integrale indefinito di una funzione composta
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INTEGRALEINDEFINITODIUNAFUNZIONECOMPOSTA
1
Integrale di:
Funzione Composta*Derivata[argomento]
Metodo di sostituzione
2
FunzioneComposta*Derivata[argomento]
[ f (x)]n i f ' (x)dx∫ =[ f (x)]n+1
n +1+ c
f '(x)f (x)
dx∫ = ln | f (x) | +c
cos f (x)i f ' (x)dx∫ = senf (x) + c e f (x )i f ' (x)dx∫ = e f (x ) + c
senf (x)dx∫ i f ' (x)dx = − cos f (x) + c
g[ f (x)]• f '(x)dx∫ = G( f (x)) + c
L’integrale di una FunzioneComposta*Derivata[argomento] è uguale alla Primitiva della FunzioneEsterna
FunzComposta Derivata[funzInterna] PrimitivaFunzEsterna
argomento g=funzEsterna
3
D[FunzInterna] Primitiva FunzEsterna
Integraledi“FunzioneComposta*Derivata[argomento]”
[ f (x)]n • f '(x)dx∫ =[ f (x)]n+1n+1 + c
(7x +1)3 ⋅ 7dx∫ =
(7x +1)3 ⋅ 7dx∫ = =(7x +1)4
4+ c
f f’
f’ f
(2x + 4)5 ⋅2dx∫ =
(2x + 4)5 ⋅2dx∫ = =(2x + 4)6
6+ c
funzInterna f=7x+1 calcolo f’=7*1+0=7
funzInterna f=2x+4 calcolo f’=2*1+0=2
1) Primitiva f.Esterna Potenza
Primitiva f.Esterna Potenza
C’E’
C’E’
2)
1-Funzione Esterna
POTENZA argomento
(8x + 3)5 dx∫ =
=18(8x + 3)5 ⋅8dx∫ =
18(8x + 3)5 ⋅8dx∫ =
18(8x + 3)6
6=(8x + 3)6
48+ c
4
Se la derivata dell’argomento f’ non c’è nel testo devo inserirla moltiplicando e dividendo per un numero opportuno.
f’ divido e moltiplico per 8
funzInterna f=8x+3 --> f ‘= 8*1+0=8 : 3) NON C’E’
C’è x Manca 2 (x2 +1)3 ⋅ xdx∫ =
=12(x2 +1)3 ⋅2xdx∫ ==
12(x2 +1)3 ⋅2xdx∫ ==
12(x2 +1)4
4=(x2 +1)4
8+ c
4) funzInterna f =x2+1 --> f ‘= 2x
f’ divido e moltiplico per 2
Integraledi“FunzioneComposta*Derivata[argomento]”
1-Funzione Esterna
POTENZA
argomento
argomento
5
DerivataFunzInterna PrimitivafunzEsterna
Integraledi“FunzioneComposta*Derivata[argomento]”
88x −1
⋅dx∫
=1
8x −1⋅8dx∫ = = ln | 8x −1 | +c
6x3x2 +1
⋅dx∫
=1
3x2 +1⋅6xdx∫ = = ln | 3x2 +1 | +c
f '(x)f (x)
dx∫ =1f (x)
• f '(x)dx∫ = ln | f (x) | +c2- Funzione esterna 1/f(x)
1/f f’
1/f
1)
2)
f =8x-1 --> f ‘= 8*1+0=8 :
Primitiva funzEsterna
1/f(x)
f =3x2+1 --> f ‘= 3*2x+0=6x :
f’
Primitiva funzEsterna
1/f(x)
C’E’
C’E’
argomento
6
Integralidi“FunzioneComposta*Derivata[argomento]”
xx2 + 3
dx∫ =
=12
2xx2 + 3
idx =∫12⋅
1x2 + 3
i2xdx =∫ =12⋅ ln(x2 + 3) + c
x2 +1x3 + 3x
dx∫
=133(x2 +1)x3 + 3x
idx =∫13
1x3 + 3x
i(3x2 + 3)dx =∫ =13ln | x3 + 3x | +c
f '(x)f (x)
dx∫ =1f (x)
• f '(x)dx∫ = ln | f (x) | +c
Negli esempi seguenti la derivata dell’argomento f’ non è presente nel testo: devo moltiplicare e dividere per un numero opportuno
1/f f’
3)
4)
f’ 1/f
f interna f=x2+3 --> f’= 2*x+0=2x :
Primitiva funzEsterna
1/f(x)
f.interna =x3+3x --> f ‘= 3x2+3 =3(x2+1)
2- Funzione esterna 1/f(x)
Divido e moltiplico per 2
Divido e moltiplico per 3 Primitiva fEsterna
1/f(x)
C’E’ la x manca 2
manca 3
7
e− x ⋅dx∫ =
= − e− x ⋅ (−1) ⋅dx∫ = − e− x ⋅ (−1) ⋅dx∫ = −e− x + c
x ⋅ ex2
⋅dx∫ =
=12
ex2
⋅2x ⋅dx∫ =12
ex2
⋅2x ⋅dx∫ =12ex
2
+ c
DerivataFunzInterna PrimitivaFunzEsterna
Integralidi“FunzioneComposta*Derivata[argomento]”
3-Funzione esterna Esponenziale
3 ⋅ e3x dx∫ = e3x ⋅ 3dx∫ = = e3x + cf f’
Negli esempi seguenti la DerivataFunzInterna ( in questo caso è l’esponente) f’ non è nel testo: per ottenerla devo moltiplicare/dividere per un numero opportuno
e f (x )i f '(x)dx∫ = e f (x ) + c
argomento
f interna=esponente f=-x --> f ‘= -1 :
NON C’E’
Divido/moltiplico per -1
f interna=esponente f=x2 --> f ‘= 2x :
C’E’ la x manca 2
Divido/moltiplico per 2
f’
f’
8
DerivataFunzInterna PrimitivaFunzEsterna
Integralidi“FunzioneComposta*Derivata[argomento]”
3cos(3x − 4)dx∫ = cos(3x − 4)i3dx =∫ = sen(3x − 4) + c
cos4x ⋅dx∫ = =14cos4xi4dx =∫
14cos4xi4dx∫ =
14sen4x + c
cos(2x + 3) ⋅dx∫ = =12cos(2x + 3)i2dx∫ ==
12sen(2x + 3) + c
cos f (x)• f '(x)dx∫ = senf (x) + c4-Funzione esterna coseno
Negli esempi seguenti la DerivataFunzInterna f’ non è nel testo: per ottenerla devo moltiplicare e dividere per un numero opportuno
f f’
Molt/div per 4
Molt/div per 2
Calcolo integrale Primitiva della funzEsterna coseno
argomento
f’
f’
f’=4 non c’è
f’=2 non c’è
f’=3 c’è
9
METODO DI SOSTITUZIONE
g[ f (x)]dx∫
(*) DIFFERENZIALE dx è una operazione che si svolge: calcolando la derivata prima e moltiplicando per dt • Esempi: se x=3t+5 Differenziale : dx=(3*1+0)dt dx=3dt se x=t2-3 Differenziale : dx=(2t-0)dt dx=2tdt se x=5t2+7t Differenziale : dx=(10t+7)dt
Pongo argomento=t cioè f(x)=t --> ricavo x e calcolo differenziale dx. (*) Sostituisco nel testo e ottengo un integrale in t che risolvo. Infine ri-sostituisco f(x) al posto di t.
g=funzioneEsterna f= funzInterna o argomento
funzioni composte
10
1 - Funzioni composte : METODO DI SOSTITUZIONE
(t)4 15dt = 1
5t 4 dt =∫∫
= 15t 5
5 = t 5
25
= (5x + 2)5
25+ c
(5x + 2)4 ⋅dx∫ =
RI-sostituisco f(x) al posto di t
Ricavo x
Calcolo Differenziale
Sostituisco nel TESTO e svolgo calcoli
Ottengo un integrale immediato nella variabile t : lo calcolo
Pongo f(x)=t 5x + 2 = t
5x = t − 2→ x = 15t − 25
dx = 15⋅1+ 0⎛
⎝⎜⎞⎠⎟ dt→ dx = 1
5dt
Funzione esterna Potenza
11
2 - Funzioni composte : METODO DI SOSTITUZIONE
cos ti13dt = 1
3cos t dt =∫∫
= 13sent =
= 13sen(3x −1)+ c
cos(3x −1) ⋅dx∫ =Ricavo x
Calcolo Differenziale
Sostituisco nel TESTO e svolgo calcoli
3x −1= t
3x = t +1→ x = 13t + 13
dx = 13⋅1+ 0⎛
⎝⎜⎞⎠⎟ dt→ dx = 1
3dt
Pongo f(x)=t
Ottengo un integrale immediato nella variabile t : lo calcolo
RI-sostituisco f(x) al posto di t
Funzione esterna Coseno
12
3 - Funzioni composte : METODO DI SOSTITUZIONE
2t⋅ 17dt = 2
71tdt =∫∫
= 27ln | t | =
= 27ln | 7x − 3 | +c
27x + 3
⋅dx∫ =Ricavo x
Calcolo Differenziale
Sostituisco nel TESTO e svolgo calcoli
Pongo f(x)=t 7x + 3 = t
7x = t − 3→ x = 17t − 37
dx = 17⋅1+ 0⎛
⎝⎜⎞⎠⎟ dt→ dx = 1
7dt
Ottengo un integrale immediato1/t nella variabile t : lo calcolo
RI-sostituisco f(x) al posto di t
Funzione esterna 1/f(x)
13
4 - Funzioni composte : METODO DI SOSTITUZIONE
(t)3 ⋅(12t + 12) ⋅ 12dt = (1
2t 4 + 1
2t 3 ) ⋅ 1
2dt =∫∫
= 14t 4 + 1
4t 3⎛
⎝⎜⎞⎠⎟ dt =∫
= 14it 5
5+ 14t 4
4= t 5
20+ t
4
16=
= (2x −1)5
20+ (2x −1)
4
16+ c
(2x −1)3 ⋅ x ⋅dx∫ =
Sostituisco nel TESTO e svolgo calcoli
Differenziale
Ricavo x
f(x)=t 2x −1 = t
2x = t +1 → x =t2+12
→ x =12⋅ t +
12
→ dx =12⋅1+ 0⎛
⎝⎜⎞⎠⎟dt→ dx =
12dt
integrale immediato in t: lo calcolo
RI-sostituisco f(x) al posto di t
Funzione esterna Potenza
14
5 - Funzioni composte : METODO DI SOSTITUZIONE
t ⋅ 29t dt = 2
9t 2 dt =∫∫
= 29⋅ t3
3 = 2t 3
27=
= 2( 9x + 7)3
27=2 (9x + 7)3
27+ c
(9x + 7) ⋅dx∫ = Conviene porre =t tutta la radice!
9x + 7 = t → 9x + 7 = t 2
x = t2
9− 79x = 1
9t 2 − 7
9
dx = 19⋅2t − 0⎛
⎝⎜⎞⎠⎟ ⋅dt dx = 2
9t ⋅dt
Sostituisco nel TESTO e svolgo calcoli
Differenziale
Ricavo x
f(x)=t
Ottengo un integrale immediato nella variabile t : lo calcolo
RI-sostituisco f(x) al posto di t
Funzione esterna Radice Quadrata
16
f (x) ⋅ g '(x) ⋅dx∫ = f (x) ⋅ g(x) − f '(x)∫ ig(x)dx
x ⋅ ex ⋅dx∫ = x ⋅ ex − 1 ⋅∫ ex idx = xex − ex + c
REGOLA DI INTEGRAZIONE PER PARTI Si applica per integrare il prodotto fra due funzioni del tipo: • Una funzione si chiama FattorFinito f(x) à si deve derivare trovando f’(x) • L’altra è FattorDifferenziale g’(x)dx àsi deve integrare: trovo primitiva g(x)
NB: scelgo come FattorFinito la funzione più comoda da derivare
xnex dx∫ xn ⋅cos x ⋅dx∫ xn ln x ⋅dx∫ =
ff fd
ff fd
ff INT(fd) ・ -∫ D[ff] ・ INT(fd)
ff INT(fd) ・ -∫ D[ff] ・ INT(fd)
17
f (x) ⋅g'(x) ⋅dx∫ = f (x) ⋅g(x)− f '(x)∫ !g(x)dx
x ⋅ cos x ⋅dx∫ = xisenx − 1 ⋅ senx ⋅dx∫ = xisenx − (− cos x) = xisenx + cos x + c
ln x ⋅dx∫ = ln x ⋅1 ⋅dx∫ = ln xix − 1x∫ ix ⋅dx = x ln x − 1∫ ⋅dx = x ln x − x + c
x ln x ⋅dx∫ = ln x ⋅ x ⋅dx∫ = ln xi x2
2−
1x∫ ix2
2⋅dx =
x2
2ln x − x∫ dx =
x2
2ln x − x2
2+ c
REGOLA DI INTEGRAZIONE PER PARTI
ff
ff
fd
fd
fd
ff fd ff INT(fd) ・ -∫ D[ff] ・ INT(fd)
ff
Quando c’è il logaritmo scelgo lnx come fattor finito
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