire da un impulso
applicando una certa sequenza di operazioni (per esempio traslazione o scalatura), e’ immediato ricavare
una successione di funzioni che ammette come limite generalizzatoG(t). Basta applicare la stessa sequenza
di operazioni alle funzioni di una qualsiasi δ-successione, come e’ facile verificare.
Integrali generalizzati. Consideriamo un’altra applicazione del concetto di limite generalizzato. Ri-
cordiamo che un integrale con estremi infiniti e’ definito come il limite di un integrale con estremi finiti
e cioe’∫
x(t)dt.= lim
D→∞
∫ D/2
−D/2
x(t)dt.
E’ possibile estendere questa definizione classica, assumendo che il limite sia un limite in senso genera-
lizzato e cioe’ scrivendo∫
x(t)dt.=
∗
limD→∞
∫ D/2
−D/2
x(t)dt.
Questa nuova definizione, che puo’ essere detta un integrale generalizzato, permette di dare un significato
a integrali che non convergono in senso classico. Facciamo un esempio.
Consideriamo l’integrale∫
ej2πtydy,
che risulta una funzione della variabile t e che non converge in senso classico (per esempio e’ infinito per
t = 0). Considerandolo un integrale generalizzato abbiamo
∫
ej2πtydy =∗
limD→∞
∫ D/2
−D/2
ej2πtydy. (30)
Valutiamo l’integrale definito che compare qui sopra: effettuando una sostituzione τ = j2πty si ricava
∫ +D/2
−D/2
ej2πtydy =1
j2πt
∫ jπtD
−jπtD
eτdτ =1
j2πteτ |jπtD−jπtD =
ejπtD − e−jπtD
j2πt=
sen(πtD)
πt= Dsinc(tD).
A questo punto, sostituendo nella (30), abbiamo∫
ej2πtydy =∗
limD→∞
Dsinc(tD)
ed usando la (29) concludiamo che∫
ej2πtydy = δ(t). (31)
L’ ultima espressione mostra che l’integrale generalizzato che abbiamo considerato e’ ben definito ed e’
pari all’ impulso. La (31) e’ anche una utile espressione alternativa (integrale) per l’impulso. Con lo
stesso ragionamento e usando la simetria dell’impulso, si verifica anche che∫
e−j2πtydy = δ(t). (32)
5 Impulso discreto
Esiste un equivalente discreto dell’ impluso, detto impulso discreto o impulso di Kroneker. L’impulso
discreto e’ una sequenza indicata con δn e data da
δn =
{
1 n = 0
0 n 6= 0.
11
Come si vede dalla definizione, i campioni della sequenza sono nulli per qualsiasi valore dell’ indice n
tranne che per n = 0, dove la sequenza vale uno.
L’ impulso discreto gode di proprieta’ del tutto simili a quelle dell’ impulso continuo con il vantaggio
di non presentare nessun problema di definizione. Per esempio, vale la seguente equazione
xnδn−M = xMδn−M (33)
che corrisponde alla (18) e che si verifica notando che le sequenze a destra e sinistra dell’uguale, al variare
di n, sono nulle tranne che per n = M dove valgono entrambe xM . Inoltre, l’impulso discreto e’ una
sequenza simmetrica e cioe’ vale
δn−M = δM−n (34)
che corrisponde alla (22) e che si verifica notando che le sequenze a destra e sinistra dell’uguale, al variare
di n, sono nulle tranne che per n = M dove valgono entrambe 1.
Per l’impulso discreto si ha la seguente proprieta’ di campionamento∑
n
xnδn−M = xM (35)
che e’ l’equivalente della (11) e si verifica notando che la sequenza sommata e’ nulla per tutti i valori di
n tranne che per n = M dove vale xM . A parole, la precedente equazione dice che la squenza dn−M puo’
essere usata, moltplicando e sommando, per estrarre l’ M -esimo campione di una sequenza. Allo stesso
modo si verifica la seguente fomula di espansione
xn =∑
k
xkδn−k (36)
che costituisce la versione discreta della (24) e che mostra che una sequenza xn puo’ pensarsi come una
somma di infinite sequenze impulso discreto, ciascuna centrata sull’ indice k e scalata per il valore che la
sequenza assume in quell’ indice. Infine, e’ facile verificare che
b∑
n=a
xnδn−M =
{
xM M ∈ [a, b]
0 M /∈ [a, b](37)
che estende la (14).
6 Esempi e applicazioni
In questa sezione presentiamo alcuni esempi e introduciamo alcune applicazioni dell’impulso. Come
considerazione generale, notiamo che gli integrali che coinvolgono un impulso sono facili da calcolare.
Infatti, come gia’ detto, non sono veri e propri integrali, ma espressioni che vanno valutate applicando le
definizioni che abbiamo dato in sezione 3, per le operazioni sulle funzioni generalizzate. In particolare,
applicando le definizioni, un integrale in cui compaiono impulsi variamente traslati e scalati viene ridotto
ad una somma di integrali semplici, aventi la forma di equazione (6) e che vengono valutati direttamente
usando quella equazione. Questa operazione e’ semplificata dal fatto che le definizioni che abbiamo dato
ricalcano le normali regole di integrazione, valide per le funzioni in senso proprio, e quindi, in pratica,
sugli impulsi si lavora come se fossero funzioni normali. Facciamo un esempio, calcoliamo il seguente
integrale
I =
∫
[2δ(t− 4) + 5δ(t+ 1)](t2 + 3)dt.
Usando la la somma fra funzioni generalizzate definita dalla (12), con G(t) = 2δ(t− 4) e F (t) = 5δ(t+1)
e x(t) = (t2 + 3), si ricava
I =
∫
2δ(t− 4)(t2 + 3)dt+
∫
5δ(t+ 1)(t2 + 3)dt.
12
Usando la moltiplicazione per una costante definita dalla (8) possiamo poi scrivere
I = 2
∫
δ(t− 4)(t2 + 3)dt+ 5
∫
δ(t+ 1)(t2 + 3)dt.
I due integrali precedenti possono essere valutati usando prima la traslazione (10) e poi la definizione
dell’ impulso (6) oppure, piu’ rapidamente, applicando la proprieta’ di campionamento data dalla (11)
con x(t) = (t2 + 3). In questo modo, si ottiene
I = 2(42 + 3) + 5[(−1)2 + 3] = 58.
Convoluzione con un impulso. Ricordiamo che, date due funzioni x(t) e y(t), la loro convoluzione
(continua) e’ una terza funzione, indicata con z(t) = x(t) ∗ y(t) e definita da
x(t) ∗ y(t) =
∫
x(τ)y(t− τ)dτ.
Questa definizione si estende naturalmente al caso in cui una delle due funzioni e’ una funzione genera-
lizzata. Infatti l’espressione risultante ha la forma data in (5), si puo’ valutare usando le regole date in
sezione 3 e verifica le stesse proprieta’ della convoluzione fra funzioni ordinarie. Per esempio, considerando
il caso in cui x(t) = δ(t) e’ un impulso, abbiamo
δ(t) ∗ y(t) =
∫
δ(τ)y(t− τ)dτ = y(t)
in cui l’ ultima uguaglianza si ottiene applicando, con opportune sostituzioni, la definizione di impulso
(6). L’ultima espressione mostra che la convoluzione di una funzione con un impulso e’ pari alla funzione
stessa. In questo senso, si dice che l’impulso e’ la funzione identita’ rispetto all’operazione di convoluzione.
Come ulteriore esempio, consideriamo la convoluzione fra un impulso centrato in T , δ(t − T ), e una
funzione x(t). Abbiamo
δ(t− T ) ∗ x(t) =
∫
δ(τ − T )x(t− τ)dτ = x(t− T ),
dove l’integrale e’ stato valutato applicando, con opportune sostituzioni, la proprieta’ di campionamento
dell’impulso (11). In conclusione, usando anche la proprieta’ commutativa della convoluzione, possiamo
scrivere
δ(t− T ) ∗ x(t) = x(t) ∗ δ(t− T ) = x(t− T ). (38)
L’equazione precedente e’ un’utile proprieta’ dell’impulso e mostra che, facendo la convoluzione fra una
funzione e un impulso centrato in T , il risultato e’ la stessa funzione traslata di T .
La convoluzione puo’ essere anche definita quando entrambi le funzioni coinvolte sono generalizzate,
usando la (23), e risulta una funzione generalizzata. Come esempio, consideriamo la convoluzione di
un impulso con un impulso, δ(t) ∗ δ(t). Usando la (23), la convoluzione e’ una funzione generalizzata
specificata cosi’∫
[δ(t) ∗ δ(t)]x(t)dt =
∫
δ(τ)[
∫
δ(t− τ)x(t)dt]dτ.
Usando la proprieta’ di campionamento nell’ integrale in t abbiamo
∫
[δ(t) ∗ δ(t)]x(t)dt =
∫
δ(τ)x(τ)dτ.
A questo punto, sostituendo, per chiarezza, τ con t nel secondo integrale, abbiamo
∫
[δ(t) ∗ δ(t)]x(t)dt =
∫
δ(t)x(t)dt.
13
L’ultima espressione mostra che δ(t) ∗ δ(t) e δ(t) danno lo stesso risultato quando applicati alla stessa
funzione x(t). Quindi queste due funzioni sono uguali in senso generalizzato e possiamo scrivere
δ(t) ∗ δ(t) = δ(t),
che e’ un’altra formula utile. Analogamente si puo’ verificare che
δ(t− T ) ∗ δ(t) = δ(t) ∗ δ(t− T ) = δ(t− T ).
La convoluzione puo’ essere definita anche nel caso discreto. In particolare, date due sequenze xn e
yn, la loro convoluzione (discreta) e’ una terza sequenza, indicata con zn = xn ∗ yn e definita da
xn ∗ yn =∑
k
xkyn−k.
Per quanto riguarda la convoluzione, l’impulso discreto gode esattamente delle stesse proprieta’ che
abbiamo gia’ visto per l’impulso continuo, col vantaggio che si dimostrano tutte semplicemente e che non
pongono nessun problema di definizione. Per esempio, si verifica facilmente che
δn−M ∗ xn = xn ∗ δn−M = xn−M (39)
e cioe’ che facendo la convoluzione fra una sequenza e un impulso centrato in M , il risultato e’ la stessa
sequenza traslata di M campioni.
Trasformata di Fourier. Ricordiamo che, data una funzione x(t), la sua trasformata di Fourier e’ una
funzione della variabile f (frequenza, se t e’ un tempo), data da
FT{x(t)} = X(f) =
∫
x(t)e−j2πftdt.
Notiamo che la trasformata e’ ben definita solo quando la funzione x(t) e’ sommabile, nel qual caso l’inte-
grale di definizione converge. D’altra parte esistono molte funzioni non sommabili utili nelle applicazioni e
per le quali l’integrale diverge e la trasformata, in senso classico, non esiste. Fortunatamente, e’ possibile
estendere la definizione della trasformata in modo da includere molte di queste funzioni. Ci sono diverse
maniere di estendere la definizione ma noi ci limitiamo a considerare il caso in cui si considera l’integrale
che compare nella definizione come un integrale generalizzato. Con questa definizione modificata, mol-
te funzioni non sommabili acquistano una trasformata, che e’ normalmente una funzione generalizzata.
Facciamo un esempio.
Consideriamo la funzione unitaria costante, x(t) = 1. La sua trasformata e’ data da
FT{1} =
∫
e−j2πftdt. (40)
Visto che la funzione costante non e’ sommabile, l’integrale qui sopra diverge, se valutato in senso classico.
Al contrario, se valutato come un integrale generalizzato, usando la (32) con opportune sostituzioni, si
ricava
FT{1} = δ(f).
Quindi, in senso generalizzato, la trasformata di una funzione costante e’ calcolabile e risulta pari a un
impulso nel dominio della frequenza.
Derivazione. Si consideri una funzione f(t) continua su tutto l’asse e che tende a zero per t → −∞. La
derivata di questa funzione, h(t) = df(t)/dt, e’ definita per tutti i valori di t e permette di ricostruire la
funzione tramite un integrale definito e precisamente come
f(t) =
∫ t
−∞
h(y)dy.
14
Se invece si considera una funzione f(t) discontinua in un numero discreto di punti dell’ asse t, la derivata
non risulta definita in questi punti e la formula di ricostruzione data sopra non vale. Questo problema
puo’ essere aggirato estendendo il concetto di derivata ed ammettendo che la derivata di una funzione
possa essere una funzione generalizzata. Senza entrare in dettagli, per i quali si rimanda al Papoulis [1],
vediamo un esempio di questa applicazione.
Consideriamo la funzione gradino unitario, data da
u(t) =
0 t < 0
1/2 t = 0
1 t > 0.
(41)
Questa funzione e’ discontinua in t = 0 e la sua derivata e’ nulla ovunque tranne in zero, dove non
e’ definita. Essendo comunque definiti il limite destro e sinistro, la singolarita’ puo’ essere eliminata
e la derivata risulta una funzione identicamente nulla. La formula di ricostruzione data sopra non e’
applicabile. Possiamo pero’ porredu(t)
dt= δ(t)
e cioe’ dire che la derivata del gradino e’ un impulso. In questo modo la formula di ricostruzione funziona.
Per verificarlo, consideriamo la funzione g(t) ottenuta applicando la formula,
g(t) =
∫ t
−∞
δ(y)dy,
e facciamo vedere che coincide con u(t). Usando la definizione di integrale dell’ impulso su un intervallo
finito, e cioe’ la (14), e’ facile verificare che g(t) = 0 per t < 0 e che g(t) = 1 per t > 0. Per t = 0,
l’integrale non e’ ben posto e g(0) non e’ definito. D’altra parte, visto che esistono i limiti destro e
sinistro, il valore di g(0) puo’ porsi pari alla media dei limiti e cioe’ pari a 1/2. Quindi g(t) = u(t), come
volevamo verificare.
Densita’ di probabilita’. Consideriamo una variabile aleatoria continua C ed una discreta D. Come
e’ noto, queste variabili sono descritte da una densita’ di probabilita’ che risulta una funzione continua
pC(x) per la prima, mentre e’ una successione pD[k] per la seconda. Questa differenza fa’ si che molte
delle operazioni sulle variabili aleatorie abbiano scritture diverse nel caso continuo e discreto. Questo
problema puo’ risolversi, e la teoria uniformarsi, introducendo una densita’ continua per la D, o meglio
generalizzata, data da
pD(x) =∑
k
pD[k]δ(x− k).
Come si vede dalla formula, la densita’ pD(x) e’ una funzione generalizzata, costituita da una serie di
impulsi centrati sui numeri interi e tali che quello centrato in k ha area pD[k]. Usando questa definizione
per la densita’ discreta, molte delle operazioni sulle variabili continue si applicano senza modifiche alle
variabili discrete. Facciamo un esempio.
Data una variabile continua C, la probabilita’ che la determinazione della variabile aleatoria appar-
tenga a un certo insieme A dell’asse reale, e cioe’ la probabilita’ dell’evento {C ∈ A}, si puo’ calcolare
integrando la densita’ su A e cioe’ come
P{C ∈ A} =
∫
A
pC(x)dx.
Per una variabile discreta D, la formula precedente non e’ applicabile se usiamo la densita’ discreta pD[k].
Al contrario, usando la densita’ generalizata introdotta prima, la formula vale anche per la variabile
discreta e in particolare si puo’ verificare che2
P{D ∈ A} =
∫
A
pD(x)dx.
2E’ necessario qualche accorgimento, per evitare problemi di definizione dell’integrale, quando la frontiera di A contiene
dei valori interi. Non approfondiamo la questione.
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