introduccion a los diseÑos factoriales

INTRODUCCION A LOS DISEÑOS FACTORIALES

SEMANA 71

2

Diseños Factoriales

Referencia en el Texto: Capítulo 5 Principios generales de los experimentos factoriales El factorial con dos factores con efectos fijos La ANOVA para factoriales Extensiones a más de dos factores Factores Cuantitativos y Cualitativos - curvas y

superficies de respuesta

3

Diseños Factorial

es

1. Principios básicos

2. Diseño factorial general

3. Superficices de

respuesta

4. Bloques

en factoriale

s

Diseños FactorialesEl objetivo de un diseño factorial es estudiar el efecto de varios factores sobre una o varias respuestas, cuando se tiene el mismo interés en todos los factores

Los factores pueden ser cualitativos, cuantitativos o mixtos

Es necesario elegir al menos dos niveles de prueba para cada factor.

En el diseño factorial completo se corren aleatoriamente todas las posibles combinaciones

4

Definiciones BásicasDefinición del efecto de un factor: El cambio en la respuesta promedio cuando el factor es cambiado de nivel bajo a alto.

40 52 20 30 212 2

30 52 20 40 112 2

52 20 30 40 12 2

A A

B B

A y y

B y y

AB

Efecto de la

Interacción Baja

Líneas paralelas

5

El caso de la Interacción

50 12 20 40 12 2

40 12 20 50 92 2

12 20 40 50 292 2

A A

B B

A y y

B y y

AB

Efecto de la

Interacción Alta

Efecto de A depende del nivel que se elige para el factor B

Líneas se intersecan

6

Un vendedor de plástico para empaques flexibles esta ayudando a uno de sus clientes, el que reclama que el plástico que este le vende, no sella bien.

La forma de medir este sello es por medio de la fuerza requerida para separarlo, y las unidades con las que esto se mide son: gramos entre centímetros cuadrados.

Problema

Diseños Factoriales (Ejemplo)

7

Diseños Factoriales (Ejemplo)

El proceso de sellado

8

De acuerdo con su experiencia, el vendedor considera que el cierre de este material depende de las siguientes características: Temperatura Presión Grueso del plástico Tiempo de sellado.

Y ha definido las siguientes variables para realizar un experimento.

Diseños Factoriales (Ejemplo)

9

Variable respuesta: Y: fortaleza del sello (gr/cm2)

Factor Nivel alto

(+1)Nivel bajo (-1)

Temperatura (°C) 300 250

Presión (psi) 100 80

Grueso del material Pulgadas)

0.03 0.02

Tiempo sellado (s) 0.2 0.1

Diseños Factoriales (Ejemplo)Ho: efecto de temperatura = 0H1: efecto de temperatura 0…

A esto se le conoce por matriz de arreglo factorial

10

Temperatura Presión Grosor Tiempo Fuerza -1 -1 -1 -1 150-1 -1 -1 1 158-1 -1 1 -1 141-1 -1 1 1 163-1 1 -1 -1 160-1 1 -1 1 164-1 1 1 -1 147-1 1 1 1 1681 -1 -1 -1 1531 -1 -1 1 1591 -1 1 -1 1491 -1 1 1 1601 1 -1 -1 1701 1 -1 1 1631 1 1 -1 1711 1 1 1 178

Se realiza el experimento en la planta del cliente y se obtuvo los siguientes datos

Promedio temperatura baja: 156.38

Promedio temperatura alta: 162.88

Diseños Factoriales (Ejemplo)

11

Diseños Factoriales (Ejemplo)

12153

Temperatura alta

159149160170163171

178162.88 Promedio

150

Temperatura baja

158141163160164147

168156.38 Promedio

Diseños Factoriales (Ejemplo)Efecto de un factor: es el cambio observado en la variable de respuesta debido a un cambio de nivel de tal factor.El efecto de “Temperatura”= 162.88 – 156.38 = 6.5Efecto principal: Es el efecto de un factor en promedio sobre los niveles de otros factores

13

Diseños Factoriales (Ejemplo)

14

Diseños Factoriales (Ejemplo)

Temperatura Presión Fuerza

1 -1 153

1 -1 159

1 -1 149

1 -1 160

155.25

15

Diseños Factoriales (Ejemplo)

Temperatura Presión Fuerza

-1 -1 150-1 -1 158-1 -1 141-1 -1 163

153

16

Diseños Factoriales (Ejemplo)

Temperatura Presión Fuerza

-1 1 160-1 1 164-1 1 147-1 1 168

159.75

17

Diseños Factoriales (Ejemplo)

Temperatura Presión Fuerza

1 1 170

1 1 163

1 1 171

1 1 178

170.5

18

Principios Básicos

Estudios de los efectos de dos o más factores

En cada ensayo o réplica se estudian todas las

posibles combinaciones de los niveles de los factores

Diseños factoriale

s

19

Principios Básicos Son ampliamente utilizados y de gran valor

cuando se sabe poco sobre los niveles óptimos de los factores o no se sabe qué factores son importantes.

De gran valor en campos de estudio donde se sabe que la interacción de los factores es importante.

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Ventajas y Desventajas Ventaja de los diseños factoriales

Permite obtener más información que en un experimento de un solo factor, se estudian efectos principales, efectos cruzados y de interacción de los factores.

Desventaja de los diseños factoriales Se requiere un mayor número de unidades experimentales que

en experimentos con un solo factor. Se obtendrán resultados de combinaciones que pueden no ser

de interés para el investigador. El análisis estadístico y la interpretación de resultados es más

complicada.

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Definición del experimento factorial

Un experimento factorial queda definido por el número de factores y niveles de cada factor.

Un experimento con 3 niveles del factor A, 4 del factor B y 2 del factor C, puede ser denotado por: 3A4B2C 3X4X2

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Tipos de interaccionesEfecto principal: Es el efecto de un factor en promedio sobre los niveles de otros factores

Efecto simple: Es el efecto de un factor, en un nivel de los demás factores

Efecto de Interacción: Está dado por la variación que tiene un efecto simple de un factor al pasar de un nivel a otro de otro factor

Efecto cruzado: Esta dado por las combinaciones cruzadas de dos factores.

Veamos de que se trata…

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Tipos de interaccionesEjemplo: Datos de un experimento factorial 2x2

Niveles factor A

a1 a2Niveles factor B b1 b2 b1 b2Medias 54 38 45 56

24

Tipos de interacciones

Niveles factor A

a1 a2Niveles factor B b1 b2 b1 b2Medias 54 38 45 56

25

Tipos de interacciones

+

26

Tipos de interacciones

27

Tipos de interacciones

Cada línea corresponde a un efecto simple, y la interacción puede notarse cuando las líneas tienen

pendientes diferentes.

Recuerde: Efecto de interacción sobre la variable de respuesta es el que se produce cuando el efecto de un factor depende del nivel en que se encuentra el otro.

28

Tipos de interacciones

Ejemplos en los que NO hay interacción

29

Modelo de Regresión y la Superficie de Respuesta Asociada

0 1 1 2 2

12 1 2

1 2

1 2

1 2

The least squares fit isˆ 35.5 10.5 5.5

0.535.5 10.5 5.5

y x xx x

y x xx x

x x

30

El efecto de la Interacción en la Superficie de Respuesta

1 2

1 2

ˆ 35.5 10.5 5.58

y x xx x

Suponer que se añadió un término de interacción al modelo:

Interacción es en realidad una forma de curvatura

31

Un ingeniero está diseñando una batería que se usará en un dispositivo que se someterá a temperaturas extremas. El único parámetro de diseño es el material de la placa o ánodo de la batería.

El ingeniero no tendrá control sobre las temperaturas a las que operará el dispositivo, pero las puede controlar en el laboratorio, para efectos de experimentación.

Ejemplo 5-1 El Experimento de la Vida de una Batería (pg. 175)

32

Ejemplo 5-1 El Experimento de la Vida de una Batería (pg. 175)

A = Tipo Material; B = Temperatura 1. Qué efectos tienen el tipo de material y la

temperatura en la vida útil?2. Existe una escogencia de material que daría larga

vida, a pesar de la temperatura (un producto robusto) ?

33

El Experimento General de Dos Factores

a niveles de factor A; b niveles de factor B; n réplicasEste es un diseño completamente aleatorizado

34

El Experimento General de Dos Factores

Modelo estadístico (efectos): 1, 2,...,( ) 1, 2,...,

1, 2,...,ijk i j ij ijk

i ay j b

k n

Otros modelos (modelo de medias, modelo de regresión) pueden ser útiles

35

Extensión de ANOVA a Factoriales (Caso de Efectos Fijos) – pg. 178

2 2 2... .. ... . . ...

1 1 1 1 1

2 2. .. . . ... .

1 1 1 1 1

( ) ( ) ( )

( ) ( )

a b n a b

ijk i ji j k i j

a b a b n

ij i j ijk iji j i j k

y y bn y y an y y

n y y y y y y

breakdown:1 1 1 ( 1)( 1) ( 1)

T A B AB ESS SS SS SS SSdfabn a b a b ab n

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Tabla ANOVA – Caso Efectos Fijos

Texto da detalles del cálculo manual – ver pp. 180 & 181

37

Fuentes de Variación Suma de Cuadrados Grados de Libertad

Cuadrado Medio F0 Valor P

Tipos de Materiales SSA 10683.72 a-1 2 5341.86 7.91 0.002

Temperatura SSB 39118.72 b-1 2 19559.36 28.97 0.0001

Interacción SAB 9613.78 (a-1)(b-1) 4 2403.445 3.56 0.0186

Error SSE 18230.75 ab(n-1) 27 675.212963

Total SST 77646.97 abn-1 35

Ejemplo 5-1 El Experimento de la Vida de una Batería (pg. 175)

38

Ejemplo 5-1 El Experimento de la Vida de una Batería (pg. 175) Resuelto con Minitab

Se debe definir la interacción de las variables en el modelo (A*B)

39

Ejemplo 5.1 Salida Minitab

Modelo lineal general: Vida de la batería vs. Tipo de Mate, Temperatura Factor Tipo Niveles ValoresTipo de Material fijo 3 A1, A2, A3Temperatura fijo 3 15, 70, 125

Análisis de varianza para Vida de a batería, utilizando SC ajustada para pruebas

Fuente GL SC sec. SC ajust. MC ajust. F PTipo de Material 2 10683.7 10683.7 5341.9 7.91 0.002Temperatura 2 39118.7 39118.7 19559.4 28.97 0.000Tipo de Material*Temperatura 4 9613.8 9613.8 2403.4 3.56 0.019Error 27 18230.8 18230.8 675.2Total 35 77647.0

S = 25.9849 R-cuad. = 76.52% R-cuad.(ajustado) = 69.56%

Observaciones inusuales de Vida de a batería

Vida de a ResiduoObs batería Ajuste Ajuste SE Residuo estándar 3 74.000 134.750 12.992 -60.750 -2.70 R 4 180.000 134.750 12.992 45.250 2.01 R

R denota una observación con un residuo estandarizado grande.

Conclusiones?

40

Ejemplo 5.1 Salida Minitab

41

Análisis Residual – Ejemplo 5-1

DESIGN-EXPERT PlotLife

Residual

Nor

mal

% p

roba

bilit

y

Normal plot of residuals

-60.75 -34.25 -7.75 18.75 45.25

1

5

10

2030

50

70

80

90

95

99

DESIGN-EXPERT PlotLife

PredictedR

esid

uals

Residuals vs. Predicted

-60.75

-34.25

-7.75

18.75

45.25

49.50 76.06 102.62 129.19 155.75

Conclusiones?

42

DESIGN-EXPERT PlotLife

Run Number

Res

idua

ls

Residuals vs. Run

-60.75

-34.25

-7.75

18.75

45.25

1 6 11 16 21 26 31 36

DESIGN-EXPERT PlotLife

Material

Res

idua

ls

Residuals vs. Material

-60.75

-34.25

-7.75

18.75

45.25

1 2 3

DESIGN-EXPERT PlotLife

Temperature

Res

idua

ls

Residuals vs. Temperature

-60.75

-34.25

-7.75

18.75

45.25

1 2 3

Análisis Residual – Ejemplo 5-1

Conclusiones?

43

Ejemplo 5.1 Salida Minitab

La temperatura posee una relación indirectamente proporcional con respecto a la vida útil, cuando aumenta la temperatura la vida de la batería disminuye

El tipo de Material es un factor significativo en el diseño de las baterías

Cuál es la mejor combinación ?Podríamos decir que el

material A3 y la temperatura a 15?

44

Ejemplo 5.1 Salida Minitab

Analizando el efecto de la interacción, el cuál no se logra analizar en el gráfico de efectos principales se puede concluir para los datos evaluados que la combinación que maximiza la vida de la batería es el tipo de material 2 a 15 grados centígrados

Hay que tomar en cuenta que si el lugar a donde se va a utilizar es mayor a 70 grados centígrados el material adecuado es el 3

45

Factores Cuantitativos y Factores Cualitativos

El procedimiento básico ANOVA trata cada factor como si fueran cualitativos

Algunas veces un experimento involucra factores cuantitativos y cualitativos, como el Ejemplo 5.1

Esto puede ser tomado en cuenta en el análisis para producir un modelo de regresión para los factores cuantitativos en cada nivel (o combinación de niveles) de los factores cualitativos.

Estas curvas de respuesta y/o superficies de respuesta son de considerable ayuda en las interpretaciones prácticas de los resultados.

46

Factoriales con más de dos factores Procedimiento básico es similar al caso de

dos factores; todos los abc…kn combinaciones de tratamientos son corridos en orden aleatorio

ANOVA es también similar:

Ejemplo completo de tres factores en Sección 5-4 del texto

T A B AB AC

ABC AB K E

SS SS SS SS SSSS SS SS

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Otras consideraciones para el diseño factorial de dos factores

• Cuando se concluye que una interacción de dos factores tiene un efecto estadísticamente importante sobre la respuesta, su interpretación tiene prioridad sobre los efectos principales, aunque estos también sean significativos.

• La verificación de la adecuación del modelo: mediante el análisis residual ya conocido (supuestos de normalidad, varianza constante e independencia de los residuos)

• En el caso de no asegurarse la normalidad y homogeneidad en los residuos, se pueden utilizar métodos de análisis alternativos: no paramétricos; modelos lineales generalizados y de análisis de respuesta transformada. Estas situaciones exceden el alcance

del curso, pero pueden ser objeto de estudio individual posterior.

49 Diseño factorial general

50

Diseño factorial general Los resultados del diseño factorial de dos factores pueden

aplicarse al caso general: a niveles del factor A, b niveles del factor B, c niveles del

factor C. Dispuestos en un diseño general. Habrá abc…n observaciones totales si se hacen n réplicas

del experimento total. Se necesitan al menos n≥2 para determinar una suma de

cuadrados debida al error si todas las interacciones están incluidas en el modelo (si n=1 la varianza del error es no

estimable, es decir, no se puede separar el efecto de la interacción del del error experimental)

51

Diseño factorial general El Modelo del análisis de varianza de tres

factores es

y ijkl i j k ij ik jk ijk ijk

Dónde:i = 1,2,3,… , a.j = 1,2,3,… , b.k = 1,2,3,… , c.l = 1,2,3,… , n.

52

Tabla del análisis de varianza del modelo de tres factores con efectos fijos

Tabla de la página 195 del Montgomery, Tabla 5-12.

53

Práctica en grupos para la casa

A continuación se presenta los tiempos de supervivencia en horas de animales asignados aleatoriamente a tres venenos (v1, v2, v3) y tres antídotos (a1, a2, a3). El experimento fue parte de una investigación para combatir los efectos de ciertos agentes tóxicos y fue un diseño completamente al azar.

54

Práctica en grupos para la casa

a) Efectúe el análisis de varianza y analice sus efectos con respecto al enunciado.

b) Realice el análisis gráfico de la interacción.c) Se cree que el antídoto a2 es más efectivo que el a1

para contrarrestar el veneno v1, verifíquelo.

55 Superficies de respuestaModelos de efectos aleatorios

56

Superficie de respuesta Hasta el momento nos hemos enfocado en

experimentos que permiten:

Identifican unas pocas variables importantes de un gran número de candidatos.

Asegurar cómo unas pocas variables impactan una respuesta.

Pero, ¿cuáles son los niveles de estas variables que generan una respuesta óptima?..

Responder esto es lo que se busca con las superficies de respuesta.

57

Superficie de respuesta

Cuando varios de los factores de un experimento factorial son cuantitativos, puede utilizarse una superficie de respuesta

para modelar la relación entre “y” y los factores de diseño.

Las gráficas se obtienes por medio de ecuaciones lineales o cuadráticas. La forma más fácil de obtener estas ecuaciones es por medio de software especializado.

58

Superficie de respuestaCuando al menos dos de los factores son cuantitativos, resultan útiles para predecir la respuesta a niveles intermedios entre los factores

59

Se desea conocer el % de conversión de una sustancia química como consecuencia de tres factores (temperatura, tiempo y % de catalizador.

Superficie de respuesta (Ejemplo)

El ingeniero desea conocer a profundidad el impacto de los factores en la variable respuesta.

60

Superficie de respuesta (Ejemplo)

Comentarios ?

Cómo se predice el comportamiento de la variable respuesta ?

61

Design-Expert® SoftwareFactor Coding: ActualConversión

Design Points97

51

X1 = A: TiempoX2 = B: Temperatura

Actual FactorC: Catalizador = 2.50

40.00 42.00 44.00 46.00 48.00 50.00

80.00

82.00

84.00

86.00

88.00

90.00Conversión

A: Tiempo

B:

Te

mp

era

tura

78

80

80

82

84

86

88

6

Superficie de respuesta (Gráfico de Contorno)

Nos ayuda a entender el impacto de los factores en la variable respuesta, la simbología de los colores representan el impacto en la variable respuesta Es la proyección de la superficie de respuesta

Qué pasa cuando el % del catalizador pasa de 2.50 a 3?

62Design-Expert® SoftwareFactor Coding: ActualConversión

Design Points97

51

X1 = A: TiempoX2 = B: Temperatura

Actual FactorC: Catalizador = 3.00

40.00 42.00 44.00 46.00 48.00 50.00

80.00

82.00

84.00

86.00

88.00

90.00Conversión

A: Tiempo

B:

Te

mp

era

tura 70

80

90

Superficie de respuesta (Gráfico de Contorno)

Se puede observar en la gráfica de contorno como los colores más cálidos se alcanza más rápido, con los mismos niveles de tiempo y temperatura.El % de Canalización es significativo e interactúa con los demás factores

63

Superficie de respuesta (Gráfico de Contorno)

64Design-Expert® SoftwareFactor Coding: ActualConversión

Design points above predicted valueDesign points below predicted value97

51

X1 = A: TiempoX2 = B: Temperatura

Actual FactorC: Catalizador = 2.50

40.00 42.00

44.00 46.00

48.00 50.00 80.00

82.00 84.00

86.00 88.00

90.00

75

80

85

90

95

Co

nv

ers

ión

A: Tiempo B: Temperatura

Superficie de respuesta

65

Design-Expert® SoftwareFactor Coding: ActualConversionX1 = A: timeX2 = B: temperatureX3 = C: catalyst

CubeConversion

A: time

B:

tem

pe

ratu

re

C: catalyst

A-: 40.00 A+: 50.00B-: 80.00

B+: 90.00

C-: 2.00

C+: 3.00

75.6805

73.0885

87.2617

69.1696

50.7374

93.6454

70.8186

98.2265

6

Superficie de respuesta (Cubo)

66

¿Cómo se maneja el experimento factorial si la programación de producción del ejemplo de la selladora, no permite correr todas las muestras en la misma máquina?

67 Formación de Bloques en un diseño Factorial

Cuando no es factible o práctico hacer la aleatorización completa de las corridas, utilizamos bloques.

68

Formación de bloques en un diseño factorial

Las máquinas de sellado se convierten en una restricción sobre la aleatorización o un bloque.

El modelo de los efectos para este nuevo diseño es:

y ijkl i j k ij ik jk ijk m ijkm

Donde:δm: es el efecto del m-ésimo bloque.Es importante que dentro de cada bloque el orden en que se corren las combinaciones de los tratamientos está totalmente aleatorizadas

69

Formación de bloques en un diseño factorial

Se supone que la interacción entre los bloques y los tratamientos es insignificante.

Si estas interacciones existen no pueden separarse del error.

70

Tabla del análisis de varianza de un diseño factorial de dos factores en bloques completos aleatorizados

Tabla de la página 208 del Montgomery, Tabla 5-18.

71

Práctica en grupos para la casaSe realizó un experimento con un arreglo factorial 2A3B en 4 campos de cultivo, para evaluar el efecto en el rendimiento de maíz obtenido con dos tipos de abono (a1 y a2) y tres dosis (b1=20, b2=30, b3=40 kg/ha). Los resultados obtenidos en TM/ha se presentan a continuación:

72

Realice el análisis de los efectos y el análisis de varianza para este caso.¿A qué conclusiones se puede llegar?

Práctica en grupos para la casa

GRACIAS

SEMANA 773