interes compuesto
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MAT
EMÁT
ICA
FINA
NCIE
RA INTERÉS COMPUESTO
Expositor: Daniel Robles Fabián
𝑴𝒐𝒏𝒕𝒐
=𝑪𝒂𝒑𝒊𝒕𝒂
𝒍 (𝟏+𝑻𝒂𝒔𝒂𝒅
𝒆 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒆
𝒔 )𝑻𝒊𝒆
𝒎𝒑𝒐
𝑺=𝑷(𝟏+𝒊)
𝒏
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RAINTERÉS COMPUESTO
Concepto.- Es un proceso donde un capital en una unidad de periodo, genera intereses y luego los suma para formar un nuevo capital, a este proceso se le llama capitalización.
Donde: P1 + I1 = S1 Pn + In = Sn
P1 P2S1= P3S2
P4S3PnSn-1 SnS4
= = =
I1 I2 I3 I4 In-1
i
0 1 2 3 4 n-1 n
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RA P + I
i
Cuando se va acumulando intereses en varias
unidades de periodos consecutivos el capital
crece geométricamente.
Este proceso de capitalización
periódica es efecto de la tasa de
interés compuesto.
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RA Un caso:
Si recibimos un préstamo de S/. 1000 a pagarse en 4 meses fijado a una tasa del 10% mensual.
P1=1000
S1=1100=P2
I1=1000x0.1
I1=100
I2=1100x0.1 I3=1210x0.1 I4=1331x0.1
I2=110 I3=121 I4=133.10
S2=1210=P2 S3=1331=P2 S4=1464.10
i = 10%(tasa de interés)
0 2 3 41
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RATASAS DE INTERÉS COMPUESTO
1. Tasas Efectiva Periódica (i, if, ip).- Es aquella tasa que capitaliza una vez cada periodo definido.
Ejemplo:ia = tasa efectiva anual =TEA
is = tasa efectiva semestral =TES
it = tasa efectiva trimestral =TET
ib = tasa efectiva bimestral =TEB
im= tasa efectiva mensual =TEM
iq= tasa efectiva quincenal =TEQ
id = tasa efectiva diario =TED
P S
n1 n2
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RA 2. Tasa Nominal (J).- Es una tasa anual, pero capitaliza varias veces al año.
P S
0n= 1 año
1 2 3 4
m = 4
Si el número de capitalizaciones al año es 4, entonces es capitalización trimestral.
J
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RATiempo(n) Capitalización # de Capitalizaciones
al año(m)1 año Anual 1
6 meses Semestral 2
3 meses Trimestral 4
2 meses Bimestral 6
1 mes Mensual 12
½ mes Quincenal 24
1 día Diaria 360
Periódo Sistema Financiero Calendarioaño 360 días 365 /366 según el añomes 30 días 28 /29/30/31 según el mes
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RAMONTO A TASA EFECTIVA PERIÓDICA(S)
Es el Valor futuro o capital acumulado que se obtiene a partir de la capitalización que impone una tasa efectiva de un periodo determinado.
Periodo(n) Capital(P) Interés(I) Monto(S)1 P Pxi P+Pxi = P(1+i)
2 P(1+i) P(1+i)xi P(1+i)+P(1+i)xi = P(1+i)2
3 P(1+i)2 P(1+i)2xi P(1+i)2+P(1+i)2
xi = P(1+i)3
4 P(1+i)3 P(1+i)3xi P(1+i)3+P(1+i)3
xi = P(1+i)4
. . . .
. . . .n P(1+i)n-1 P(1+i)n-1
xi P(1+i)n-1+P(1+i)n-1xi =P(1+i)n
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RA Entonces para cualquier periodo “n” el valor futuro o monto se obtiene con la siguiente formula deducida:
Donde: S Valor futuro o montoP Valor presente o capital iniciali Tasa efectiva periódican Tiempo
Nota: Para aplicar correctamente la formula, la tasa de interés y el tiempo deben estar a la misma unidad de periodo.
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RAEjemplo1:
Un crédito personal de S/.5000 debe ser cancelado a 1 año y 3 meses a una TEA=35,5%. Calcular el monto a pagarse en ese plazo indicado.Solución:
Datos
P=5000Ia = 0,355 anualn = 15/12 años
Por formula:𝑆=𝑃 (1+ 𝑖𝑎)𝑛
Aplicando los datos tenemos:
𝑆=5000 (1+0,355)15 /12
𝑺=𝟕𝟑𝟎𝟗 ,𝟔𝟏
PS
0 1 año 1 a y 3 m
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RAEjemplo2:
Una cuenta a plazos de S/. 20000 debe permanecer en el banco por 8 meses ganando intereses a una TET=1,8%. Calcular el monto a retirarse al vencimiento del plazo.Solución:
Datos
P= 20000it = 0, 018 trimestraln = 8/3 trimestres
Por formula:𝑆=𝑃 (1+ 𝑖𝑡)𝑛
Aplicando los datos tenemos:
𝑆=20000 (1+0,018)8/3
𝑺=𝟐𝟎𝟗𝟕𝟒 ,𝟒𝟔
PS
0 1 t 2 t y 2 m2 t
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RAMONTO A TASA NOMINAL ANUAL
Es el Valor futuro o capital acumulado que se obtiene a partir de una tasa nominal que capitaliza varias veces al año en un periodo determinado.Se calcula con la siguiente formula:
𝑺=𝑷 (𝟏+𝑱𝒎 )
𝒏 𝒙𝒎
Donde: S Valor futuro o montoP Valor presente o capital inicialJ Tasa Nominal Anualm Número de capitalizaciones al añon Tiempo en años
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RAEjemplo3:Un bono hipotecario adquirido a S/. 9000 con un plazo de vencimiento de 1 año y 6 meses debe pagar intereses a una J=25,2%. Capitalizable semestralmente. Calcular el monto a cancelarse.Solución:
Datos
P= 9000J = 0, 252m= 2 (cap. Semestral)n = 1,5 año
Por formula:
𝑆=𝑃 (1+ 𝐽𝑚 )
𝑛𝑥𝑚
Aplicando los datos tenemos:
𝑆=9000(1+ 0,2522
)1 , 5𝑥 2
𝑺=𝟐𝟎𝟗𝟕𝟒 ,𝟒𝟔P S
0 1 s 3s2 s
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RA
𝒊𝒂=(𝟏+𝑱𝒎 )
𝒎−𝟏
𝑱=𝒎(𝒎√𝟏+𝒊𝒂−𝟏)
TEORÍA DE CONVERSIÓN DE TASASDE INTERÉS COMPUESTO
Caso 1: Conversión de Tasa Efectiva Anual a Tasa Nominal Anual
Si: 𝑆=𝑃 (1+ 𝑖𝑎)𝑛=𝑃 (1+ 𝐽𝑚 )
𝑛 𝑥𝑚
1+𝑖𝑎=(1+ 𝐽𝑚 )
𝑚
Despejando tenemos:
Tasa Efectiva Anual (ia)
Tasa Nominal Anual(J)
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RA Ejemplo: A que tasa efectiva anual será equivalente la tasa nominal del 21% capitalizable mensualmente.
Solución:
Datos:
ia= ?J = 0,21m=12 (cap. mensualmente)
Como:
Remplazando tenemos:
𝒊𝒂=(𝟏+𝑱𝒎 )
𝒎−𝟏
𝒊𝒂=(𝟏+𝟎 ,𝟐𝟏𝟏𝟐 )
𝟏𝟐−𝟏
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RA Ejemplo: A que tasa nominal que sea capitalizable trimestralmente será equivalente a la tasa efectiva anual del 24;6%
Solución:
Datos:
J = ?m = 4 (cap. trimestralmente)ia= 0,246
Como:
Remplazando tenemos:
-1)
𝑱=𝒎(𝒎√𝟏+𝒊𝒂−𝟏)
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RATEORÍA DE CONVERSIÓN DE TASAS
DE INTERÉS COMPUESTO Caso 2: Conversión de Tasa Nominal Anual a Tasa Efectiva
Periódica
𝒊𝒙=𝑱𝒎 Donde “x” depende de m
Ejemplo1:
J=20%m= 4 (cap. trim.)
5%
Ejemplo2:
J=18,6%m= 24 (cap. quinc.)
0,775%
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RATEORÍA DE CONVERSIÓN DE TASAS
DE INTERÉS COMPUESTO
Caso 3: Conversión de Tasas Efectivas Periódicas
Si: 𝑆=𝑃 (1+ 𝑖𝑎)𝑛=𝑃 (1+ 𝐽𝑚 )
𝑛 𝑥𝑚
𝟏+𝒊𝒂=(𝟏+𝑱𝒎 )
𝒎
Analógicamente:
𝟏+𝒊𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓=(𝟏+𝒊𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓)𝒎
Despejando se deduce:Tasa Efectiva Mayor:
Tasa Efectiva Menor:
𝒊𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓=(𝟏+𝒊𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 )𝒎−𝟏
𝒊𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓=𝒎√𝟏+𝒊𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓−𝟏
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RAEjemplo1: A que tasa efectiva semestral equivale la tasa efectiva bimestral del 4,52%.
Solución:Datos:iS = ? (mayor)Ib = 0,0452m = 3
𝒊𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓=(𝟏+𝒊𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 )𝒎−𝟏
𝒊𝒔=(𝟏+𝟎 ,𝟎𝟒𝟓𝟐 )𝟑−𝟏𝒊𝒔=𝟏𝟒 ,𝟏𝟖%
Ejemplo2: A que tasa efectiva mensual equivale la tasa efectiva anual del 18,15%.Solución:Datos:im = ? (menor)Ia = 0,1815m = 12
𝒊𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓=𝒎√𝟏+𝒊𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓−𝟏
𝒊𝒎=𝟏𝟐√𝟏+𝟎 .𝟏𝟖𝟏𝟓−𝟏𝒊𝒎=𝟏 ,𝟒𝟎%
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RAFORMULAS DERIVADAS DEL MONTO
A partir de: 𝑷 (𝟏+𝒊𝒑)𝒏=𝑺 Despejando tenemos:
1. Valor Actual o Capital (P) 𝑷=𝑺
(𝟏+𝒊𝒑)𝒏
2. Tasa Efectiva Periódica (ip) 𝒊𝒑=𝒏√ 𝑺𝑷 −𝟏3. Tiempo(n)
𝒏=𝑳𝒐𝒈 (
𝑺𝑷 )
𝑳𝒐𝒈 (𝟏+𝒊𝒑)
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RAProblema 1: ¿Qué préstamo debe realizarse a 6 meses y 18 días para poder cobrar las suma de S/.12640 fijado a una TEM=4,5%.Solución:
Datos:
P = ?n = 6 m y 18 dim=0,045S = 12640 𝑃=
𝑆(1+𝑖𝑚)𝑛
Sabemos que:
Remplazando:
𝑃=12640
(1+0,045)6,6
18 días convertir a meses mediante el método de la unidad.
= 0,6 m
𝑃=9453,22
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RAProblema 2: ¿ A qué tasa efectiva bimestral debe otorgarse un crédito de S/.6800 para cobrara la suma de S/.9120 en el plazo de 1 año, 5 meses y 3 días.
Solución:
Datos:
ib=0,045P = 6800S = 9120n = 1a,5m y 3d
𝑖𝑏=8 , 55√ 91206800−1
𝑖𝑏=0,034929 𝑥100%
𝑖𝑏=3,49%
Convirtiendo el tiempo en bimestres
n = 1a, 5m y 3d = 513 d (
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RAProblema 3: Durante que plazo debe depositarse una cuanta de ahorros de S/.4910 a una TET=1,89% para tener un saldo de S/.7084.
Solución:
Datos:
n = ?P = 4910it = 0,0189S = 7084
𝑛=𝐿𝑜𝑔(
𝑆𝑃 )
𝐿𝑜𝑔(1+𝑖𝑝)Sabemos que:
𝑛=𝐿𝑜𝑔(
70844910 )
𝐿𝑜𝑔 (1+0,0189)
Remplazando:
𝑛=19,57767225 𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑠( 90 𝑑1 𝑡 )𝑛=1761𝑑 í 𝑎𝑠𝑛=4 𝑎 ,10𝑚𝑦 21𝑑
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RA4. Interés(I)
Problema 4: Calcular los interés a pagarse en una deuda de S/. 7500 fijado a una TEQ = 2% y un plazo de 10 meses y 10 días.Datos:
I= ? P = 7500iq = 0,02n = 10 m y 10 d
𝐼=𝑆−𝑃𝐼=𝑃 ¿𝑰=𝑷 ¿
𝑛=10𝑚𝑦 10𝑑=310𝑑 ( 1𝑞15𝑑 )=20,666….Aplicando :𝐼=𝑃 ¿
𝐼=7500 ¿𝐼=3792,71𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥 .
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RADESCUENTO A INTERES COMPUESTO
1. DESCUENTO RACIONAL COMPUESTO(DRC).- Es un descuento matemático exacto establecido a partir de la tasa efectiva periódica por el pago anticipado de una deuda.
Donde:DRC = Descuento Racional Compueston = tiempo de descuentoVa = Valor ActualVn = Valor Nominal
P Va Vn
n0 n1 n2
ip
DRC
𝑫𝑹𝑪=𝑽 𝑵 [𝟏−(𝟏+𝒊𝒑)−𝒏 ]𝑽 𝑨=𝑽 𝑵−𝑫𝑹𝑪
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RAProblema: Un préstamo se acordó pagar a 8 meses y 24 días la suma de S/. 18400 pero transcurrido 6 meses y 27 días de su aceptación se decide cancelar. Calcular el descuento racional que debe realizarse y el valor de pago si la operación se lleva a la TEM=1,6%.
Datos:
DRC = ? Vn = 18400im = 0.016n1 = 8 m y 24 dn2 = 6 m y 27 d
Solución: P Va=? Vn=18400
n=1m y 27d0 n1 n2
im=1,6%
n = 1,9 mAplicando:
𝑫𝑹𝑪=𝟓𝟒𝟔 ,𝟔𝟓
𝑫𝑹𝑪=𝑽 𝑵 [𝟏−(𝟏+𝒊𝒑)−𝒏 ]𝑫𝑹𝑪=𝟏𝟖𝟒𝟎𝟎 [𝟏−(𝟏+𝟎 ,𝟎𝟏𝟔 )−𝟏 ,𝟗 ]
𝑽 𝑨=𝟏𝟖𝟒𝟎𝟎−𝟓𝟒𝟔 ,𝟔𝟓𝑽 𝑨=𝟏𝟕𝟖𝟓𝟑 ,𝟑𝟓
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RADESCUENTO A INTERES COMPUESTO
2. DESCUENTO BANCARIO COMPUESTO(DBC).- Es un descuento comercial establecido a partir de la tasa adelantada periódica por el pago anticipado de una deuda.
Donde:DBC = Descuento Bancario Compueston = tiempo de descuentoVa = Valor ActualVn = Valor Nominal
P Va Vn
n0 n1 n2
ip
DBC
𝑫𝑩𝑪=𝑽 𝑵 [𝟏−(𝟏−𝒅)𝒏 ]𝑽 𝑨=𝑽 𝑵−𝑫𝑩𝑪
𝒅=𝒊
𝟏+𝒊
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RAProblema: Una letra de cambio se acepto pagar a 90 días el valor de S/.12300 pero faltando 24 días para el vencimiento se decide cancelar. Calcular el valor de pago si la operación se lleva a una tasa de descuento bimestral del 3,2%
Datos:
DBC = ? Vn = 12300db = 0,032n = 24 d
Solución:P Va=? Vn=12300
n=24 d0 n1 n2
db=3,2%
DBC
n = 0,4 bim
𝑫𝑩𝑪=𝑽 𝑵 [𝟏−(𝟏−𝒅)𝒏 ]Aplicando:
𝑫𝑩𝑪=𝟏𝟐𝟑𝟎𝟎 [𝟏−(𝟏−𝟎 ,𝟎𝟏𝟑)𝟎,𝟒 ]𝑫𝑩𝑪=𝟔𝟒 ,𝟐𝟏𝑽 𝑨=𝟏𝟐𝟐𝟑𝟓 ,𝟕𝟗
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