indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di monge con questo learning object si...
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GEOMETRIA DESCRITTIVA DINAMICAGEOMETRIA DESCRITTIVA DINAMICAIndagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge
Con questo learning object si vuole studiare e definire la legge geometrico-descrittiva relativa alla condizione di parallelismo tra elementi geometrici aventi le stesse caratteristiche .
Si indaga quindi il rapporto relativo al parallelismo tra rette
L’indagine affronta sia la procedura deduttiva sia la procedura impositiva.
Al termine dell’analisi si definisce un quadro sintetico di riferimento che comprende sia gli aspetti teorici che quelli grafici che quelli concettuali.
La presentazione si conclude con alcune esemplificazioni grafiche corredate della relativa spiegazione, con lo sviluppo grafico di alcuni esercizi e la
proposta di temi scritti da volgere e sviluppare in forma di elaborati grafici.
Per approfondimenti consultare il sito http://www.webalice.it/eliofragassi
La presentazione si chiude con la creazione di una griglia di valutazione per gli elaborati grafici che prende in esame i tre momenti del processo
rappresentativo: conoscenza, competenza e capacità.
GEOMETRIA DESCRITTIVA DINAMICAGEOMETRIA DESCRITTIVA DINAMICA
PARALLELISMO TRA ELEMENTI UGUALI
PARALLELISMO TRA RETTE
Autore Prof. Elio FragassiAutore Prof. Elio FragassiIl materiale può essere riprodotto citando la fonte
La revisione delle formalizzazioni è stata curata dalla dott.ssa Gabriella Mostacci
Il disegno è stato eseguito nell’a. s. 2008/2009
Da Di Blasio Giada della classe 3°C
del Liceo artistico “G. Misticoni” di Pescara per la materia :“Discipline grafico-
geometriche”
Insegnante: Prof. Elio Fragassi
Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge
Cominciamo l’analisi sul parallelismo iniziando con l’ “ INDAGINE ESPLICATIVA O DEDUTTIVA ”
Ricordando gli specifici elementi geometrico descrittivi, come caratterizzati nella tabella riassuntiva della presentazione n° 1, ed escludendo il punto, quindi anche le "tracce" della retta -per quanto detto nella presentazione n°1-, resta stabilito che per definire il parallelismo tra due o più rette necessita definire lo specifico rapporto descrittivo concreto tra le "proiezioni“ delle rette, che geometricamente si caratterizzano come "rette“.
Possiamo, allora, avere un caso come quello graficizzato nell’immagine di sopra (Fig. 01)
PARALLELISMO TRA RETTEPARALLELISMO TRA RETTEINDAGINE ESPLICATIVA O DEDUTTIVA (1)INDAGINE ESPLICATIVA O DEDUTTIVA (1)
In questa circostanza, considerando le rispettive proiezioni delle due rette accade che:
s’ r’ P’
ed anche
s” r” P”
Stante questo rapporto, definito, concreto,costante e continuo tra gli stessi elementi rappresentativi della retta r e della retta s, si può dedurre che le due rette reali, collocate nello spazio fisico, sono anch'esse parallele.
La formalizzazione esplicativa può
essere così espressa:
P’
P’’
P r // s
r’ // s’
r’’ // s’’
Mentre e' possibile enunciare la seguente definizione geometrico-descrittiva:Se le omonime proiezioni di due rette distinte sono parallele,
allora, e solo allora, possiamo asserire che tali sono le rette reali
Ampliando la definizione con il concetto del punto improprio si ha la seguente forma sintetica:
r s P r//s
che possiamo enunciare nel modo seguente
Se le intersezioni delle omonime proiezioni di due rette distinte determinano le proiezioni di un punto improprio, allora, e solo allora, possiamo asserire che le due rette reali sono parallele
PARALLELISMO TRA RETTEINDAGINE ESPLICATIVA O DEDUTTIVA(2)(2)
Se la condizione geometrica deve essere imposta tra due o più rette, è necessario operare, nel corso dell’elaborazione, in modo tale che si verifichino le graficizzazioni di cui si è discusso prima. Pertanto, volendo costruire due rette parallele è necessario imporre che le omonime proiezioni siano tali. Avremo quindi, con riferimento ai caratteri geometrici, la seguente definizione:
Perché due, o più rette, siano parallele tra loro è necessario che tali siano le rispettive omonime proiezioni
Ampliando la ricerca con il concetto di punto improprio è necessario fare sì che le loro intersezioni determinino le proiezioni di un punto improprio. Conseguentemente possiamo esprimere la seguente formalizzazione impositiva o applicativa:
dove
dove
r" s”
r’ s’
r // s r s P
P’
P"
'R r'
'S s'
''R 'r'
''S 's'
dove gli elementi R ed S delle sommatorie individuano i punti dinamici che
muovendosi secondo una direzione assegnata generano le rette reali r ed
sLa definizione verbale può essere sintetizzata ed espressa nel modo seguente:
Perché due rette siano parallele è necessario che le rispettive intersezioni delle due proiezioni determinino le proiezioni di un punto improprio
Che, sinteticamente, in forma insiemistico-descrittiva può essere espressa nel modo seguente:
r // s [(r’ s’) P’; (r” s”) P’’]
Rett
a
r
Rett
a
s
Ele
mento
g
eom
etr
ico
CARATTERISTICHE DEGLI ELEMENTI GEOMETRICI PARALLELISMO TRA DUE RETTE
Did
asc
alia
ele
men
toD
idasc
alia
ele
men
to
rappre
senta
tivo
T1r 1a traccia Punto
RealeT2r 2a traccia Punto
Reale
Nom
encl
atu
ra
dell'
ele
mento
ra
ppre
senta
tivo
r’’
1a proiezione o
1a immagine Rett
aRett
a
Virtuale
Virtuale 2a proiezione
o2a immagine
r’
T1s 1a traccia Punto
RealeT2s 2a traccia Punto
Reale
s’’
1a proiezione o
1a immagine Retta
Retta
Virtuale
Virtuale 2a proiezione
o2a immagine
s’
Defin
izio
ne
geom
etr
ica
ele
men
to
rapp
rsenta
tivo
Defin
izio
ne fi
sica
d
ell'
ele
mento
ra
pp
rsen
tati
vo
Definizione grafica degli elementi geometrici
Relazione insiemistica sintetica delle leggi del parallelismo tra
rette
Formalizzazione esplicativa
Formalizzazione applicativa
r'//s'
r"//s"
r//s P
r//s
r' s'
r" s"
P'
P"
P
Seguono alcune esemplificazioni grafiche relative all’aspetto esplicativo del parallelismo tra rette diverse per tipologia e variamente collocate nello spazio dei diedri
Data la seguente formalizzazione esplicativa risolvere i quesiti a lato
r’’ // s’’ P’’
r’ // s’ P’
P
Dato Risultato
Poiché le estensioni di (a’, b’) e (a”, b”) generano rispettivamente P ’ , P ” si deduce che le due rette sono parallele perché la loro intersezione genera il punto improprio P
Spiegazione
Dato Risultato
P’P”
Le estensioni delle proiezioni generano due punti (P’ = a’ b’) e P” = a” b”) reali.Poiché i due punti non stanno sulla stessa retta di richiamo significa che non sono le proiezioni di un punto ma due punti reali e distinti.Si deduce, pertanto, che le due rette non sono parallele perché i punti determinati sono reali e non impropri.
Spiegazione
Dato Risultato
Le proiezioni a’ e b’ delle due rette orizzontali nel quarto diedro essendo parallele si intersecano nel punto P’ . Le proiezioni a” e b”, essendo coincidenti, non specificano alcun rapporto di parallelismo. Mancando la possibilità di identificare l’intersezione di a” e b” non è chiaro se le due proiezioni determinano un punto reale o un punto impropio. In questo caso ci si affida solo alle prime proiezioni per cui essendo P’ improprio si deduce che le due rette sono parallele.
Spiegazione
Dato Risultato
P”
P’
Anche se le proiezioni delle due rette si presentano graficamente parallele, le estensioni delle proiezioni generano due punti reali (P’ = a’ b’) e P” = a” b”).Poiché i due punti non stanno sulla stessa retta di richiamo significa che non sono le proiezioni di un punto ma due punti reali e distinti.Si deduce, pertanto, che le due rette non sono parallele perché i punti determinati sono reali e non impropri.
Spiegazione
Seguono alcune esemplificazioni grafiche relative all’aspetto applicativo del parallelismo tra rette diverse per tipologia e variamente collocate nello spazio dei diedri
Data la seguente formalizzazione esplicativa risolvere i quesiti a lato
Dato Risultato
r’//s’ P’
r”//s’’ P” r//s
b’
b”
T1bT2b
Data la collocazione del punto A(A’; A”) mentre (b’// a’) sono due proiezioni distinte, (b”//a”) sono due proiezioni oltre che parallele
anche coincidenti.Si è completata la definizione della retta b -retta generica nel quarto
diedro- anche con la definizione delle due tracce T1b e T2b.
Spiegazione
Dato Risultatoc’ c”
T1c
T2c
Considerando la collocazione e la tipologia del punto B (B’ B”) e le proiezioni della retta b (b’; b”), le proiezioni della retta c//b (c’//b’; c”//b”) si caratterizzano come due rette coincidenti passanti per il punto B (B’ B”) con le tracce coincidenti sulla lt.La retta c//b è, quindi, una retta generica incidente la lt.
Spiegazione
Dato Risultato
y’Y”
T1y
T2yx’
x”
T1x
T2x
Definite le proiezioni della retta y (y’; y”) passante per i due punti A(A’; A”) e B(B’; B”) si determinano le tracce che, analizzate, individuano y come una retta generica nel primo diedro.Applicando le condizioni di appartenenza e di parallelismo si conducono per C’ e C” due proiezioni della retta x tali che siano (x’//y’) e (x”//y”). La retta risultante è una retta generica nel terzo diedro come esplicitano le posizioni
spaziali delle relative tracce T1x e T2x.
Spiegazione
Dato Risultato
m’
m”
T1m T2m
T1n
T2n
n’
n”
La particolare tipologia dei punti X(X’X”) e Y(Y’ Y”) determina una retta avente le proiezioni coincidenti tale che m(m’m”). La rappresentazione di m si completa con le due tracce T1m e T2m coincidenti sulla lt.Applicando le condizioni di appartenenza e di parallelismo si conducono per A’ e A” due proiezioni della retta n tali che siano (n’//m’) e (n”//m”). La retta risultante è una retta generica nel terzo diedro.
Spiegazione
Esercizio Risoluzione
A’
r’
r”
T1r
T2r
s’
s”
T1s
T2s
r’
r”
T1 r
T2 r
B”
Esercizio Risoluzione
r’
r”
s’
s”
T1s
T1r
T2 r
T2 s
s’
s”
T1s T2sr’
r”
T1r
T2r
Esercizio Risoluzione
s’
s”
T1s
s’
s”
T1sT2s
T1rT2r
Esercizio Risoluzione
s’
s”
T1s
T2s
s’
s”
r’
r”
T1s
T2r
T1r
T2s
1. Dati i punti A(A'=4; A"=3), B(B'=6; B"=1), C(C'=1;C"=5) definire e rappresentare la retta x(A,B) quindi la retta (yC)//x.
2. Dati i punti X(X'=1;X"=2), Y(Y'=-2;Y"=4), Z(Z'=-3;Z"=-5), W(W'=2;W"=-1) definire e rappresentare quattro rette a//b//c//d ciascuna contenente un punto di quelli assegnati.3. Dati la seguente retta a(T1a=4; T2a=1) ed il seguente punto A(A'=1;A"=4) definire e rappresentare una retta (bA)// a.
4. Dati i punti D(D'=-3; D"=6), E(E'=6; E"=-3) definire e rappresentare la retta a(D,E), quindi, a scelta dell'allievo una qualsiasi retta b che sia b//a.
1. Data la retta r(T1r=3; T2r=8) definire e rappresentare una retta s collocata nel secondo diedro tale che sia s//r.
2. Data la retta a(T1a=3;T2a=7) e la retta b(T1b=-3), completare la rappresentazione della retta b facendo in modo che sia b//a.
3. Dati la retta a(T1a=0; T2a=0) ed un punto B(B'=-4; B"=-6)a, definire e rappresentare una retta b//a contenente il punto A(A'=6; A"=4).
4. Dati la retta r(T1r=-3;T2r=5) ed il punto A(A'=-6;A"=6), definire e rappresentare la retta (sA)//r
1. Definire e rappresentare le seguenti rette [(a//b//c)1+2
+] W I D
2. Definire e rappresentare le seguenti rette [(d//e//f)1-//2
+] W II D
3. Definire e rappresentare le seguenti rette [(g//h//i)//1-2
-] W III D
4. Definire e rappresentare le seguenti rette [(l//m//n)1+2
-] IV D
VALUTAZIONE DELLE ESERCITAZIONI GRAFICHEOgni elaborato è costituito da quattro esercizi che vengono, singolarmente, valutati secondo la seguente griglia
Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi)
Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.)
0,00 0,50 1,00
0,00 0,50 1,00
0,00 0,25 0,50
Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi)
Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi)
Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi)Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)
Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)
Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)
Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.)
Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.)
Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.)
Si riporta, di seguito, una griglia utilizzata per la valutazione sia test che delle esercitazioni grafiche sviluppate sotto forma di elaborati. Si considerano tre parametri fondamentali:
1)Conoscenze teoriche 2)Capacità logiche 3)Competenze grafiche
Elementi della valutazione
Valutazioni Punti
1
4
3
2
PUNTEGGIO TOTALE
0,00 0,50 1,000,00 0,50 1,00
0,00 0,25 0,50
0,00 0,50 1,00
0,00 0,50 1,00
0,00 0,25 0,50
0,00 0,50 1,00
0,00 0,50 1,00
0,00 0,25 0,50
2,50
2,50
2,50
2,50
10,00
Test Eserc.
Per maggiore completezza ed approfondimento degli argomenti si può consultare il seguente sito
http://www.webalice.it/eliofragassi
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