inf & sup di funzioni [teoria ed esericizi][santi caltabiano]
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Università Degli Studi di Reggio Calabria Facoltà Di Ingegneria
DOCUMENTO REDATTO DAL DOTT. S. Caltabiano
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)
Dott. S. Caltabiano 2
Definizione 1
Sia AR un insieme non vuoto. Se esiste un numero mA. tale che:
m a aA
diciamo che è il minimo per l’insieme A. Usualmente il minimo di A si denota con:
min(A):=m
Ovviamente il minimo se esiste è unico.
Se esiste un numero MA tale che:
a M aA
diciamo è il massimo per l’insieme A. Usualmente il massimo di A si denota con:
max(A):=M
Ovviamente il massimo se esiste è unico.
Definizione 2
Sia AR un insieme non vuoto. Diciamo che un numero hR. è un minorante per
l’insieme A se:
h a aA
Non è detto che ogni insieme ammetta minorante, ad esempio l’intervallo ]–,0[ non
ammette minorante.
Diciamo che un numero kR. è un maggiornate per l’insieme A se:
a k aA
Non è detto che ogni insieme ammetta maggiorante, ad esempio l’intervallo ]0,+[
non ammette maggiorante.
Definizione 3
Un sottoinsieme della retta reale, si dice limitato inferiormente se ammette almeno
un minorante.
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)
Dott. S. Caltabiano 3
Un sottoinsieme della retta reale, si dice limitato superiormente se ammette almeno
un maggiorante.
Un sottoinsieme della retta reale, si dice limitato se è limitato inferiormente e
superiormente.
Teorema 1
Se AR un insieme non vuoto
Ts: A è limitato se e solo se >0 t.c. a < aA
Teorema 2
Se AR un insieme limitato inferiormente (rispettivamente superiormente) e BA
Ts: B è limitato inferiormente (rispettivamente superiormente)
Definizione 4
Sia AR un insieme non vuoto. Se A è limitato inferiormente diciamo estremo
inferiore di A il numero:
e=max{hR : ha aA}
cioè e è il più grande dei minoranti. Usualmente l’estremo inferiore di A si denota
con la scrittura:
inf(A):= e
Ovviamente inf(A) è unico. Se l’insieme A ammette minimo, per l’unicità deve
necessariamente essere che inf(A)=min(A).
Se A è limitato superiormente diciamo estremo superiore di A il numero:
e =min{kR : ak aA}
cioè e è il più piccolo dei maggioranti. Usualmente l’estremo superiore di A si
denota con la scrittura:
sup(A):= e
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)
Dott. S. Caltabiano 4
Ovviamente sup(A) è unico. Se l’insieme A ammette massimo per l’unicità deve
necessariamente essere che sup(A)=max(A).
Negli esercizi inerenti inf e sup gio0cano un ruolo fondamentali, i seguenti
semplici risultati.
Teorema 3
Sia AR un insieme non vuoto limitato inferiormente
Ts: inf(A)=min(A) se e solo se inf(A)A
Teorema 4
Sia AR un insieme non vuoto limitato superiormente
Ts: sup(A)=max(A) se e solo se sup(A)A
Teorema 5
Sia AR un insieme non vuoto limitato inferiormente e sia s
Ts: s=inf(A) se e solo se
saas
A t.c. 0minoranteun è
Teorema 6
Sia AR un insieme non vuoto limitato superiormente e sia s
Ts: s =sup(A) se e solo se
saas
A t.c. 0emaggiorantun è
Teorema 7
Sia AR un insieme non vuoto
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Dott. S. Caltabiano 5
Ts: Valgono allora le seguenti due affermazioni:
(1) Se l’insieme A è limitato inferiormente allora –A è limitato superiormente e si ha
inf(A)=–sup(–A)
(2) Se l’insieme A è limitato superiormente allora –A è limitato inferiormente e si ha
sup(A)=–inf(–A)
Teorema 8
Sia AR un insieme non vuoto
Ts: Valgono allora le seguenti due affermazioni:
(1) Se A ammette minimo allora –A ammette massimo e si ha min(A)=–max(–A)
(2) Se A ammette massimo allora –A ammette minimo e si ha max(A)=–min(–A)
Teorema 9
Sia AR un sottoinsieme non vuoto; sia bR e sia c 0R ; e ricordiamo che B:=
b+A:={b+a : aA} e C:=cA:={ca : aA}
Ts: Valgono allora le seguenti due affermazioni:
(1) Se A è limitato inferiormente allora gli insiemi bA e cA sono limitati
inferiormente ed inoltre inf(b+A)=b+inf(A) e inf(cA)=c inf(A)
(2) Se A è limitato superiormente allora gli insiemi bA e cA sono limitati
superiormente ed inoltre sup(b+A)=b+sup(A) e sup(cA)=c sup(A)
Teorema 10
Sia AR un insieme non vuoto; sia bR; sia c 0R
Ts: Valgono allora le seguenti affermazioni:
(1) Se A ammette minimo allora gli insiemi b+A e cA ammettono minimo ed inoltre
min(b+A)=b+min(A) e min(cA)=c min(A)
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Dott. S. Caltabiano 6
(2) Se A ammette massimo allora gli insiemi b+A e cA ammettono massimo ed
inoltre max(b+A)=b+max(A) e max(cA)=c max(A)
Teorema 11
Siano A,BR due insiemi non vuoti. Ricordiamo che A+B:={a+b : aA e bB}
Ts: Valgono allora le seguenti affermazioni:
(1) Se A e B sono limitati inferiormente allora l’insieme A+B è limitato inferiormente
e si ha che inf(A+B)=inf(A)+inf(B)
(2) Se A e B sono limitati superiormente allora l’insieme A+B è limitato
superiormente e si ha che sup(A+B)=sup(A)+sup(B)
Teorema 12
Siano A,BR due insiemi non vuoti
Ts: Valgono allora le seguenti affermazioni:
(3) Se A e B ammettono minimo allora l’insieme A+B ammette minimo e si ha che
min(A+B)=min(A)+min(B)
(4) Se A e B ammettono massimo allora l’insieme A+B ammette massimo e si ha che
max(A+B)=max(A)+max(B)
Teorema 13
Sia AR un insieme non vuoto limitato inferiormente e sia hR un minorante di A
Ts: Se hA allora h=min(A)=inf(A)
Teorema 14
Sia AR un insieme non vuoto limitato superiormente e sia kR un maggiorante di A
Ts: Se kA allora k=max(A)=sup(A)
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Dott. S. Caltabiano 7
Esempio 1
Assegnato l’insieme:
A:=
nxNnRx 1 t.c. :
Determinare se l’insieme è limitato inferiormente, superiormente, in caso di risposta
affermativa trovare l’inf ed il sup e se esistono massimo e minimo.
Verifichiamo se l’insieme ammette maggiorante. Per fare ciò possiamo attribuire alla
n valori crescenti e vedere così l’andamento degli elementi di A:
1 ;21 ;
31 ;
41 ;
51 ; … ;
101
si intuisce che 1 è un maggiorante. Per verificare tale affermazione, dobbiamo
provare che:
n11 nN
ovvero che:
n1 nN
che è palesemente vera. Un altro metodo per la ricerca dei maggioranti è quello di
affidarsi alle maggiorazioni (quest’ultimo metodo nel caso considerato ci dice
immediatamente che 1 è un maggiorante). Abbiamo già osservato che 1 è un
maggiorante e quindi ci rimane da provare che per ogni fissato >0 esiste aA tale
che a>1– e questo per come è definito A e equivale a dimostrare che:
n*N t.c. *
1n
>1–
Se 1 allora 1–0 e di conseguenza basta scegliere un qualunque n*N. Se 0<<1
allora ambo i membri sono strettamente positivi e quindi possiamo passare ai
reciproci:
n*<1
1
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Dott. S. Caltabiano 8
poiché 1–<1 il secondo membro della precedente è >1 e di conseguenza basta
scegliere n*=1. In questo caso il ragionamento precedente poteva essere evitato,
infatti bastava osservare che per n=1 l’elemento corrispondente x=1/1=1 e quindi
1A e di conseguenza per il Teorema 14 max(A)=1.
Per quanto riguarda la ricerca dei minoranti di A, si può precedere come nel caso
precedente. Tuttavia si osserva che gli elementi di A sono strettamente positivi e di
conseguenza 0 è un minorante per l’insieme A. In questo caso 0A e quindi non
possiamo fare uso del Teorema 13. Verifichiamo se 0 è candidato ad essere l’estremo
inferiore, e per fare ciò adoperiamo il Teorema 5. Abbiamo già detto che 0 è un
minorante e quindi ci rimane da provare che per ogni fissato >0 esiste aA tale che
a<0+= e questo per come è definito A e equivale a dimostrare che:
n*N t.c. *
1n
<
Si isola n* e si ottiene:
n*>1
al secondo membro della disuguaglianza abbiamo una quantità positiva finita e quindi
basta scegliere un n*N più grande di tale quantità. Quindi 0 è l’estremo inferiore A.
Per il Teorema 3 A non ammette minimo.
Esempio 2
Assegnato l’insieme:
A:= 2 t.c. : 2 nxNnRx
Determinare se l’insieme è limitato inferiormente, superiormente, in caso di risposta
affermativa trovare l’inf ed il sup e se esistono massimo e minimo.
Verifichiamo se l’insieme ammette minorante. Osserviamo che:
–1=1–2n–2n2–2 nN
e pertanto –1 è un minorante per l’insieme A, inoltre per n=1 osserviamo che il
corrispondente elemento x=12–2=1–2=–1 e quindi segue dal Teorema 13 che –1 è il
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Dott. S. Caltabiano 9
minimo di A. Per vedere se A ammette maggiorante attribuiamo alla n valori
crescenti e vediamo così l’andamento degli elementi di A:
–1 ;2 ; 7 ; 14 ; 23 ; … ; 98
si intuisce che l’insieme A non è limitato e che quindi non ammette maggioranti. Per
verificare tale affermazione, dobbiamo provare che:
K>0 nN t.c. n2–2>K
Si isola n e si ottiene:
n> 2K
al secondo membro della disuguaglianza abbiamo una quantità positiva finita e quindi
basta scegliere un nN più grande di tale quantità.
Esempio 3
Assegnato l’insieme:
A:=
n
nxNnRx5
32 t.c. :
Determinare se l’insieme è limitato inferiormente, superiormente, in caso di risposta
affermativa trovare l’inf ed il sup e se esistono massimo e minimo.
Verifichiamo se l’insieme ammette maggiorante. Attribuendo valori crescenti alla n:
1 ; 107 ;
53 ;
2011 ; … ;
5023
si intuisce che 1 è un maggiorante di A. Per verificare che 1 è un maggiorante di A,
dobbiamo provare che:
15
32
n
n nN
Risolvendo:
15
32
n
n 2n+35n 33n n1
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Dott. S. Caltabiano 10
e quest’ultima evidentemente è vera per ogni nN. E pertanto 1 è un maggiorante per
A, ed inoltre per n=1 osserviamo che il corrispondente elemento x=1 e quindi segue
dal Teorema 14 che 1 è il massimo di A.
Ovviamente l’insieme A è limitato inferiormente poiché gli elementi di A sono
strettamente positivi e di conseguenza 0 è un minorante di A. Ma 0 non è l’inf, poiché
non è il più grande dei minoranti, infatti un altro minorante è dato da:
nn5
32 =52 +
n53
52 nN
Ci proponiamo di provare che 2/5 è l’estremo inferiore per A. Fissato un arbitrario
>0 dobbiamo provare che esiste un nN tale che:
nn5
32 <52 +
Risolvendo la disequazione rispetto alla n, si trova che:
n>5
3
al secondo membro della disuguaglianza abbiamo una quantità positiva finita e quindi
basta scegliere un nN più grande di tale quantità. Osserviamo che 2/5A e quindi
segue dal Teorema 3 che A non ammette minimo.
Facciamo osservare che lo studio degli estremi di A poteva essere semplificato
notevolmente. Infatti osserviamo che:
A:=
nxNnRx 1
53
52 t.c. : =
52 +
53 B
dove si è posto:
B:=
nxNnRx 1 t.c. :
Dall’Esempio 1, dal Teorema 9 segue che
inf(A)=52 +
53 inf(B)=
52 +
53 0=
52
Analogamente dall’Esempio 1, dal Teorema 10 segue che
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Dott. S. Caltabiano 11
max(A)=52 +
53 max(B)=
52 +
53 1=
52 +
53 =
52 +
53 =1
in accordo con quanto suddetto.
Esempio 4
Assegnato l’insieme:
A:=
n
nxNnRx 1 t.c. :
Determinare se l’insieme è limitato inferiormente, superiormente, in caso di risposta
affermativa trovare l’inf ed il sup e se esistono massimo e minimo.
Osserviamo che:
A:=
nxNnRx 11 t.c. : =1–B
dove si è posto:
B:=
nxNnRx 1 t.c. :
Per l’Esempio 1, per il Teorema 8, per il Teorema 10 segue che:
min(A)=min(1–B)=1+min(–B)=1–max(B)=1–1=0
Per l’Esempio 1, per il Teorema 7, per il Teorema 9 segue che:
sup(A)=sup(1–B)=1+sup(–B)=1–inf(B)=1–0=1
Esempio 5
Assegnato l’insieme:
A:=
nnxNnRx 1 t.c. :
Determinare se l’insieme è limitato inferiormente, superiormente, in caso di risposta
affermativa trovare l’inf ed il sup e se esistono massimo e minimo.
Attribuendo valori alla n si intuisce che 2 è un minorante per A. Per verificare tale
affermazione dobbiamo provare che:
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Dott. S. Caltabiano 12
nn 1 2 nN
Risolviamo rispetto ad n e dimostriamo che la suddetta disequazione vale per ogni
nN:
nn 1 2 n2–2n+10
e quindi:
n= 111 =1
e quindi la disequazione è soddisfatta per nN come volevasi. E pertanto 2 è un
minorante per l’insieme A, inoltre per n=1 osserviamo che il corrispondente
elemento x=2 e quindi segue dal Teorema 13 che 2 è il minimo di A.
Osserviamo adesso che:
nn 1 >n nN
e questo evidentemente ci dice che l’insieme A non è limitato superiormente.
Esempio 6
Assegnato l’insieme:
A:=
n
nxNnRx n 1)1( t.c. :
Determinare se l’insieme è limitato inferiormente, superiormente, in caso di risposta
affermativa trovare l’inf ed il sup e se esistono massimo e minimo.
Osserviamo che:
nnn 1)1(
=n
n 1 =n11 1 nN
e quindi segue dal Teorema 1 che l’insieme A è limitato. Esplicitando il modulo nella
disuguaglianza precedente otteniamo:
–1n
nn 1)1( 1 nN
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Dott. S. Caltabiano 13
e quindi –1 e 1 sono rispettivamente un minorante ed un maggiorante di A. Vogliamo
provare che 1 è l’estremo superiore per A. Fissato un arbitrario >0 dobbiamo
provare che:
nN t.c. n
nn 1)1( >1–
Consideriamo gli n pari e quindi:
nn 1 >1– n–1>n–n –1>–n 1<n n>1/
e quindi basta scegliere un n pari più grande di 1/. Si osserva che al variare di n
1=sup(A)A e di conseguenza per il Teorema 4 l’insieme A non ammette massimo.
Vogliamo provare adesso che –1 è l’estremo inferiore per A. Fissato un arbitrario >0
dobbiamo provare che:
nN t.c. n
nn 1)1( <1+
Consideriamo gli n dispari e quindi:
–n
n 1 <1+ –(n–1)<n+n –n+1<n+n 1<n(+2) n>1/(+2)
e quindi basta scegliere un n dispari più grande di 1/(+2). Si osserva che al variare di
n–1=inf(A)A e di conseguenza per il Teorema 3 l’insieme A non ammette minimo.
Esempio 7
Assegnato l’insieme:
A:= 2 t.c. : [77,90] 2 nxNnx
Determinare se l’insieme è limitato.
Poiché A]–90,77[ segue allora dal Teorema 2 che A è limitato.
Esempio 8
Assegnato l’insieme:
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Dott. S. Caltabiano 14
A:=
nm
nmxNmnRx 23 t.c., :
Determinare se l’insieme è limitato inferiormente, superiormente, in caso di risposta
affermativa trovare l’inf ed il sup.
Osserviamo che:
A:=
mnxNnRx 23 t.c. : =3B–2C
dove si è posto:
B:=
nxNnRx 1 t.c. : e C:=
mxNmRx 1 t.c. :
Per l’Esempio 1, per il Teorema 11, per il Teorema 9, per il Teorema 7 segue che:
inf(A)=inf(3B–2C)= inf(3B)+ inf(–2C)=3inf(B)+2inf(–C)=
=3inf(B)–2sup(C)=30–21=–2
Per l’Esempio 1, per il Teorema 11, per il Teorema 9, per il Teorema 7 segue che:
sup(A)=sup(3B–2C)= sup(3B)+sup(–2C)=3sup(B)+2sup(–C)=
=3sup(B)–2inf(C)=31–20=3
Esempio 9
Assegnato l’insieme:
A:=
2
2
213 t.c. :
nnxNnRx
Determinare se l’insieme è limitato inferiormente, superiormente, in caso di risposta
affermativa trovare l’inf ed il sup e se esistono massimo e minimo.
Osserviamo che:
A=
22
123 t.c. :
nxNnRx =
23 –
21 B
Dove si è posto:
B:=
2
1 t.c. : n
xNnRx
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Dott. S. Caltabiano 15
Procedendo come nei casi precedenti si trova che inf(B)=0 e max(B)=1. Per il
Teorema 9, per il Teorema 7 segue che:
inf(A)=
B
21
23inf =
23 +
21 inf(–B)=
23 –
21 sup(B)=
23 –
21 max(B)=
23 –
21 =1
Per il Teorema 9, per il Teorema 7 segue che:
sup(A)=
B
21
23sup =
23 +
21 sup(–B)=
23 –
21 inf(B)=
23 –
210=
23
Esercizi
Determinare se i seguenti insiemi sono limitati inferiormente, superiormente, ed in
caso di risposta affermativa trovare l’inf ed il sup e se esistono massimo e minimo.
(1)
n
nxNnRx n
223)1( t.c. :
(2)
nxNnRx 1 t.c. :
(3) N
nxNnRx 1 t.c. :
(4) 1022 t.c. : 2 nnxNnRx
(5) 35 t.c. : 2 nnxNnRx
(6)
21 t.c.[,2] :
ttxtRx
(7) 13 t.c. : 2 nnxNnRx
(8)
nsinxNnRx
8 t.c. :
(9) razionale è : 2xRx
(10)
n
xNnRxn)1( t.c. :
(11) yxyyRyRx e 2 t.c. : 2
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