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Il 24° problema della Matematica –
Comunicare: cosa, come, perché
Liceo Salvemini – Bari 2017
Insegnare per domande Dino Caroppo – Liceo Classico O. Flacco - Bari
Il quadro orario del Liceo Classico
Ordinamento I II III IV V
Matematica 3 3 2 2 2
Fisica - - 2 2 2
Internazionale
4-ennale I II III IV
Matematica 4 3 2 3
Fisica - 2 2 2
D. Caroppo - Mathesis Bari 2017
2
La matematica nel liceo classico …
Cosa: resistere all’accerchiamento
Come: con rispetto ma fermamente
Perché: verità storica e meriti culturali
filosofo
D. Caroppo - Mathesis Bari 2017
3
Che cos’è la matematica, Courant - Robbins
Prefazione alla I edizione, 1941: questione annosa
D. Caroppo - Mathesis Bari 2017
4
Due strade, spesso parallele, due modi e due mondi,
che noi sappiamo costituire un sapere organico,
analitico e sintetico, unico e unificante:
“sporcarsi le mani”
“volare alto”
(accettare una sfida culturale)
Come resistere D. Caroppo - Mathesis Bari 2017
5
Armonizzare
matematica funzionale
matematica sistematica
Applicazione: come risolvere uno
specifico problema?
Astrazione: come si risolve
un’equazione/come si effettua un
calcolo simbolico?
Distorsione: manca una
visione d’insieme, unificante
Distorsione: manca un
significato, una “vita”, un
messaggio
D. Caroppo - Mathesis Bari 2017
6
Un pericoloso equivoco
L’insegnamento della matematica è – de plano, ovviamente,
automaticamente – un insegnamento per problemi: i libri di
matematica sono pieni di “problemi” da risolvere …
??? Ma … neanche la sola matematica utile (finalizzata alla
esclusiva soluzione di problemi reali – “troppe persone
pensano di essere le sole a vivere nel mondo reale”*). Ecco
perché: funzionale (nel senso di efficace, anche ad uso
“interno” della matematica)
Contratto didattico …
(*) Ian Stewart, Dio gioca a dadi?, Bollati Boringhieri 2010
D. Caroppo - Mathesis Bari 2017
7
Ciclo virtuoso: bilanciare globi e frecce
Problema in un
contesto
Problema matematico
Soluzione matematica
Risultati nel
contesto
Applicare
! Verificare Formulare
!
Interpretare !
Ciclo di matematizzazione
OCSE PISA
G. Polya, How to solve it, 1945:
Comprendi – Progetta –
Applica – Controlla
D. Caroppo - Mathesis Bari 2017
8
A proposito di modello matematico *
Il procedimento di modellizzazione matematica viene incapsulato in un
diagramma a blocchi (Burkhardt) o di flusso (Mc Lone – con tanto di start
e stop! – come se il cervello umano fosse una macchina)
Invece:
Malinvaud:
Un modello matematico è la rappresentazione formale di idee o conoscenze relative ad un
fenomeno
von Neumann:
Le scienze non cercano di spiegare, a malapena tentano di interpretare, ma fanno soprattutto
dei modelli. Per modello si intende un costrutto matematico che, con l’aggiunta di certe
interpretazioni verbali, descrive dei fenomeni osservati […] ci si aspetta che funzioni –
cioè descriva correttamente i fenomeni in un’area ragionevolmente ampia
* G. Israel, Modelli matematici, Muzzio 2009
D. Caroppo - Mathesis Bari 2017
9
Una risposta e qualche dubbio …
Possibile approccio: io insegno matematica, quindi fornisco tecniche e
procedure (e teoremi, risultati consolidati, etc.), a prescindere. Le altre
discipline forniranno il contesto cui applicarle significativamente
MA …
• In quel momento gli alunni saranno pronti?
• Sapranno automaticamente convertire conoscenze in competenze?
• Non significa rinunciare anche ad una dimensione storica?
• Riusciremmo a trasmettere il “mistero” della matematica, quello che
Wigner definì “la irragionevole efficacia della matematica nella
descrizione del mondo fisico”?
Però: attenzione ad una contestualizzazione a tutti i
costi che rischia di renderla fittizia, inutile, confusa
D. Caroppo - Mathesis Bari 2017
10
Contestualizzazione … a tutti i costi?
• Non fittizia, non forzata, utile alla comprensione del “fatto”
• Bene se è “storica”
• Ci deve essere una preparazione, un’abitudine
D. Caroppo - Mathesis Bari 2017
11
I momenti “tranquilli”
Non c’è alcuna piaggeria: quanti alunni preferirebbero la cara vecchia
“espressione”, il caro problema di geometria con la richiesta di un
volume o di un bel peso specifico (di cui spesso mancano le unità di
misura nei risultati dei libri…), dove la strada è segnata e l’unica
“insidia” è l’errore di calcolo/applicazione!
Beninteso, il momento “tranquillizzante” non deve mancare in assoluto,
serve anche ad acquisire sicurezza e padronanza procedurale
… E la ricerca delle competenze non deve diventare una tirannia né
trasformarsi in mero addestramento o una scorciatoia (“questo è tutto
quel che ti serve” …)
Ritorna il contratto didattico …
D. Caroppo - Mathesis Bari 2017
12
La conoscenza non nasce assertiva …
Numeri decimali, approssimazioni, stime … “sporcarsi le mani”
Domande (è sempre vero che ..., è sempre possibile …, cosa accade se …)
Controesempio, congettura, … generalizzazione
“Esperimenti” di matematica: esplorazioni (software avanzati, ma anche calcolatrice)
D. Caroppo - Mathesis Bari 2017
13
Domande …
• Quant’è, più o meno, 17/8 ?
• Dato il numero a, quale fra i numeri a e – a è negativo?
• Cosa si intende per |a|?
Limitiamoci a numeri positivi.
• Moltiplicando fra loro due numeri, si ottiene sempre un numero
maggiore di entrambi?
• Cosa succede aumentando l’esponente di una potenza? Il
risultato aumenta?
• Il quadrato di un numero è maggiore del numero stesso?
E la radice quadrata?
D. Caroppo - Mathesis Bari 2017
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… e risposte
L’osservazione durante l’attesa fornisce anche indicazioni sugli stili
cognitivi
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6
registro tabellare, grafico, funzionale
analisi dei grafici: questioni di concavità
x x^2 sqrt(x)
0,0 0,00 0,0000
0,1 0,01 0,3162
0,2 0,04 0,4472
0,3 0,09 0,5477
0,4 0,16 0,6325
0,5 0,25 0,7071
0,6 0,36 0,7746
0,7 0,49 0,8367
0,8 0,64 0,8944
0,9 0,81 0,9487
1,0 1,00 1,0000
1,1 1,21 1,0488
1,2 1,44 1,0954
1,3 1,69 1,1402
1,4 1,96 1,1832
1,5 2,25 1,2247
D. Caroppo - Mathesis Bari 2017
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La rimozione del pensiero proporzionale è per l’alunna/o un vero e proprio
cambiamento di paradigma
Abbiamo visto funzioni che crescono, ma crescono sempre meno o sempre più …
Il pensiero proporzionale/lineare
OCSE PISA,
La crescita
D. Caroppo - Mathesis Bari 2017
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Competenza nelle trasformazioni
di un grafico: saranno l’una
l’inversa dell’altra!
• Differenze prime e seconde …
• Tassi di crescita, rapporti incrementali …
Cosa è l’inflazione? Se scende, i prezzi diminuiscono? (Financial literacy – PISA)
• Esiste una funzione che più e grande, più velocemente cresce?
E una che, pur crescendo, cresce “molto lentamente”?
Come cresce? D. Caroppo - Mathesis Bari 2017
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Contestualizzazioni significanti
1. Può esistere un uomo alto dieci metri (mantenendo le proporzioni)?
2. Quanto tempo per cuocere un tacchino?
Tacchino = circa 1.5 polli; ma il tempo di cottura scala con la superficie …
3. Il sacco di Galileo
lungo quale lato arrotolare un “foglio” di iuta rettangolare per ottenere un sacco
con maggior volume interno? - Problema elementare di massimo
4. Leggi di scala in biologia , esponenti (negativi) da
stimare (*) … A che serve una scala bi-logaritmica?
5. Cosa succederebbe se l’orecchio umano non fosse “logaritmico”?
(legge di Weber-Fechner: uno stimolo doppio non produce sensazione
doppia)
(*) Densità di popolazione d vs dimensione lineare tipica l
Frequenza cardiaca mammiferi f vs massa corporea tipica m
lcd mcf
Gruppo di rinormalizzazione
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Approssimare un funzione
Hai scoperto che
Ora, qual è la più semplice funzione che approssima sin x
nei pressi dell’origine?
1sin
lim0
x
x
x
Vietato “leggere” che
“vicino a 0” ? 1
sin
x
x
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Approssimare un funzione
Fin dove va bene?
E se volessimo migliorarla?
E se l’angolo non fosse in radianti?
Qual è la parità della funzione seno?
D. Caroppo - Mathesis Bari 2017
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Quale funzione potrebbe approssimare cos x nei pressi dell’origine?
A quale funzione “assomiglia” la funzione coseno nei pressi
dell’origine?
Qual è la parità del cos?
A quale limite si può far riferimento?
? No
Sì
• Dare dignità al ≈, ~
• Intuizioni
• Procedimenti euristici
Approssimare un funzione
2
1cos1lim
20
x
x
x
0cos1
lim0
x
x
x
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Cosa, come, perché
Torniamo all’inizio …
Non è la conoscenza, ma l’atto dell’apprendimento, e non il possesso, ma l’atto di arrivare fino alla meta, che ci garantisce il maggior godimento – K. F. Gauss
E allora il “come” può diventare una guida anche per il “cosa”: chi
apprende deve poter cogliere il senso della costruzione, oltre che del
risultato
Riflessione: Fisica Moderna (quantistica) …
descrittiva, qualitativa
La natura della disciplina non viene snaturata?
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Radici razionali → numeri algebrici → numeri trascendenti
… quanti “livelli” di infinito in matematica!
Densità di lettura: da segue una marea di cose (medie
aritmetica/geometrica; problema di max/min: già nei primi anni …)
Cambiamenti di paradigma (fisica & …)
Modello “giocattolo” comportamento semplice
Accettare la sfida
02
yx
Sistemi dinamici discreti
Iterazione di mappe 1D ad un parametro
Punto fisso e analisi di stabilità:
1)( 0 xf
D. Caroppo - Mathesis Bari 2017
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“A che serve”?
A questa fatale domanda si risponde, spesso, facendo notare che senza
la matematica il mondo sarebbe diverso (ricadute tecnologiche)
Accettare la sfida, ancora:
la matematica ha prodotto anche arricchimenti semantici, quando non
vere e proprie metafore (ricadute culturali) *
Non ce l’ho fatta per un epsilon, Vive in un intorno della parrocchia, Al primo
ordine – in prima approssimazione – direi che, Effetto farfalla, …
E poi:
processo iterativo, meccanicismo, determinismo, mondo-orologio,
causalità, incertezza, complessità, probabilità ontologica, …
avrebbero lo stesso significato senza la matematica e la fisica?
* L. Colletti, L’insegnamento umanistico della Fisica, La fisica nella scuola, suppl.to a n. 2/2016
D. Caroppo - Mathesis Bari 2017
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