İnce cİdarli tÜplerİn burulmasi thin-walled tubes

İNCE CİDARLI TÜPLERİN BURULMASI

THIN-WALLED TUBESKapalı tüpler

Dairesel kesitli-ince cidarlı tüplerin burulması

İnce cidarlı ve kapalı tüplerin burulma problemleri, Coulomb teorileri

ile çözülebilen dairesel tüplerden elde edilen sonuçlardan yararlanarak

elemanter olarak çözülebilmektedir.

oR

ido RRR 21

id RRt

Ortalama yarıçap Cidar kalınlığı

1) Daire kesitli tüpler: İçi boş daire kesitli millerin burulması dikkate alınarak ince cidarlı tüplerin burulma formülleri çıkarılabilir.

• İçi boş dairesel kesitlerde maksimum kayma gerilmesi kesitin dış yüzeyine yakın noktalarda meydana gelir:

J

RT ddis max

• İnce cidarlı dairesel kesitlerde ortalama kayma gerilmesi cidar boyunca sabit kabul edilir ve aşağıdaki gibi hesaplanır:

J

RT oort

(a)

(b)

İçi boş milin polar atalet momenti:

İçi boş dairesel kesitin dış ve iç yarıçapları kullanılarak aşağıdaki gibi bulunur:

442 id RRJ

Dairesel tüplerin polar atalet momenti:

Yukarıdaki polar atalet momenti ifadesi aşağıdaki gibi çarpanlara ayrılır:

222

22222 ididididid RRRRRRRRRRJ

tRR id oid RRR 2 222 2 oid RRR

22 22 oo RRtJ

burada

şeklindedir. Buna göre polar atalet momenti aşağıdaki gibi olur:

tRRtRJ ooo23 22

tARJ o2

(a)

(b)

t cidar kalınlığı R ortalama yarıçapı yanında çok küçükse J=2πR3t=2ARt polar

atalet momenti kullanılabilir. (b) şeklinde görüldüğü gibi ince cidarlı tüplerde

cidar kalınlığı boyunca kayma gerilmelerinin değişmediği kabul edilebilir. Bu

durumda

tAR

RT

J

RT

o

ooort 2

At

Tort 2 2

oRA

Birim dönme açısı ise:

o

o

o R

R

tRG

T

GJ

T

2

2

2 3

burada s ortalama çevre uzunluğudur. Buna göre tüpün toplam dönme açısı aşağıdaki gibi olur:

t

s

GA

T24

t

s

GA

TLL

24

Örnek: Şekildeki dairesel kesitli mil T=6 kNm’lik bir burulma

momentine maruz bırakıldığına göre meydana gelen kayma gerilmesini

ve birim dönme açısını hesaplayınız (G=25 GPa).

Dış ve iç çaplar sırası ile D=128 mm ve d=122 mm olarak verilmektedir.

d D

T=6 kNm

2322

10272.124

125

4mm

DA o

mmdD

RD oo 1252

122128

22

mmdD

t 32

122128

2

463

3 106.432

12522 mmmmmmtRJ o

Kesit özellikleri (Alan ve Polar atalet momenti):

Ortalama çap ve cidar kalınlığı:

4623 106.432

12510272.1222 mmmmmmmmtARJ o

veya

MPa

mm

mm

Nmm

J

RT o

52.81

2

125

106.4

10646

6

mmmrd

mmMPa

Nmm

GJ

T

o /989.2180

/1017.52

106.41025

106

6

463

6

MPa

mmmm

Nmm

At

T

5.81

)3()10272.12(2

106

2 23

6

Cidarda oluşan ortalama kayma gerilmesi:

veya

Birim dönme (burulma) açısı:

464444 10604.41221283232

mmdDJ

MPamm

mmNmm

J

DT4.83

)10604.4(2

)128()106(

2 46

6

mmrdmmMPa

Nmm

GJ

T/10213.5

10604.41025

106 5463

6

mmrd o/987.2180

/05213.0

İçi boş mil durumuna göre kayma gerilmesi ve birim dönme açısı:

The stresses acting on the longitudinal faces a-b and cd produce forces Fb and

Fc (Fig. 3-40d). These forces are obtained by multiplying the stresses by the

areas on which they act:

FIG. 3-40 Thin-walled tube of arbitrary cross-sectional shape

in which tb and tc represent the

thicknesses of the tube at points b

and c, respectively (Fig. 3-40d).

dxtFdxtF cccbbb

Non-circular Thin-Walled Hollow Shafts

ccbbbcb

x

ttFFFF

F

0

0

FIG. 3-40 Thin-walled tube of arbitrary cross-sectional shape

In addition, forces F1 and F1 are produced by the stresses acting on faces

b-c and a-d. From the equilibrium of the element in the longitudinal

direction (the x direction), we see that Fb = Fc , or

Kayma Akımı (Shear Flow)

constant tq t

q (3-59)or

Because the locations of the longitudinal cuts a-b and c-d were selected

arbitrarily, it follows from the preceding equation that the product of

the shear stress τ and the thickness t of the tube is the same at every

point in the cross section.

This product is known as the shear flow and is denoted by the letter q:

• This relationship shows that the largest shear stress occurs where

the thickness of the tube is smallest, and vice versa.

• Naturally, in regions where the thickness is constant, the shear

stress is constant.

• Note that shear flow is the shear force per unit distance along the

cross section.

İnce cidarlı tüplerde burulma formülü(Torsion Formula for Thin-Walled Tubes)

• The next step in the analysis is to relate the

shear flow q (and hence the shear stress τ) to

the torque T acting on the tube. For that

purpose, let us examine the cross-section of the

tube, as pictured in Fig. 3-41.

FIG. 3-41 Cross section of thin-walled tube

dsq

median line

r

• The median line (also called the centerline or the midline) of the wall

of the tube is shown as a dashed line in the figure.

• We consider an element of area of length ds (measured along the

median line) and thickness t.

• The distance s defining the location of the element is measured along

the median line from some arbitrarily chosen reference point.

• The total shear force acting on the element

of area is qds, and the moment of this

force about any point O within the tube is

FIG. 3-41 Cross section of thin-walled tube

dsq

median line

r dsqrdT

in which r is the perpendicular distance

from point O to the line of action of the

force qds. The total torque T produced by

the shear stresses is obtained by integrating

along the median line of the cross section:

mLdsrqT

0

in which Lm denotes the length of the median line.

• The integral above can be difficult to integrate by formal

mathematical means, but fortunately it can be evaluated easily by

giving it a simple geometric interpretation.

• The quantity rds represents twice the area of the shaded triangle

shown in Fig. 3-41.

• (Note that the triangle has base length ds and height equal to r.)

• Therefore, the integral represents twice the area Am enclosed by the

median line of the cross section:

m

LAdsr

m

20

• Therefore the shear flow is

m

m

L

A

TqAqdsrqT

m

22

0

• Now we can obtain a torsion shear formula for thin-walled tubes:

tA

T

t

q

m2

Dairesel olmayan ince cidarlı tüplerin burulması2) Herhangi bir biçimdeki tüp kesitli çubuklar:

Şekil (a) da görüldüğü gibi herhangi bir kesiti olan çubuk dikkate alalım. Bu çubuktan çok küçük parçayı büyütüp dengesini inceleyelim. Bu eleman dengede olduğundan, örnek olarak karşılıklı kesitlerde bulunan V3 ve V4 kesme kuvvetleri de dengededir.

43 VV dztVdztV 244133 ve

dztdzt 2413 2413 tt 43 qq

Kayma gerilmesi cidar kalınlığı çarpımına kayma akımı denir ve q ile gösterilir.

0zFve olur.

Dik köşelerde, yani birbirine dik kesitlerde kayma gerilmelerinin eşit olması şartından

yazılabilir. Buna göre kayma akımları

Cidar eksen eğrisi s üzerinde alınan (t ds) alan elemanına etkiyen dV kesme kuvveti

veya

şeklindedir.

ve 4231

sbt 222111 qttq

dstdstdV dsqdV

ss

dshtdshtdVhT

dshdA 21 veya dAdsh 2

Kesit eğrisi boyunca kayma akımlarının eşit olması (q1=q2=q3=…) şartından dV kesme kuvvetinin büyüklüğü de sabit kalır. Bu kesme kuvvetinin kesit düzlemi içerisindeki herhangi bir O noktasına göre momenti, kesite etkiyen T burulma momentine eşit olmalıdır. Bu durumda

yazılır.

Tüplerde Kayma Gerilmesinin Bulunması

dAtT 2 tAT 2AdA

İntegral içindeki (h ds) terimi, şekildeki taralı üçgen (dA) alanının iki

katıdır. Buna göre burulma momenti

şeklinde olur. Burulma momenti ifadesinden kayma gerilmesi

çekilirse aşağıdaki gibi olur:

tA

T

2

Buna göre kesitteki en büyük kayma gerilmesi, cidar kalınlığının en küçük olduğu noktada meydana geleceği açıktır. Bu durumda maksimum kayma gerilmesi

minmax 2 tA

T

gibi olur. Burada A kesit cidar orta hattının sınırladığı alandır. A

Kesitin θ birim dönme açısını hesaplamak için şekil değiştirme enerjisinde

yararlanılabilir. T burulma momentinin yaptığı iş, dφ= θ dz olduğu bilinerek

dzTTddU 2

1

2

1

şeklinde olur. dz boyundaki parçada biriken enerji, τ/2G enerji yoğunluğu

kullanılarak

VdV

GdU

2

2

şeklinde olur. Burada, τ kayma gerilmesi, G kayma modülü ve dV hacim elemanıdır.

Tüplerde Burulma Açısının Bulunması

t

ds

GA

TL

t

ds

GA

T22 44

Yukarıdaki iş ve enerji ifadesi birbirine eşitlenirse

(burada ) V

dVG

dzT

22

2

elde edilir. Burada dV hacim elemanı olup dV=t ds dz yukarıdaki

denklemde yerine konulursa

t

ds

GA

dzTdz

Tdzdst

tA

T

Gdz

Ts 2

2

22

2

82veya

42

1

2

elde edilir. Bu ifade düzenlenirse tüpün birim dönme (burulma) açısı

aşağıdaki gibi olur:

tA

T

2

3 - 26

Thin-Walled Hollow Shafts

• Summing forces in the x-direction on AB,

shear stress varies inversely with thickness

flowshear

0

qttt

xtxtF

BBAA

BBAAx

tA

T

qAdAqdMT

dAqpdsqdstpdFpdM

2

22

2

0

0

• Compute the shaft torque from the integral of the moments due to shear stress

t

ds

GA

TL24

• Angle of twist (from Chapt 11)

Örnek: Boyutları şekilde verilen tüp, T=50 kNm’lik burulma

momentine maruz bırakılıyor. Buna göre:

a) Kesitte meydana gelen en büyük kayma gerilmesini ve yerini

bulunuz.

b) Birim dönme açısını hesaplayınız (G=70 GPa)

Example 3.10Extruded aluminum tubing with a rectangular cross-section has a torque loading of 24 kip-in. Determine the shearing stress in each of the four walls with

(a) uniform wall thickness of 0.160 in. and wall thicknesses of

(b) 0.120 in. on AB and CD and 0.200 in. on CD and BD.

SOLUTION:

• Determine the shear flow through the tubing walls

• Find the corresponding shearing stress with each wall thickness

3 - 32

SOLUTION:

• Determine the shear flow through the tubing walls

in.

kip335.1

in.986.82

in.-kip24

2

in.986.8in.34.2in.84.3

2

2

A

Tq

A

• Find the corresponding shearing stress with each wall thickness

with a uniform wall thickness,

in.160.0

in.kip335.1

t

q ksi34.8

with a variable wall thickness

in.120.0

in.kip335.1ACAB

in.200.0

in.kip335.1CDBD

ksi13.11 BCAB

ksi68.6 CDBC

Various thin-walled members

İnce Cidarlı Tüplerin Burulması

Torsion of circular and rectangular members

- Dikdörtgen kesitli miller- Açık tüpler

3 - 37

Torsion of Noncircular Members

• For uniform rectangular cross-sections,

• Circular torsion formulas are not valid for

non-circular shafts.

• Planar cross-sections of noncircular shafts

do not remain planar and stress and strain

distribution do not vary linearly

Gabc

TL

abc

T3

22

1max

• At large values of a/b, the maximum shear stress and angle of twist for other

open sections are the same as a rectangular bar.

231max3

31

ve ba

T

baG

T

31

2

31

110 c

c

b

a

231max3

31

a)ts

T

tsG

T

2322

31max3

323

31 2

2

b)ta

T

tta

T

taG

T

ttaG

T

max322

3113

1maxmax322

3113

1 2

2 c) t

tbtb

TtG

tbtbG

T

GJ

T

n

ii tbJ1

331

maxmaxmax tJ

TtG

3 max74.1r

tk

Using τall =40 MPa, determine the largest torque that may be applied to

each of the brass bars. Note that the two solid bars have the same cross-

sectional area, and that the square bar and square tube have the same

outside dimensions.

SAMPLE PROBLEM 3.9

tA

T

2

3. Square Tube. For a tube of thickness t, the shearing stress is given

by following equation

where A is the area bounded by the center

line of the cross section. We have

211563434 mmmmmmA

We substitute τ=τall =40 MPa and t = 6 mm and

solve for the allowable torque:

tA

T

2

mmmm

TMPa

61156240

23 NmT 5553

Örnek: Ortalama yarıçapları R, cidar kalınlıkları t olan kapalı ve açık dairesel tüp kesitli çubuklar T burulma momentine maruz bırakılırsa τmax ve ϴ oranlarını hesaplayınız.

Değişken kesitli kesitlerin burulması

Örnek: Şekildeki profilin taşıyabileceği burulma momentini hesaplayınız.

G=80 Gpa

τem=70 Mpa

ϴem=0.22 rd/m

5 55

2

25

5

110

Örnek: Boyutları şekilde verilen ‘L’ profil

kesitin imal edildiği malzemenin emniyet

gerilmesi 60 MPa dır. Birim dönme açısı

için konulan sınır 0.2 rad/m olduğuna

göre kesitin taşıyabileceği burulma

momentini hesaplayınız. G=80 GPa.

43

33313

31

10873.5

5100480

mmJ

tbJ ii

Çözüm:

Kesitin polar atalet momenti:

5

10873.560 3

max

maxmax

t

JT

tJ

T

em

em

NmNmmT 5.7070480

Emniyet gerilmesine göre burulma momentinin bulunması:

333

10873.5108010

2.0

GJT

GJ

T

em

em

NmNmmT 97.9393970

Emniyetli birim dönme açısına göre burulma momentinin bulunması:

TT

alınır.

NmTTem 48.70

Buna göre olduğundan

Örnek: Boyutları şekilde verilen ‘T’ profil kesitte 1 ve 2 parçaları, kayma

modülleri sırası ile G1=60 GPa ve G2=80 GPa olan farklı malzemelerden

imal edilmiştir. Buna göre bu profilin taşıyabileceği burulma momentini

hesaplayınız.

MPa

MPa

em

em

90

70

2

1

Kayma emniyet gerilmeleri

100 mm

120 mm

8

7

1

2

T

Kompozit profiller

26433

11

4333111

108.6851043.111060

1043.1171003

1

3

1

NmmmmMPaJG

mmtbJ

26433

22

4333222

104.16381048.201080

1048.2081203

1

3

1

NmmmmMPaJG

mmtbJ

Çözüm:Kesitlerin burulma rijitlikleri:

21 TTT

Kesitlerde oluşan iç burulma momentleri-dış burulma momenti dengesi:

T

1T

2T

ve22

22

11

11 JG

T

JG

T

Kesitlerde oluşan burulma açıları birbirine eşittir (Uygunluk Şartı):

1

2

21

2211

21

221122

2

11

1

JGJG

TT

JGJG

T

JG

T

JG

T

TJGJG

JGTT

JGJG

JGT

2211

222

2211

111 e v

ve 22

221

1

11 t

J

Tt

J

T

Kesitlerdeki kayma gerilmeleri:

ve 22211

2221

2211

111 emem JGJG

tGT

JGJG

tGT

Birleşik kesitin taşıyabileceği emniyetli burulma momentleri:

veemtG

JGJGT 1

11

2211 emtG

JGJGT 2

22

2211

Son iki denklemden bulunacak en küçük burulma momenti emniyetli değer olarak alınır.

NmNmmT

MPammMPa

NmmNmmT

tG

JGJGT em

4.387104.387

7071060

104.1638108.685

3

3

2626

111

2211

Birinci kesite göre, birleşik kesitin taşıyabileceği emniyetli burulma yükü

aşağıdaki gibi bulunur:

NmNmmT

MPammMPa

NmmNmmT

tG

JGJGT em

8.326108.326

9081080

104.1638108.685

3

3

2626

222

2211

Buna göre, emniyetli burulma momenti küçük olan değerdir:

NmTem 8.326

Birinci kesite göre, birleşik kesitin taşıyabileceği emniyetli burulma yükü

aşağıdaki gibi bulunur:

b=100 mmh=150 mmt=3 mm

Example: For the channel section, and neglecting stress concentrations,

determine the maximum shearing stress caused by a 800-N vertical

shear applied at centroid C of the section,

which is located to the right of the center line of the web BD.x

t

V

h

b

x

A

C

B

ED

x

Solution:

V

x

A

C

B

ED

=

e

V

x

A

C

B

ED

=

e

TV

x

A

C

B

EDe x

A

C

B

EDe

+ T

mmx 29

1050

30000

150331002

5031002

46233 10219.4753100310012

121503

12

1mmI x

331094.302

75375753100 mmQ

MPatI

QV

xV 956.1

310219.4

1094.308006

3

V

x

A

C

B

EDe

V

BB

D

D

x

A

C

B

EDe

T

mmI

tbhe

x

4010219.44

3.150100

4 6

2222

O

VxeVOCT

4333 1015.3310021503

1

3

1mmtbJ ii

MPatJ

TT 57.523

1015.3

102.553

3

NmNmmT 2.55102.558002940 3

MPaTV 526.5457.52956.1max

The maximum shearing stress

Bölmeli Tüplerin Burulması

(İleri Mukavemet)