intervalos de confianza 2
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Intervalo de confianza para la Media Poblacional
),(~,, 21 NXX n
nXXn
ii
1
)1(1
22
nXXSn
ii
Intervalo de Confianza del 100 (1-) %
Suposición sobre los parámetros
Intervalo de confianza
2
2
2
conocida
desconocida
desconocida
nzx
2
n
stx 2
n
szx 230n
30n
Peso verdadero
ii EX Peso medido en la pesada i
21 1.0,0~,, NEE n
21 1.0,~,, NXX n
22 1.0 conocida
Una balanza eléctrica da una lectura igual al peso verdadero más un error aleatorio que tiene una distribución normal con media cero y desviación estándar =0.1 mg. suponga que los resultados al pesar 5 veces el mismo objeto son: 3.142, 3.163, 3.155, 3.150, 3.114
Ejemplo 1
a)Determine una estimación para el peso verdadero con un intervalo de confianza del 95% .
b)Determine una estimación para el peso verdadero con un intervalo de confianza del 99% .
5
0.0188776.21448.3
0.023145.3 95.01
99.01 0.039145.3
n
stx 2
Error de la estimación de μ mediante la Media Muestral
nzx
2
nzx
2x
Error
El error no excederá de n
z
2
varianza conocidavarianza conocida
2
2
e
zn
Tamaño de la muestra
Con una confianza del 100 (1-) % e el error no excederá una cantidad específica e cuando el tamaño de la muestra es:
INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIAS DE
MEDIAS
Comparando poblaciones...
Intervalos de confianza para la diferencia de medias
Población
Normal
Muestras
independientes
Muestras
dependientes.
Intervalos de confianza para la diferencia de medias
Muestras
independientes
Varianzas
conocidas
Varianzas
desconocidas
supuestas iguales.
Varianzas
desconocidas
supuestas distintas.
Estimación de la diferencia entre dos medias poblacionales
Sean dos poblaciones distribuidas normalmente con medias desconocidas 1 y 2 y varianzas σ1
2, σ22
respectivamente.
211111 ,~,,
1NXX n
222212 ,~,,
2NXX n
2
22
1
21
2121 ,~nn
NXX
211111 ,~,,
1NXX n
222212 ,~,,
2NXX n
1
21
11 ,~n
NX
2
22
22 ,~n
NX
Estadístico de prueba
1,0~)()(
2
22
1
21
2121 N
nn
XXZ
Distribución del Estadístico
1)()(
2
2
22
1
21
21212 z
nn
XXzP
2
22
1
21
221 )(nn
zxx
Construcción del intervalo de confianza para 1 - 2
222
21
Si las varianzas de las poblaciones son desconocidas pero se consideran iguales.
1,0~11
)()(
21
2
2121 N
nn
XXZ
Estimación de la diferencia entre dos medias poblacionales
21
12 ~
)1( 211
nSn
2
12
2 ~
)1( 222
nSn
Estimación de la varianza poblacional de las diferencias
22
2122 ~
)1(
)1( 222
2112
nnSnSn
SP
Varianza muestral pooled
se distribuye como una t con n1 + n2 - 2 grados de libertad.
2
11
11
)()(
212
222
211
21
2
2121
nn
SnSn
nn
XXT
Distribución del Estadístico
21
2121
11
)()(
nnS
XXT
p
1
11
)()(2
21
21212 t
nnS
XXtP
p
Construcción del intervalo de confianza para 1 - 2
21
)2,2/(2111
21 nnstxx pnn
22
2t2t
221 nnt
Intervalo de confianza del 100(1-) % para 1-2
Si las varianzas de las poblaciones no son iguales.
2
22
1
21
21
n
S
n
S
XXt
donde los grados de libertad gl son aproximados por la siguiente fórmula:
11
)(
2
22
1
21
221
n
c
n
c
ccgl
1
21
1 n
sc
2
22
2 n
sc
Comparación de medias de dos poblaciones usando muestras
pareadas
En este caso se trata de comparar dos métodos o tratamientos, pero se quiere que las unidades experimentales donde se aplican los tratamientos sean las mismas, ó lo más parecidas posibles, para evitar influencia de otros factores en la comparación.
Comparando medias de dos poblaciones usando muestras
pareadas
Sea Xi el valor del tratamiento I y Yi el valor del tratamiento II en el i-ésimo sujeto.
di =Xi-Yi
Diferencia de los tratamientos en el i-ésimo sujeto.
nddn
ii
1 1
2
n
dds i
i
d
)(
Las inferencias que se hacen son acerca del promedio poblacional d de las di.
Si d = 0, significa que no hay diferencia entre los dos tratamientos.
Estadísticos
Intervalo de Confianza para d
n
std
n
std d
nd
n 1,21,2 ,
Un intervalo de confianza del 100(1-)% para la diferencia poblacional d dada una muestra de tamaño n es de la forma
Intervalos de Confianza para la Varianza Poblacional de una
población normal
22
2
2
2
21
2
2/
2
22/1
2 )1(,
)1(
snsn
Un intervalo de confianza del 100 (1-) % para la varianza poblacional de una población normal es:
1
)1( 2
212
22
2
SnP
Donde y representan los valores de una Ji-Cuadrado con n-1 grados de libertad, el área a la izquierda de dichos valores son /2 y 1- /2 respectivamente.
22/ 1 2
2 /
Ejemplo 2
Los siguientes datos representan las edades que tenían al momento de morir por enfermedad una muestra de 20 personas de un pueblo:
80 90 85 82 75 58 70 84 87 81 87 61 73 84 85 70 78 95 77 52
Hallar un intervalo de confianza del 95 % para la varianza poblacional de la edad de muerte.
,19
(2
975.
2
s )
192
025.
2
s
n = 20 = .05
Intervalo de confianza del 95 % para 2 será de la forma:
El intervalo de confianza del 95 % para la varianza poblacional será (70.6253, 260.507).
9065.82025. 8523.322
975.
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