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Introdução aos Métodos Numéricos

Instituto de Computação UFFDepartamento de Ciência da Computação

Otton Teixeira da Silveira Filho

Conteúdo

● Erros e Aproximações Numéricas

● Sistemas de Equações Lineares. Métodos diretos

● Interpolação

● Ajuste de Curvas

● Zeros de Função

● Sistemas de Equações Lineares. Métodos Iterativos

● Integração Numérica

● Introdução à Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias

Conteúdo

● Integração Numérica

Conteúdo

● Regra de Simpson

Simpson

Vamos aumentar o grau do polinômio interpolador para 2. Sabemos que agora teremos que ter três pontos para que haja um único polinômio interpolador de grau 2.

Escolheremos os pontos extremos do intervalo mais o ponto médio do intervalo.

Observe que, mais uma vez, não há um motivo claro para fazer esta escolha de pontos

Simpson

Nossa figura será algo como abaixo e a área demarcada a área da parábola interpoladora

Simpson

Para facilitar o cálculo da área da parábola interpoladora, faremos uma transformação de coordenadas ilustrada na figura

Simpson

Com esta translação não afetamos a área,

integraremos o polinômio

neste sistema de coordenadas sabendo que

p2(x)=a0+a1 x+a2 x2

a corresponde a −h2 ;a+h2 corresponde a 0 ;

b corresponde a h2

Simpson

Integrando o polinômio teremos

ou

∫−h2

h2

p2(x)dx=∫−h2

h2

(a0+a1 x+a2 x2)dx=a0 x|−h2

h2 +a1x2

2|−h2

h2 +a2x3

3|−h2

h2

∫−h2

h2

p2(x)dx=2h2 a0+2a2

h23

3=

h2

3[6 a0+2a2h2

2 ]

Simpson

Observe que o polinômio, por ser interpolador, tem as seguintes propriedades

p2(−h2)=a0−a1h2+a2h22= f (−h2)

p2(h2)=a0+a1h2+a2h22= f (h2)

p2(0)=a0=f (0)

Simpson

Observe ainda que a soma

que comparando com

p2(−h2)+4 p2(0)+ p2(h2)=a0−a1h2+a2h22+40+a0+a1h2+a2h2

2=6a0+2a2 h2

2

∫−h2

h2

p2(x)dx=h2

3[6 a0+2a2 h2

2 ]

Simpson

nos dá o resultado

e como temos um polinômio interpolador, obtemos

∫−h2

h2

p2(x)dx=h2

3[6 a0+2a2 h2

2 ]=h2

3[ p2(−h2)+4 p2(0)+ p2(h2) ]

∫−h2

h2

p2(x)dx=h2

3[ f (−h2)+4 f (0)+ f (h2) ]

Simpson

Retornando ao sistemas de coordenadas original teremos

I≈∫a

b

p2(x)dx=h2

3[ f (a)+4 f (a+h2)+ f (b) ]=S2 ;h2=

b−a2

Simpson

Vamos agora integrar o intervalo usando duas parábolas com o intervalo dividido exatamente ao meio, ou seja,

Simpson

Aplicaremos a fórmula para uma parábola em cada subintervalo

ou

S4=h4

3[ f (a)+4 f (a+h4)+ f (a+2h4)]+

h4

3[ f (a+2h4)+4 f (a+3h4)+f (b)]

S4=h4

3[ f (a)+ f (b)+4 f (a+h4)+4 f (a+3h4)+2 f (a+2h4) ]

Simpson

Continuando o processo teremos

Sn=hn

3 [ f (a)+ f (b)+4 ∑i=1,2

n−1

f (a+i hn)+2 ∑i=2,2

n−2

f (a+ihn) ] ;hn=b−an

;n par

Simpson – Um exemplo

Façamos a mesma integração já solicitada, ou seja,

mas agora pela regra de Simpson.

Temos aqui o impedimento de só podermos usar um número par de subintervalos

∫1

2dxx

Simpson – Um exemplo

Simpson

Dois subintervalos

S2=h2

3[ f (a)+f (b)+4 f (a+h2) ] ;h2=

b−a2

=2−1

2=

12

Sn=hn

3 [ f (a)+ f (b)+4 ∑i=1,2

n−1

f (a+ i hn)+2 ∑i=2,2

n−2

f (a+ihn)]; hn=b−an

;n par

S2=h2

3 [ f (1)+f (2)+4 f (1+12) ]=1

312 [ 11+

12+4

13 /2 ]=25

36=0,69 44

Simpson – Um exemplo

Simpson

Quatro subintervalos

S4=h4

3[ f (a)+ f (b)+4 f (a+h4)+4 f (a+3h4)+2 f (a+2h4) ];h4=

b−a4

=2−1

4=

14

Sn=hn

3 [ f (a)+ f (b)+4 ∑i=1,2

n−1

f (a+ i hn)+2 ∑i=2,2

n−2

f (a+ihn)]; hn=b−an

;n par

S4=h4

3 [ f (1)+ f (2)+4 f (1+14)+4 f (1+3

14)+2 f (1+2

14) ]

S4=13

14 [ 11 +

12+4

15 /4

+41

7 /4+2

16 /4 ]=0,693253

Simpson – Um exemplo

Observemos os valores obtidos

Agora temos algo ainda mais preciso pois

S2=0,69 44 ; S4=0,693253

∫1

2dxx

=ln (2)≈0,693147

Integração numérica

Vamos a outro exercício um pouco mais focado

Integração numérica – Outro exemplo

Calcule numericamente o valores aproximados para a integral abaixo de forma que o erro relativo entre as estimativas contíguas seja menor que 0,001. Use a Regra dos Trapézios e a Regra de Simpson.

∫3

4e x

xdx

Integração numérica – Outro exemplo

Usaremos números pares de subintervalos no Método dos Trapézios para facilitar as comparações com os resultados do Método de Simpson

Integração numérica – Outro exemplo

Trapézios

Dois subintervalos

T n=hn

2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1

n−1

f (a+i hn ) ] ;hn=b−an

; f (x )=ex

x

T 2=h2

2[ f (a)+f (b)+2 f (a+h2) ] ;h2=

b−a2

=4−3

2=

12

T 2=12

12

[ f (3)+ f (4)+2 f (3+1 /2)]= 14

[6,695178+13,649537+2×9,461557 ]=9,816957

Integração numérica – Outro exemplo

Trapézios

Quatro subintervalos

T n=hn

2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1

n−1

f (a+i hn ) ] ;hn=b−an

; f (x )=ex

x

T 4=h4

2[ f (a)+ f (b)+2 f (a+h4)+2 f (a+2h4)+2 f (a+3h4)] ;h4=

b−a4

=4−3

4=

14

T 4=12

14

[ f (3)+ f (4)+2 f (13 /4)+2 f (14 /4)+2 f (15 /4)]

T 4=18

[6,695178+13,649537+2×7,935489+2×9,461557+2×11,338955 ]=9,727090

Integração numérica – Outro exemplo

Vejamos como nossas estimativas evoluem

|T 4−T 2||T 2|

=|9,727090−9,816957|

|9,816957|=

0,0898669,816957

≈0,009154

Integração numérica – Outro exemplo

Trapézios

Seis subintervalos

T n=hn

2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1

n−1

f (a+i hn ) ] ;hn=b−an

; f (x )=ex

x

T 6=h6

2 {f (a)+ f (b)+2 [ f (a+h6)+ f (a+2h6)+f (a+3 h6)+ f (a+4h6)+ f (a+5h6) ] }; h6=b−a

4=

4−36

=16

T 6=12

16

{f (3)+ f (4)+2 [ f (19 /6)+ f (20 /6)+ f (21 /6)+ f (22 /6)+ f (23 /6) ] }

T 6=112

{6,695178+13,649537+2× [7,493134+8,409487+9,461557+10,669441+12,056435 ] }=9,710402

Integração numérica – Outro exemplo

Vejamos como nossas estimativas evoluem

|T 6−T 4||T 4|

=|9,710402−9,727090|

|9,727090|=

0,0166889,728090

≈0,001715

Integração numérica – Outro exemplo

Trapézios

Oito subintervalos

T n=hn

2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1

n−1

f (a+i hn ) ] ;hn=b−an

; f (x )=ex

x

T 8=h8

2 {f (a)+f (b)+2 [ f (a+h8)+ f (a+2h8)+f (a+3 h8)+ f (a+4 h8)+ f (a+5h8)+f (a+6 h8)+ f (a+7h8)] }; h8=18

T 8=12

18

{f (3)+ f (4)+2 [ f (25 /8)+ f (26 /8)+ f (27 /8)+ f (28 /8)+ f (29 /8)+ f (30 /8)+ f (31 /8) ]}

T 8=116

{6,695178+13,649537+2× [7,283166+7,935489+8,659047+9,461557+10,351647+11,338955+12,434244 ] }

T 8=9,704557

Integração numérica – Outro exemplo

Vejamos como nossas estimativas evoluem

|T 8−T 6||T 6|

=|9,704557−9,710402|

|9,710402|=

0,0058459,710402

≈0,0006010

Integração numérica – Outro exemplo

Vejamos como nossas estimativas evoluem

Atingimos o valor solicitado

|T 8−T 6||T 6|

=|9,704557−9,710402|

|9,710402|=

0,0058459,710402

≈0,0006010

Integração numérica – Outro exemplo

Simpson

Dois subintervalos

S2=h2

3[ f (a)+f (b)+4 f (a+h2) ] ;h2=

b−a2

=4−3

2=

12

S2=13

12

[ f (3)+ f (4)+4 f (3+1 /2)]=16

[ 6,695178+13,649537+4×9,461557 ]=9,698491

Sn=hn

3 [ f (a)+ f (b)+4 ∑i=1,2

n−1

f (a+ i hn)+2 ∑i=2,2

n−2

f (a+i hn)] ;hn=b−an

;n par

f (x )=ex

x

Integração numérica – Outro exemplo

Simpson

Quatro subintervalos

S4=h4

3[ f (a)+f (b)+4 f (a+h4)+4 f (a+3h4)+2 f (a+2h4)] ;h4=

b−a4

=4−3

4=

14

S4=13

14

[ f (3)+ f (4)+4 f (13 /4)+4 f (15 /4)+2 f (14 /4)]

S4=1

12[6,695178+13,649537+4×7,935489+4×11,338955+2×9,461557 ]=9,697133

Sn=hn

3 [ f (a)+ f (b)+4 ∑i=1,2

n−1

f (a+ i hn)+2 ∑i=2,2

n−2

f (a+i hn)] ;hn=b−an

;n par

f (x )=ex

x

Integração numérica – Outro exemplo

Vejamos como nossas estimativas evoluem

|S4−S2||S2|

=|9,697133−9,698491|

|9,698491|=

0,0013579,710402

≈0,000139

Integração numérica – Outro exemplo

Vejamos como nossas estimativas evoluem

Atingimos o valor solicitado

|S4−S2||S2|

=|9,697133−9,698491|

|9,698491|=

0,0013579,710402

≈0,000139

Integração numérica – Outro exemplo

Dados tirados dos programas apresentados na página da disciplina

Enquanto a integral tem o valor

T 2=9,816957 ;T 4=9,727090 ;T 6=9,710402 ;T 8=9,704557

S2=9,698491 ; S4=9,697134 ; S6=9,697061 ; S8=9,697048

∫3

4e x

xdx=Γ(0,−3)−Γ(0,−4)≈9,697041899430811

Integração numérica

Os resultados de Simpson indicam que este método é mais preciso

Mas é só pelo aumento no grau do polinômio?

É também pela escolha do ponto médio

E isto gera uma surpresa

Integração numérica

Um exemplo simples...

Integração numérica – Outro exemplo

Determine o valor da integral dada abaixo analiticamente e numericamente por Simpson

o polinômio acima poderia ser qualquer outro do terceiro grau

∫2

5

(3−2 x+5 x2+x3

)dx

Integração numérica – Outro exemplo

Analiticamente

ou

∫2

5

(3−2 x+5 x2+x3

)dx=(3 x−x2+

53

x3+

x4

4)|2

5=3×(5−2)−(52

−22)+

53×(53

−23)+

54−24

4

∫2

5

(3−2 x+5 x2+x3

)dx=335,25

Integração numérica – Outro exemplo

Simpson com dois subintervalos

ou

f (x)=3−2 x+5 x2+x3

S2=h2

3[ f (a)+f (b)+4 f (a+h2) ] ;h2=

b−a2

=5−2

2=

32

S2=h2

3 [ f (2)+ f (5)+4 f (2+32)]=1

332 [27+243+4×

8018 ]=1

21341

2=335,25

Integração numérica – Outro exemplo

Analiticamente

Numericamente

S2=335,25

∫2

5

(3−2 x+5 x2+x3 ) dx=335,25

Integração numérica

A pergunta é porque deu exato?

● Ninguém se espantaria se integrássemos um polinômio de primeiro grau por Trapézios e desse exato

● Ninguém se espantaria se integrássemos um polinômio de segundo grau por Simpson e desse exato

● No entanto, a escolha do ponto médio em Simpson permite que ele seja exato para um polinômio de terceiro grau

Integração numérica

Uma análise do erro para as fórmulas compostas de Trapézios e Simpson nos daria

Temos erro zero se o integrando for um polinômio de até primeiro grau para Trapézios e até terceiro grau para Simpson

ET≈−h2

12(b−a) f ' '

(ξ); ES≈−h4

180(b−a) f (IV )

(ξ); h=b−an