infÖr nationella provet

INFÖR NATIONELLA PROVET

NpMa2b Muntlig del vt 2012

NpMa2b Muntlig del vt 2012

NpMa2b Muntlig del vt 2012

NpMa2b Muntlig del vt 2012

MATMAT02b – UPPGIFT 0

bb

bbbbb

Förenkla så långt som möjligt

b

b

2

52

5

5,2

MATMAT02b – UPPGIFT 1

KONTROLLERA DITT SVAR!

MATMAT02b – UPPGIFT 1

MATMAT02b – UPPGIFT 2

3

42

3

3

x

MATMAT02b – UPPGIFT 2

3

42

3

3

x

KONTROLLERA DITT SVAR!

MATMAT02b – UPPGIFT 3

MATMAT02b – UPPGIFT 3

MATMAT02b – UPPGIFT 4

MATMAT02b – UPPGIFT 4

MATMAT02b – UPPGIFT 4

MATMAT02b – UPPGIFT 5

222 2)( bababa Andra kvadreringsregeln:

MATMAT02b – UPPGIFT 6

54 xy)1,1(

4

1

MATMAT02b – UPPGIFT 7

MATMAT02b – UPPGIFT 7

MATMAT02b – UPPGIFT 8

MATMAT02b – UPPGIFT 8

(Transversalsatsen)

MATMAT02b – UPPGIFT 8

MATMAT02b – UPPGIFT 9

RÄTT!3 6

2

x

x

Vid multiplikation och division med negativt tal (ex. -2) måste manvända på olikhetstecknet

MATMAT02b – UPPGIFT 10

x 104144

x = 104 - 144

40 = x

MATMAT02b – UPPGIFT 10

yxz YTTERVINKELSATSEN

MATMAT02b – UPPGIFT 10

180

180

z

x

v

vy

YTTERVINKELSATSEN

v

yxz

MATMAT02b – UPPGIFT 11

MATMAT02b – UPPGIFT 11m = 3

k = -2

y = -2x + 3

Hur ser man att k = -2 ?

MATMAT02b – UPPGIFT 12

- 4

43 xy31

MATMAT02b – UPPGIFT 12

MATMAT02b – UPPGIFT 13

MATMAT02b – UPPGIFT 13

63

2 xy

6y4 xy

MATMAT02b – UPPGIFT 14

MATMAT02b – UPPGIFT 15

- 4

43 xy

VAD HETER DENNA LINJE?

MATMAT02b – UPPGIFT 15

- 4

43 xy

VILKET FÖRHÅLLANDE RÅDER MELLAN Y OCH X?

MATMAT02b – UPPGIFT 15

- 4

43 xy

HUR BEROR Y AV X?

MATMAT02b – UPPGIFT 16

4a

MATMAT02b – UPPGIFT 17

20°

20°70°

Vinkeln A = 70°

Vinkeln B = (30 + 20)° = 50°Vinkeln C = 180° - (70 + 50)° = 180° - 120° = 60°

MATMAT02b – UPPGIFT 17

Vinkeln A = 70°

Vinkeln B = (30 + 20)° = 50°Vinkeln C = 180° - (70 + 50)° = 180° - 120° = 60°

70°

50°

60°

MATMAT02b – UPPGIFT 18

24

OBS!

MATMAT02b – UPPGIFT 18

Hur mycket är y?

Punktens koordinater är 10,7;21,4

MATMAT02b – UPPGIFT 19

MATMAT02b – UPPGIFT 20

MATMAT02b – UPPGIFT 21

32 xy

3)4(2 y38y

11y

MATMAT02b – UPPGIFT 22

290

2

180 vvp

xp 90

xv

2

2 22

vx

xv 2MÅSTE VARA SAMMA TAL

MATMAT02b – UPPGIFT 22

Glenys Minier, 2014-05-06

18090 180

2

vx

18090 180 0

2

vx

90 180 90 02

vx

02

vx

2

vx

22

2v

x

2x v v.s.v

Alternativ lösning

MATMAT02b – UPPGIFT 23

222 2)( bababa 222 2)( bababa

KVADRERINGSREGLERNA

MATMAT02b – UPPGIFT 23

222 2)( bababa KVADRERINGSREGLERNA

MATMAT02b – UPPGIFT 24

22))(( bababa

KONJUGATREGELN

MATMAT02b – UPPGIFT 25

MATMAT02b – UPPGIFT 25

36

1

6

1

6

1

ETTA - ETTA

36

1

6

1

6

1

TVÅA - ETTA

36

1

6

1

6

1

ETTA - TVÅA

12

1

36

3

12

1)a

11)1(11 )b 91)10(1

jämför

MATMAT02b – UPPGIFT 26En tråd som är 48 cm böjs till en rektangel.

a) Den ena sidan är x cm. Skriv ett uttryck för den andra sidan.

•Hela omkretsen är 48 cm.•Halva omkretsen är 24 cm.•Om ena sidan är x cm, så är den andra sidan…•… (24 – x) cm

(24 – x)

MATMAT02b – UPPGIFT 26En tråd som är 48 cm böjs till en rektangel.

b) Skriv ett uttryck för arean y cm².

(24 – x)

)24( xxy 224 xxy

Sidan × sidan

MATMAT02b – UPPGIFT 26En tråd som är 48 cm böjs till en rektangel.

c) För vilka värden på x är y = 0?

(24 – x)

024 2 xx

0)24( xx

01 x242 x

”Nollproduktmetoden”

d) För vilket värde på x är y störst?

12x

MATMAT02b – UPPGIFT 26En tråd som är 48 cm böjs till en rektangel.

e) Vilken är den största arean?

(24 – x)

144144288121224 2 Största arean är 144 cm²

224 xxy

MATMAT02b – UPPGIFT 26En tråd som är 48 cm böjs till en rektangel.

f) Vilka värden på x är möjliga?

(24 – x)

240 x

MATMAT02b – UPPGIFT 26En tråd som är 48 cm böjs till en rektangel.

(24 – x)

01 x 242 x12symx

144max y

6

12

224 xxy

MATMAT02b – UPPGIFT 27VAD HETER DENNA LINJE?

MATMAT02b – UPPGIFT 28VAD HETER DENNA LINJE?

EXPONENTIALFUNKTIONER

xaCxf )(

C är ”startvärde”a är förändringsfaktorx kan exempelvis vara tid i år

Bok 3bc, sidan 132

EXPONENTIALFUNKTIONERxaCxf )(

Fråga:En stad har folkmängden 50 000 invånare. Folkmängden förväntas öka med 2% varje år. Hur många bor det i staden efter 10 år?

1002,150000y

Lösning:

Vi sätter folkmängden efter 10 år till y och får då:

1,2250000y61000y

Svar:Om 10 år är folkmängden 61 000.

C är ”startvärde”a är förändringsfaktorx kan exempelvis vara tid i år

EXPONENTIALFUNKTIONERxaCxf )(

Fråga:En stad har folkmängden 50 000 invånare. Folkmängden förväntas minska med 2% varje år. Hur många bor det i staden efter 10 år?

1098,050000y

Lösning:

Vi sätter folkmängden efter 10 år till y och får då:

0,8170...50000y444...40853,6403y

Svar:Om 10 år är folkmängden c:a 41 000.

C är ”startvärde”a är förändringsfaktorx kan exempelvis vara tid i år

Exponentialfunktioner

xaCxf )( xxf 7,05)( Vad vet vi om C?

Vad vet vi om a?

Exponentialfunktioner

xaCxf )( xxf 2,11)( Vad vet vi om C?

Vad vet vi om a?

Exponentialfunktionerxxf 2,1)(

PARALLELLA LINJER

66

Vad heter dessa linjer?

2 5y x 2y x

VINKELRÄTA LINJER

12

1 xy

12 xy

Om man multiplicerar k-värdena för två vinkelräta linjer får man alltid produkten -1

1)2

1(2

67

LINJÄRA EKVATIONSSYSTEMY=2x+2

Y=-x-1

VAD MENAS MED EN LÖSNING?Svar: x = -1, y = 0

•

68

LINJÄRA EKVATIONSSYSTEMY=2x+2

Y=-x-1

•

1

22

xy

xy

0

1

y

x

69

1

22

xy

xy

0

1

y

x

Vi testar om lösningen är exakt:

02)1(2 Första ekvationen

01)1( Andra ekvationen

Det stämmer! Hurra!

Om lösningen stämmer i båda ekvationerna så är lösningen exakt.

70

LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM

71

LINJÄRA EKVATIONSSYSTEMf(x)=2x-3

f(x)=-x+3

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

72

LINJÄRA EKVATIONSSYSTEMf(x)=2x+6

f(x)=-x+3

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

73

LINJÄRA EKVATIONSSYSTEMf(x)=x-7

f(x)=-x+3

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y

Logaritmer

Logaritmer

710 x”x är 10-logaritmen för 7”

58 x”x är 8-logaritmen för 5”

Logaritmer

710 7lg 710 x845,07lg

710 845,0 Enligt räknaren…

Logaritmer

(1) lg 3 4 lg3 lg 4 (1) lg(3×4) = 1,07918124605 --- lg(3)+lg(4) = 1,07918124605 [test]

(2) 3lg4lg)3/4lg( (2) lg(4/3) = 0,124938736608 --- lg(4)-lg(3) = 0,124938736608 [test]

(3) 3lg43lg 4 (3) lg(3^4) = 1,90848501888 --- 4×lg(3) = 1,90848501888 [test]

Logaritmlagar

5lg35lg 3

Exempel:

TESTA!

Logaritmlagar

3lg5lg)35lg(

Exempel:

TESTA!

Logaritmlagar

3lg5lg3

5lg

Exempel:

TESTA!

Logaritmer med olika baser

8134 81log4 34 är 3-logaritmen för 81

4 är den exponent till 3 som ger 814 är vad 3 skall upphöjas till för att ge svaret 81

7 17x Logariter – ett exempel

7g 7 1l lgx lg 7 lg17x

lg 7

lg 7 l

lg 7

g17x

lg 7

lg 7 l

lg 7

g17x

lg1

g 7

7

lx

1, 45598364109...x På räknaren: lg(17)/lg(7) = 1,45598364109

Logaritmer – ett exempel

Logaritmer – ett exempel

lg17 17Är och lg samma sak?

lg 7 7x

Hur kan man kontrollera det?

Negativ exponent

Youtube - Negativ exponent

Negativ exponent

310 = 1000

210 = 100

110 = 10

010 = 1

11

110 = 0,1

10

22

1 110 = 0,01

10 100

33

1 110 = 0,001

10 1000

Typvärde

Typvärde (kallas även modalvärde) i ett statistiskt datamaterial det värde som förekommer flest gånger.

Medelvärde

Ett medelvärde är ett värde som används för att representera ett genomsnitt för en mängd värden.

1,67

8749852

M

På räknaren slår man (2+5+8+9+4+7+8)/7 = 6,14285714286…

MEDIAN

Medianen är det tal i en mängd som storleksmässigt ligger i mitten. Av talen

1, 7, 9, 10 och 17 är

9 medianen (medan 8,8 är medelvärdet). För mängder med ett jämnt antal tal definieras medianen som medelvärdet av de två tal som ligger i mitten.

MEDIANFöljande värden är givna:

6 7 0 4 127 18 2 2

Bestäm medianen

4 2 0 2 6 7 7 12 18

Svar: Medianen till dessa tal är 6

MEDIANFöljande värden är givna:

7 0 4 127 18 2 2

Bestäm medianen

4 2 0 2 7 7 12 18

Svar: Medianen till dessa tal är 4,5

5,42

72

4,5?

Variationsbredd

Variationsbredd är:”Det största värdet minus det minsta värdet.”

Exempel:Värden: 10, 12, 15, 15, 17, 18, 20, 21, 21, 23, 30 och 39.Variationsbredd: 39 – 10 = 29

Lådagram

Lådagram, låddiagram eller boxplot är ett diagram där ett statistiskt material åskådliggörs i form av en låda, som rymmer den mittersta hälften av materialet.

25%25% 25%

25%

Lägst

a v

ärd

e

Hög

sta v

ärd

e

Med

ian

Ned

re

kvart

il

Övre

kvart

il

1Q 3Q

Lådagram – ett exempel

Exempel på ett lådagram, som visar åldern på tolv personer som är 10, 12, 15, 15, 17, 18, 20, 21, 21, 23, 30 och 39 år gamla:Q1 = 15, Q2 = 19 (median) & Q3 = 22

Lådagram – ett exempel

Dilbar Keram, 2014-12-16

STANDARDAVVIKELSEProvresultat: 78p, 78p, 68p, 35p, 80p, 74p & 21p

78 78 68 35 80 74 2162

7x

Medelvärde

(78+78+68+35+80+74+21)/7 = 62På räknaren:78-62 =

1678-62 =

1668-62 =

635-62 =

-2780-62 =

1874-62 =

1221-62 =

-41

(16)² = 256(16)² = 256(6)² = 36(-27)² = 729(18)² = 324(12)² = 144(-41)² = 1681

256+256+36+729+324+144+1681 = 3426

3426/(7-1) = 571

571 23,9 23,9

STANDARDAVVIKELSE

1. Beräkna medelvärdet2. Beräkna differensen mellan alla värden och medelvärdet3. Kvadrera alla svar i (2)4. Summera alla svar i (3)5. Dividera summan i (4) med 1 mindre än antalet värden6. Dra roten ur…

Nu har du standardavvikelsen…

Från formelbladet:

STANDARDAVVIKELSE

1. Beräkna medelvärdet2. Beräkna differensen mellan alla värden och medelvärdet3. Kvadrera alla svar i (2)4. Summera alla svar i (3)5. Dividera summan i (4) med 1 mindre än antalet värden6. Dra roten ur…

Nu har du standardavvikelsen…

Vilken är standardavvikelsen till följande talmängd?

12, 19, 22, 17, 14, 23 & 20

4,059087395... 4,1

STANDARDAVVIKELSE

2 2 2 2 2 2 2(78 62) (78 62) (68 62) (35 62) (80 62) (74 62) (21 62)

(7 1)

2 2 2 21 2 3( ) ( ) ( ) ... ( )

1nx x x x x x x x

n

23,9

2

1

( )

1

n

kk

x x

n

I formelsamlingen ser standardavvikelsen ut så här

Provresultat: 78p, 78p, 68p, 35p, 80p, 74p & 21p

Normalfördelning

μ = medelvärde, σ = standardavvikelse

= medelvärde, s = standardavvikelsex

MODELLERING – ETT EXEMPEL

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y

MODELLERING – ETT EXEMPEL

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

x

y