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Introdução aos Métodos Numéricos

Instituto de Computação UFFDepartamento de Ciência da Computação

Otton Teixeira da Silveira Filho

Conteúdo específico

● Integração Numérica

Conteúdo temático

● Conceitos básicos

● Interpretação geométrica da integral definida

● Definição de Riemann para a integral

● Regra dos Retângulos

● Regra dos Trapézios

Integração numérica

Aqui veremos alguns métodos para calcular a integral definida, ou seja,

∫a

b

f (x)dx

Integração numérica

Aqui veremos alguns métodos para calcular a integral definida, ou seja,

mas porque e em que situações faríamos isto?

∫a

b

f (x)dx

Integração numérica

i) Quando o integrando não tem primitiva elementar como em

ou nas funções∫a

b

ex2

dx ;∫a

b

x tan x dx

Si(x)=∫0

xsentt

dt ;Γ(z )=∫0

∞

x z−1e−xdx

Integração numérica

ii) Quando o integrando for muito complicado

∫a

bsen x e x

−cos2 x e−x+ch x sh3 x

sen x ch x+ x e−x sh x cos xdx

Integração numérica

iii) Quando a função for dada por pontos

x f(x)

0,12358 12,45678

0,14567 13,47893

0,15678 15,55678

0,21001 15,21145

0,27113 14,31268

0,31897 13,11387

. .

. .

Integração numérica

Aviso

Na maioria dos casos não é uma boa ideia interpolar pontos e depois integrar o polinômio interpolador

Integração numérica

Aviso

Na maioria dos casos não é uma boa ideia interpolar pontos e depois integrar o polinômio interpolador

Lembrem-se das questões que discutimos em interpolação

Interpretação geométrica

Para facilitar o entendimento tenhamos em mente a interpretação geométrica da integral, ou seja,

é equivalente aI=∫a

b

f (x)dx

Teorema do valr médio para integrais

Temos ainda o Teorema do Valor Médio para Integrais que garante que sendo f(x) integrável no intervalo [a,b] então existe pelo menos um ponto c dentro deste intervalo tal que

ou seja, se soubermos qual é este ponto c então a integral é igual à área do retângulo de base b-a e altura f(c)

I=∫a

b

f (x)dx=(b−a ) f (c)

Teorema do valr médio para integrais

Geometricamente é algo assim

no exemplo temos três pontos que satisfazem o teorema

I=∫a

b

f (x)dx=(b−a ) f (c)

Teorema do valr médio para integrais

Como você deve estar suspeitando, encontrar este ponto c não é nada fácil.

Integral de Riemann

Temos também a definição da Integral de Riemann

é equivalente a

onde h é a base de cada retângulo

I=∫a

b

f (x)dx=limh→0

∑i→∞

h f (a+i h)

Integração numérica

Claro que esta definição não é útil numericamente com estes limites de h tendendo a zero e o número de retângulos tendendo ao infinito. Mas a definição da integral de Riemann nos sugere coisas interessantes...

Integração numérica

● “Fatiarmos“ o intervalo em subintervalos

Integração numérica

● “Fatiarmos“ o intervalo em subintervalos

● Integrarmos cada subintervalo com alguma regra simples

Integração numérica

● “Fatiarmos“ o intervalo em subintervalos

● Integrarmos cada subintervalo com alguma regra simples

● Somamos as áreas obtidas

Integração numérica

● “Fatiarmos“ o intervalo em subintervalos

● Integrarmos cada subintervalo com alguma regra simples

● Somamos as áreas obtidas

● Chamaremos a fórmula obtida desta forma de Regra Composta pois será feita pela composição das áreas de cada subintervalo

Integração numérica

Trabalharemos inicialmente sobre a regra de integração em cada subintervalo inicialmente inspirada na definição da integral de Riemann

Integração numérica

Aqui trabalharemos com uma subdivisão igual em todo intervalo de integração

Integração numérica

Aqui trabalharemos com uma subdivisão igual em todo intervalo de integração

Isto simplifica os algoritmos mas é bom observar que é uma limitação artificial que impomos

Retângulos

Método dos Retângulos

Vamos calcular uma aproximação da integral usando um retângulo

Retângulos

Cometeremos uma arbitrariedade: calcularemos a altura dos retângulos usando o ponto mais a esquerda do subintervalo.

Retângulos

Cometeremos uma arbitrariedade: calcularemos a altura dos retângulos usando o ponto mais a esquerda do subintervalo.

Tecnicamente falando, poderíamos usar qualquer ponto do subintervalo para este cálculo

Retângulos

A área aproximada é

Observe que a precisão visualmente é bem ruim mas facilitará pensarmos mais além

R1=(b−a) f (a)

Retângulos

Agora usemos dois retângulos dividindo igualmente o intervalo de integração

Retângulos

A área aproximada é

ou

A precisão continua não sendo boa visualmente

R2=b−a

2f (a)+

b−a2

f (a+b−a

2 )

R2=b−a

2 [ f (a)+f (a+b−a

2 ) ]

Retângulos

Agora usemos três retângulos dividindo igualmente o intervalo de integração

Retângulos

A área aproximada é

ou

As coisas estão visualmente melhorando embora lentamente

R3=b−a

3f (a)+

b−a3

f (a+b−a

3 )+ b−a3

f (a+2b−a

3 )

R3=b−a

3 [ f (a)+ f (a+b−a

3 )+ f (a+2b−a

3 ) ]

Integração numérica

Façamos uma releitura do que fizemos:

● Integramos cada subintervalo como se a função fosse constante, ou seja, um polinômio de grau 0

● Somamos as áreas de cada subintervalo para obtermos uma aproximação da integral original

Retângulos

Continuando este processo obteríamos para n retângulos

uma versão finita da fórmula de Riemann.

Rn=hn [ f (a)+ f (a+hn )+ f (a+2hn )+⋯+ f (a+(n−1)hn ) ]=hn∑i=0

n−1

f (a+i hn); hn=b−an

Integração numérica

Do estudo de interpolação sabemos que nossa precisão aumenta com o aumento do grau do polinômio

Integração numérica

Do estudo de interpolação sabemos que nossa precisão aumenta com o aumento do grau do polinômio

Torna-se natural pensarmos em criar um método similar ao dos retângulos mas usando polinômios de grau mais alto

Trapézios

Método dos Trapézios

Vamos calcular uma aproximação da integral usando um polinômio de primeiro grau que interpola f(x) dentro do intervalo [a, b].

Tecnicamente falando, não é claro quais dos pontos do intervalo deveremos usar

Arbitrariamente usaremos os extremos do intervalo de integração

Trapézios

Método dos Trapézios

Vamos calcular uma aproximação da integral usando um polinômio de primeiro grau que interpola f(x) dentro do intervalo [a, b] usando os pontos extremos do intervalo

Trapézios

Repare que não precisamos saber qual é o polinômio interpolador. Queremos a sua integral.

Mas aqui temos uma facilidade.

Trapézios

Repare que não precisamos saber qual é o polinômio interpolador. Queremos a sua integral.

Mas aqui temos uma facilidade. Observe que a área que queremos calcular é a área de um trapézio. Assim teremos

T 1=f (a)+f (b)

2(b−a)=

b−a2

[ f (a)+ f (b)]

Trapézios

Agora vamos calcular uma aproximação da integral com dois trapézios, ou seja, dois subintervalos

Trapézios

Somemos as áreas

T 2=f (a)+ f (a+(b−a)/2)

2b−a

2+

f (a+(b−a)/2)+f (b)

2b−a

2

Trapézios

Somemos as áreas

ou

T 2=f (a)+ f (a+(b−a)/2)

2b−a

2+

f (a+(b−a)/2)+f (b)

2b−a

2

T 2=12

b−a2 [ f (a)+ f (b)+2 f (a+

b−a2 ) ]

Trapézios

Para simplificar escreveremos

T 2=h2

2 [ f (a)+f (b)+2 f (a+h2 ) ] ;h2=b−a

2

Trapézios

Continuemos o procedimento agora com três subintervalo

Trapézios

Teremos aqui para a soma das áreas

T 3=f (a)+ f (a+h3)

2h3+

f (a+h3)+ f (a+2h3)

2h3+

f (a+2h3)+ f (b)

2h3 ;h3=

b−a3

Trapézios

Teremos aqui para a soma das áreas

ou

T 3=f (a)+ f (a+h3)

2h3+

f (a+h3)+ f (a+2h3)

2h3+

f (a+2h3)+ f (b)

2h3 ;h3=

b−a3

T 3=h3

2 [ f (a)+ f (b)+2 f (a+h3 )+2 f (a+2h3 ) ]

Trapézios

Não fica difícil verificar que se continuarmos este procedimento teremos

T n=hn

2 [ f (a)+f (b)+2∑i=1

n−1

f (a+i hn ) ] ;hn=b−an

Trapézios

Não fica difícil verificar que se continuarmos este procedimento teremos

Vamos a um exercício

T n=hn

2 [ f (a)+f (b)+2∑i=1

n−1

f (a+i hn ) ] ;hn=b−an

Integração numérica – Um exemplo

Calcule numericamente o valores aproximados para a integral abaixo usando 1, 2, 3 e 4 retângulos e também 1, 2, 3 e 4 trapézios

∫1

2dxx

Integração numérica – Um exemplo

Calcule numericamente o valores aproximados para a integral abaixo usando 1, 2, 3 e 4 retângulos e também 1, 2, 3 e 4 trapézios

Aqui a = 1, b = 2 e

∫1

2dxx

f (x)=1x

Integração numérica – Um exemplo

Façamos por retângulos

Um retângulo

Rn=hn∑i=0

n−1

f (a+i hn);hn=b−an

; f (x)= 1x

R1=h1 f (a);h1=b−a

1=

2−11

=1

R1=1 f (1)=111=1

Integração numérica – Um exemplo

Façamos por retângulos

Dois retângulos

Rn=hn∑i=0

n−1

f (a+i hn);hn=b−an

; f (x)= 1x

R2=h2 [ f (a)+f (a+h2) ] ;h2=b−a

2=

2−12

=12

R2=12 [ f (1)+ f (1+

12) ]=1

2 [ 11 +1

3 /2 ]=12 [1+

23 ]=5

6=0,833

Integração numérica – Um exemplo

Façamos por retângulos

Três retângulos

Rn=hn∑i=0

n−1

f (a+i hn);hn=b−an

; f (x)= 1x

R3=h3 [ f (a)+ f (a+h3)+f (a+2h3) ] ;h3=b−a

3=

2−13

=13

R3=13 [ f (1)+ f (1+

13)+ f (1+

23) ]= 1

3 [ 11+1

4 /3+

15 /3 ]=1

3 [1+34+

35 ]= 47

60=0,78 33

Integração numérica – Um exemplo

Façamos por retângulos

Quatro retângulos

Rn=hn∑i=0

n−1

f (a+i hn);hn=b−an

; f (x)= 1x

R4=h4 [ f (a)+ f (a+h4)+f (a+2h4)+ f (a+3h4) ] ;h4=b−a

4=

2−14

=14

R4=14 [ f (1)+ f (1+

14)+ f (1+

24)+f (1+

34)]=1

4 [ 11+

15 /4

+1

6/4+

17 /4 ]=1

3 [1+45+

46+

47 ]=0,759523

Integração numérica – Um exemplo

Observemos os valores obtidos

R1=1; R2=0,8 33 ;R3=0,78 33 ;R4=0,759523

Integração numérica – Um exemplo

Observemos os valores obtidos

Há uma evolução nos valores mas é lenta e ainda não temos uma ideia boa do valor da integral

Partamos para o método dos Trapézios

R1=1; R2=0,8 33 ;R3=0,78 33 ;R4=0,759523

Integração numérica – Um exemplo

Trapézios

Um trapézio

T n=hn

2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1

n−1

f (a+i hn ) ] ;hn=b−an

; f (x )=1x

T 1=h1

2[ f (a)+ f (b) ] ;h1=

b−a1

=2−1

1=1

Integração numérica – Um exemplo

Trapézios

Um trapézio

T n=hn

2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1

n−1

f (a+i hn ) ] ;hn=b−an

; f (x )=1x

T 1=h1

2[ f (a)+ f (b) ] ;h1=

b−a1

=2−1

1=1

T 1=12

[ f (1)+ f (2)]=12 ( 11 +

12 )=3

4=0,75

Integração numérica – Um exemplo

Trapézios

Dois trapézios

T n=hn

2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1

n−1

f (a+i hn ) ] ;hn=b−an

; f (x )=1x

T 2=h2

2[ f (a)+f (b)+2 f (a+h2) ] ;h2=

b−a2

=2−1

2=

12

Integração numérica – Um exemplo

Trapézios

Dois trapézios

T n=hn

2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1

n−1

f (a+i hn ) ] ;hn=b−an

; f (x )=1x

T 2=h2

2[ f (a)+f (b)+2 f (a+h2) ] ;h2=

b−a2

=2−1

2=

12

T 2=12

12

[ f (1)+ f (2)+2 f (1+1/2) ]=14 ( 1

1+

12+

23/2 )= 1

4 (1+12+

43 )=17

24=0,70833

Integração numérica – Um exemplo

Trapézios

Três trapézios

T n=hn

2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1

n−1

f (a+i hn ) ] ;hn=b−an

; f (x )=1x

T 3=h3

2[ f (a)+ f (b)+2 f (a+h3)+2 f (a+2h3) ] ; h3=

b−a3

=2−1

3=

13

Integração numérica – Um exemplo

Trapézios

Três trapézios

T n=hn

2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1

n−1

f (a+i hn ) ] ;hn=b−an

; f (x )=1x

T 3=h3

2[ f (a)+ f (b)+2 f (a+h3)+2 f (a+2h3) ] ; h3=

b−a3

=2−1

3=

13

T 3=12

13

[ f (1)+ f (2)+2 f (1+1 /3)+2 f (1+2 /3)]=14 ( 1

1+

12+

24 /3

+2

5 /3 )=16 (1+

12+

64+

65 )= 7

10=0,7

Integração numérica – Um exemplo

Trapézios

Quatro trapézios

T n=hn

2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1

n−1

f (a+i hn ) ] ;hn=b−an

; f (x )=1x

T 4=h4

2[ f (a)+ f (b)+2 f (a+h4)+2 f (a+2h4)+2 f (a+3h4)] ;h4=

b−a4

=2−1

4=

14

Integração numérica – Um exemplo

Trapézios

Quatro trapézios

T n=hn

2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1

n−1

f (a+i hn ) ] ;hn=b−an

; f (x )=1x

T 4=h4

2[ f (a)+ f (b)+2 f (a+h4)+2 f (a+2h4)+2 f (a+3h4)] ;h4=

b−a4

=2−1

4=

14

T 4=12

14

[ f (1)+ f (2)+2 f (1+1 /4)+2 f (1+2 /4)+2 f (1+3 /4) ]

Integração numérica – Um exemplo

Trapézios

Quatro trapézios

T n=hn

2 [ f (a)+ f (b)+2∑i=1

n−1

f (a+i hn ) ] ;hn=b−an

; f (x )=1x

T 4=h4

2[ f (a)+ f (b)+2 f (a+h4)+2 f (a+2h4)+2 f (a+3h4)] ;h4=

b−a4

=2−1

4=

14

T 4=12

14

[ f (1)+ f (2)+2 f (1+1 /4)+2 f (1+2 /4)+2 f (1+3 /4) ]

T 4=18 ( 11 +

12+

25 /4

+2

6 /4+

27 /4 )=1

8 (1+12+

85+

86+

87 )=0,697023

Integração numérica – Um exemplo

Observemos os valores obtidos

Há uma evolução nos valores aparentemente mais rápida. Mas sabemos que o valor da integral é

T 1=0,75 ;T 2=0,70833 ;T 3=0,7 ;T 4=0,697023

Integração numérica – Um exemplo

Observemos os valores obtidos

Há uma evolução nos valores aparentemente mais rápida. Mas sabemos que o valor da integral é

T 1=0,75 ;T 2=0,70833 ;T 3=0,7 ;T 4=0,697023

∫1

2dxx

=ln(2)≈0,693147

Integração numérica – Um exemplo

Comparemos os resultados

Indiscutivelmente o resultado do Método dos Trapézios é bem melhor com um esforço computacional quase idêntico ao Método dos Retângulos

T 1=0,75 ;T 2=0,70833 ;T 3=0,7 ;T 4=0,697023

∫1

2dxx

=ln (2)≈0,693147

R1=1; R2=0,8 33 ;R3=0,78 33 ;R4=0,759523

Integração numérica – Avaliando os resultados

Avaliando os resultados

Em tese fazemos integração numérica por ser difícil ou impossível calcular a integral analiticamente.

Então, como avaliar os resultados obtidos?

Integração numérica – Avaliando os resultados

Neste curso usaremos a seguinte regra:

● Calcule a integral para número de intervalos diferentes e crescentes

● A cada dois valores estime a mudança usando

onde são as estimativas calculadas.

Exemplifiquemos como os valores obtidos anteriormente

|Ei−E j||Ei|

Eie E j

Integração numérica – Um exemplo

Obtivemos os valores

Assim temos uma avaliação da evolução do valor como

Calculado temos a estimativa

Temos um testemunho da evolução da precisão

T 1=0,75 ;T 2=0,70833

|T 2−T 1||T 1|

=|0,70833−0,75|

|0,75|=0,0 55

T 3=0,7

|T 3−T 2||T 2|

=|0,7−0,708 33|

|0,708 33|=0,011764

Integração numérica – Um exemplo

Como o cálculo de obtemos outra avaliação

Veremos da aplicação deste critério em outros métodos que seguirão

T 4=0,697023

|T 4−T 3||T 3|

=|0,697023−0,7|

|0,7|=0,00425

Trapézios não regular

Regra dos Trapézios não Regular

Não somos obrigados a criar um método de integração apenas para subintervalos regulares. Veja a figura

Trapézios não regular

...o que é equivalente a termos uma tabela com os valores xi

Trapézios não regular

Vamos somar a área de cada trapézio

ou

I≈h1

f (a)+ f (x1)

2+h2

f (x1)+ f (x2)

2+h3

f ( x2)+ f (x3)

2⋯+hn

f (xn−1)+ f (b)

2hi=x i+1−x i

I≈h1

2f (a)+

h1+h2

2f ( x1)+

h2+h3

2f (x2)⋯+

hn−1+hn

2f (xn−1)+

hn

2f (b)

Trapézios não regular

O que nos deixa com

I≈12 [h1 f (a)+(h1+h2) f (x1)+(h2+h3) f (x2)⋯+(hn−1+hn) f ( xn−1)+hn f (b) ]

hi=xi+1−x i

Trapézios não regular

O que nos deixa com

Tal fórmula pode ser útil não só quando temos a função explicitamente como também quando temos a função dada por pontos

I≈12 [h1 f (a)+(h1+h2) f (x1)+(h2+h3) f (x2)⋯+(hn−1+hn) f ( xn−1)+hn f (b) ]

hi=xi+1−x i