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INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
419 damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
INTEGRALES DE LAS FUNCIONES RACIONALES.
Si está definida de la forma:( )( ) ; ( ) ( )( )
f xq x donde f x y g xg x
= son polinomios
entonces se dice que es una función racional.
Teóricamente cualquier expresión racional ( )( )( )
f xq xg x
= , se puede expresar como una
suma de expresiones racionales cuyos denominadores son potencias de polinomios de
grado menor o igual que 2. Concretamente, puede demostrarse que si ( )( )
f xg x , son
polinomios y el grado de f x( ) es menor que el de g x( ) , entonces:
2
( ) ( ); :( ) ( ) ( ) ( )
+= =
+ + +m n
f x A f x Ax Bo tambiéng x px q g x ax bx c
A y B son números reales, m y n son enteros no negativos y es irreducible,
(polinomio cuadrático que no tiene ceros reales; es decir, ). En este caso,
no se puede expresar como un producto de dos polinomios de primer grado.
Guía para obtener la descomposición en fracciones parciales de ( )( )
f xg x
Pueden ocurrir tres casos: 1) grado ( )f x (numerador) > ( )g x grado (denominador) 2) grado ( )f x = grado ( )g x 3) grado ( )f x < ( )g x Para los casos 1 y 2, hay que dividir un polinomio entre el otro hasta llegar a la forma apropiada, se hace uso de la siguiente propiedad:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( )
⎡ ⎤⇒ = + ⇒ = +⎢ ⎥
⎣ ⎦
= +∫ ∫ ∫
f x g x r x f x r xf x g x c x c xg x g x g xr x c x
f x r xdx c x dx dxg x g x
2a bx c+ +2 4 0b a c− <
2a bx c+ +
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EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
420 damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
Donde la integral ( )c x dx∫ es inmediata y en la integral ( )( )
r x dxg x∫ , (más sencilla de
resolver), ( )r x es un polinomio de menor grado que ( )g x y por consiguiente estamos en
el tercer caso Para el caso 3, se factoriza ( )g x , y luego se expresa como un producto de factores
lineales px q+ o formas cuadráticas irreducibles 2ax bx c+ + , se agrupan los factores
repetidos para que ( )g x quede expresado como un producto de factores distintos de la
forma ( )mpx q+ o bien 2( )nax bx c+ + , con m y n enteros no negativos.
Una vez agrupados de la forma indicada anteriormente se utiliza las siguientes condiciones:
(1) Por cada factor de la forma ( )mpx q+ con m ≥ 1, la descomposición de fracciones
parciales contiene una suma de m fracciones parciales de la forma:
1 22
( ) ...( ) ( ) ( ) ( )
mm
AA Af xg x px q px q px q
= + + ++ + + , donde cada numerador mA es un número
real. Se determinan las constantes respectivas: 1.a) El denominador tiene raíces reales simples:
2 1
1 2 1 2 1 2
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
A x x B x xf x f x A Bg x x x x x x x x x x x x x
− + −= = + =
− − − − − −
Se iguala 2 1( ) ( ) ( )f x A x x B x x= − + − y se calcula A y B comparando coeficientes o
dándole valores a la x, y por último se resuelven las integrales
1 21 2
( ) ... ( ) ( ) ..( ) ( ) ( )
f x A Bdx dx dx ALn x x BLn x x kg x x x x x
= + + + = + + + + ++ +∫ ∫ ∫
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421 damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
1 22
( ) ...( ) ( ) ( ) ( )
mm
AA Af x dx dx dx dxg x px q px q px q
= + + ++ + +∫ ∫ ∫ ∫
1.b) El denominador tiene raíces reales múltiples:
3 2 31 2 1 2 2 2
3 22 1 2 1 2 1
31 2
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )
f x f x A B C Dg x x x x x x x x x x x x x
A x x B x x x x C x x x x D x xf xg x x x x x
= = + + +− − − − − −
− + − − + − − + −=
− −
Igualando el principio con el final:
3 22 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )f x A x x B x x x x C x x x x D x x= − + − − + − − + −
Calculamos los coeficientes A, B , C y D. Resolvemos la siguiente integral:
2 31 2 2 2
2 1 3 12 2
1 2
1 2 22 2
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 1 3 1
( ) 1 1( ) ( )( ) ( ) 2( )
f x A B C Ddx dx dx dx dxg x x x x x x x x x
x x x xf x dx ALn x x BLn x x C D kg x
f x dx ALn x x BLn x x C D kg x x x x x
− + − +
= + + +− − − −
− −= − + − + + +
− + − +
= − + − + + +− − − −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
(2) Por cada factor 2( ) , 1nax bx c n+ + ≥ , donde 2( )ax bx c+ + , es irreducible, 0, la descomposición en fracciones parciales contiene una suma de n fracciones parciales de la forma:
1 1 2 22 2 2 2
( ) ...( ) ( ) ( ) ( )
n nn
Ax bAx b Ax bf xg x ax bx c ax bx c ax bx c
++ += + + +
+ + + + + +, donde todos los ,n nAx B son
números reales.
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2.1) Que el denominador tenga raíces reales complejas sencillas: Si al intentar resolver una ecuación de 2º grado nos sale una raíz negativa se dice que no tiene solución real, pero sí compleja.
2 2 2 21 1 1 1 1 1
2 21 1 1
2 21 1 1
2 21 1 1
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( )
f x f x Ax B Cx Dg x ax bx c ax bx c ax bx c ax bx c
Ax B ax bx c Cx D ax bx cf xg x ax bx c ax bx c
f x Ax B ax bx c Cx D ax bx c
+ += = +
+ + + + + + + +
+ + + + + + +=
+ + + +
= + + + + + + +
Se determinan las constantes por un sistema de ecuaciones y luego se sustituye
2 21 1 1
( ) ...( ) ( ) ( )
f x Ax b Cx Ddx dx dxg x ax bx c ax bx c
+ += + +
+ + + +∫ ∫ ∫
El denominador complejo es necesario completar el cuadrado como sigue:
22 2 2( ) ( )
2 4bx b bax bx c a x c a x ca a a
+ + = + + = + + −
Debemos colocarlo de la forma (x‐a)2 + b2 y resolver la integral de la siguiente forma:
2 2 2 21 1 1
( )( ) ( ) + ( ) +
f x Ax B Cx Ddxg x x a b x a b
+ += +
− −∫ ∫ ∫ a partir de aquí nos saldrá como solución un
Logaritmo (Ln) y una arco tangente. 2.2) Que el denominador tenga raíces reales complejas múltiples: Se determinan las constantes respectivas y por último se resuelven las integrales
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )
+ += = +
+ + + + + +
+ + + + + + +=
+ + + +
= + + + + + + +
f x f x Ax B Cx Dg x ax bx c ax bx c ax bx cf x Ax B ax bx c Cx D ax bx cg x ax bx c ax bx cf x Ax B ax bx c Cx D ax bx c
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Se procede a determinar las constantes como se indicó anteriormente
2 2 2
( ) ...( ) ( ) ( )
f x Ax b Cx Ddx dx dxg x ax bx c ax bx c
+ += + +
+ + + +∫ ∫ ∫
Una vez sustituidas las variables se completa cuadrados y se resuelven las integrales.
2 2
3 2
2
2
2
2
3 2
7 9 7 92 2 ( 1)( 1)( 2) 1 1 2
7 9 ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 1)( 1)( 1)( 2) ( 1)( 1)( 2)
7 9 ( ) (
7
3 ) ( 2
91)2 2
x x x x A B
x x dxx
Cdx dx dx dxx x x x x x x x x
x x A x x B x x C x xx x x x x x
x x A B C x A B x
x
A B
x⇒
− + + − + += = + +
+ − − + − + + − +
− + + − + + + + + + −=
+ − + + − +
− + + = + +
− + ++ − −
+ + + +
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
2
3 2
)
+ + = -1 + 3 = 7 1 2 4 + 2 - = 9
7 9 22 4 ( 1) 2 ( 1) 4 ( 2) 2 2 1 1 2
C
A B CA B A B CA B C
x x dx dx dxdx Ln x Ln x Ln x kx x x x x x
−
⎧⎪ ⇒ = = = −⎨⎪⎩
− + += + − = + + − − + +
+ − − + − +∫ ∫ ∫ ∫
( )
( )( )( ) ( )
22
2
22 2
2
2 2
2
2
3 12( 2)( 1) 2 1 1
( 1) 2 1 23 12( 2)( 1) 2 1 ( 2)( 1)1
3 12 ( ) (2 ) ( 2 2 )( 2)( 1) ( 2)
3 122)( 2)( 1
( 1)3 12 ( ) (
)
2
+= +
− + − + +
+ + − + + −+= + + =
− + − + − ++
+ + + − + + − −=
− + − +
+ = + +
+⇒
− +
∫ ∫ ∫ ∫
∫x A B Cdx dx dx dx
x x x x x
A x B x x C xx A B Cx x x x x xx
x A B x A B C x A B Cx x x xx A B x
xx x
) ( 2 2 )− + + − −A B C x A B C
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( ) ( )22
02 3 2 , 2 3
2 2 12
3 12 2 2 3 32 ( -2) 2 ( 1)( 2)( 1) 2 1 11
A BA B C A B y C
A B C
x dx dx dx Ln x Ln x kx x x x xx
+ =⎧⎪ − + = ⇒ = = − = −⎨⎪ − − =⎩
+ − −= + + = − + + +
− + − + ++∫ ∫ ∫ ∫
( )
( ) ( )
( )
22 2
2 22 2
2 222
2
2 4 ( 2 1) 1 4 1 33 3 3 1; 3
2 4 2 41 3 1 33 3 : :
2 4
33)2
1 3
1 3 3
4
θ
θ
⇒ + + = + + − + = + +
+ + + += ⇒ = ⇒ + = + ⇒ = =
+ + + ++ + + +
+ += ⇒ + ⇒ =
+ +
+⇒
+ +
+ +
+ = ⇒ =
∫ ∫
∫
∫
∫
factor cuadráticoirreducible x x x x xx Ax B x Ax B x Ax B A B
x x x xx xx x dx De la forma x a Cambio x atg
x x x
tg
x
x x
xx
t
( )
2 2 2
2 2
2 2 2
2
2
1; ( 1) 3 ; 3
3 ( 3 1 3) 3 3 ( 3 2)3 3 3 11 3
3 ( 3 2) 3 2 3( 3 2)3 3 3
2 33
1 1: 1 33 3
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θθ θ
θ θ θ θ θ θ θ θθ
θ θ
θ θ θ
− + = =
+ − + += =
+ ++ +
+= = + = +
= + +
+ ++ = ⇒ = ⇒ =
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
g x tg dx Sec d
x tg Sec d tg Sec ddxtg tgx
tg Sec dI tg d tg d dSec
I Ln Sec k
x xDel cambio x tg tg arctg( )
( )
( )
2
2
2
2
2
1 3;
3
1 33 2 3 12 4 33 3
1 33 2 3 12 4 3 3 3
θ+ +
=
+ ++ += + +
+ +
+ ++ += + +
+ +
∫
∫
xSec
xx xLn arctg kx x
xx xLn arctg kx x
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( ) ( )
( ) ( )
( )
2 22
2 22 2
2 22
2
2
4 13 2 4 13 2 9( ) 1 1 0; 1
4 13 4 132 9 2 9
: :4 13
14)4 13
2 9
2 3 3 2;
factor cuadrático irreducible x x x xdx Ax B dx Ax B Ax B A B
x x x xx x
dx dx De la forma x a Cambio x atgx x x
x tg x t
dxx x
g
θ
θ θ
⇒ + + = + − + = + +
+ += ⇒ = ⇒ = + ⇒ = =
+ + + ++ + + +
= ⇒ + ⇒ =+ + + +
+ = ⇒ −
⇒
=
+ +
∫ ∫
∫
∫ ∫
( )
2 2 2
2
2 2
2
( 2) 9 ; 3
39 92 9
1 24 13 3 3
x tg dx Sec d
dx Sec d d ktgx
dx xarctg kx x
θ θ θ
θ θ θ θθ
+ = =
= = = +++ +
+⎡ ⎤= +⎢ ⎥+ + ⎣ ⎦
∫ ∫ ∫
∫
( )
( ) ( )
( )
22 2
2 22 2
2 22
2
2
2 4 10 2( 2 5) 2( 1 4)
1 ( ) 1 1 12 4 10 2 2 4 101 4 1 4
1 : :2 4 10 2 1
15)2 4 1
4
1
0
2
factor cuadrático irreducible x x x x x
dx Ax B dx Ax B Ax B Bx x x xx x
dx dx De la forma x a Cambio x atgx x x
x t
dxx x
g
θ
θ
⇒ − + = − + = − +
+ += ⇒ = ⇒ = + ⇒ =
− + − +− + − +
= ⇒ + ⇒ =− +
⇒−
− +
− =
+
⇒
∫ ∫
∫
∫ ∫
( )
2 2 2
2 2
2 2 2
2
2 1; ( 1) 4 ; 2
1 1 2 1 1 12 2 4 4 4 1 4 41 4
1 12 4 10 4 2
x tg x tg dx Sec d
dx Sec d Sec d d ktg tgx
dx xarctg kx x
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θθ θ
= + − = =
= = = = ++ +− +
−⎡ ⎤= +⎢ ⎥− + ⎣ ⎦
∫ ∫ ∫ ∫
∫
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( )
2
22
3 26)4 8
4 8 2 4factorcuadrático irreducible x x x
x dxx x
⇒ − +
−
=
⇒
−
++
+
∫
( ) ( )
( )
2 22 2
2 222
2 2 2
2
(3 2) ( ) 3 2 3 2 3; 24 8 4 82 4 2 4
(3 2) (3 2) : :4 8 2 4
2 2 2 2; ( 2) 4 ; 23 2 (3(2
4 8
θ
θ θ θ θ θ
θ
+ + + += ⇒ = ⇒ + = + ⇒ = =
− + − +− + − +
+ += ⇒ + ⇒ =
− + − +
− = ⇒ = + − = =
+ +=
− +
∫ ∫
∫ ∫
∫
x dx Ax B dx x Ax B x Ax B A Bx x x xx x
x dx x dx De la forma x a Cambio x atgx x x
x tg x tg x tg dx Sec dx tgdx
x x
( )
2 2
2 2
2
2
2
2) 2)2 2 (3(2 2) 2)4 4 4 1
3 2 1 1 1(3(2 2) 2) (6 6 2) (6 8)4 8 2 2 2
3 2 3 4 34 8
2 42: 2 2 ;2 2
θ θ θ θ θθ θ
θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ
θ θ θ θ
+ + +=
+ ++
= + + = + + = +− ++
= + = + +− +
− +−− = ⇒ = ⇒ = =
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
Sec d tg Sec dtg tg
x dx tg d tg d tg dx x
x dx tg d d Ln Sec kx x
xxDel cambio x tg tg Sec arct
( )2
2
22
2 43 2 234 8 2 2
−
− ++ −= + +
− +∫
xg
xx xdx Ln arctg kx x
( )
3 2
2
3 2 2
3
2
2
3 2
2 2
3 22 2
2 2
2 3 6 12 4
2 8 2 3
3 2 123 12
2 3 6 12 32 2 34 4
2 3 6 12 22 3 3 44 4
2x 3 6 127)4
+ − − −
− + +
+ −
− +
+ − −+ → = + +
− −
+ − −= + + = + + − +
− −
+ − −⇒
−
∫ ∫
∫
∫
x x x x
x x x
x xx
x x x xx xx x
x x x xdx x dx dx x x L
x x d
n xx
x
x
x
k
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( )
( )
3 2 2
3 2
2
2
3 2
2 2
3 2
2 2
3 22
2
2
2
3 2
2 5 4 13 4 4
2 8 8 2 3
3 12 133 12 12
1
2 5 4 13 12 34 4 4 4
2 5 4 13 12 34 4 4 4
2 5 4 13 134 4 2
2 5 4 138)4 4
x x x x x
x x x x
x xx x
x x x xx x x x
x x x dx x dx dxx x x x
x x x dx x x dx x
x x x dx
x x
xx
x
− − + − +
− + − +
− +
− + −
− − += + +
− + − +
− − += + +
− +
− − +⇒
− +
− +
− − += + + =
− + −
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
2 132
x kx
+ − +−
2
2
2 2
22
2 2
2
2 2
122
2
3 4 2 8
3 4 5 43 4 1 12 8 2 8
5 43 4 5 42 8 2 8
42
3 4
4 325 4 2 62 8 022 2
9)2 8
8 2
+ − − −
+ − +− + − ⇒ = +
− − − −+
+ − += + ⇒
− − − −
=± + ⎧+ ±⇒ − − = ⇒ = = = ⎨ = −− − ⎩
+ −⇒
− −∫
∫ ∫ ∫
∫
x x x x
x x xx xx x x x
xx x xdx dx dxx x x x
xx dx x x xxx x
x x dxx x
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( )( )
( ) ( )( )( ) ( ) ( )
2
2
2
2
2
5 4 5 42 8 4 2 4 2
2 45 4 5 4 2 42 8 4 2
4 24 6 42 6 6 1
5 4 4 1 4 4 22 8 4 23 4 4 4 22 8
+ += = +
− − − + − +
+ + −+= ⇒ + = + + −
− − − +
= → = → == − → − = − → =
+= + = − + +
− − − +
+ −= + − + + +
− −
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
x x A Bdx dx dx dxx x x x x x
A x B xx x A x B xx x x xx A Ax B B
x dx dx dx Ln x Ln xx x x xx x dx x Ln x Ln x kx x
( ) ( )
( )
4 3 3 2
4 34 3
3 2 3 2
4 3
3 2 3 2
3 2 23 2 3 2
2
2
3
2
2
3
2
4
1
1 1
1
1 1
1 1 1
11
11 1
0)
11 1
x x x x x
x x x xx x x xx x x x
x
x x x xdx xdx dxx x x x
x x x A B Cdx x x x x d
x x x dxx x
x dx dx dx dxx x x x x x x x x
x A B Cx x x x x
− − − −
− − − − −− + ⇒
− − −
= +− −
− −
− − − − −= +
− −
− − − − − −⇒ − = − ⇒ = = + +
− − − −
− −= + +
− −
⇒−
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
( ) ( )( ) ( ) ( )
22
2
1 11 1 1
1
0 1 11 2 22 3 2 4 3 2 1 8 2 4 2
Ax x B x C xx Ax x B x C x
x x
x B Bx C Cx A B C A A A
− + − += ⇒− − = − + − +
−
= → − = − → == → − = → =−= → − = + + → − = + − → = → =
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
429 damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
3 2 2
4 3 2
3 2
1 2 1 2 12 2 11
1 12 2 12
− − −= + + = − − − +
− −
− − −= + − − − +
−
∫ ∫ ∫ ∫
∫
x dx dx dx dx Ln x Ln x kx x x x x xx x x xdx Ln x Ln x k
x x x
( )( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )
( )
3 2 2 2
2 2
3 2 22
2
2
3 2
22
1 3 7 52 4 20 2 16
1 1 2 5 3 7 5 1 2 5 2 5 02 2
1 2 5 0
8 6 6 8 6 63 7 5 1 2
8 6 611)3 7
51 2 5
2 5 18 6 61 2 5
5
1
− −± − ± −
− ⇒ − + − = − − + ⇒ − + = → = = ∉
−
+ + + + += = +
− + − − − +− − +
− + + + −+ +=
−
+
− + −
+⇒
− + −
∫ ∫ ∫
∫
∫
x x x x x x x x x
x x x x A Bx Cdx dx dx dxx x x x x
x x dxx x x
xx x x
A x x Bx C xx xx x x x x( ) ( ) ( ) ( )2 2
2
2
13 2 2
21 2
8 6 6 2 5 12 5
1 20 4 50 6 5 5 6 25 6 192 50 5 2 50 25 2 19 2 50 25 19 6 3
8 6 6 5 3 19 5 13 7 5 1 2 5
3 19: 22 5
⇒ + + = − + + + −− +
= → = → == → = − → = − = − ⇒ == → = + + → = + + → = − − = ⇒ =
+ + += + = − +
− + − − − +
+⇒ −
− +
∫ ∫ ∫
∫
x x A x x Bx C xx
x A Ax A C C A Cx A B C B B B
x x xdx dx dx Ln x Ix x x x x x
xParaI dx x xx x
( ) ( )
( )
( )
2 2
2 222
2 2 2
2 2
2 2 2
5 1 1 5 1 4
(3 19) (3 19) : :2 5 1 4
1 2 2 1; ( 1) 4 ; 2(3 19) (3(2 1) 19)2 2 (3(2 1) 19)
4 4 41 4
θ
θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θθ θ
+ = − − + = − +
+ += ⇒ + ⇒ =
− + − +
− = ⇒ = + − = =
+ + + + += =
+ +− +
∫ ∫
∫ ∫
x x
x dx x dx De la forma x a Cambio x atgx x x
x tg x tg x tg dx Sec dx dx tg Sec d tg Sec d
tg tgx 1∫
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( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
(3 19) 1 1 1(3(2 1) 19) (6 3 19) (6 22)2 2 21 4
(3 19) 223 3 1121 4
1 41 1: 1 2 ;2 2 2
1 43 19 3 112 5 2
x dx tg d tg d tg dx
x dx tg d d Ln Sec kx
xx xDel cambio x tg tg Sec arctg
xx xdx Ln arctgx x
θ θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ
θ θ θ θ
+= + + = + + = +
− +
+= + = + +
− +
− +− −− = ⇒ = ⇒ = =
− ++= +
− +
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫1
2k−
+
3 2 2
2 2
3 2 2 2
2 2
2 2
3
2
2
2
2
3 4 ( 1) ( 2)
5 12 1 5 12 13 4 ( 1) ( 2) ( 1) ( 2) ( 2)
5 12 1 ( 2) ( 1) ( 1) ( 2)( 1) ( 2) ( 1) ( 2)5 12 1 ( 2
5 1
) ( 1)
2 112)3 4
+ − = − +
+ + + += = + +
+ − − + − + +
+ + + + − + − +=
− + − +
+ + = + + −
+ +−
+
⇒+
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫x x x x
x x x x A B Cdx dx dx dxx x x x x x x
x x
x
A x B x C x xx x x
x
xx x A x B x
dxx x
2 2
2
3 2 2
2
3 2
( 1) ( 2)5 12 1 ( ) (4 ) 4 2 2
54 12 2; 3; 14 2 1
5 12 1 2 33 4 1 ( 2) ( 2)
5 12 1 32 1 23 4 2
− +
+ + = + + + + + − − −
+ =⎧⎪ + + = ⇒ = = =⎨⎪ − − =⎩
+ += + +
+ − − + +
+ += − − + + +
+ − +
∫ ∫ ∫ ∫
∫
C x xx x A B x A B C x A B B CA BA B C A B CA B C
x x dxdx dx dxx x x x xx x dx Ln x Ln x k
x x x
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( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( )
3 2
2 2
23 2
22 2
2 2 2
2
2
2
2
2
2
3
2 1 1
5 20
5 20
6 5 20 62 1 1 11
1 15 20 6 5 20 611 1
613)2
1 1
5 20 6 1 1
5 20 6
x x x x x x
x x x x A B Cdx dx dx dx dxx x x x x x x xx
A x B x C x xx x A B C x xx xx x x x x x x
x x A x B x Cx
x x dxx
x
x
x
x
x
+ + = + +
+ + + += = + +
+ + + + ++
+ + + ++ + + += + + ⇒ =
++ + + +
+ + = + + + +
+ +
++
=
+⇒
+
∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫
[ ] [ ]
( ) ( )
( )
2 2
2 2 2
2 2
2
2 2
1
22 2 2
2 1
5 20 6 25 20 6 2
520 2 6; 9; 16
5 20 6 6 911 1
6
9 1 9 91
A x x Bx Cx Cx
x x Ax Ax A Bx Cx Cxx x x A C x A B C A
A CA B C A B C
A
x x dx dx dxdxx xx x x
dxI Ln x kx
dx duI u x du dx u dux
−
⎡ ⎤+ + + + +⎣ ⎦+ + = + + + + +
+ + = + + + + +
= +⎧⎪ = + + ⇒ = = = −⎨⎪ =⎩
+ += + −
++ +
= = +
= = = + ⇒ = ⇒ ⇒+
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫
( )
2 2
3
2
2
9 9( 1)
11
5 20 6 9 1( 1)1
u I I ku x
dxI Ln x kx
x x dx Ln x Ln x kxx x
−⇒ = ⇒ = − +
+
= = + ++
+ += − + +
++
∫
∫
∫
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( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
[ ]
:1 2 1 2
1 1 (2 ) (1 )1 2 1 2 1 2 (1 )(2 )
1 (2 ) (1 ) 1 2 1 (2 )
02 1 2 1 3
1 2
14)1 2
x
x
x
x
x du A BCambio de Variable u e du e dx du duu u u u
A B A u B uu u u u u u u u
A u B u A Au B Bu u A B A
e dx
B
A BA B
e e
B A A A AA B
= ⇒ = ⇒ = +− + − +
+ + −= + ⇒ =
− + − + − + − +
= + + − ⇒ = + + − ⇒ = − + +
= −⎧⇒ = ⇒ = − + ⇒ = − + ⇒⎨ =
⇒
+⎩
− +
∫ ∫
∫
∫
( )( ) ( )( )
1 13 3
3
1
1 1 1 11 2(1 )(2 ) 3 1 3 2 3 3
1 11 2 (1 ) (2 )3 31 2 1 2
x xx x x x
x x x x
A B
du du du Ln u Ln u ku u u u
e dx e dxLn e Ln e k Ln e e ke e e e
= ⇒ = ⇒ =
= + = − + + +− + − +
= − + + + ⇒ = − + +− + − +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
: 2 3 2 3 2 22 2 ( 3) 2
1 1 1 1 12 3 3 2 2 3 2 3
1 1 3 1 ( ) 33 3
03 1
115)2 3
= + ⇒ = − ⇒ = ⇒ = ⇒ =−
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = +⎢ ⎥⎜
⎛ ⎞ ⇒⎜ ⎟+⎝ ⎠
⎟ ⎜ ⎟+ − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
= + ⇒ = − + ⇒ = + −− −
+ =⎧⎨− =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ x
x x xx
x
du duCambio deVariable u u du Ln dx dx dxLn u Ln
du A Bdx du du duu u Ln Ln u u Ln u u
A B A u Bu u A B Au u u u
A BA
dx
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1;3 3
1 1 1 1 ln ln 32 3 3 2 3 3ln 2
−⇒ = =
⎩⎡ ⎤−
= − =− ⎡ − − ⎤+⎢ ⎥ ⎣ ⎦− −⎣ ⎦∫ ∫ ∫
A B
du dudu u u kLn u u Ln u u
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( ) ( )
( )
1 1 1ln 2 3 ln 2 ln 2 3 ln 22 3 3ln 2 3ln 2
ln 2 312 3 3 3ln 2
x x xx
x
x
dx k x k
xdx k
⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − + = − + − +⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦+⎝ ⎠
+⎛ ⎞ = − +⎜ ⎟+⎝ ⎠
∫
∫
( ) ( )
( )
( )( )( )
3 2 2 2
2 2
3 2 2 2
22 2
2 2 2
2
3 2
2 8 4 2 1 4 2 1 ( 4)(2 1
211
)
21 212 8 4 ( 4)(2 1) ( 4) 2 1
2 1 (21 21( 4)(2 1) ( 4) 2 1 ( 4)(2
6)2 8 4
1)
x x x x x x x x
x x x x Ax B Cdx dx dx dxx x x x x x x
Ax B x C xx x Ax B C x xx x x
x xx
x x
dxx x
x
− + − = − + − = + −
− − − − += = +
− + − + − + −
+ − +− − + − −= + ⇒= =
+ − + − + −
− −⇒
− + −
∫ ∫
∫
∫ ∫
( )( )
( ) ( )
2
2 2
2 2
2 2 2 2 2
2
3 2
4)( 4)(2 1)
21 2 1 ( 4)
1 21 2 3; 1; 521 4
21 3 1 21 35 5( 4)(2 1) ( 4) 2 1 ( 4)(2 1) ( 4) ( 4) 2 1
212 8 4
x x
x x Ax B x C x
A CA B A B CB C
x x x dx x x xdx dx dxdx dx dxx x x x x x x x x
x x dxx x x
++ −
− − = + − + +
= +⎧⎪− =− + ⇒ = = =−⎨⎪− = − +⎩
− − + − −= − ⇒ = + −
+ − + − + − + + −
− −− + −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ 22
3 1 5( 4) ( ) (2 1)2 2 2
xLn x arctg Ln x k= + + − − +
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( )
( ) ( )
4
4 2 2 2
4 2 22 2
2
2
9 9 1
(
17)9
)9 9 1 9 1
+ = +
⇒
+= =
+
+ ++ + +∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
x x x x
dx dx A B Cx D dxdx dxx x x xx x x
dxx x
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 222 2 2
2 22 2 2 2 2 2
2 22 2 1
9
1 ( ) 1 (9 1) (9 1) ( )9 1 9 1
9 09 0
0; 901
0 (0 9) 99 1 9 1 9 1 9 1
9 : :9 1
+= + + ⇒ = + + + + +
+ +
+ =⎧⎪ + =⎪ ⇒ = = −⎨ =⎪⎪ =⎩
−= + + ⇒ = −
+ + + +
− =− ⇒ + ⇒+ +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
A B Cx D A x Bx x x Cx Dx xx x x
B CA D
C DBA
dx dx x dx dx dx dxdxx x xx x x x x x
dx dx De la forma x a Cambio xx x
( )19
19
2 2 21 1 19 9 9
2 219
2 22 1 119 99
4 2
;
3 3 3 (3 )1
1 3 (3 )9
θ
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θθ θ
−
=
= ⇒ = =
− = − = = − = − + = − ++ ++
= − − ++
∫ ∫ ∫ ∫
∫
atg
x tg x tg dx Sec d
Sec ddx Sec d d k arctg x ktg tgx
dx arctg x kx x x
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
9 14 2 ( 7)( 1) ( 1)
9 14 2 ( 7) 2 ( 7)( 1) 8 3( 1) ( 7) ( 2) ;2 ( 7) 2 ( 7) 5 5
( 1) 8 3 ( 1) 82 ( 7) 5 2 5 ( 7) 9 1
118)9 14
4 5
− + = − −
+ += = + ⇒
− + − − − −
+ −= + ⇒ + = − + − ⇒ = =
− − − −
+ += − ⇒ =
− − − − − +
+⇒
− +
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫x x x x
x dx x dx Adx Bdxx x x x x x
x A B x A x B x A Bx x x x
x dx dx dx x dx Lx x x x
dx
x
x xx
x32 75
− − − +n x Ln x k
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( )
( )
( )
( )
3
3 2
3 2
2
2 1 ( 2)
(2 1) (2 1)2 1 ( 2) ( 1) ( 2)
(2 1) 2 1 ( 1)( 2) ( 2) ( 1)1 ( 2) ( 1) ( 2)
1 1 5; ;2 3 6
(2 1) 11 ( 2)
2 119)2
2
x x x x x x
x dx x dx Adx Bdx Cdxx x x x x x x x x
x A B C x A x x Bx x Cx xx x x x x x
A B C
x dxx x x
x dxx x x
+ − = − +
− += = + + ⇒
+ − − + − +
+= + + ⇒ − = − + + + + −
− + − +
−= = =
+
−⇒
+ −
=− +
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
3 2
1 5 (2 1) 1 1 51 23 ( 1) 6 ( 2) 2 2 3 6
dx dx dx x dx Ln x Ln x Ln x kx x x x x x
−+ − ⇒ = + − − + +
− + + −∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
23 2
2 2
2 23
2
3 2
2
222
2 2
2
2
1 1 1
(3 5 ) (3 5 )1 1 11 1 1
(3 5 ) (3 5 ) 1 1 ( 1) 11 11 1 1
2; 1; 1
(3 5 )20)1
(3 5 ) 21 1
+ − − = − +
+ += = + +
+ − − − +− + +
+= + + ⇒ + = + + − + − +
− +− + +
= = =
+=
+−
−
+
+
⇒−
−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫x x x x x
x x x x Adx Bdx Cdx dx dxx x x x xx x x
x x A B C x x A x B x C x xx xx x x
A B C
x x dxdxxx
x
x
x dxx x x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
2 3 2
(3 5 ) 12 1 11 1 1 11
++ + ⇒ = − − + + +
+ + − − ++∫ ∫ ∫ ∫ ∫dx dx x x dx Ln x Ln x k
x x x x xx
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4 2 4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2
4 2 2 2
4 2 2 2
4
2 2
2 2 2
2
1 1 2 1 ( 1) (( 1) )(( 1) )1 ( 1)( 1)
3 31 ( 1)
321)1
( 1) ( 1) ( 1)3
( 1)( 1) ( 1)
+ + = + + + − = + + − = + − = + − + +
+ + = + + − ++ +
= = ++ + + + − + + + − +
+= +
+ + − +
⇒
+
+ +
+
∫ ∫ ∫
∫
∫
x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x
dx dx Ax B Cx Ddx dxx x x x x x x x x x
Ax B Cx x x x x
dxx x
x2 2
2
3 2
2 2 2 2
1
3 ( )( 1) ( )( 1)( 1)
3 ( ) ( ) ( ) ( )0
0 3 3 3 3; ; ;0 2 2 2 2
33 3 1 3 1
( 1)( 1) 2 ( 1) 2 ( 1)
:
+⇒ = + − + + + + +
− +
= + + − + + + + − + + + +
+ =⎧⎪− + + + = −⎪ ⇒ = = = =⎨ − + + =⎪⎪ + =⎩
+ −= −
+ + − + + + − +∫ ∫ ∫
x D Ax B x x Cx D x xx x
A C x A B C D x A B C D x B DA CA B C D
A B C DA B C DB D
dx x xdx dxx x x x x x x x
ParaI ( )
( )
( )
22 31 1 14 4 2 42
2 222 31
2 4
2 2 23 3 3 31 1 12 4 4 2 2 4 4
23 314 2 4
2 23 3 3314 4 42 4
1 1( 1)
( 1) ( 1) : :( 1)
; ( ) ;
( 1)( 1) 1
θ
θ θ θ θ θ
θ θ θθ
+⇒ + + + − = + +
+ ++ +
= ⇒ + ⇒ =+ + + +
+ = ⇒ = − + = =
− ++= =
++ +
∫
∫ ∫
∫ ∫
x dx x x xx x
x dx x dx De la forma x a Cambio x atgx x x
x tg x tg x tg dx Sec d
tg Sec dx dxtgx
( )
3 1 14 2 3
12 331
2 4
231
2 4
( )
( 1)
(2 1) 32 1 2 1 ;3 3 3
θ θ θ θ θ
θ θ
θ θ θ θ
+ = +
+= + +
+ +
+ ++ +⎛ ⎞+ = ⇒ = ⇒ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
∫
tg d tg d d
x dx Ln Sec kx
xx xx tg tg arctg Sec
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437 damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
( )( )
21
2 3
22 31 1 12 4 4 2 4 22 2 31
2 4
21
2 3
(2 1) 31 2 1( 1) 3 3
1 ( 1) ( 1): 1( 1) ( 1)
(2 1) 31 2 1:( 1) 3 3
xx xdx Ln arctg kx x
x x dx x dxParaI dx x x xx x x x x
xx xSolucionando de forma similar dx Ln arctgx x
+ ++ +⎛ ⎞= + +⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠
+ + +⇒ − + + − = − + ⇒ = ⇒
− + − + − +
− ++ −⎛ ⎞=− + ⎜ ⎟− + ⎝ ⎠
∫
∫ ∫ ∫
∫
2 21 1
4 2 3 3
(2 1) 3 (2 1) 33 2 1 2 11 3 3 3 3
k
x xdx x xLn arctg Ln arctg kx x
+
+ + − ++ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫
2 3 2 2 2
4 3 2 4 3 2
2 3 2 2 2 2
4 3 2
( )( 1) ( 1)( 1)( 1) ( 1) ( 1)
8 2 1 ( 8 2 1) ( )( )( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
( 8
4 3 28 2 122) 2 3( )( 1)+ + = + + − + = + − +
+ − + + + − + + += = + + +
+ + + − + + + − +
+
+ − + +⇒
−
∫+ +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
x x x x dxx x x
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x dx Adx Bdx Cdx Dx E dxdxx x x x x x x x x x x x
x x x2 2 2 2
4 3 2
2 2 2 2
1 2 3
2 1) ( )( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
: 1; 3; 2; 2; 0
( 8 2 1) 23 2( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
; ;
+ + += + + +
+ − + + + − +⇒ = = =− = =
+ − + += + − +
+ − + + + − +∫ ∫ ∫ ∫ ∫
x A B C Dx Ex x x x x x x x x
Resolver el sistemadeecuaciones A B C D E
x x x x dx dx dx dx xdxx x x x x x x x x
I I I son inmediatas
( )2 2
4 22 312 4
2 2 : :( 1)
θ= = ⇒ + ⇒ =− + − +∫ ∫xdx xdxI De la forma x a Cambio x atg
x x x
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EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI CÁTEDRA: MATEMÁTICA II
ESPECIALIDADES: MECÁNICA - QUÍMICA LIC. MSC. DÁMASO ROJAS
438 damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com
( )
2 2 23 3 3 31 1 12 4 4 2 2 4 4
23 314 2 4 3 1 2
4 22 2 33 3 3314 4 42 4
; ( ) ;
2( )2 3 ( ) 2
θ θ θ θ θ
θ θ θθ θ θ θ θ
θ
− = ⇒ = + − = =
+= = + = +
+− +∫ ∫ ∫ ∫ ∫
x tg x tg x tg dx Sec d
tg Sec dxdx tg d tg d dtgx
( )2
2 3312 4
231
2 4
22
1 2 3
24 3 22
2 3 3
( 1) 2
(2 1) 32 1 2 1 ;3 3 3
(2 1) 32 2 12( 1) 3 3
(2 1) 38 2 1 32 1 2( )( 1) 1 3
θ θ
θ θ θ θ
+= + +
+ +
+ +− −⎛ ⎞− = ⇒ = ⇒ = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
+ + −⎛ ⎞= = + +⎜ ⎟− + ⎝ ⎠
+ ++ − + += − + − + +
+ + +
∫
∫
∫
x dx Ln Sec kx
xx xx tg tg arctg Sec
xxdx xI Ln arctg kx x
xx x x x dx Ln x Ln x Ln arx x x x
2 13−⎛ ⎞
+⎜ ⎟⎝ ⎠
xctg k
3 2
3 2 3
3 2
2
3 2
22
2
2
5 4 ( 4)( 1)25 20 2 (25 20 2)
5 4 ( 4)( 1) ( 4) ( 1)25 20 2 25 20 2 ( 4)(
( 4)( 1) ( 4) ( 1
5 2 25 20 223) (5 )5 4 5 4
)
− + = − −
− + − += = + +
− + − − − −
− += + + ⇒ − + = −
−
+ − +
− −
⇒ +− + − +
−
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
x x x x x xx x x x dx A B Cdx dx dx dx
x x x x x x x x xx x
x x xdx dxx x x x x x
A B C x x A xx x x x x x
161 712 6 3
2161 71
2 6 3
3161 71
2 6 33 2
1) ( 1) ( 1)
; ;
(25 20 2)( 4)( 1) ( 4) ( 1)
5 2 5 4 15 4
−
−
−
− + − + −
= = =
− += +
− − − −
+= + + − − +
− +
∫ ∫ ∫ ∫
∫
x Bx x Cx x
A B C
x x dx dx dx dxx x x x x xx dx x Ln x Ln x Ln x k
x x x
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2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2
2
2
2 2 2 2
2
( 3 10) (( 5)( 2)) ( 5) ( 2)
8 7 8 7( 3 10) ( 5) ( 2) ( 5) ( 5) ( 2) ( 2)
8 7( 5) ( 2) ( 5) (
8 724)( 3 1
5) ( 2) ( )
)
2
0x x x x x x
x x x x Adx Bdx Cdx Ddxdx dxx x x x x
x x dx
x x x
x x A B C Dx x x x x x
x x
re
− − = − + = − +
− + − += = + + +
− − − + − − + +
− += + + +
− + − − +
− +⇒
+
− −
∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
8 30 27 3049 343 49 343
28 30 27 30
49 343 49 3432 2 2 2
2303432 2
: ; ; ;
8 7( 5) ( 2) ( 5) ( 5) ( 2) ( 2)
8 7 8( 3 10) 49( 5)
solver el sistemadeecuaciones A B C D
x x dx dx dx dxdxx x x x x x
Las Integrales son inmediatas
x x dxx x x
− −
−
⇒ = = = =
− += + + −
− + − − + +
− + −= +
− − −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ 30343
27( 5) ( 2)49( 2)
Ln x Ln x kx
− + − + ++
NOTA: COMO PUEDEN OBSERVAR LA SOLUCIÓN DE INTEGRALES RACIONALES SE BASA
EN PRIMER LUGAR, DETERMINAR LOS VALORES DE LAS CONSTANTES QUE APAREZCAN
SEGÚN LOS CASOS ANTERIORMENTE ESTUDIADOS, Y UNA VEZ QUE TENEMOS ESOS
VALORES, LAS INTEGRALES A CALCULAR SE RESUELVEN POR MÉTODOS YA CONOCIDOS.
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INTEGRALES VARIAS
( )
( ) ( )
22
2
22 2
2
2 2
1
2
2
2 2 2
2
2: ( ) ;
1 2
2 1 : ;
1 1 1
:1
1) ( x) ⇒ = ⇒ = = ⇒ = ++
= −+
= ⇒ = ⇒ = =+ + +
= ⇒+
∫ ∫
∫
∫
∫
∫ ∫
Arctgx dx xSelección u Arctgx du dv xdx v kx
x Arctgx x Arctgx dxx Arctgx dxx
x Arctgx dx dx xI Selección u Arctgx du dv dxx x x
xv dx Cambio de Var
x Arctg dx
iable xx
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 22 2 2
2
222
2
222
;
1 1( )
2 1
2
θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θθ
= ⇒ = =
= ⇒ = = − ⇒ − = − ++
= − +
= − − −⎡ ⎤⎣ ⎦ +
= −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
atg x tg dx Sec d
tg Sec dv v tg d Sec d d Sec d tg ktg
v Arctg x x k
x Arctgx Arctgx dxx Arctgx dx Arctgx Arctgx x
xx Arctgx
x Arctgx dx Arctgx Arctg( ) ( )2
3
1 (I )
−− +
+∫Arctgx x dx
x xx
( )
( ) ( )
( )
3 2 2
4 522
4 2 2
2 25 2
22
(I )1 1
(I ) (I )
(I ) 1 2 1 2
1 1(I ) 1 2 12 2 1 2
I2
−+ +
= → = ⇒ = + ⇒ = ++ +
= + ⇒ = ⇒ = ⇒− ⇒ = − + ++
= −
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
ArcTgx dx xdxx x
ArcTgx dx ArcTgxdx zz Arctgx dz z dz k kx x
dw dw xdxw x dw x dx xdx Ln x kw x
x ArctgxArct( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
22
2 222 2
1 12 2
1 12 2 2
− + − + +
= − + + − + +∫
Arctgxgx Arctgx x Ln x k
x Arctgx Arctgxx Arctgx dx Arctgx xArctgx Ln x k
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1 2
1
=1 1 1
( ) ( )
1( )
1
21
) ++
+ + ++
= +⎧⎪= =−⎨+−
⇒
=⎩
+ ∫ ∫∫ ∫Senx x Senx xdx dx dxCosx Cosx Cosx
I I
u CosxSenxI dx du Senx dx
Cosxdu Sen
Senx x dxCo
x
sx
x d
( )( )( )
( ) ( )
( )
2 2 2
2 2 2
3
11
1 1 1( )
1 1 1 1
1
( )
= − =− + ⇒ =− + ++⎪
+ − −= = = −
+ + − −
−− = − +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
du SenxLn u k dx Ln Cosx ku Cosx
Cosx x Cosx x Cosxx xI dx dx dx dxCosx Cosx Cosx Cos Sen x
x Cosx xCosx x dxdx dxSen x Sen x Sen x
I 4
3
2
4 2
( )
( ) :
.
( )
= ⇒ = ⇒ =
= ⇒ =− + ⇒
=− + ⇒ =− − − +
⇒
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
I
x CosxI dx x Ctgx Cscx dx Por Partes u x du dxSenx Senx
dv Ctgx Cscx dx v Cscx k sust
xCtgxCscx dx x Cscx Cscx dx xCtgxCscxdx xCscx Ln Cscx Ctgx k
x dxI x Csc xSen x
2
2
= → =
= → = +
= − = = − +
∫ ∫
∫ ∫ ∫
dx
u x du dx
dv Csc x dx v Ctgx k
x Cscx dx x Ctg Ctgx dx x Csc x dx x Ctgx Ln Senx K
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( )
( )
( )
1
1
2
1 1 1
( ) : 1 1
( ) 1
1 1( )1 1
3)1
+= +
+ + +
= ⇒ = + ⇒ =+
= → + → + +
−⎛ ⎞−= − =⎜ ⎟
+⇒
+
+ −⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
∫
∫
∫Cos x x Cos x x dxdx dxSen x Sen x Sen x
Cos x dxI Cambio de Variable u Sen x du Cos x dxSen xduI Ln u k Ln Sen x ku
x Sen xx dx Sen xIS
Cos x
en x Se
xdx
S
n
en x
x( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2
3 4
3 2
1
1 1
1 ( )
( ) ( ) : ( )
−= −
− −
− −= − = = − +
= − = −
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
dx x Sen x dxSen x Sen x
x Sen x dx x Sen x x x Sen x dx x dxI dxCos x Cos x Cos x Cos x
I Ix Sen x xPara I dxCos x
3
3
24 2
( . )
: ;
( )
( )
( ) ( . )
= −
= ⇒ = = ⇒ = +
= − = −
= − + + +
= →
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫ ∫
Sen x dx xtgx Sec x dx P PCos x Cos x
Selección u x du dx dv tgxSec xdx v Sec x k
I xtg xSec x dx x Sec x Sec x dx
I xtgx Sec x dx xSec x Ln Sec x tg x k
x dxI x Sec x dx P PCos x
Sel 2
2 24
: ;
( )
11
= ⇒ = = ⇒ = +
= = − = = − +
⎛ ⎞+= + − + + + − +⎜ ⎟+⎝ ⎠
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
ección u x du dx dv Sec x dx v tg x k
I x Sec x dx xtg x tgx dx xSec x dx xtg x Ln Sec x k
Cos x x dx Ln Sen x x Sec x Ln Sec x tg x xtgx Ln Sec x kSen x
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( )
2
2
22 2 211
2 2
1 1 2 ; ;1 1 1 2
( )1 1 1 2 ( . )1 1 2 2 1 2 1
14)
1
xx
xx
x x dx xxLn dx Selección u Ln du dv xdx v kx x x
x Lnx x x x dx x dxxLn dx Ln S T
Ln dxx
x x x x
−+
− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇒ = ⇒ = = ⇒ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠
− ⎛ − ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝
−⎛ ⎞ ⇒⎜ +
⎠
⎟⎝ ⎠
∫
∫
∫
∫ ∫1
22 2
1 2
2 2 2
2
( )
( ) : ; 1
1 1
I
x dxI De la forma x aSen x Sen x Sen dx Cos dx
Sen Cos d Sen d CosSen Cos
θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θθ θ
⇒ = ⇒ = ⇒ = =−
−= =
−
∫
∫ ∫
( )( )( )
2
2
2
22
2 2 2 2
2 11
1
11 1 1 1 11 1 1
( )1 1 11 2 2 1
xx
d Cosd dCos Cos Cos
Sen Cos d Sec d Cos d Ln Sec Tg Sen kSen
x Sen
xx dx x xLn x k Ln x k Ln x kx x xx x x
x Lnx xxLn dx Lnx
θ θθ θθ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ θ θ θθ
θ
−+
= − ⇒
= − = + − +−
=
++= + − + = − + = − +
− − +− − −
− +⎛ ⎞ = +⎜ ⎟+⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
∫ x Kx
⎛ ⎞− +⎜ ⎟−⎝ ⎠
2 2 2
1 2
21
2
2 2 2
2
2
1
( ) ( )
( )
15)
(( )
+= +
= − +
⎛ ⎞⎜ ⎟ +⎝ ⎠= = = =
+⇒
∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫tgx dx tgxdx dx
Sen x Sen x Sen xI I
I Csc x dx Ctgx k
Senx dxtgx dx Senx dx dx Sen xCosxISen x Sen x Sen x Cosx
tgx dxSe
Senx Cosx
n x
2 ) ∫Cos x dx
Senx Cosx
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2 2
2
1
:
2 2 (2 )2 22
+ = + = + = + +
+=− + + +
= →
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
Sen x dx Cos x dx Senx dx Cosx dx tgx dx Ctgx dx Ln Secx Ln Senx kSenx Cosx Senx Cosx Cosx Senx
tgxdx Ctg Ln Secx Ln Senx kSen x
Otra Formadx dx Csc x dxSen x Sen x
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